\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 11}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=11}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0011}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7024, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.904,9.554) -- (10.68,9.613) -- (10.456,9.668) -- (10.229,9.717) -- (10.002,9.761) -- (9.774,9.799) -- (9.545,9.832) -- (9.315,9.859) -- (9.084,9.882) -- (8.853,9.898) -- (8.622,9.91) -- (8.391,9.916) -- (8.159,9.916) -- (7.928,9.911) -- (7.697,9.9) -- (7.443,9.755) -- (7.186,9.617) -- (6.925,9.484) -- (6.661,9.357) -- (6.395,9.237) -- (6.125,9.122) -- (5.853,9.015) -- (5.578,8.913) -- (5.302,8.818) -- (5.023,8.73) -- (4.742,8.648) -- (4.459,8.573) -- (4.175,8.505) -- (3.889,8.443);
\draw[line width=0.5pt] (10.904,9.554) -- (10.934,9.266) -- (10.957,8.976) -- (10.974,8.687) -- (10.983,8.397) -- (10.986,8.107) -- (10.982,7.817) -- (10.971,7.527) -- (10.954,7.237) -- (10.929,6.948) -- (10.898,6.659) -- (10.86,6.372) -- (10.815,6.085) -- (10.764,5.8) -- (10.705,5.516);
\draw[line width=0.5pt] (3.889,8.443) -- (3.881,8.257) -- (3.877,8.071) -- (3.877,7.885) -- (3.882,7.699) -- (3.892,7.513) -- (3.905,7.327) -- (3.923,7.142) -- (3.946,6.957) -- (3.973,6.773) -- (4.004,6.589) -- (4.039,6.407) -- (4.079,6.225) -- (4.123,6.044) -- (4.171,5.864);
\draw[line width=0.5pt] (4.171,5.864) -- (4.398,5.879) -- (4.626,5.889) -- (4.855,5.893) -- (5.083,5.892) -- (5.311,5.885) -- (5.54,5.873) -- (5.767,5.856) -- (5.995,5.834) -- (6.221,5.806) -- (6.447,5.772) -- (6.672,5.734) -- (6.896,5.69) -- (7.119,5.641) -- (7.341,5.586);
\draw[line width=0.5pt] (4.171,5.864) -- (3.93,5.647) -- (3.695,5.424) -- (3.466,5.195) -- (3.241,4.961) -- (3.022,4.721) -- (2.809,4.477) -- (2.602,4.227) -- (2.4,3.973) -- (2.204,3.714) -- (2.015,3.451) -- (1.832,3.183) -- (1.655,2.911) -- (1.485,2.635) -- (1.322,2.356);
\draw[line width=0.5pt] (4.171,5.864) -- (4.467,5.611) -- (4.757,5.35) -- (5.041,5.082) -- (5.318,4.808) -- (5.589,4.527) -- (5.854,4.24) -- (6.111,3.946) -- (6.362,3.647) -- (6.606,3.342) -- (6.842,3.031) -- (7.071,2.715) -- (7.292,2.394) -- (7.506,2.067) -- (7.712,1.736);
\draw[line width=0.5pt] (7.341,5.586) -- (7.579,5.544) -- (7.817,5.508) -- (8.057,5.478) -- (8.297,5.453) -- (8.538,5.434) -- (8.779,5.42) -- (9.02,5.412) -- (9.262,5.41) -- (9.503,5.413) -- (9.745,5.423) -- (9.986,5.437) -- (10.226,5.458) -- (10.466,5.484) -- (10.705,5.516);
\draw[line width=0.5pt] (7.341,5.586) -- (7.409,5.318) -- (7.471,5.047) -- (7.527,4.775) -- (7.576,4.502) -- (7.619,4.228) -- (7.655,3.953) -- (7.685,3.676) -- (7.708,3.4) -- (7.725,3.123) -- (7.736,2.845) -- (7.739,2.568) -- (7.737,2.29) -- (7.727,2.013) -- (7.712,1.736);
\draw[line width=0.5pt] (10.705,5.516) -- (10.718,5.31) -- (10.736,5.105) -- (10.759,4.9) -- (10.786,4.696) -- (10.819,4.492) -- (10.856,4.289) -- (10.898,4.087) -- (10.944,3.886) -- (10.996,3.687) -- (11.052,3.488) -- (11.112,3.291) -- (11.178,3.096) -- (11.247,2.902) -- (11.322,2.71);
