\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 106}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=106}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0106}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6914, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.197,9.295) -- (6.058,9.254) -- (5.919,9.21) -- (5.781,9.162) -- (5.644,9.111) -- (5.509,9.057) -- (5.375,9.0) -- (5.242,8.939) -- (5.111,8.876) -- (4.981,8.809) -- (4.853,8.74) -- (4.727,8.667) -- (4.602,8.591) -- (4.479,8.513) -- (4.358,8.432);
\draw[line width=0.5pt] (6.197,9.295) -- (6.356,9.313) -- (6.516,9.328) -- (6.675,9.338) -- (6.835,9.345) -- (6.996,9.348) -- (7.156,9.347) -- (7.316,9.343) -- (7.476,9.335) -- (7.636,9.323) -- (7.795,9.307) -- (7.954,9.288) -- (8.112,9.264) -- (8.27,9.237) -- (8.427,9.207) -- (8.592,9.121) -- (8.76,9.038) -- (8.929,8.96) -- (9.1,8.886) -- (9.273,8.815) -- (9.447,8.749) -- (9.623,8.687) -- (9.8,8.629) -- (9.979,8.575) -- (10.159,8.526) -- (10.34,8.48) -- (10.522,8.439) -- (10.704,8.403) -- (10.888,8.37);
\draw[line width=0.5pt] (6.197,9.295) -- (6.197,9.11) -- (6.2,8.926) -- (6.208,8.741) -- (6.221,8.556) -- (6.238,8.372) -- (6.259,8.188) -- (6.284,8.005) -- (6.314,7.822) -- (6.348,7.64) -- (6.386,7.459) -- (6.429,7.279) -- (6.476,7.1) -- (6.526,6.923) -- (6.582,6.746);
\draw[line width=0.5pt] (6.197,9.295) -- (6.054,9.049) -- (5.904,8.806) -- (5.749,8.566) -- (5.589,8.331) -- (5.422,8.099) -- (5.251,7.871) -- (5.074,7.647) -- (4.892,7.427) -- (4.704,7.211) -- (4.512,7.001) -- (4.315,6.794) -- (4.113,6.593) -- (3.906,6.396) -- (3.695,6.204);
\draw[line width=0.5pt] (4.358,8.432) -- (4.287,8.281) -- (4.219,8.129) -- (4.155,7.975) -- (4.094,7.82) -- (4.038,7.663) -- (3.984,7.505) -- (3.935,7.345) -- (3.889,7.185) -- (3.847,7.024) -- (3.809,6.861) -- (3.775,6.698) -- (3.744,6.534) -- (3.718,6.37) -- (3.695,6.204);
\draw[line width=0.5pt] (3.487,3.789) -- (3.562,3.684) -- (3.634,3.577) -- (3.704,3.468) -- (3.771,3.358) -- (3.835,3.246) -- (3.897,3.133) -- (3.956,3.018) -- (4.012,2.902) -- (4.066,2.785) -- (4.117,2.666) -- (4.165,2.547) -- (4.21,2.426) -- (4.252,2.304) -- (4.292,2.181);
\draw[line width=0.5pt] (6.136,3.648) -- (6.273,3.47) -- (6.415,3.297) -- (6.561,3.126) -- (6.711,2.959) -- (6.864,2.796) -- (7.022,2.636) -- (7.183,2.48) -- (7.348,2.327) -- (7.516,2.179) -- (7.688,2.035) -- (7.863,1.894) -- (8.041,1.758) -- (8.223,1.627) -- (8.407,1.499);
\draw[line width=0.5pt] (10.972,2.131) -- (10.797,2.058) -- (10.62,1.989) -- (10.442,1.925) -- (10.262,1.865) -- (10.081,1.809) -- (9.899,1.757) -- (9.715,1.709) -- (9.531,1.666) -- (9.345,1.627) -- (9.159,1.593) -- (8.972,1.563) -- (8.784,1.537) -- (8.596,1.516) -- (8.407,1.499);
\draw[line width=0.5pt] (10.888,8.37) -- (10.724,8.247) -- (10.562,8.12) -- (10.404,7.989) -- (10.249,7.854) -- (10.097,7.716) -- (9.948,7.574) -- (9.802,7.428) -- (9.66,7.28) -- (9.522,7.128) -- (9.387,6.972) -- (9.256,6.814) -- (9.129,6.653) -- (9.005,6.488) -- (8.886,6.321);
\draw[line width=0.5pt] (6.582,6.746) -- (6.584,6.522) -- (6.581,6.297) -- (6.573,6.073) -- (6.559,5.849) -- (6.54,5.625) -- (6.516,5.401) -- (6.487,5.178) -- (6.452,4.956) -- (6.412,4.735) -- (6.367,4.515) -- (6.317,4.296) -- (6.262,4.078) -- (6.202,3.862) -- (6.136,3.648);
\draw[line width=0.5pt] (6.582,6.746) -- (6.74,6.691) -- (6.9,6.639) -- (7.061,6.591) -- (7.224,6.548) -- (7.387,6.507) -- (7.551,6.471) -- (7.716,6.439) -- (7.882,6.41) -- (8.048,6.385) -- (8.215,6.365) -- (8.383,6.348) -- (8.55,6.335) -- (8.718,6.326) -- (8.886,6.321);
\draw[line width=0.5pt] (6.582,6.746) -- (6.383,6.676) -- (6.183,6.611) -- (5.981,6.55) -- (5.778,6.495) -- (5.573,6.444) -- (5.367,6.398) -- (5.161,6.356) -- (4.953,6.32) -- (4.745,6.288) -- (4.536,6.262) -- (4.326,6.24) -- (4.116,6.223) -- (3.906,6.211) -- (3.695,6.204);
\draw[line width=0.5pt] (8.886,6.321) -- (9.055,6.172) -- (9.228,6.026) -- (9.404,5.885) -- (9.584,5.747) -- (9.767,5.614) -- (9.953,5.486) -- (10.141,5.361) -- (10.333,5.241) -- (10.528,5.126) -- (10.725,5.015) -- (10.924,4.909) -- (11.126,4.808) -- (11.331,4.711) -- (11.537,4.62);
\draw[line width=0.5pt] (8.886,6.321) -- (8.862,6.175) -- (8.835,6.03) -- (8.804,5.885) -- (8.77,5.74) -- (8.732,5.597) -- (8.691,5.454) -- (8.647,5.313) -- (8.6,5.172) -- (8.549,5.033) -- (8.495,4.895) -- (8.437,4.758) -- (8.377,4.623) -- (8.313,4.489) -- (8.246,4.357);
\draw[line width=0.5pt] (1.537,6.22) -- (1.538,6.064) -- (1.543,5.908) -- (1.552,5.752) -- (1.564,5.597) -- (1.58,5.442) -- (1.599,5.287) -- (1.623,5.133) -- (1.649,4.979) -- (1.68,4.826) -- (1.714,4.674) -- (1.751,4.523) -- (1.792,4.372) -- (1.837,4.223) -- (1.885,4.075);
\draw[line width=0.5pt] (3.695,6.204) -- (3.707,6.031) -- (3.715,5.857) -- (3.718,5.683) -- (3.717,5.509) -- (3.713,5.335) -- (3.704,5.162) -- (3.691,4.988) -- (3.674,4.815) -- (3.653,4.642) -- (3.628,4.47) -- (3.599,4.298) -- (3.566,4.128) -- (3.529,3.958) -- (3.487,3.789);
\draw[line width=0.5pt] (3.695,6.204) -- (3.84,5.997) -- (3.99,5.792) -- (4.145,5.591) -- (4.304,5.394) -- (4.468,5.2) -- (4.637,5.011) -- (4.81,4.825) -- (4.988,4.644) -- (5.169,4.467) -- (5.355,4.294) -- (5.544,4.125) -- (5.738,3.961) -- (5.935,3.802) -- (6.136,3.648);
