\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 101}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=101}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0101}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.713, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.427,11.423) -- (8.208,11.393) -- (7.99,11.357) -- (7.773,11.317) -- (7.557,11.272) -- (7.342,11.221) -- (7.128,11.165) -- (6.916,11.105) -- (6.705,11.039) -- (6.495,10.969) -- (6.288,10.893) -- (6.082,10.813) -- (5.878,10.728) -- (5.676,10.638) -- (5.477,10.544);
\draw[line width=0.5pt] (8.427,11.423) -- (8.45,11.172) -- (8.466,10.922) -- (8.477,10.671) -- (8.481,10.419) -- (8.48,10.168) -- (8.473,9.916) -- (8.459,9.665) -- (8.44,9.414) -- (8.416,9.164) -- (8.385,8.915) -- (8.348,8.666) -- (8.306,8.418) -- (8.257,8.172) -- (8.203,7.926);
\draw[line width=0.5pt] (5.477,10.544) -- (5.365,10.309) -- (5.258,10.072) -- (5.157,9.832) -- (5.062,9.59) -- (4.973,9.346) -- (4.889,9.1) -- (4.811,8.852) -- (4.739,8.602) -- (4.672,8.35) -- (4.612,8.097) -- (4.558,7.842) -- (4.509,7.587) -- (4.467,7.33) -- (4.431,7.073);
\draw[line width=0.5pt] (1.983,10.464) -- (2.193,10.25) -- (2.399,10.032) -- (2.599,9.808) -- (2.794,9.58) -- (2.984,9.348) -- (3.168,9.111) -- (3.347,8.869) -- (3.52,8.624) -- (3.687,8.374) -- (3.848,8.121) -- (4.003,7.864) -- (4.152,7.604) -- (4.295,7.34) -- (4.431,7.073);
\draw[line width=0.5pt] (8.203,7.926) -- (8.404,7.857) -- (8.607,7.793) -- (8.811,7.733) -- (9.017,7.678) -- (9.223,7.629) -- (9.431,7.584) -- (9.64,7.543) -- (9.85,7.508) -- (10.061,7.478) -- (10.272,7.453) -- (10.484,7.432) -- (10.696,7.417) -- (10.908,7.407) -- (11.121,7.401);
\draw[line width=0.5pt] (11.121,7.401) -- (10.953,7.146) -- (10.779,6.896) -- (10.599,6.649) -- (10.413,6.407) -- (10.222,6.168) -- (10.025,5.935) -- (9.823,5.706) -- (9.615,5.482) -- (9.402,5.263) -- (9.184,5.049) -- (8.961,4.84) -- (8.733,4.637) -- (8.501,4.439) -- (8.264,4.247);
\draw[line width=0.5pt] (4.431,7.073) -- (4.183,6.923) -- (3.939,6.766) -- (3.699,6.604) -- (3.462,6.436) -- (3.229,6.263) -- (3.001,6.084) -- (2.777,5.9) -- (2.557,5.71) -- (2.341,5.516) -- (2.131,5.316) -- (1.925,5.112) -- (1.724,4.903) -- (1.528,4.689) -- (1.337,4.471);
\draw[line width=0.5pt] (4.431,7.073) -- (4.734,6.915) -- (5.032,6.749) -- (5.327,6.577) -- (5.618,6.397) -- (5.904,6.211) -- (6.187,6.018) -- (6.464,5.818) -- (6.737,5.612) -- (7.005,5.4) -- (7.267,5.181) -- (7.525,4.956) -- (7.777,4.725) -- (8.023,4.489) -- (8.264,4.247);
\draw[line width=0.5pt] (1.337,4.471) -- (1.629,4.399) -- (1.922,4.335) -- (2.217,4.278) -- (2.513,4.227) -- (2.81,4.184) -- (3.109,4.148) -- (3.408,4.118) -- (3.707,4.096) -- (4.007,4.081) -- (4.308,4.072) -- (4.608,4.071) -- (4.908,4.077) -- (5.208,4.09) -- (5.508,4.11) -- (5.702,4.15) -- (5.896,4.185) -- (6.092,4.216) -- (6.288,4.242) -- (6.485,4.263) -- (6.683,4.28) -- (6.88,4.292) -- (7.078,4.3) -- (7.276,4.302) -- (7.474,4.301) -- (7.672,4.294) -- (7.87,4.283) -- (8.067,4.267) -- (8.264,4.247);
