\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 110}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=110}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0110}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7008, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.354,5.974) -- (11.042,6.005) -- (10.729,6.028) -- (10.415,6.044) -- (10.101,6.053) -- (9.787,6.054) -- (9.473,6.048) -- (9.16,6.034) -- (8.846,6.013) -- (8.533,5.985) -- (8.221,5.95) -- (7.91,5.907) -- (7.6,5.856) -- (7.292,5.799) -- (6.985,5.734);
\draw[line width=0.5pt] (11.354,5.974) -- (11.114,5.813) -- (10.87,5.658) -- (10.623,5.509) -- (10.372,5.366) -- (10.117,5.229) -- (9.86,5.097) -- (9.599,4.972) -- (9.336,4.853) -- (9.069,4.74) -- (8.801,4.633) -- (8.53,4.533) -- (8.256,4.439) -- (7.981,4.352) -- (7.703,4.271);
\draw[line width=0.5pt] (6.985,5.734) -- (7.02,5.623) -- (7.057,5.512) -- (7.097,5.402) -- (7.14,5.293) -- (7.186,5.185) -- (7.233,5.079) -- (7.284,4.973) -- (7.337,4.869) -- (7.392,4.766) -- (7.449,4.664) -- (7.51,4.563) -- (7.572,4.464) -- (7.637,4.367) -- (7.703,4.271);
\draw[line width=0.5pt] (6.985,5.734) -- (6.895,5.444) -- (6.799,5.155) -- (6.696,4.869) -- (6.586,4.586) -- (6.47,4.305) -- (6.347,4.026) -- (6.217,3.751) -- (6.081,3.479) -- (5.939,3.21) -- (5.79,2.945) -- (5.635,2.683) -- (5.474,2.425) -- (5.307,2.171) -- (5.134,1.921);
\draw[line width=0.5pt] (6.985,5.734) -- (6.738,5.636) -- (6.493,5.533) -- (6.25,5.423) -- (6.01,5.308) -- (5.773,5.187) -- (5.539,5.061) -- (5.308,4.929) -- (5.08,4.792) -- (4.855,4.649) -- (4.633,4.502) -- (4.416,4.349) -- (4.202,4.191) -- (3.991,4.028) -- (3.785,3.86) -- (3.639,3.668) -- (3.487,3.479) -- (3.332,3.294) -- (3.171,3.112) -- (3.007,2.935) -- (2.839,2.761) -- (2.666,2.591) -- (2.49,2.425) -- (2.309,2.264) -- (2.125,2.107) -- (1.938,1.954) -- (1.747,1.805) -- (1.552,1.662) -- (1.354,1.523);
\draw[line width=0.5pt] (7.703,4.271) -- (7.547,4.077) -- (7.386,3.886) -- (7.221,3.698) -- (7.051,3.515) -- (6.877,3.336) -- (6.698,3.161) -- (6.516,2.99) -- (6.329,2.823) -- (6.139,2.661) -- (5.945,2.504) -- (5.748,2.351) -- (5.547,2.203) -- (5.342,2.059) -- (5.134,1.921);
\draw[line width=0.5pt] (7.703,4.271) -- (7.899,4.026) -- (8.1,3.785) -- (8.307,3.549) -- (8.52,3.318) -- (8.738,3.092) -- (8.961,2.871) -- (9.189,2.655) -- (9.423,2.445) -- (9.661,2.24) -- (9.904,2.041) -- (10.151,1.848) -- (10.403,1.66) -- (10.659,1.479) -- (10.92,1.304);
\draw[line width=0.5pt] (5.134,1.921) -- (4.871,1.851) -- (4.606,1.788) -- (4.339,1.731) -- (4.071,1.68) -- (3.802,1.636) -- (3.532,1.598) -- (3.261,1.566) -- (2.989,1.54) -- (2.717,1.521) -- (2.444,1.509) -- (2.172,1.503) -- (1.899,1.503) -- (1.626,1.51) -- (1.354,1.523);
\draw[line width=0.5pt] (5.134,1.921) -- (5.538,1.814) -- (5.943,1.716) -- (6.351,1.628) -- (6.762,1.55) -- (7.173,1.482) -- (7.587,1.423) -- (8.002,1.374) -- (8.417,1.334) -- (8.834,1.305) -- (9.251,1.285) -- (9.668,1.275) -- (10.086,1.275) -- (10.503,1.284) -- (10.92,1.304);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.514,5.974) -- (11.493,6.054) -- (11.434,6.112) -- (11.354,6.134) -- (11.274,6.112) -- (11.216,6.054) -- (11.194,5.974) -- (11.216,5.894) -- (11.274,5.835) -- (11.354,5.814) -- (