\draw[line width=0.5pt] (3.695,6.204) -- (3.59,6.034) -- (3.481,5.865) -- (3.368,5.7) -- (3.251,5.537) -- (3.131,5.377) -- (3.006,5.219) -- (2.878,5.065) -- (2.746,4.914) -- (2.611,4.765) -- (2.472,4.62) -- (2.33,4.479) -- (2.185,4.34) -- (2.037,4.206) -- (1.885,4.075);
\draw[line width=0.5pt] (11.537,4.62) -- (11.47,4.45) -- (11.406,4.278) -- (11.347,4.105) -- (11.292,3.93) -- (11.241,3.754) -- (11.194,3.577) -- (11.152,3.399) -- (11.113,3.22) -- (11.079,3.04) -- (11.049,2.859) -- (11.023,2.678) -- (11.002,2.496) -- (10.984,2.314) -- (10.972,2.131);
\draw[line width=0.5pt] (8.246,4.357) -- (8.105,4.284) -- (7.961,4.214) -- (7.816,4.147) -- (7.669,4.084) -- (7.521,4.024) -- (7.371,3.968) -- (7.22,3.915) -- (7.068,3.866) -- (6.915,3.821) -- (6.761,3.779) -- (6.606,3.74) -- (6.45,3.706) -- (6.293,3.675) -- (6.136,3.648);
\draw[line width=0.5pt] (1.885,4.075) -- (1.995,4.037) -- (2.107,4.002) -- (2.219,3.969) -- (2.332,3.939) -- (2.445,3.912) -- (2.56,3.887) -- (2.674,3.866) -- (2.79,3.846) -- (2.905,3.83) -- (3.021,3.816) -- (3.138,3.805) -- (3.254,3.797) -- (3.371,3.791) -- (3.487,3.789);
\draw[line width=0.5pt] (1.885,4.075) -- (2.076,3.967) -- (2.265,3.854) -- (2.451,3.738) -- (2.634,3.616) -- (2.815,3.491) -- (2.992,3.361) -- (3.166,3.227) -- (3.338,3.089) -- (3.505,2.948) -- (3.67,2.802) -- (3.831,2.652) -- (3.988,2.499) -- (4.142,2.342) -- (4.292,2.181);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.357,9.295) -- (6.336,9.375) -- (6.277,9.434) -- (6.197,9.455) -- (6.117,9.434) -- (6.059,9.375) -- (6.037,9.295) -- (6.059,9.215) -- (6.117,9.157) -- (6.197,9.135) -- (6.277,9.157) -- (6.336,9.215) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.518,8.432) -- (4.497,8.512) -- (4.438,8.57) -- (4.358,8.592) -- (4.278,8.57) -- (4.22,8.512) -- (4.198,8.432) -- (4.22,8.352) -- (4.278,8.293) -- (4.358,8.272) -- (4.438,8.293) -- (4.497,8.352) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.048,8.37) -- (11.026,8.45) -- (10.968,8.509) -- (10.888,8.53) -- (10.808,8.509) -- (10.749,8.45) -- (10.728,8.37) -- (10.749,8.29) -- (10.808,8.232) -- (10.888,8.21) -- (10.968,8.232) -- (11.026,8.29) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.742,6.746) -- (6.72,6.826) -- (6.662,6.885) -- (6.582,6.906) -- (6.502,6.885) -- (6.443,6.826) -- (6.422,6.746) -- (6.443,6.666) -- (6.502,6.608) -- (6.582,6.586) -- (6.662,6.608) -- (6.72,6.666) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.046,6.321) -- (9.025,6.401) -- (8.966,6.46) -- (8.886,6.481) -- (8.806,6.46) -- (8.748,6.401) -- (8.726,6.321) -- (8.748,6.241) -- (8.806,6.183) -- (8.886,6.161) -- (8.966,6.183) -- (9.025,6.241) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.697,6.22) -- (1.676,6.3) -- (1.617,6.358) -- (1.537,6.38) -- (1.457,6.358) -- (1.398,6.3) -- (1.377,6.22) -- (1.398,6.14) -- (1.457,6.081) -- (1.537,6.06) -- (1.617,6.081) -- (1.676,6.14) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.855,6.204) -- (3.834,6.284) -- (3.775,6.343) -- (3.695,6.364) -- (3.615,6.343) -- (3.557,6.284) -- (3.535,6.204) -- (3.557,6.124) -- (3.615,6.066) -- (3.695,6.044) -- (3.775,6.066) -- (3.834,6.124) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.697,4.62) -- (11.676,4.7) -- (11.617,4.758) -- (11.537,4.78) -- (11.457,4.758) -- (11.398,4.7) -- (11.377,4.62) -- (11.398,4.54) -- (11.457,4.481) -- (11.537,4.46) -- (11.617,4.481) -- (11.676,4.54) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.406,4.357) -- (8.385,4.437) -- (8.326,4.496) -- (8.246,4.517) -- (8.166,4.496) -- (8.108,4.437) -- (8.086,4.357) -- (8.108,4.277) -- (8.166,4.219) -- (8.246,4.197) -- (8.326,4.219) -- (8.385,4.277) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.045,4.075) -- (2.024,4.155) -- (1.965,4.213) -- (1.885,4.235) -- (1.805,4.213) -- (1.747,4.155) -- (1.725,4.075) -- (1.747,3.995) -- (1.805,3.936) -- (1.885,3.915) -- (1.965,3.936) -- (2.024,3.995) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.647,3.789) -- (3.626,3.869) -- (3.567,3.927) -- (3.487,3.949) -- (3.407,3.927) -- (3.349,3.869) -- (3.327,3.789) -- (3.349,3.709) -- (3.407,3.65) -- (3.487,3.629) -- (3.567,3.65) -- (3.626,3.709) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.296,3.648) -- (6.275,3.728) -- (6.216,3.786) -- (6.136,3.808) -- (6.056,3.786) -- (5.997,3.728) -- (5.976,3.648) -- (5.997,3.568) -- (6.056,3.509) -- (6.136,3.488) -- (6.216,3.509) -- (6.275,3.568) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.452,2.181) -- (4.43,2.261) -- (4.372,2.32) -- (4.292,2.341) -- (4.212,2.32) -- (4.153,2.261) -- (4.132,2.181) -- (4.153,2.101) -- (4.212,2.043) -- (4.292,2.021) -- (4.372,2.043) -- (4.43,2.101) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.132,2.131) -- (11.11,2.211) -- (11.052,2.27) -- (10.972,2.291) -- (10.892,2.27) -- (10.833,2.211) -- (10.812,2.131) -- (10.833,2.051) -- (10.892,1.992) -- (10.972,1.971) -- (11.052,1.992) -- (11.11,2.051) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.567,1.499) -- (8.546,1.579) -- (8.487,1.638) -- (8.407,1.659) -- (8.327,1.638) -- (8.269,1.579) -- (8.247,1.499) -- (8.269,1.419) -- (8.327,1.361) -- (8.407,1.339) -- (8.487,1.361) -- (8.546,1.419) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.718,8.65) -- (5.673,8.82) -- (5.548,8.944) -- (5.378,8.99) -- (5.208,8.944) -- (5.084,8.82) -- (5.038,8.65) -- (5.084,8.48) -- (5.208,8.355) -- (5.378,8.31) -- (5.548,8.355) -- (5.673,8.48) -- cycle;