\draw[line width=0.5pt] (1.337,4.471) -- (1.673,4.319) -- (2.004,4.16) -- (2.333,3.992) -- (2.657,3.817) -- (2.977,3.634) -- (3.292,3.444) -- (3.603,3.247) -- (3.91,3.042) -- (4.211,2.83) -- (4.508,2.611) -- (4.799,2.385) -- (5.084,2.153) -- (5.364,1.913) -- (5.638,1.668);
\draw[line width=0.5pt] (8.264,4.247) -- (8.43,4.016) -- (8.602,3.79) -- (8.778,3.567) -- (8.96,3.349) -- (9.148,3.135) -- (9.34,2.925) -- (9.537,2.72) -- (9.739,2.52) -- (9.945,2.324) -- (10.156,2.133) -- (10.372,1.948) -- (10.591,1.767) -- (10.815,1.592) -- (11.043,1.423);
\draw[line width=0.5pt] (5.638,1.668) -- (5.801,1.706) -- (5.965,1.74) -- (6.129,1.771) -- (6.294,1.797) -- (6.46,1.82) -- (6.626,1.839) -- (6.793,1.854) -- (6.96,1.865) -- (7.127,1.872) -- (7.294,1.875) -- (7.461,1.874) -- (7.628,1.87) -- (7.795,1.861) -- (7.962,1.848) -- (8.175,1.784) -- (8.391,1.726) -- (8.607,1.672) -- (8.825,1.623) -- (9.044,1.58) -- (9.264,1.542) -- (9.485,1.508) -- (9.706,1.48) -- (9.928,1.458) -- (10.151,1.44) -- (10.374,1.428) -- (10.597,1.421) -- (10.82,1.419) -- (11.043,1.423);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.587,11.423) -- (8.566,11.503) -- (8.507,11.561) -- (8.427,11.583) -- (8.347,11.561) -- (8.289,11.503) -- (8.267,11.423) -- (8.289,11.343) -- (8.347,11.284) -- (8.427,11.263) -- (8.507,11.284) -- (8.566,11.343) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.637,10.544) -- (5.615,10.624) -- (5.557,10.682) -- (5.477,10.704) -- (5.397,10.682) -- (5.338,10.624) -- (5.317,10.544) -- (5.338,10.464) -- (5.397,10.405) -- (5.477,10.384) -- (5.557,10.405) -- (5.615,10.464) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.143,10.464) -- (2.121,10.544) -- (2.063,10.602) -- (1.983,10.624) -- (1.903,10.602) -- (1.844,10.544) -- (1.823,10.464) -- (1.844,10.384) -- (1.903,10.325) -- (1.983,10.304) -- (2.063,10.325) -- (2.121,10.384) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.363,7.926) -- (8.342,8.006) -- (8.283,8.065) -- (8.203,8.086) -- (8.123,8.065) -- (8.065,8.006) -- (8.043,7.926) -- (8.065,7.846) -- (8.123,7.788) -- (8.203,7.766) -- (8.283,7.788) -- (8.342,7.846) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.281,7.401) -- (11.259,7.481) -- (11.201,7.54) -- (11.121,7.561) -- (11.041,7.54) -- (10.982,7.481) -- (10.961,7.401) -- (10.982,7.321) -- (11.041,7.263) -- (11.121,7.241) -- (11.201,7.263) -- (11.259,7.321) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.591,7.073) -- (4.57,7.153) -- (4.511,7.212) -- (4.431,7.233) -- (4.351,7.212) -- (4.292,7.153) -- (4.271,7.073) -- (4.292,6.993) -- (4.351,6.935) -- (4.431,6.913) -- (4.511,6.935) -- (4.57,6.993) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.497,4.471) -- (1.476,4.551) -- (1.417,4.609) -- (1.337,4.631) -- (1.257,4.609) -- (1.199,4.551) -- (1.177,4.471) -- (1.199,4.391) -- (1.257,4.332) -- (1.337,4.311) -- (1.417,4.332) -- (1.476,4.391) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.424,4.247) -- (8.403,4.327) -- (8.344,4.385) -- (8.264,4.407) -- (8.184,4.385) -- (8.126,4.327) -- (8.104,4.247) -- (8.126,4.167) -- (8.184,4.108) -- (8.264,4.087) -- (8.344,4.108) -- (8.403,4.167) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.798,1.668) -- (5.777,1.748) -- (5.718,1.806) -- (5.638,1.828) -- (5.558,1.806) -- (5.5,1.748) -- (5.