\draw[line width=0.5pt] (10.705,5.516) -- (10.535,5.215) -- (10.357,4.919) -- (10.172,4.626) -- (9.98,4.338) -- (9.781,4.055) -- (9.576,3.776) -- (9.364,3.502) -- (9.146,3.234) -- (8.922,2.97) -- (8.692,2.712) -- (8.455,2.459) -- (8.213,2.212) -- (7.965,1.971) -- (7.712,1.736);
\draw[line width=0.5pt] (11.322,2.71) -- (11.055,2.68) -- (10.79,2.644) -- (10.525,2.602) -- (10.261,2.554) -- (9.998,2.499) -- (9.736,2.439) -- (9.477,2.372) -- (9.218,2.299) -- (8.962,2.22) -- (8.707,2.135) -- (8.455,2.044) -- (8.204,1.947) -- (7.957,1.845) -- (7.712,1.736);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.064,9.554) -- (11.042,9.634) -- (10.984,9.692) -- (10.904,9.714) -- (10.824,9.692) -- (10.765,9.634) -- (10.744,9.554) -- (10.765,9.474) -- (10.824,9.415) -- (10.904,9.394) -- (10.984,9.415) -- (11.042,9.474) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.049,8.443) -- (4.027,8.523) -- (3.969,8.581) -- (3.889,8.603) -- (3.809,8.581) -- (3.75,8.523) -- (3.729,8.443) -- (3.75,8.363) -- (3.809,8.304) -- (3.889,8.283) -- (3.969,8.304) -- (4.027,8.363) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.331,5.864) -- (4.309,5.944) -- (4.251,6.003) -- (4.171,6.024) -- (4.091,6.003) -- (4.032,5.944) -- (4.011,5.864) -- (4.032,5.784) -- (4.091,5.726) -- (4.171,5.704) -- (4.251,5.726) -- (4.309,5.784) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.501,5.586) -- (7.479,5.666) -- (7.421,5.725) -- (7.341,5.746) -- (7.261,5.725) -- (7.202,5.666) -- (7.181,5.586) -- (7.202,5.506) -- (7.261,5.448) -- (7.341,5.426) -- (7.421,5.448) -- (7.479,5.506) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.865,5.516) -- (10.844,5.596) -- (10.785,5.654) -- (10.705,5.676) -- (10.625,5.654) -- (10.567,5.596) -- (10.545,5.516) -- (10.567,5.436) -- (10.625,5.377) -- (10.705,5.356) -- (10.785,5.377) -- (10.844,5.436) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.482,2.71) -- (11.46,2.79) -- (11.402,2.848) -- (11.322,2.87) -- (11.242,2.848) -- (11.183,2.79) -- (11.162,2.71) -- (11.183,2.63) -- (11.242,2.571) -- (11.322,2.55) -- (11.402,2.571) -- (11.46,2.63) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.482,2.356) -- (1.46,2.436) -- (1.402,2.494) -- (1.322,2.516) -- (1.242,2.494) -- (1.183,2.436) -- (1.162,2.356) -- (1.183,2.276) -- (1.242,2.217) -- (1.322,2.196) -- (1.402,2.217) -- (1.46,2.276) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.872,1.736) -- (7.85,1.816) -- (7.792,1.875) -- (7.712,1.896) -- (7.632,1.875) -- (7.573,1.816) -- (7.552,1.736) -- (7.573,1.656) -- (7.632,1.598) -- (7.712,1.576) -- (7.792,1.598) -- (7.85,1.656) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.135,9.596) -- (8.089,9.766) -- (7.965,9.89) -- (7.795,9.936) -- (7.625,9.89) -- (7.5,9.766) -- (7.455,9.596) -- (7.5,9.426) -- (7.625,9.301) -- (7.795,9.256) -- (7.965,9.301) -- (8.089,9.426) -- cycle;
\node at (7.795,9.596) {\scalebox{1.424}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.631,7.511) -- (11.585,7.681) -- (11.461,7.805) -- (11.291,7.851) -- (11.121,7.805) -- (10.996,7.681) -- (10.951,7.511) -- (10.996,7.341) -- (11.121,7.216) -- (11.291,7.171) -- (11.461,7.216) -- (11.585,7.341) -- cycle;