\node at (5.378,8.65) {\scalebox{1.446}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.876,9.508) -- (8.831,9.678) -- (8.706,9.802) -- (8.536,9.848) -- (8.366,9.802) -- (8.242,9.678) -- (8.196,9.508) -- (8.242,9.338) -- (8.366,9.213) -- (8.536,9.168) -- (8.706,9.213) -- (8.831,9.338) -- cycle;
\node at (8.536,9.508) {\scalebox{1.446}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.941,8.053) -- (6.895,8.223) -- (6.771,8.347) -- (6.601,8.393) -- (6.431,8.347) -- (6.306,8.223) -- (6.261,8.053) -- (6.306,7.883) -- (6.431,7.758) -- (6.601,7.713) -- (6.771,7.758) -- (6.895,7.883) -- cycle;
\node at (6.601,8.053) {\scalebox{1.446}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.662,7.445) -- (5.617,7.615) -- (5.492,7.74) -- (5.322,7.785) -- (5.152,7.74) -- (5.028,7.615) -- (4.982,7.445) -- (5.028,7.275) -- (5.152,7.151) -- (5.322,7.105) -- (5.492,7.151) -- (5.617,7.275) -- cycle;
\node at (5.322,7.445) {\scalebox{1.446}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.582,7.254) -- (4.536,7.424) -- (4.412,7.549) -- (4.242,7.594) -- (4.072,7.549) -- (3.947,7.424) -- (3.902,7.254) -- (3.947,7.084) -- (4.072,6.96) -- (4.242,6.914) -- (4.412,6.96) -- (4.536,7.084) -- cycle;
\node at (4.242,7.254) {\scalebox{1.446}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.582,3.161) -- (4.536,3.331) -- (4.412,3.456) -- (4.242,3.501) -- (4.072,3.456) -- (3.948,3.331) -- (3.902,3.161) -- (3.948,2.991) -- (4.072,2.867) -- (4.242,2.821) -- (4.412,2.867) -- (4.536,2.991) -- cycle;
\node at (4.242,3.161) {\scalebox{1.446}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.743,2.712) -- (7.697,2.882) -- (7.573,3.007) -- (7.403,3.052) -- (7.233,3.007) -- (7.108,2.882) -- (7.063,2.712) -- (7.108,2.542) -- (7.233,2.418) -- (7.403,2.372) -- (7.573,2.418) -- (7.697,2.542) -- cycle;
\node at (7.403,2.712) {\scalebox{1.446}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.132,1.399) -- (10.086,1.569) -- (9.962,1.693) -- (9.792,1.739) -- (9.622,1.693) -- (9.498,1.569) -- (9.452,1.399) -- (9.498,1.229) -- (9.622,1.104) -- (9.792,1.059) -- (9.962,1.104) -- (10.086,1.229) -- cycle;
\node at (9.792,1.399) {\scalebox{1.446}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.371,7.205) -- (10.326,7.375) -- (10.201,7.499) -- (10.031,7.545) -- (9.861,7.499) -- (9.737,7.375) -- (9.691,7.205) -- (9.737,7.035) -- (9.861,6.91) -- (10.031,6.865) -- (10.201,6.91) -- (10.326,7.035) -- cycle;
\node at (10.031,7.205) {\scalebox{1.446}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.143,5.133) -- (7.098,5.303) -- (6.973,5.427) -- (6.803,5.473) -- (6.633,5.427) -- (6.509,5.303) -- (6.463,5.133) -- (6.509,4.963) -- (6.633,4.838) -- (6.803,4.793) -- (6.973,4.838) -- (7.098,4.963) -- cycle;
\node at (6.803,5.133) {\scalebox{1.446}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.114,6.753) -- (8.069,6.923) -- (7.944,7.048) -- (7.774,7.093) -- (7.604,7.048) -- (7.48,6.923) -- (7.434,6.753) -- (7.48,6.583) -- (7.604,6.459) -- (7.774,6.413) -- (7.944,6.459) -- (8.069,6.583) -- cycle;
\node at (7.774,6.753) {\scalebox{1.446}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.56,6.042) -- (5.514,6.212) -- (5.39,6.336) -- (5.22,6.382) -- (5.05,6.336) -- (4.925,6.212) -- (4.88,6.042) -- (4.925,5.872) -- (5.05,5.747) -- (5.22,5.702) -- (5.39,5.747) -- (5.514,5.872) -- cycle;
\node at (5.22,6.042) {\scalebox{1.446}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.654,5.631) -- (10.609,5.801) -- (10.484,5.925) -- (10.314,5.971) -- (10.144,5.925) -- (10.02,5.801) -- (9.974,5.631) -- (10.02,5.461) -- (10.144,5.336) -- (10.314,5.291) -- (10.484,5.336) -- (10.609,5.461) -- cycle;
\node at (10.314,5.631) {\scalebox{1.446}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.291,5.214) -- (9.246,5.384) -- (9.121,5.508) -- (8.951,5.554) -- (8.781,5.508) -- (8.657,5.384) -- (8.611,5.214) -- (8.657,5.044) -- (8.781,4.919) -- (8.951,4.874) -- (9.121,4.919) -- (9.246,5.044) -- cycle;
\node at (8.951,5.214) {\scalebox{1.446}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.278,5.184) -- (2.233,5.354) -- (2.108,5.478) -- (1.938,5.524) -- (1.768,5.478) -- (1.644,5.354) -- (1.598,5.184) -- (1.644,5.014) -- (1.768,4.89) -- (1.938,4.844) -- (2.108,4.89) -- (2.233,5.014) -- cycle;
\node at (1.938,5.184) {\scalebox{1.446}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.35,4.961) -- (4.304,5.131) -- (4.18,5.255) -- (4.01,5.301) -- (3.84,5.255) -- (3.715,5.131) -- (3.67,4.961) -- (3.715,4.791) -- (3.84,4.666) -- (4.01,4.621) -- (4.18,4.666) -- (4.304,4.791) -- cycle;
\node at (4.01,4.961) {\scalebox{1.446}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.382,5.046) -- (5.336,5.216) -- (5.212,5.341) -- (5.042,5.386) -- (4.872,5.341) -- (4.747,5.216) -- (4.702,5.046) -- (4.747,4.876) -- (4.872,4.752) -- (5.042,4.706) -- (5.212,4.752) -- (5.336,4.876) -- cycle;
\node at (5.042,5.046) {\scalebox{1.446}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.462,4.858) -- (3.416,5.028) -- (3.292,5.152) -- (3.122,5.198) -- (2.952,5.152) -- (2.827,5.028) -- (2.782,4.858) -- (2.827,4.688) -- (2.952,4.563) -- (3.122,4.518) -- (3.292,4.563) -- (3.416,4.688) -- cycle;
\node at (3.122,4.858) {\scalebox{1.446}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.804,3.328) -- (11.758,3.498) -- (11.634,3.622) -- (11.464,3.668) -- (11.294,3.622) -- (11.169,3.498) -- (11.124,3.328) -- (11.169,3.158) -- (11.294,3.033) -- (11.464,2.988) -- (11.634,3.033) -- (11.758,3.158) -- cycle;