478,1.668) -- (5.5,1.588) -- (5.558,1.529) -- (5.638,1.508) -- (5.718,1.529) -- (5.777,1.588) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.203,1.423) -- (11.181,1.503) -- (11.123,1.561) -- (11.043,1.583) -- (10.963,1.561) -- (10.904,1.503) -- (10.883,1.423) -- (10.904,1.343) -- (10.963,1.284) -- (11.043,1.263) -- (11.123,1.284) -- (11.181,1.343) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.347,10.798) -- (7.302,10.968) -- (7.177,11.093) -- (7.007,11.138) -- (6.837,11.093) -- (6.713,10.968) -- (6.667,10.798) -- (6.713,10.628) -- (6.837,10.504) -- (7.007,10.458) -- (7.177,10.504) -- (7.302,10.628) -- cycle;
\node at (7.007,10.798) {\scalebox{1.403}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.119,9.645) -- (9.073,9.815) -- (8.949,9.939) -- (8.779,9.985) -- (8.609,9.939) -- (8.484,9.815) -- (8.439,9.645) -- (8.484,9.475) -- (8.609,9.35) -- (8.779,9.305) -- (8.949,9.35) -- (9.073,9.475) -- cycle;
\node at (8.779,9.645) {\scalebox{1.403}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.457,8.759) -- (5.412,8.929) -- (5.287,9.054) -- (5.117,9.099) -- (4.947,9.054) -- (4.823,8.929) -- (4.777,8.759) -- (4.823,8.589) -- (4.947,8.465) -- (5.117,8.419) -- (5.287,8.465) -- (5.412,8.589) -- cycle;
\node at (5.117,8.759) {\scalebox{1.403}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.946,9.057) -- (3.901,9.227) -- (3.776,9.351) -- (3.606,9.397) -- (3.436,9.351) -- (3.312,9.227) -- (3.266,9.057) -- (3.312,8.887) -- (3.436,8.762) -- (3.606,8.717) -- (3.776,8.762) -- (3.901,8.887) -- cycle;
\node at (3.606,9.057) {\scalebox{1.403}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.037,7.858) -- (9.991,8.028) -- (9.867,8.153) -- (9.697,8.198) -- (9.527,8.153) -- (9.403,8.028) -- (9.357,7.858) -- (9.403,7.688) -- (9.527,7.564) -- (9.697,7.518) -- (9.867,7.564) -- (9.991,7.688) -- cycle;
\node at (9.697,7.858) {\scalebox{1.403}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.4,5.491) -- (10.354,5.661) -- (10.23,5.786) -- (10.06,5.831) -- (9.89,5.786) -- (9.765,5.661) -- (9.72,5.491) -- (9.765,5.321) -- (9.89,5.197) -- (10.06,5.151) -- (10.23,5.197) -- (10.354,5.321) -- cycle;
\node at (10.06,5.491) {\scalebox{1.403}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.323,5.655) -- (3.277,5.825) -- (3.153,5.949) -- (2.983,5.995) -- (2.813,5.949) -- (2.688,5.825) -- (2.643,5.655) -- (2.688,5.485) -- (2.813,5.36) -- (2.983,5.315) -- (3.153,5.36) -- (3.277,5.485) -- cycle;
\node at (2.983,5.655) {\scalebox{1.403}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.994,6.076) -- (6.948,6.246) -- (6.824,6.37) -- (6.654,6.416) -- (6.484,6.37) -- (6.36,6.246) -- (6.314,6.076) -- (6.36,5.906) -- (6.484,5.781) -- (6.654,5.736) -- (6.824,5.781) -- (6.948,5.906) -- cycle;
\node at (6.654,6.076) {\scalebox{1.403}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.809,4.428) -- (5.764,4.598) -- (5.639,4.722) -- (5.469,4.768) -- (5.299,4.722) -- (5.175,4.598) -- (5.129,4.428) -- (5.175,4.258) -- (5.299,4.133) -- (5.469,4.088) -- (5.639,4.133) -- (5.764,4.258) -- cycle;