11.434,5.835) -- (11.493,5.894) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.145,5.734) -- (7.123,5.814) -- (7.065,5.873) -- (6.985,5.894) -- (6.905,5.873) -- (6.846,5.814) -- (6.825,5.734) -- (6.846,5.654) -- (6.905,5.596) -- (6.985,5.574) -- (7.065,5.596) -- (7.123,5.654) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.863,4.271) -- (7.842,4.351) -- (7.783,4.41) -- (7.703,4.431) -- (7.623,4.41) -- (7.565,4.351) -- (7.543,4.271) -- (7.565,4.191) -- (7.623,4.133) -- (7.703,4.111) -- (7.783,4.133) -- (7.842,4.191) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.294,1.921) -- (5.273,2.001) -- (5.214,2.059) -- (5.134,2.081) -- (5.054,2.059) -- (4.996,2.001) -- (4.974,1.921) -- (4.996,1.841) -- (5.054,1.782) -- (5.134,1.761) -- (5.214,1.782) -- (5.273,1.841) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.514,1.523) -- (1.493,1.603) -- (1.434,1.661) -- (1.354,1.683) -- (1.274,1.661) -- (1.216,1.603) -- (1.194,1.523) -- (1.216,1.443) -- (1.274,1.384) -- (1.354,1.363) -- (1.434,1.384) -- (1.493,1.443) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.08,1.304) -- (11.058,1.384) -- (11.0,1.442) -- (10.92,1.464) -- (10.84,1.442) -- (10.781,1.384) -- (10.76,1.304) -- (10.781,1.224) -- (10.84,1.165) -- (10.92,1.144) -- (11.0,1.165) -- (11.058,1.224) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.517,5.715) -- (9.472,5.885) -- (9.347,6.009) -- (9.177,6.055) -- (9.007,6.009) -- (8.883,5.885) -- (8.837,5.715) -- (8.883,5.545) -- (9.007,5.42) -- (9.177,5.375) -- (9.347,5.42) -- (9.472,5.545) -- cycle;
\node at (9.177,5.715) {\scalebox{1.427}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.074,4.682) -- (10.029,4.852) -- (9.904,4.976) -- (9.734,5.022) -- (9.564,4.976) -- (9.44,4.852) -- (9.394,4.682) -- (9.44,4.512) -- (9.564,4.387) -- (9.734,4.342) -- (9.904,4.387) -- (10.029,4.512) -- cycle;
\node at (9.734,4.682) {\scalebox{1.427}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.911,5.114) -- (7.865,5.284) -- (7.741,5.409) -- (7.571,5.454) -- (7.401,5.409) -- (7.277,5.284) -- (7.231,5.114) -- (7.277,4.944) -- (7.401,4.82) -- (7.571,4.774) -- (7.741,4.82) -- (7.865,4.944) -- cycle;
\node at (7.571,5.114) {\scalebox{1.427}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.845,3.611) -- (6.799,3.781) -- (6.675,3.906) -- (6.505,3.951) -- (6.335,3.906) -- (6.21,3.781) -- (6.165,3.611) -- (6.21,3.441) -- (6.335,3.317) -- (6.505,3.271) -- (6.675,3.317) -- (6.799,3.441) -- cycle;
\node at (6.505,3.611) {\scalebox{1.427}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.354,3.636) -- (4.308,3.806) -- (4.184,3.931) -- (4.014,3.976) -- (3.844,3.931) -- (3.719,3.806) -- (3.674,3.636) -- (3.719,3.466) -- (3.844,3.342) -- (4.014,3.296) -- (4.184,3.342) -- (4.308,3.466) -- cycle;
\node at (4.014,3.636) {\scalebox{1.427}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.072,2.754) -- (7.026,2.924) -- (6.902,3.048) -- (6.732,3.094) -- (6.562,3.048) -- (6.437,2.924) -- (6.392,2.754) -- (6.437,2.584) -- (6.562,2.459) -- (6.732,2.414) -- (6.902,2.459) -- (7.026,2.584) -- cycle;
\node at (6.732,2.754) {\scalebox{1.427}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.746,2.89) -- (9.701,3.06) -- (9.576,3.185) -- (9.406,3.23) -- (9.236,3.185) -- (9.112,3.06) -- (9.066,2.89) -- (9.112,2.72) -- (9.236,2.596) -- (9.406,2.55) -- (9.576,2.596) -- (9.701,2.72) -- cycle;