\node at (11.464,3.328) {\scalebox{1.446}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.662,3.612) -- (7.617,3.782) -- (7.492,3.906) -- (7.322,3.952) -- (7.152,3.906) -- (7.028,3.782) -- (6.982,3.612) -- (7.028,3.442) -- (7.152,3.317) -- (7.322,3.272) -- (7.492,3.317) -- (7.617,3.442) -- cycle;
\node at (7.322,3.612) {\scalebox{1.446}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.071,4.181) -- (3.025,4.351) -- (2.901,4.475) -- (2.731,4.521) -- (2.561,4.475) -- (2.436,4.351) -- (2.391,4.181) -- (2.436,4.011) -- (2.561,3.886) -- (2.731,3.841) -- (2.901,3.886) -- (3.025,4.011) -- cycle;
\node at (2.731,4.181) {\scalebox{1.446}{\small 21}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.309,2.976) -- (3.263,3.146) -- (3.139,3.27) -- (2.969,3.316) -- (2.799,3.27) -- (2.674,3.146) -- (2.629,2.976) -- (2.674,2.806) -- (2.799,2.681) -- (2.969,2.636) -- (3.139,2.681) -- (3.263,2.806) -- cycle;
\node at (2.969,2.976) {\scalebox{1.446}{\small 22}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.395,5.904) -- (3.995,5.904) -- (3.995,6.504) -- (3.395,6.504) -- cycle;
\node at (3.695,6.204) {\scalebox{1.446}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.395,3.879) -- (1.995,3.879) -- (1.995,4.479) -- (1.395,4.479) -- cycle;
\node at (1.695,4.179) {\scalebox{1.446}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.87,4.842) -- (9.47,4.842) -- (9.47,5.442) -- (8.87,5.442) -- cycle;
\node at (9.17,5.142) {\scalebox{1.446}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.816,4.62) -- (8.416,4.62) -- (8.416,5.22) -- (7.816,5.22) -- cycle;
\node at (8.116,4.92) {\scalebox{1.446}{\small d}};
\node at (6.156,9.914) {\scalebox{1.446}{\small S0}};
\node at (4.019,8.951) {\scalebox{1.446}{\small S1}};
\node at (11.391,8.733) {\scalebox{1.446}{\small S2}};
\node at (6.625,7.365) {\scalebox{1.446}{\small S3}};
\node at (9.448,6.584) {\scalebox{1.446}{\small S4}};
\node at (0.93,6.346) {\scalebox{1.446}{\small S5}};
\node at (3.113,6.417) {\scalebox{1.446}{\small S6}};
\node at (12.153,4.55) {\scalebox{1.446}{\small S7}};
\node at (8.807,4.093) {\scalebox{1.446}{\small S8}};
\node at (1.283,3.928) {\scalebox{1.446}{\small S9}};
\node at (2.926,3.525) {\scalebox{1.446}{\small S10}};
\node at (6.004,3.042) {\scalebox{1.446}{\small S11}};
\node at (3.928,1.679) {\scalebox{1.446}{\small S12}};
\node at (11.484,1.782) {\scalebox{1.446}{\small S13}};
\node at (8.695,0.95) {\scalebox{1.446}{\small S14}};
\draw[line width=0.5pt] (12.837,8.345) -- (12.837,9.445);
\draw[line width=0.5pt] (12.606,9.06) -- (12.837,9.445) -- (13.068,9.06);
\draw[line width=0.5pt] (12.535,8.895) -- (13.14,8.895);
\node at (12.837,9.83) {\scalebox{1.446}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Basse & ⑫ rue du Pont & S0 Rond-point du Pont & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑬ rue du Puits & S1 Place de l'Église & \textbf{b} l'église \\ \hline
③ quai aux Fleurs & ⑭ rue du Stade & S2 Coin du Lavoir & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ rue Haute & ⑮ impasse du Vieux-Four & S3 Carrefour des Tilleuls & \textbf{d} l'école \\ \hline
⑤ rue du Moulin & ⑯ chemin du Lavoir & S4 Carrefour du Moulin &  \\ \hline
⑥ chemin de Ronde & ⑰ rue du Four & S5 Place des Tanneurs &  \\ \hline
⑦ rue des Écoles & ⑱ rue Neuve & S6 Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
⑧ boulevard du Parc & ⑲ rue Pasteur & S7 Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
⑨ passage du Marché & ⑳ sentier des Prés & S8 Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
⑩ chemin des Vignes & 21 rue des Lilas & S9 Rond-point de la Gare &  \\ \hline
⑪ rue de l'Église & 22 chemin Creux & S10 Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & S11 Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
 &  & S12 Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & S13 Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & S14 Place du Marché &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6187, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.197,9.295) -- (6.058,9.254) -- (5.919,9.21) -- (5.781,9.162) -- (5.644,9.111) -- (5.509,9.057) -- (5.375,9.0) -- (5.242,8.939) -- (5.111,8.876) -- (4.981,8.809) -- (4.853,8.74) -- (4.727,8.667) -- (4.602,8.591) -- (4.479,8.513) -- (4.358,8.432);
\draw[line width=0.5pt] (6.197,9.295) -- (6.356,9.313) -- (6.516,9.328) -- (6.675,9.338) -- (6.835,9.345) -- (6.996,9.348) -- (7.156,9.347) -- (7.316,9.343) -- (7.476,9.335) -- (7.636,9.323) -- (7.795,9.307) -- (7.954,9.288) -- (8.112,9.264) -- (8.27,9.237) -- (8.427,9.207) -- (8.592,9.121) -- (8.76,9.038) -- (8.929,8.96) -- (9.1,8.886) -- (9.273,8.815) -- (9.447,8.749) -- (9.623,8.687) -- (9.8,8.629) -- (9.979,8.575) -- (10.159,8.526) -- (10.34,8.48) -- (10.522,8.439) -- (10.704,8.403) -- (10.888,8.37);
\draw[line width=0.5pt] (6.197,9.295) -- (6.197,9.11) -- (6.2,8.926) -- (6.208,8.741) -- (6.221,8.556) -- (6.238,8.372) -- (6.259,8.188) -- (6.284,8.005) -- (6.314,7.822) -- (6.348,7.64) -- (6.386,7.459) -- (6.429,7.279) -- (6.476,7.1) -- (6.526,6.923) -- (6.582,6.746);
\draw[line width=0.5pt] (6.197,9.295) -- (6.054,9.049) -- (5.904,8.806) -- (5.749,8.566) -- (5.589,8.331) -- (5.422,8.099) -- (5.251,7.871) -- (5.074,7.647) -- (4.892,7.427) -- (4.704,7.211) -- (4.512,7.001) -- (4.315,6.794) -- (4.113,6.593) -- (3.906,6.396) -- (3.695,6.204);