\node at (5.469,4.428) {\scalebox{1.403}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.118,3.515) -- (4.072,3.685) -- (3.948,3.809) -- (3.778,3.855) -- (3.608,3.809) -- (3.484,3.685) -- (3.438,3.515) -- (3.484,3.345) -- (3.608,3.22) -- (3.778,3.175) -- (3.948,3.22) -- (4.072,3.345) -- cycle;
\node at (3.778,3.515) {\scalebox{1.403}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.105,2.944) -- (10.059,3.114) -- (9.935,3.239) -- (9.765,3.284) -- (9.595,3.239) -- (9.471,3.114) -- (9.425,2.944) -- (9.471,2.774) -- (9.595,2.65) -- (9.765,2.604) -- (9.935,2.65) -- (10.059,2.774) -- cycle;
\node at (9.765,2.944) {\scalebox{1.403}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.365,2.162) -- (8.319,2.332) -- (8.195,2.456) -- (8.025,2.502) -- (7.855,2.456) -- (7.73,2.332) -- (7.685,2.162) -- (7.73,1.992) -- (7.855,1.868) -- (8.025,1.822) -- (8.195,1.868) -- (8.319,1.992) -- cycle;
\node at (8.025,2.162) {\scalebox{1.403}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.683,10.164) -- (2.283,10.164) -- (2.283,10.764) -- (1.683,10.764) -- cycle;
\node at (1.983,10.464) {\scalebox{1.403}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.44,8.238) -- (11.04,8.238) -- (11.04,8.838) -- (10.44,8.838) -- cycle;
\node at (10.74,8.538) {\scalebox{1.403}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.595,3.402) -- (5.195,3.402) -- (5.195,4.002) -- (4.595,4.002) -- cycle;
\node at (4.895,3.702) {\scalebox{1.403}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (2.864,2.594) -- (3.464,2.594) -- (3.464,3.194) -- (2.864,3.194) -- cycle;
\node at (3.164,2.894) {\scalebox{1.403}{\small d}};
\node at (8.65,12.001) {\scalebox{1.403}{\small A}};
\node at (5.306,11.139) {\scalebox{1.403}{\small B}};
\node at (1.504,10.858) {\scalebox{1.403}{\small C}};
\node at (8.691,8.309) {\scalebox{1.403}{\small D}};
\node at (11.733,7.501) {\scalebox{1.403}{\small E}};
\node at (3.822,7.188) {\scalebox{1.403}{\small F}};
\node at (0.765,4.232) {\scalebox{1.403}{\small G}};
\node at (8.617,3.737) {\scalebox{1.403}{\small H}};
\node at (5.522,1.059) {\scalebox{1.403}{\small I}};
\node at (11.444,0.95) {\scalebox{1.403}{\small J}};
\draw[line width=0.5pt] (12.421,10.473) -- (12.421,11.573);
\draw[line width=0.5pt] (12.19,11.188) -- (12.421,11.573) -- (12.652,11.188);
\draw[line width=0.5pt] (12.118,11.023) -- (12.723,11.023);
\node at (12.421,11.958) {\scalebox{1.403}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de l'Église & ⑦ rue des Jardins & Ⓐ Place de l'Église & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑧ rue des Lilas & Ⓑ Placette des Ormes & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ sentier des Prés & ⑨ chemin de Ronde & Ⓒ Fontaine Notre-Dame & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ impasse Verte & ⑩ rue du Pont & Ⓓ Place des Tanneurs & \textbf{d} l'école \\ \hline
⑤ rue Basse & ⑪ allée des Tilleuls & Ⓔ Place aux Herbes &  \\ \hline
⑥ passage du Marché & ⑫ rue du Four & Ⓕ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓙ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.638, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.427,11.423) -- (8.208,11.393) -- (7.99,11.357) -- (7.773,11.317) -- (7.557,11.272) -- (7.342,11.221) -- (7.128,11.165) -- (6.916,11.105) -- (6.705,11.039) -- (6.495,10.969) -- (6.288,10.893) -- (6.082,10.813) -- (5.878,10.728) -- (5.676,10.638) -- (5.477,10.544);