\node at (11.291,7.511) {\scalebox{1.424}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.582,7.177) -- (4.536,7.347) -- (4.412,7.471) -- (4.242,7.517) -- (4.072,7.471) -- (3.947,7.347) -- (3.902,7.177) -- (3.947,7.007) -- (4.072,6.882) -- (4.242,6.837) -- (4.412,6.882) -- (4.536,7.007) -- cycle;
\node at (4.242,7.177) {\scalebox{1.424}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.135,6.175) -- (6.09,6.345) -- (5.965,6.469) -- (5.795,6.515) -- (5.625,6.469) -- (5.501,6.345) -- (5.455,6.175) -- (5.501,6.005) -- (5.625,5.88) -- (5.795,5.835) -- (5.965,5.88) -- (6.09,6.005) -- cycle;
\node at (5.795,6.175) {\scalebox{1.424}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.19,4.026) -- (3.144,4.196) -- (3.02,4.32) -- (2.85,4.366) -- (2.68,4.32) -- (2.556,4.196) -- (2.51,4.026) -- (2.556,3.856) -- (2.68,3.731) -- (2.85,3.686) -- (3.02,3.731) -- (3.144,3.856) -- cycle;
\node at (2.85,4.026) {\scalebox{1.424}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.694,4.155) -- (6.649,4.325) -- (6.524,4.449) -- (6.354,4.495) -- (6.184,4.449) -- (6.06,4.325) -- (6.014,4.155) -- (6.06,3.985) -- (6.184,3.86) -- (6.354,3.815) -- (6.524,3.86) -- (6.649,3.985) -- cycle;
\node at (6.354,4.155) {\scalebox{1.424}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.367,5.732) -- (9.321,5.902) -- (9.197,6.027) -- (9.027,6.072) -- (8.857,6.027) -- (8.732,5.902) -- (8.687,5.732) -- (8.732,5.562) -- (8.857,5.438) -- (9.027,5.392) -- (9.197,5.438) -- (9.321,5.562) -- cycle;
\node at (9.027,5.732) {\scalebox{1.424}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.344,3.707) -- (8.298,3.877) -- (8.174,4.002) -- (8.004,4.047) -- (7.834,4.002) -- (7.709,3.877) -- (7.664,3.707) -- (7.709,3.537) -- (7.834,3.413) -- (8.004,3.367) -- (8.174,3.413) -- (8.298,3.537) -- cycle;
\node at (8.004,3.707) {\scalebox{1.424}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.55,4.156) -- (11.505,4.326) -- (11.38,4.45) -- (11.21,4.496) -- (11.04,4.45) -- (10.916,4.326) -- (10.87,4.156) -- (10.916,3.986) -- (11.04,3.861) -- (11.21,3.816) -- (11.38,3.861) -- (11.505,3.986) -- cycle;
\node at (11.21,4.156) {\scalebox{1.424}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.955,3.304) -- (9.91,3.474) -- (9.785,3.598) -- (9.615,3.644) -- (9.445,3.598) -- (9.321,3.474) -- (9.275,3.304) -- (9.321,3.134) -- (9.445,3.009) -- (9.615,2.964) -- (9.785,3.009) -- (9.91,3.134) -- cycle;
\node at (9.615,3.304) {\scalebox{1.424}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.9,2.063) -- (9.854,2.233) -- (9.73,2.357) -- (9.56,2.403) -- (9.39,2.357) -- (9.265,2.233) -- (9.22,2.063) -- (9.265,1.893) -- (9.39,1.768) -- (9.56,1.723) -- (9.73,1.768) -- (9.854,1.893) -- cycle;
\node at (9.56,2.063) {\scalebox{1.424}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.871,5.564) -- (4.471,5.564) -- (4.471,6.164) -- (3.871,6.164) -- cycle;
\node at (4.171,5.864) {\scalebox{1.424}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.965,0.65) -- (10.565,0.65) -- (10.565,1.25) -- (9.965,1.25) -- cycle;
\node at (10.265,0.95) {\scalebox{1.424}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.195,7.71) -- (12.795,7.71) -- (12.795,8.31) -- (12.195,8.31) -- cycle;