\draw[line width=0.5pt] (4.358,8.432) -- (4.287,8.281) -- (4.219,8.129) -- (4.155,7.975) -- (4.094,7.82) -- (4.038,7.663) -- (3.984,7.505) -- (3.935,7.345) -- (3.889,7.185) -- (3.847,7.024) -- (3.809,6.861) -- (3.775,6.698) -- (3.744,6.534) -- (3.718,6.37) -- (3.695,6.204);
\draw[line width=0.5pt] (3.487,3.789) -- (3.562,3.684) -- (3.634,3.577) -- (3.704,3.468) -- (3.771,3.358) -- (3.835,3.246) -- (3.897,3.133) -- (3.956,3.018) -- (4.012,2.902) -- (4.066,2.785) -- (4.117,2.666) -- (4.165,2.547) -- (4.21,2.426) -- (4.252,2.304) -- (4.292,2.181);
\draw[line width=0.5pt] (6.136,3.648) -- (6.273,3.47) -- (6.415,3.297) -- (6.561,3.126) -- (6.711,2.959) -- (6.864,2.796) -- (7.022,2.636) -- (7.183,2.48) -- (7.348,2.327) -- (7.516,2.179) -- (7.688,2.035) -- (7.863,1.894) -- (8.041,1.758) -- (8.223,1.627) -- (8.407,1.499);
\draw[line width=0.5pt] (10.972,2.131) -- (10.797,2.058) -- (10.62,1.989) -- (10.442,1.925) -- (10.262,1.865) -- (10.081,1.809) -- (9.899,1.757) -- (9.715,1.709) -- (9.531,1.666) -- (9.345,1.627) -- (9.159,1.593) -- (8.972,1.563) -- (8.784,1.537) -- (8.596,1.516) -- (8.407,1.499);
\draw[line width=0.5pt] (10.888,8.37) -- (10.724,8.247) -- (10.562,8.12) -- (10.404,7.989) -- (10.249,7.854) -- (10.097,7.716) -- (9.948,7.574) -- (9.802,7.428) -- (9.66,7.28) -- (9.522,7.128) -- (9.387,6.972) -- (9.256,6.814) -- (9.129,6.653) -- (9.005,6.488) -- (8.886,6.321);
\draw[line width=0.5pt] (6.582,6.746) -- (6.584,6.522) -- (6.581,6.297) -- (6.573,6.073) -- (6.559,5.849) -- (6.54,5.625) -- (6.516,5.401) -- (6.487,5.178) -- (6.452,4.956) -- (6.412,4.735) -- (6.367,4.515) -- (6.317,4.296) -- (6.262,4.078) -- (6.202,3.862) -- (6.136,3.648);
\draw[line width=0.5pt] (6.582,6.746) -- (6.74,6.691) -- (6.9,6.639) -- (7.061,6.591) -- (7.224,6.548) -- (7.387,6.507) -- (7.551,6.471) -- (7.716,6.439) -- (7.882,6.41) -- (8.048,6.385) -- (8.215,6.365) -- (8.383,6.348) -- (8.55,6.335) -- (8.718,6.326) -- (8.886,6.321);
\draw[line width=0.5pt] (6.582,6.746) -- (6.383,6.676) -- (6.183,6.611) -- (5.981,6.55) -- (5.778,6.495) -- (5.573,6.444) -- (5.367,6.398) -- (5.161,6.356) -- (4.953,6.32) -- (4.745,6.288) -- (4.536,6.262) -- (4.326,6.24) -- (4.116,6.223) -- (3.906,6.211) -- (3.695,6.204);
\draw[line width=0.5pt] (8.886,6.321) -- (9.055,6.172) -- (9.228,6.026) -- (9.404,5.885) -- (9.584,5.747) -- (9.767,5.614) -- (9.953,5.486) -- (10.141,5.361) -- (10.333,5.241) -- (10.528,5.126) -- (10.725,5.015) -- (10.924,4.909) -- (11.126,4.808) -- (11.331,4.711) -- (11.537,4.62);
\draw[line width=0.5pt] (8.886,6.321) -- (8.862,6.175) -- (8.835,6.03) -- (8.804,5.885) -- (8.77,5.74) -- (8.732,5.597) -- (8.691,5.454) -- (8.647,5.313) -- (8.6,5.172) -- (8.549,5.033) -- (8.495,4.895) -- (8.437,4.758) -- (8.377,4.623) -- (8.313,4.489) -- (8.246,4.357);
\draw[line width=0.5pt] (1.537,6.22) -- (1.538,6.064) -- (1.543,5.908) -- (1.552,5.752) -- (1.564,5.597) -- (1.58,5.442) -- (1.599,5.287) -- (1.623,5.133) -- (1.649,4.979) -- (1.68,4.826) -- (1.714,4.674) -- (1.751,4.523) -- (1.792,4.372) -- (1.837,4.223) -- (1.885,4.075);
\draw[line width=0.5pt] (3.695,6.204) -- (3.707,6.031) -- (3.715,5.857) -- (3.718,5.683) -- (3.717,5.509) -- (3.713,5.335) -- (3.704,5.162) -- (3.691,4.988) -- (3.674,4.815) -- (3.653,4.642) -- (3.628,4.47) -- (3.599,4.298) -- (3.566,4.128) -- (3.529,3.958) -- (3.487,3.789);
\draw[line width=0.5pt] (3.695,6.204) -- (3.84,5.997) -- (3.99,5.792) -- (4.145,5.591) -- (4.304,5.394) -- (4.468,5.2) -- (4.637,5.011) -- (4.81,4.825) -- (4.988,4.644) -- (5.169,4.467) -- (5.355,4.294) -- (5.544,4.125) -- (5.738,3.961) -- (5.935,3.802) -- (6.136,3.648);
\draw[line width=0.5pt] (3.695,6.204) -- (3.59,6.034) -- (3.481,5.865) -- (3.368,5.7) -- (3.251,5.537) -- (3.131,5.377) -- (3.006,5.219) -- (2.878,5.065) -- (2.746,4.914) -- (2.611,4.765) -- (2.472,4.62) -- (2.33,4.479) -- (2.185,4.34) -- (2.037,4.206) -- (1.885,4.075);
\draw[line width=0.5pt] (11.537,4.62) -- (11.47,4.45) -- (11.406,4.278) -- (11.347,4.105) -- (11.292,3.93) -- (11.241,3.754) -- (11.194,3.577) -- (11.152,3.399) -- (11.113,3.22) -- (11.079,3.04) -- (11.049,2.859) -- (11.023,2.678) -- (11.002,2.496) -- (10.984,2.314) -- (10.972,2.131);
\draw[line width=0.5pt] (8.246,4.357) -- (8.105,4.284) -- (7.961,4.214) -- (7.816,4.147) -- (7.669,4.084) -- (7.521,4.024) -- (7.371,3.968) -- (7.22,3.915) -- (7.068,3.866) -- (6.915,3.821) -- (6.761,3.779) -- (6.606,3.74) -- (6.45,3.706) -- (6.293,3.675) -- (6.136,3.648);
\draw[line width=0.5pt] (1.885,4.075) -- (1.995,4.037) -- (2.107,4.002) -- (2.219,3.969) -- (2.332,3.939) -- (2.445,3.912) -- (2.56,3.887) -- (2.674,3.866) -- (2.79,3.846) -- (2.905,3.83) -- (3.021,3.816) -- (3.138,3.805) -- (3.254,3.797) -- (3.371,3.791) -- (3.487,3.789);