\draw[line width=0.5pt] (8.427,11.423) -- (8.45,11.172) -- (8.466,10.922) -- (8.477,10.671) -- (8.481,10.419) -- (8.48,10.168) -- (8.473,9.916) -- (8.459,9.665) -- (8.44,9.414) -- (8.416,9.164) -- (8.385,8.915) -- (8.348,8.666) -- (8.306,8.418) -- (8.257,8.172) -- (8.203,7.926);
\draw[line width=0.5pt] (5.477,10.544) -- (5.365,10.309) -- (5.258,10.072) -- (5.157,9.832) -- (5.062,9.59) -- (4.973,9.346) -- (4.889,9.1) -- (4.811,8.852) -- (4.739,8.602) -- (4.672,8.35) -- (4.612,8.097) -- (4.558,7.842) -- (4.509,7.587) -- (4.467,7.33) -- (4.431,7.073);
\draw[line width=0.5pt] (1.983,10.464) -- (2.193,10.25) -- (2.399,10.032) -- (2.599,9.808) -- (2.794,9.58) -- (2.984,9.348) -- (3.168,9.111) -- (3.347,8.869) -- (3.52,8.624) -- (3.687,8.374) -- (3.848,8.121) -- (4.003,7.864) -- (4.152,7.604) -- (4.295,7.34) -- (4.431,7.073);
\draw[line width=0.5pt] (8.203,7.926) -- (8.404,7.857) -- (8.607,7.793) -- (8.811,7.733) -- (9.017,7.678) -- (9.223,7.629) -- (9.431,7.584) -- (9.64,7.543) -- (9.85,7.508) -- (10.061,7.478) -- (10.272,7.453) -- (10.484,7.432) -- (10.696,7.417) -- (10.908,7.407) -- (11.121,7.401);
\draw[line width=0.5pt] (11.121,7.401) -- (10.953,7.146) -- (10.779,6.896) -- (10.599,6.649) -- (10.413,6.407) -- (10.222,6.168) -- (10.025,5.935) -- (9.823,5.706) -- (9.615,5.482) -- (9.402,5.263) -- (9.184,5.049) -- (8.961,4.84) -- (8.733,4.637) -- (8.501,4.439) -- (8.264,4.247);
\draw[line width=0.5pt] (4.431,7.073) -- (4.183,6.923) -- (3.939,6.766) -- (3.699,6.604) -- (3.462,6.436) -- (3.229,6.263) -- (3.001,6.084) -- (2.777,5.9) -- (2.557,5.71) -- (2.341,5.516) -- (2.131,5.316) -- (1.925,5.112) -- (1.724,4.903) -- (1.528,4.689) -- (1.337,4.471);
\draw[line width=0.5pt] (4.431,7.073) -- (4.734,6.915) -- (5.032,6.749) -- (5.327,6.577) -- (5.618,6.397) -- (5.904,6.211) -- (6.187,6.018) -- (6.464,5.818) -- (6.737,5.612) -- (7.005,5.4) -- (7.267,5.181) -- (7.525,4.956) -- (7.777,4.725) -- (8.023,4.489) -- (8.264,4.247);
\draw[line width=0.5pt] (1.337,4.471) -- (1.629,4.399) -- (1.922,4.335) -- (2.217,4.278) -- (2.513,4.227) -- (2.81,4.184) -- (3.109,4.148) -- (3.408,4.118) -- (3.707,4.096) -- (4.007,4.081) -- (4.308,4.072) -- (4.608,4.071) -- (4.908,4.077) -- (5.208,4.09) -- (5.508,4.11) -- (5.702,4.15) -- (5.896,4.185) -- (6.092,4.216) -- (6.288,4.242) -- (6.485,4.263) -- (6.683,4.28) -- (6.88,4.292) -- (7.078,4.3) -- (7.276,4.302) -- (7.474,4.301) -- (7.672,4.294) -- (7.87,4.283) -- (8.067,4.267) -- (8.264,4.247);
\draw[line width=0.5pt] (1.337,4.471) -- (1.673,4.319) -- (2.004,4.16) -- (2.333,3.992) -- (2.657,3.817) -- (2.977,3.634) -- (3.292,3.444) -- (3.603,3.247) -- (3.91,3.042) -- (4.211,2.83) -- (4.508,2.611) -- (4.799,2.385) -- (5.084,2.153) -- (5.364,1.913) -- (5.638,1.668);
\draw[line width=0.5pt] (8.264,4.247) -- (8.43,4.016) -- (8.602,3.79) -- (8.778,3.567) -- (8.96,3.349) -- (9.148,3.135) -- (9.34,2.925) -- (9.537,2.72) -- (9.739,2.52) -- (9.945,2.324) -- (10.156,2.133) -- (10.372,1.948) -- (10.591,1.767) -- (10.815,1.592) -- (11.043,1.423);