\node at (12.495,8.01) {\scalebox{1.424}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.754,6.069) -- (10.354,6.069) -- (10.354,6.669) -- (9.754,6.669) -- cycle;
\node at (10.054,6.369) {\scalebox{1.424}{\small d}};
\node at (11.309,10.024) {\scalebox{1.424}{\small A}};
\node at (3.446,8.877) {\scalebox{1.424}{\small B}};
\node at (3.565,5.995) {\scalebox{1.424}{\small C}};
\node at (7.603,6.148) {\scalebox{1.424}{\small D}};
\node at (11.323,5.567) {\scalebox{1.424}{\small E}};
\node at (11.852,2.389) {\scalebox{1.424}{\small F}};
\node at (0.765,2.083) {\scalebox{1.424}{\small G}};
\node at (7.807,1.123) {\scalebox{1.424}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.622,8.604) -- (12.622,9.704);
\draw[line width=0.5pt] (12.391,9.319) -- (12.622,9.704) -- (12.853,9.319);
\draw[line width=0.5pt] (12.319,9.154) -- (12.924,9.154);
\node at (12.622,10.089) {\scalebox{1.424}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Neuve & ⑦ rue Haute & Ⓐ Place des Tanneurs & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Écoles & ⑧ rue Verte & Ⓑ Coin du Lavoir & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ rue du Four & ⑨ venelle du Chat & Ⓒ Rond-point du Pont & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ chemin du Lavoir & ⑩ rue du Stade & Ⓓ Rond-point de la Gare & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ impasse du Vieux-Four & ⑪ boulevard du Parc & Ⓔ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
⑥ rue de l'Église &  & Ⓕ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6285, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.904,9.554) -- (10.68,9.613) -- (10.456,9.668) -- (10.229,9.717) -- (10.002,9.761) -- (9.774,9.799) -- (9.545,9.832) -- (9.315,9.859) -- (9.084,9.882) -- (8.853,9.898) -- (8.622,9.91) -- (8.391,9.916) -- (8.159,9.916) -- (7.928,9.911) -- (7.697,9.9) -- (7.443,9.755) -- (7.186,9.617) -- (6.925,9.484) -- (6.661,9.357) -- (6.395,9.237) -- (6.125,9.122) -- (5.853,9.015) -- (5.578,8.913) -- (5.302,8.818) -- (5.023,8.73) -- (4.742,8.648) -- (4.459,8.573) -- (4.175,8.505) -- (3.889,8.443);
\draw[line width=0.5pt] (10.904,9.554) -- (10.934,9.266) -- (10.957,8.976) -- (10.974,8.687) -- (10.983,8.397) -- (10.986,8.107) -- (10.982,7.817) -- (10.971,7.527) -- (10.954,7.237) -- (10.929,6.948) -- (10.898,6.659) -- (10.86,6.372) -- (10.815,6.085) -- (10.764,5.8) -- (10.705,5.516);
\draw[line width=0.5pt] (3.889,8.443) -- (3.881,8.257) -- (3.877,8.071) -- (3.877,7.885) -- (3.882,7.699) -- (3.892,7.513) -- (3.905,7.327) -- (3.923,7.142) -- (3.946,6.957) -- (3.973,6.773) -- (4.004,6.589) -- (4.039,6.407) -- (4.079,6.225) -- (4.123,6.044) -- (4.171,5.864);
\draw[line width=0.5pt] (4.171,5.864) -- (4.398,5.879) -- (4.626,5.889) -- (4.855,5.893) -- (5.083,5.892) -- (5.311,5.885) -- (5.54,5.873) -- (5.767,5.856) -- (5.995,5.834) -- (6.221,5.806) -- (6.447,5.772) -- (6.672,5.734) -- (6.896,5.69) -- (7.119,5.641) -- (7.341,5.586);
\draw[line width=0.5pt] (4.171,5.864) -- (3.93,5.647) -- (3.695,5.424) -- (3.466,5.195) -- (3.241,4.961) -- (3.022,4.721) -- (2.809,4.477) -- (2.602,4.227) -- (2.4,3.973) -- (2.204,3.714) -- (2.015,3.451) -- (1.832,3.183) -- (1.655,2.911) -- (1.485,2.635) -- (1.322,2.356);