\draw[line width=0.5pt] (1.885,4.075) -- (2.076,3.967) -- (2.265,3.854) -- (2.451,3.738) -- (2.634,3.616) -- (2.815,3.491) -- (2.992,3.361) -- (3.166,3.227) -- (3.338,3.089) -- (3.505,2.948) -- (3.67,2.802) -- (3.831,2.652) -- (3.988,2.499) -- (4.142,2.342) -- (4.292,2.181);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.357,9.295) -- (6.336,9.375) -- (6.277,9.434) -- (6.197,9.455) -- (6.117,9.434) -- (6.059,9.375) -- (6.037,9.295) -- (6.059,9.215) -- (6.117,9.157) -- (6.197,9.135) -- (6.277,9.157) -- (6.336,9.215) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.518,8.432) -- (4.497,8.512) -- (4.438,8.57) -- (4.358,8.592) -- (4.278,8.57) -- (4.22,8.512) -- (4.198,8.432) -- (4.22,8.352) -- (4.278,8.293) -- (4.358,8.272) -- (4.438,8.293) -- (4.497,8.352) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.048,8.37) -- (11.026,8.45) -- (10.968,8.509) -- (10.888,8.53) -- (10.808,8.509) -- (10.749,8.45) -- (10.728,8.37) -- (10.749,8.29) -- (10.808,8.232) -- (10.888,8.21) -- (10.968,8.232) -- (11.026,8.29) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.742,6.746) -- (6.72,6.826) -- (6.662,6.885) -- (6.582,6.906) -- (6.502,6.885) -- (6.443,6.826) -- (6.422,6.746) -- (6.443,6.666) -- (6.502,6.608) -- (6.582,6.586) -- (6.662,6.608) -- (6.72,6.666) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.046,6.321) -- (9.025,6.401) -- (8.966,6.46) -- (8.886,6.481) -- (8.806,6.46) -- (8.748,6.401) -- (8.726,6.321) -- (8.748,6.241) -- (8.806,6.183) -- (8.886,6.161) -- (8.966,6.183) -- (9.025,6.241) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.697,6.22) -- (1.676,6.3) -- (1.617,6.358) -- (1.537,6.38) -- (1.457,6.358) -- (1.398,6.3) -- (1.377,6.22) -- (1.398,6.14) -- (1.457,6.081) -- (1.537,6.06) -- (1.617,6.081) -- (1.676,6.14) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.855,6.204) -- (3.834,6.284) -- (3.775,6.343) -- (3.695,6.364) -- (3.615,6.343) -- (3.557,6.284) -- (3.535,6.204) -- (3.557,6.124) -- (3.615,6.066) -- (3.695,6.044) -- (3.775,6.066) -- (3.834,6.124) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.697,4.62) -- (11.676,4.7) -- (11.617,4.758) -- (11.537,4.78) -- (11.457,4.758) -- (11.398,4.7) -- (11.377,4.62) -- (11.398,4.54) -- (11.457,4.481) -- (11.537,4.46) -- (11.617,4.481) -- (11.676,4.54) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.406,4.357) -- (8.385,4.437) -- (8.326,4.496) -- (8.246,4.517) -- (8.166,4.496) -- (8.108,4.437) -- (8.086,4.357) -- (8.108,4.277) -- (8.166,4.219) -- (8.246,4.197) -- (8.326,4.219) -- (8.385,4.277) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.045,4.075) -- (2.024,4.155) -- (1.965,4.213) -- (1.885,4.235) -- (1.805,4.213) -- (1.747,4.155) -- (1.725,4.075) -- (1.747,3.995) -- (1.805,3.936) -- (1.885,3.915) -- (1.965,3.936) -- (2.024,3.995) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.647,3.789) -- (3.626,3.869) -- (3.567,3.927) -- (3.487,3.949) -- (3.407,3.927) -- (3.349,3.869) -- (3.327,3.789) -- (3.349,3.709) -- (3.407,3.65) -- (3.487,3.629) -- (3.567,3.65) -- (3.626,3.709) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.296,3.648) -- (6.275,3.728) -- (6.216,3.786) -- (6.136,3.808) -- (6.056,3.786) -- (5.997,3.728) -- (5.976,3.648) -- (5.997,3.568) -- (6.056,3.509) -- (6.136,3.488) -- (6.216,3.509) -- (6.275,3.568) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.452,2.181) -- (4.43,2.261) -- (4.372,2.32) -- (4.292,2.341) -- (4.212,2.32) -- (4.153,2.261) -- (4.132,2.181) -- (4.153,2.101) -- (4.212,2.043) -- (4.292,2.021) -- (4.372,2.043) -- (4.43,2.101) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.132,2.131) -- (11.11,2.211) -- (11.052,2.27) -- (10.972,2.291) -- (10.892,2.27) -- (10.833,2.211) -- (10.812,2.131) -- (10.833,2.051) -- (10.892,1.992) -- (10.972,1.971) -- (11.052,1.992) -- (11.11,2.051) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.567,1.499) -- (8.546,1.579) -- (8.487,1.638) -- (8.407,1.659) -- (8.327,1.638) -- (8.269,1.579) -- (8.247,1.499) -- (8.269,1.419) -- (8.327,1.361) -- (8.407,1.339) -- (8.487,1.361) -- (8.546,1.419) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.718,8.65) -- (5.673,8.82) -- (5.548,8.944) -- (5.378,8.99) -- (5.208,8.944) -- (5.084,8.82) -- (5.038,8.65) -- (5.084,8.48) -- (5.208,8.355) -- (5.378,8.31) -- (5.548,8.355) -- (5.673,8.48) -- cycle;
\node at (5.378,8.65) {\scalebox{1.616}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.876,9.508) -- (8.831,9.678) -- (8.706,9.802) -- (8.536,9.848) -- (8.366,9.802) -- (8.242,9.678) -- (8.196,9.508) -- (8.242,9.338) -- (8.366,9.213) -- (8.536,9.168) -- (8.706,9.213) -- (8.831,9.338) -- cycle;
\node at (8.536,9.508) {\scalebox{1.616}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.941,8.053) -- (6.895,8.223) -- (6.771,8.347) -- (6.601,8.393) -- (6.431,8.347) -- (6.306,8.223) -- (6.261,8.053) -- (6.306,7.883) -- (6.431,7.758) -- (6.601,7.713) -- (6.771,7.758) -- (6.895,7.883) -- cycle;
\node at (6.601,8.053) {\scalebox{1.616}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.662,7.445) -- (5.617,7.615) -- (5.492,7.74) -- (5.322,7.785) -- (5.152,7.74) -- (5.028,7.615) -- (4.982,7.445) -- (5.028,7.275) -- (5.152,7.151) -- (5.322,7.105) -- (5.492,7.151) -- (5.617,7.275) -- cycle;
\node at (5.322,7.445) {\scalebox{1.616}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.582,7.254) -- (4.536,7.424) -- (4.412,7.549) -- (4.242,7.594) -- (4.072,7.549) -- (3.947,7.424) -- (3.902,7.254) -- (3.947,7.084) -- (4.072,6.96) -- (4.242,6.914) -- (4.412,6.96) -- (4.536,7.084) -- cycle;
\node at (4.242,7.254) {\scalebox{1.616}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.582,3.161) -- (4.536,3.331) -- (4.412,3.456) -- (4.242,3.501) -- (4.072,3.456) -- (3.948,3.331) -- (3.902,3.161) -- (3.948,2.991) -- (4.072,2.867) -- (4.242,2.821) -- (4.412,2.867) -- (4.536,2.991) -- cycle;