\draw[line width=0.5pt] (5.638,1.668) -- (5.801,1.706) -- (5.965,1.74) -- (6.129,1.771) -- (6.294,1.797) -- (6.46,1.82) -- (6.626,1.839) -- (6.793,1.854) -- (6.96,1.865) -- (7.127,1.872) -- (7.294,1.875) -- (7.461,1.874) -- (7.628,1.87) -- (7.795,1.861) -- (7.962,1.848) -- (8.175,1.784) -- (8.391,1.726) -- (8.607,1.672) -- (8.825,1.623) -- (9.044,1.58) -- (9.264,1.542) -- (9.485,1.508) -- (9.706,1.48) -- (9.928,1.458) -- (10.151,1.44) -- (10.374,1.428) -- (10.597,1.421) -- (10.82,1.419) -- (11.043,1.423);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.587,11.423) -- (8.566,11.503) -- (8.507,11.561) -- (8.427,11.583) -- (8.347,11.561) -- (8.289,11.503) -- (8.267,11.423) -- (8.289,11.343) -- (8.347,11.284) -- (8.427,11.263) -- (8.507,11.284) -- (8.566,11.343) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.637,10.544) -- (5.615,10.624) -- (5.557,10.682) -- (5.477,10.704) -- (5.397,10.682) -- (5.338,10.624) -- (5.317,10.544) -- (5.338,10.464) -- (5.397,10.405) -- (5.477,10.384) -- (5.557,10.405) -- (5.615,10.464) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.143,10.464) -- (2.121,10.544) -- (2.063,10.602) -- (1.983,10.624) -- (1.903,10.602) -- (1.844,10.544) -- (1.823,10.464) -- (1.844,10.384) -- (1.903,10.325) -- (1.983,10.304) -- (2.063,10.325) -- (2.121,10.384) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.363,7.926) -- (8.342,8.006) -- (8.283,8.065) -- (8.203,8.086) -- (8.123,8.065) -- (8.065,8.006) -- (8.043,7.926) -- (8.065,7.846) -- (8.123,7.788) -- (8.203,7.766) -- (8.283,7.788) -- (8.342,7.846) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.281,7.401) -- (11.259,7.481) -- (11.201,7.54) -- (11.121,7.561) -- (11.041,7.54) -- (10.982,7.481) -- (10.961,7.401) -- (10.982,7.321) -- (11.041,7.263) -- (11.121,7.241) -- (11.201,7.263) -- (11.259,7.321) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.591,7.073) -- (4.57,7.153) -- (4.511,7.212) -- (4.431,7.233) -- (4.351,7.212) -- (4.292,7.153) -- (4.271,7.073) -- (4.292,6.993) -- (4.351,6.935) -- (4.431,6.913) -- (4.511,6.935) -- (4.57,6.993) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.497,4.471) -- (1.476,4.551) -- (1.417,4.609) -- (1.337,4.631) -- (1.257,4.609) -- (1.199,4.551) -- (1.177,4.471) -- (1.199,4.391) -- (1.257,4.332) -- (1.337,4.311) -- (1.417,4.332) -- (1.476,4.391) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.424,4.247) -- (8.403,4.327) -- (8.344,4.385) -- (8.264,4.407) -- (8.184,4.385) -- (8.126,4.327) -- (8.104,4.247) -- (8.126,4.167) -- (8.184,4.108) -- (8.264,4.087) -- (8.344,4.108) -- (8.403,4.167) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.798,1.668) -- (5.777,1.748) -- (5.718,1.806) -- (5.638,1.828) -- (5.558,1.806) -- (5.5,1.748) -- (5.478,1.668) -- (5.5,1.588) -- (5.558,1.529) -- (5.638,1.508) -- (5.718,1.529) -- (5.777,1.588) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.203,1.423) -- (11.181,1.503) -- (11.123,1.561) -- (11.043,1.583) -- (10.963,1.561) -- (10.904,1.503) -- (10.883,1.423) -- (10.904,1.343) -- (10.963,1.284) -- (11.043,1.263) -- (11.123,1.284) -- (11.181,1.343) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.347,10.798) -- (7.302,10.968) -- (7.177,11.093) -- (7.007,11.138) -- (6.837,11.093) -- (6.713,10.968) -- (6.667,10.798) -- (6.713,10.628) -- (6.837,10.504) -- (7.007,10.458) -- (7.177,10.504) -- (7.302,10.628) -- cycle;