\draw[line width=0.5pt] (4.171,5.864) -- (4.467,5.611) -- (4.757,5.35) -- (5.041,5.082) -- (5.318,4.808) -- (5.589,4.527) -- (5.854,4.24) -- (6.111,3.946) -- (6.362,3.647) -- (6.606,3.342) -- (6.842,3.031) -- (7.071,2.715) -- (7.292,2.394) -- (7.506,2.067) -- (7.712,1.736);
\draw[line width=0.5pt] (7.341,5.586) -- (7.579,5.544) -- (7.817,5.508) -- (8.057,5.478) -- (8.297,5.453) -- (8.538,5.434) -- (8.779,5.42) -- (9.02,5.412) -- (9.262,5.41) -- (9.503,5.413) -- (9.745,5.423) -- (9.986,5.437) -- (10.226,5.458) -- (10.466,5.484) -- (10.705,5.516);
\draw[line width=0.5pt] (7.341,5.586) -- (7.409,5.318) -- (7.471,5.047) -- (7.527,4.775) -- (7.576,4.502) -- (7.619,4.228) -- (7.655,3.953) -- (7.685,3.676) -- (7.708,3.4) -- (7.725,3.123) -- (7.736,2.845) -- (7.739,2.568) -- (7.737,2.29) -- (7.727,2.013) -- (7.712,1.736);
\draw[line width=0.5pt] (10.705,5.516) -- (10.718,5.31) -- (10.736,5.105) -- (10.759,4.9) -- (10.786,4.696) -- (10.819,4.492) -- (10.856,4.289) -- (10.898,4.087) -- (10.944,3.886) -- (10.996,3.687) -- (11.052,3.488) -- (11.112,3.291) -- (11.178,3.096) -- (11.247,2.902) -- (11.322,2.71);
\draw[line width=0.5pt] (10.705,5.516) -- (10.535,5.215) -- (10.357,4.919) -- (10.172,4.626) -- (9.98,4.338) -- (9.781,4.055) -- (9.576,3.776) -- (9.364,3.502) -- (9.146,3.234) -- (8.922,2.97) -- (8.692,2.712) -- (8.455,2.459) -- (8.213,2.212) -- (7.965,1.971) -- (7.712,1.736);
\draw[line width=0.5pt] (11.322,2.71) -- (11.055,2.68) -- (10.79,2.644) -- (10.525,2.602) -- (10.261,2.554) -- (9.998,2.499) -- (9.736,2.439) -- (9.477,2.372) -- (9.218,2.299) -- (8.962,2.22) -- (8.707,2.135) -- (8.455,2.044) -- (8.204,1.947) -- (7.957,1.845) -- (7.712,1.736);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.064,9.554) -- (11.042,9.634) -- (10.984,9.692) -- (10.904,9.714) -- (10.824,9.692) -- (10.765,9.634) -- (10.744,9.554) -- (10.765,9.474) -- (10.824,9.415) -- (10.904,9.394) -- (10.984,9.415) -- (11.042,9.474) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.049,8.443) -- (4.027,8.523) -- (3.969,8.581) -- (3.889,8.603) -- (3.809,8.581) -- (3.75,8.523) -- (3.729,8.443) -- (3.75,8.363) -- (3.809,8.304) -- (3.889,8.283) -- (3.969,8.304) -- (4.027,8.363) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.331,5.864) -- (4.309,5.944) -- (4.251,6.003) -- (4.171,6.024) -- (4.091,6.003) -- (4.032,5.944) -- (4.011,5.864) -- (4.032,5.784) -- (4.091,5.726) -- (4.171,5.704) -- (4.251,5.726) -- (4.309,5.784) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.501,5.586) -- (7.479,5.666) -- (7.421,5.725) -- (7.341,5.746) -- (7.261,5.725) -- (7.202,5.666) -- (7.181,5.586) -- (7.202,5.506) -- (7.261,5.448) -- (7.341,5.426) -- (7.421,5.448) -- (7.479,5.506) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.865,5.516) -- (10.844,5.596) -- (10.785,5.654) -- (10.705,5.676) -- (10.625,5.654) -- (10.567,5.596) -- (10.545,5.516) -- (10.567,5.436) -- (10.625,5.377) -- (10.705,5.356) -- (10.785,5.377) -- (10.844,5.436) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.482,2.71) -- (11.46,2.79) -- (11.402,2.848) -- (11.322,2.87) -- (11.242,2.848) -- (11.183,2.79) -- (11.162,2.71) -- (11.183,2.63) -- (11.242,2.571) -- (11.322,2.55) -- (11.402,2.571) -- (11.46,2.63) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.482,2.356) -- (1.46,2.436) -- (1.402,2.494) -- (1.322,2.516) -- (1.242,2.494) -- (1.183,2.436) -- (1.162,2.356) -- (1.183,2.276) -- (1.242,2.217) -- (1.322,2.196) -- (1.402,2.217) -- (1.46,2.276) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.872,1.736) -- (7.85,1.816) -- (7.792,1.875) -- (7.712,1.896) -- (7.632,1.875) -- (7.573,1.816) -- (7.552,1.736) -- (7.573,1.656) -- (7.632,1.598) -- (7.712,1.576) -- (7.792,1.598) -- (7.85,1.656) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.135,9.596) -- (8.089,9.766) -- (7.965,9.89) -- (7.795,9.936) -- (7.625,9.89) -- (7.5,9.766) -- (7.455,9.596) -- (7.5,9.426) -- (7.625,9.301) -- (7.795,9.256) -- (7.965,9.301) -- (8.089,9.426) -- cycle;
\node at (7.795,9.596) {\scalebox{1.591}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.631,7.511) -- (11.585,7.681) -- (11.461,7.805) -- (11.291,7.851) -- (11.121,7.805) -- (10.996,7.681) -- (10.951,7.511) -- (10.996,7.341) -- (11.121,7.216) -- (11.291,7.171) -- (11.461,7.216) -- (11.585,7.341) -- cycle;
\node at (11.291,7.511) {\scalebox{1.591}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.582,7.177) -- (4.536,7.347) -- (4.412,7.471) -- (4.242,7.517) -- (4.072,7.471) -- (3.947,7.347) -- (3.902,7.177) -- (3.947,7.007) -- (4.072,6.882) -- (4.242,6.837) -- (4.412,6.882) -- (4.536,7.007) -- cycle;
\node at (4.242,7.177) {\scalebox{1.591}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.135,6.175) -- (6.09,6.345) -- (5.965,6.469) -- (5.795,6.515) -- (5.625,6.469) -- (5.501,6.345) -- (5.455,6.175) -- (5.501,6.005) -- (5.625,5.88) -- (5.795,5.835) -- (5.965,5.88) -- (6.09,6.005) -- cycle;
\node at (5.795,6.175) {\scalebox{1.591}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.19,4.026) -- (3.144,4.196) -- (3.02,4.32) -- (2.85,4.366) -- (2.68,4.32) -- (2.556,4.196) -- (2.51,4.026) -- (2.556,3.856) -- (2.68,3.731) -- (2.85,3.686) -- (3.02,3.731) -- (3.144,3.856) -- cycle;
\node at (2.85,4.026) {\scalebox{1.591}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.694,4.155) -- (6.649,4.325) -- (6.524,4.449) -- (6.354,4.495) -- (6.184,4.449) -- (6.06,4.325) -- (6.014,4.155) -- (6.06,3.985) -- (6.184,3.86) -- (6.354,3.815) -- (6.524,3.86) -- (6.649,3.985) -- cycle;
\node at (6.354,4.155) {\scalebox{1.591}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.367,5.732) -- (9.321,5.902) -- (9.197,6.027) -- (9.027,6.072) -- (8.857,6.027) -- (8.732,5.902) -- (8.687,5.732) -- (8.732,5.562) -- (8.857,5.438) -- (9.027,5.392) -- (9.197,5.438) -- (9.321,5.562) -- cycle;
\node at (9.027,5.732) {\scalebox{1.591}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.344,3.707) -- (8.298,3.877) -- (8.174,4.002) -- (8.004,4.047) -- (7.834,4.002) -- (7.709,3.877) -- (7.664,3.707) -- (7.709,3.537) -- (7.834,3.413) -- (8.004,3.367) -- (8.174,3.413) -- (8.298,3.537) -- cycle;
\node at (8.004,3.707) {\scalebox{1.591}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.55,4.156) -- (11.505,4.326) -- (11.38,4.45) -- (11.21,4.496) -- (11.04,4.45) -- (10.916,4.326) -- (10.87,4.156) -- (10.916,3.986) -- (11.04,3.861) -- (11.21,3.816) -- (11.38,3.861) -- (11.505,3.986) -- cycle;