\node at (4.242,3.161) {\scalebox{1.616}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.743,2.712) -- (7.697,2.882) -- (7.573,3.007) -- (7.403,3.052) -- (7.233,3.007) -- (7.108,2.882) -- (7.063,2.712) -- (7.108,2.542) -- (7.233,2.418) -- (7.403,2.372) -- (7.573,2.418) -- (7.697,2.542) -- cycle;
\node at (7.403,2.712) {\scalebox{1.616}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.132,1.399) -- (10.086,1.569) -- (9.962,1.693) -- (9.792,1.739) -- (9.622,1.693) -- (9.498,1.569) -- (9.452,1.399) -- (9.498,1.229) -- (9.622,1.104) -- (9.792,1.059) -- (9.962,1.104) -- (10.086,1.229) -- cycle;
\node at (9.792,1.399) {\scalebox{1.616}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.371,7.205) -- (10.326,7.375) -- (10.201,7.499) -- (10.031,7.545) -- (9.861,7.499) -- (9.737,7.375) -- (9.691,7.205) -- (9.737,7.035) -- (9.861,6.91) -- (10.031,6.865) -- (10.201,6.91) -- (10.326,7.035) -- cycle;
\node at (10.031,7.205) {\scalebox{1.616}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.143,5.133) -- (7.098,5.303) -- (6.973,5.427) -- (6.803,5.473) -- (6.633,5.427) -- (6.509,5.303) -- (6.463,5.133) -- (6.509,4.963) -- (6.633,4.838) -- (6.803,4.793) -- (6.973,4.838) -- (7.098,4.963) -- cycle;
\node at (6.803,5.133) {\scalebox{1.616}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.114,6.753) -- (8.069,6.923) -- (7.944,7.048) -- (7.774,7.093) -- (7.604,7.048) -- (7.48,6.923) -- (7.434,6.753) -- (7.48,6.583) -- (7.604,6.459) -- (7.774,6.413) -- (7.944,6.459) -- (8.069,6.583) -- cycle;
\node at (7.774,6.753) {\scalebox{1.616}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.56,6.042) -- (5.514,6.212) -- (5.39,6.336) -- (5.22,6.382) -- (5.05,6.336) -- (4.925,6.212) -- (4.88,6.042) -- (4.925,5.872) -- (5.05,5.747) -- (5.22,5.702) -- (5.39,5.747) -- (5.514,5.872) -- cycle;
\node at (5.22,6.042) {\scalebox{1.616}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.654,5.631) -- (10.609,5.801) -- (10.484,5.925) -- (10.314,5.971) -- (10.144,5.925) -- (10.02,5.801) -- (9.974,5.631) -- (10.02,5.461) -- (10.144,5.336) -- (10.314,5.291) -- (10.484,5.336) -- (10.609,5.461) -- cycle;
\node at (10.314,5.631) {\scalebox{1.616}{\small 13}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.291,5.214) -- (9.246,5.384) -- (9.121,5.508) -- (8.951,5.554) -- (8.781,5.508) -- (8.657,5.384) -- (8.611,5.214) -- (8.657,5.044) -- (8.781,4.919) -- (8.951,4.874) -- (9.121,4.919) -- (9.246,5.044) -- cycle;
\node at (8.951,5.214) {\scalebox{1.616}{\small 14}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.278,5.184) -- (2.233,5.354) -- (2.108,5.478) -- (1.938,5.524) -- (1.768,5.478) -- (1.644,5.354) -- (1.598,5.184) -- (1.644,5.014) -- (1.768,4.89) -- (1.938,4.844) -- (2.108,4.89) -- (2.233,5.014) -- cycle;
\node at (1.938,5.184) {\scalebox{1.616}{\small 15}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.35,4.961) -- (4.304,5.131) -- (4.18,5.255) -- (4.01,5.301) -- (3.84,5.255) -- (3.715,5.131) -- (3.67,4.961) -- (3.715,4.791) -- (3.84,4.666) -- (4.01,4.621) -- (4.18,4.666) -- (4.304,4.791) -- cycle;
\node at (4.01,4.961) {\scalebox{1.616}{\small 16}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.382,5.046) -- (5.336,5.216) -- (5.212,5.341) -- (5.042,5.386) -- (4.872,5.341) -- (4.747,5.216) -- (4.702,5.046) -- (4.747,4.876) -- (4.872,4.752) -- (5.042,4.706) -- (5.212,4.752) -- (5.336,4.876) -- cycle;
\node at (5.042,5.046) {\scalebox{1.616}{\small 17}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.462,4.858) -- (3.416,5.028) -- (3.292,5.152) -- (3.122,5.198) -- (2.952,5.152) -- (2.827,5.028) -- (2.782,4.858) -- (2.827,4.688) -- (2.952,4.563) -- (3.122,4.518) -- (3.292,4.563) -- (3.416,4.688) -- cycle;
\node at (3.122,4.858) {\scalebox{1.616}{\small 18}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.804,3.328) -- (11.758,3.498) -- (11.634,3.622) -- (11.464,3.668) -- (11.294,3.622) -- (11.169,3.498) -- (11.124,3.328) -- (11.169,3.158) -- (11.294,3.033) -- (11.464,2.988) -- (11.634,3.033) -- (11.758,3.158) -- cycle;
\node at (11.464,3.328) {\scalebox{1.616}{\small 19}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.662,3.612) -- (7.617,3.782) -- (7.492,3.906) -- (7.322,3.952) -- (7.152,3.906) -- (7.028,3.782) -- (6.982,3.612) -- (7.028,3.442) -- (7.152,3.317) -- (7.322,3.272) -- (7.492,3.317) -- (7.617,3.442) -- cycle;
\node at (7.322,3.612) {\scalebox{1.616}{\small 20}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.071,4.181) -- (3.025,4.351) -- (2.901,4.475) -- (2.731,4.521) -- (2.561,4.475) -- (2.436,4.351) -- (2.391,4.181) -- (2.436,4.011) -- (2.561,3.886) -- (2.731,3.841) -- (2.901,3.886) -- (3.025,4.011) -- cycle;
\node at (2.731,4.181) {\scalebox{1.616}{\small 21}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.309,2.976) -- (3.263,3.146) -- (3.139,3.27) -- (2.969,3.316) -- (2.799,3.27) -- (2.674,3.146) -- (2.629,2.976) -- (2.674,2.806) -- (2.799,2.681) -- (2.969,2.636) -- (3.139,2.681) -- (3.263,2.806) -- cycle;
\node at (2.969,2.976) {\scalebox{1.616}{\small 22}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.395,5.904) -- (3.995,5.904) -- (3.995,6.504) -- (3.395,6.504) -- cycle;
\node at (3.695,6.204) {\scalebox{1.616}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.395,3.879) -- (1.995,3.879) -- (1.995,4.479) -- (1.395,4.479) -- cycle;