\node at (9.406,2.89) {\scalebox{1.427}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.634,1.248) -- (3.589,1.418) -- (3.464,1.542) -- (3.294,1.588) -- (3.124,1.542) -- (3.0,1.418) -- (2.954,1.248) -- (3.0,1.078) -- (3.124,0.953) -- (3.294,0.908) -- (3.464,0.953) -- (3.589,1.078) -- cycle;
\node at (3.294,1.248) {\scalebox{1.427}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.376,1.692) -- (8.33,1.862) -- (8.206,1.986) -- (8.036,2.032) -- (7.866,1.986) -- (7.741,1.862) -- (7.696,1.692) -- (7.741,1.522) -- (7.866,1.397) -- (8.036,1.352) -- (8.206,1.397) -- (8.33,1.522) -- cycle;
\node at (8.036,1.692) {\scalebox{1.427}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.403,3.971) -- (8.003,3.971) -- (8.003,4.571) -- (7.403,4.571) -- cycle;
\node at (7.703,4.271) {\scalebox{1.427}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.172,1.266) -- (6.772,1.266) -- (6.772,1.866) -- (6.172,1.866) -- cycle;
\node at (6.472,1.566) {\scalebox{1.427}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.651,5.979) -- (10.251,5.979) -- (10.251,6.579) -- (9.651,6.579) -- cycle;
\node at (9.951,6.279) {\scalebox{1.427}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.278,0.65) -- (8.878,0.65) -- (8.878,1.25) -- (8.278,1.25) -- cycle;
\node at (8.578,0.95) {\scalebox{1.427}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.555,4.576) -- (11.155,4.576) -- (11.155,5.176) -- (10.555,5.176) -- cycle;
\node at (10.855,4.876) {\scalebox{1.427}{\small e}};
\node at (11.883,6.298) {\scalebox{1.427}{\small A}};
\node at (6.915,6.35) {\scalebox{1.427}{\small B}};
\node at (8.009,4.811) {\scalebox{1.427}{\small C}};
\node at (4.633,1.556) {\scalebox{1.427}{\small D}};
\node at (0.765,1.329) {\scalebox{1.427}{\small E}};
\node at (11.455,0.991) {\scalebox{1.427}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.654,5.024) -- (12.654,6.124);
\draw[line width=0.5pt] (12.423,5.739) -- (12.654,6.124) -- (12.885,5.739);
\draw[line width=0.5pt] (12.352,5.574) -- (12.957,5.574);
\node at (12.654,6.509) {\scalebox{1.427}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin des Vignes & ⑥ rue de la Poste & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② venelle du Chat & ⑦ avenue de la Gare & Ⓑ Rond-point de la Poste & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ allée des Tilleuls & ⑧ chemin de Ronde & Ⓒ Rond-point du Stade & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ boulevard du Parc & ⑨ rue Basse & Ⓓ Rond-point du Pont & \textbf{d} le gymnase \\ \hline
⑤ rue des Jardins &  & Ⓔ Place de la Fontaine & \textbf{e} la pharmacie \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Marché &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.627, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.354,5.974) -- (11.042,6.005) -- (10.729,6.028) -- (10.415,6.044) -- (10.101,6.053) -- (9.787,6.054) -- (9.473,6.048) -- (9.16,6.034) -- (8.846,6.013) -- (8.533,5.985) -- (8.221,5.95) -- (7.91,5.907) -- (7.6,5.856) -- (7.292,5.799) -- (6.985,5.734);