\node at (11.21,4.156) {\scalebox{1.591}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.955,3.304) -- (9.91,3.474) -- (9.785,3.598) -- (9.615,3.644) -- (9.445,3.598) -- (9.321,3.474) -- (9.275,3.304) -- (9.321,3.134) -- (9.445,3.009) -- (9.615,2.964) -- (9.785,3.009) -- (9.91,3.134) -- cycle;
\node at (9.615,3.304) {\scalebox{1.591}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.9,2.063) -- (9.854,2.233) -- (9.73,2.357) -- (9.56,2.403) -- (9.39,2.357) -- (9.265,2.233) -- (9.22,2.063) -- (9.265,1.893) -- (9.39,1.768) -- (9.56,1.723) -- (9.73,1.768) -- (9.854,1.893) -- cycle;
\node at (9.56,2.063) {\scalebox{1.591}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.871,5.564) -- (4.471,5.564) -- (4.471,6.164) -- (3.871,6.164) -- cycle;
\node at (4.171,5.864) {\scalebox{1.591}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.965,0.65) -- (10.565,0.65) -- (10.565,1.25) -- (9.965,1.25) -- cycle;
\node at (10.265,0.95) {\scalebox{1.591}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.195,7.71) -- (12.795,7.71) -- (12.795,8.31) -- (12.195,8.31) -- cycle;
\node at (12.495,8.01) {\scalebox{1.591}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.754,6.069) -- (10.354,6.069) -- (10.354,6.669) -- (9.754,6.669) -- cycle;
\node at (10.054,6.369) {\scalebox{1.591}{\small d}};
\node at (11.309,10.024) {\scalebox{1.591}{\small A}};
\node at (3.446,8.877) {\scalebox{1.591}{\small B}};
\node at (3.565,5.995) {\scalebox{1.591}{\small C}};
\node at (7.603,6.148) {\scalebox{1.591}{\small D}};
\node at (11.323,5.567) {\scalebox{1.591}{\small E}};
\node at (11.852,2.389) {\scalebox{1.591}{\small F}};
\node at (0.765,2.083) {\scalebox{1.591}{\small G}};
\node at (7.807,1.123) {\scalebox{1.591}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.622,8.604) -- (12.622,9.704);
\draw[line width=0.5pt] (12.391,9.319) -- (12.622,9.704) -- (12.853,9.319);
\draw[line width=0.5pt] (12.319,9.154) -- (12.924,9.154);
\node at (12.622,10.089) {\scalebox{1.591}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 3 & 4 & 2 & 1 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{G} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{C}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{D} à \textbf{G}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de D :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Gare \textbf{(D)}, prend le \textbf{chemin du Lavoir ④} vers l'ouest et atteint Rond-point du Pont \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ③}, vers le nord, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ①}, vers l'est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ⑦}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ⑧}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑩}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑨}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑪}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑥}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse du Vieux-Four ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