\node at (1.695,4.179) {\scalebox{1.616}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.87,4.842) -- (9.47,4.842) -- (9.47,5.442) -- (8.87,5.442) -- cycle;
\node at (9.17,5.142) {\scalebox{1.616}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (7.816,4.62) -- (8.416,4.62) -- (8.416,5.22) -- (7.816,5.22) -- cycle;
\node at (8.116,4.92) {\scalebox{1.616}{\small d}};
\node at (6.156,9.914) {\scalebox{1.616}{\small S0}};
\node at (4.019,8.951) {\scalebox{1.616}{\small S1}};
\node at (11.391,8.733) {\scalebox{1.616}{\small S2}};
\node at (6.625,7.365) {\scalebox{1.616}{\small S3}};
\node at (9.448,6.584) {\scalebox{1.616}{\small S4}};
\node at (0.93,6.346) {\scalebox{1.616}{\small S5}};
\node at (3.113,6.417) {\scalebox{1.616}{\small S6}};
\node at (12.153,4.55) {\scalebox{1.616}{\small S7}};
\node at (8.807,4.093) {\scalebox{1.616}{\small S8}};
\node at (1.283,3.928) {\scalebox{1.616}{\small S9}};
\node at (2.926,3.525) {\scalebox{1.616}{\small S10}};
\node at (6.004,3.042) {\scalebox{1.616}{\small S11}};
\node at (3.928,1.679) {\scalebox{1.616}{\small S12}};
\node at (11.484,1.782) {\scalebox{1.616}{\small S13}};
\node at (8.695,0.95) {\scalebox{1.616}{\small S14}};
\draw[line width=0.5pt] (12.837,8.345) -- (12.837,9.445);
\draw[line width=0.5pt] (12.606,9.06) -- (12.837,9.445) -- (13.068,9.06);
\draw[line width=0.5pt] (12.535,8.895) -- (13.14,8.895);
\node at (12.837,9.83) {\scalebox{1.616}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries S0 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S1 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S2 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S3 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S4 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S5 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S6 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S7 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S8 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S9 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S10 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S11 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S12 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S13 & \cellcolor{blue!7}\bfseries S14 \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 2 & 4 & 4 & 1 & 6 & 2 & 2 & 4 & 3 & 4 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 44 = 2 \(\times\) 22, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{S5}, \textbf{S10} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{S6}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{S5} et \textbf{S10} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{S6}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{S5} à \textbf{S10}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de S5 :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place des Tanneurs \textbf{(S5)}, prend l'\textbf{impasse du Vieux-Four ⑮} vers le sud et atteint Rond-point de la Gare \textbf{(S9)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ⑱}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(S6)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Haute ④}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(S0)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ①}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(S1)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Moulin ⑤}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(S6)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ⑫}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(S3)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ③}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(S0)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ②}, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(S2)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ⑨}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑪}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(S3)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑩}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(S11)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(S14)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑧}, vers l'est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(S13)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ⑲}, vers le nord, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(S7)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑬}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(S4)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑭}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(S8)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ⑳}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(S11)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ⑰}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(S6)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑯}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(S10)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(S12)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin Creux 22}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(S9)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Lilas 21}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(S10)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