\node at (7.007,10.798) {\scalebox{1.567}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.119,9.645) -- (9.073,9.815) -- (8.949,9.939) -- (8.779,9.985) -- (8.609,9.939) -- (8.484,9.815) -- (8.439,9.645) -- (8.484,9.475) -- (8.609,9.35) -- (8.779,9.305) -- (8.949,9.35) -- (9.073,9.475) -- cycle;
\node at (8.779,9.645) {\scalebox{1.567}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.457,8.759) -- (5.412,8.929) -- (5.287,9.054) -- (5.117,9.099) -- (4.947,9.054) -- (4.823,8.929) -- (4.777,8.759) -- (4.823,8.589) -- (4.947,8.465) -- (5.117,8.419) -- (5.287,8.465) -- (5.412,8.589) -- cycle;
\node at (5.117,8.759) {\scalebox{1.567}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.946,9.057) -- (3.901,9.227) -- (3.776,9.351) -- (3.606,9.397) -- (3.436,9.351) -- (3.312,9.227) -- (3.266,9.057) -- (3.312,8.887) -- (3.436,8.762) -- (3.606,8.717) -- (3.776,8.762) -- (3.901,8.887) -- cycle;
\node at (3.606,9.057) {\scalebox{1.567}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.037,7.858) -- (9.991,8.028) -- (9.867,8.153) -- (9.697,8.198) -- (9.527,8.153) -- (9.403,8.028) -- (9.357,7.858) -- (9.403,7.688) -- (9.527,7.564) -- (9.697,7.518) -- (9.867,7.564) -- (9.991,7.688) -- cycle;
\node at (9.697,7.858) {\scalebox{1.567}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.4,5.491) -- (10.354,5.661) -- (10.23,5.786) -- (10.06,5.831) -- (9.89,5.786) -- (9.765,5.661) -- (9.72,5.491) -- (9.765,5.321) -- (9.89,5.197) -- (10.06,5.151) -- (10.23,5.197) -- (10.354,5.321) -- cycle;
\node at (10.06,5.491) {\scalebox{1.567}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.323,5.655) -- (3.277,5.825) -- (3.153,5.949) -- (2.983,5.995) -- (2.813,5.949) -- (2.688,5.825) -- (2.643,5.655) -- (2.688,5.485) -- (2.813,5.36) -- (2.983,5.315) -- (3.153,5.36) -- (3.277,5.485) -- cycle;
\node at (2.983,5.655) {\scalebox{1.567}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.994,6.076) -- (6.948,6.246) -- (6.824,6.37) -- (6.654,6.416) -- (6.484,6.37) -- (6.36,6.246) -- (6.314,6.076) -- (6.36,5.906) -- (6.484,5.781) -- (6.654,5.736) -- (6.824,5.781) -- (6.948,5.906) -- cycle;
\node at (6.654,6.076) {\scalebox{1.567}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.809,4.428) -- (5.764,4.598) -- (5.639,4.722) -- (5.469,4.768) -- (5.299,4.722) -- (5.175,4.598) -- (5.129,4.428) -- (5.175,4.258) -- (5.299,4.133) -- (5.469,4.088) -- (5.639,4.133) -- (5.764,4.258) -- cycle;
\node at (5.469,4.428) {\scalebox{1.567}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.118,3.515) -- (4.072,3.685) -- (3.948,3.809) -- (3.778,3.855) -- (3.608,3.809) -- (3.484,3.685) -- (3.438,3.515) -- (3.484,3.345) -- (3.608,3.22) -- (3.778,3.175) -- (3.948,3.22) -- (4.072,3.345) -- cycle;
\node at (3.778,3.515) {\scalebox{1.567}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.105,2.944) -- (10.059,3.114) -- (9.935,3.239) -- (9.765,3.284) -- (9.595,3.239) -- (9.471,3.114) -- (9.425,2.944) -- (9.471,2.774) -- (9.595,2.65) -- (9.765,2.604) -- (9.935,2.65) -- (10.059,2.774) -- cycle;
\node at (9.765,2.944) {\scalebox{1.567}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.365,2.162) -- (8.319,2.332) -- (8.195,2.456) -- (8.025,2.502) -- (7.855,2.456) -- (7.73,2.332) -- (7.685,2.162) -- (7.73,1.992) -- (7.855,1.868) -- (8.025,1.822) -- (8.195,1.868) -- (8.319,1.992) -- cycle;
\node at (8.025,2.162) {\scalebox{1.567}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.683,10.164) -- (2.283,10.164) -- (2.283,10.764) -- (1.683,10.764) -- cycle;
\node at (1.983,10.464) {\scalebox{1.567}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.44,8.238) -- (11.04,8.238) -- (11.04,8.838) -- (10.44,8.838) -- cycle;
\node at (10.74,8.538) {\scalebox{1.567}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.595,3.402) -- (5.195,3.402) -- (5.195,4.002) -- (4.595,4.002) -- cycle;
\node at (4.895,3.702) {\scalebox{1.567}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (2.864,2.594) -- (3.464,2.594) -- (3.464,3.194) -- (2.864,3.194) -- cycle;
\node at (3.164,2.894) {\scalebox{1.567}{\small d}};
\node at (8.65,12.001) {\scalebox{1.567}{\small A}};
\node at (5.306,11.139) {\scalebox{1.567}{\small B}};
\node at (1.504,10.858) {\scalebox{1.567}{\small C}};
\node at (8.691,8.309) {\scalebox{1.567}{\small D}};
\node at (11.733,7.501) {\scalebox{1.567}{\small E}};
\node at (3.822,7.188) {\scalebox{1.567}{\small F}};
\node at (0.765,4.232) {\scalebox{1.567}{\small G}};
\node at (8.617,3.737) {\scalebox{1.567}{\small H}};
\node at (5.522,1.059) {\scalebox{1.567}{\small I}};
\node at (11.444,0.95) {\scalebox{1.567}{\small J}};
\draw[line width=0.5pt] (12.421,10.473) -- (12.421,11.573);
\draw[line width=0.5pt] (12.19,11.188) -- (12.421,11.573) -- (12.652,11.188);
\draw[line width=0.5pt] (12.118,11.023) -- (12.723,11.023);
\node at (12.421,11.958) {\scalebox{1.567}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I & \cellcolor{blue!7}\bfseries J \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 1 & 2 & 2 & 4 & 3 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{G}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{C}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en G}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Fontaine Notre-Dame \textbf{(C)}, prend l'\textbf{impasse Verte ④} vers le sud-est et atteint Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{sentier des Prés ③}, vers le nord, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ①}, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ②}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑤}, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑦}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑨}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑪}, vers le sud-est, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(J)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑫}, vers l'ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ⑩}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{C} ou en \textbf{G} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