\draw[line width=0.5pt] (11.354,5.974) -- (11.114,5.813) -- (10.87,5.658) -- (10.623,5.509) -- (10.372,5.366) -- (10.117,5.229) -- (9.86,5.097) -- (9.599,4.972) -- (9.336,4.853) -- (9.069,4.74) -- (8.801,4.633) -- (8.53,4.533) -- (8.256,4.439) -- (7.981,4.352) -- (7.703,4.271);
\draw[line width=0.5pt] (6.985,5.734) -- (7.02,5.623) -- (7.057,5.512) -- (7.097,5.402) -- (7.14,5.293) -- (7.186,5.185) -- (7.233,5.079) -- (7.284,4.973) -- (7.337,4.869) -- (7.392,4.766) -- (7.449,4.664) -- (7.51,4.563) -- (7.572,4.464) -- (7.637,4.367) -- (7.703,4.271);
\draw[line width=0.5pt] (6.985,5.734) -- (6.895,5.444) -- (6.799,5.155) -- (6.696,4.869) -- (6.586,4.586) -- (6.47,4.305) -- (6.347,4.026) -- (6.217,3.751) -- (6.081,3.479) -- (5.939,3.21) -- (5.79,2.945) -- (5.635,2.683) -- (5.474,2.425) -- (5.307,2.171) -- (5.134,1.921);
\draw[line width=0.5pt] (6.985,5.734) -- (6.738,5.636) -- (6.493,5.533) -- (6.25,5.423) -- (6.01,5.308) -- (5.773,5.187) -- (5.539,5.061) -- (5.308,4.929) -- (5.08,4.792) -- (4.855,4.649) -- (4.633,4.502) -- (4.416,4.349) -- (4.202,4.191) -- (3.991,4.028) -- (3.785,3.86) -- (3.639,3.668) -- (3.487,3.479) -- (3.332,3.294) -- (3.171,3.112) -- (3.007,2.935) -- (2.839,2.761) -- (2.666,2.591) -- (2.49,2.425) -- (2.309,2.264) -- (2.125,2.107) -- (1.938,1.954) -- (1.747,1.805) -- (1.552,1.662) -- (1.354,1.523);
\draw[line width=0.5pt] (7.703,4.271) -- (7.547,4.077) -- (7.386,3.886) -- (7.221,3.698) -- (7.051,3.515) -- (6.877,3.336) -- (6.698,3.161) -- (6.516,2.99) -- (6.329,2.823) -- (6.139,2.661) -- (5.945,2.504) -- (5.748,2.351) -- (5.547,2.203) -- (5.342,2.059) -- (5.134,1.921);
\draw[line width=0.5pt] (7.703,4.271) -- (7.899,4.026) -- (8.1,3.785) -- (8.307,3.549) -- (8.52,3.318) -- (8.738,3.092) -- (8.961,2.871) -- (9.189,2.655) -- (9.423,2.445) -- (9.661,2.24) -- (9.904,2.041) -- (10.151,1.848) -- (10.403,1.66) -- (10.659,1.479) -- (10.92,1.304);
\draw[line width=0.5pt] (5.134,1.921) -- (4.871,1.851) -- (4.606,1.788) -- (4.339,1.731) -- (4.071,1.68) -- (3.802,1.636) -- (3.532,1.598) -- (3.261,1.566) -- (2.989,1.54) -- (2.717,1.521) -- (2.444,1.509) -- (2.172,1.503) -- (1.899,1.503) -- (1.626,1.51) -- (1.354,1.523);
\draw[line width=0.5pt] (5.134,1.921) -- (5.538,1.814) -- (5.943,1.716) -- (6.351,1.628) -- (6.762,1.55) -- (7.173,1.482) -- (7.587,1.423) -- (8.002,1.374) -- (8.417,1.334) -- (8.834,1.305) -- (9.251,1.285) -- (9.668,1.275) -- (10.086,1.275) -- (10.503,1.284) -- (10.92,1.304);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.514,5.974) -- (11.493,6.054) -- (11.434,6.112) -- (11.354,6.134) -- (11.274,6.112) -- (11.216,6.054) -- (11.194,5.974) -- (11.216,5.894) -- (11.274,5.835) -- (11.354,5.814) -- (11.434,5.835) -- (11.493,5.894) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.145,5.734) -- (7.123,5.814) -- (7.065,5.873) -- (6.985,5.894) -- (6.905,5.873) -- (6.846,5.814) -- (6.825,5.734) -- (6.846,5.654) -- (6.905,5.596) -- (6.985,5.574) -- (7.065,5.596) -- (7.123,5.654) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.863,4.271) -- (7.842,4.351) -- (7.783,4.41) -- (7.703,4.431) -- (7.623,4.41) -- (7.565,4.351) -- (7.543,4.271) -- (7.565,4.191) -- (7.623,4.133) -- (7.703,4.111) -- (7.783,4.133) -- (7.842,4.191) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.294,1.921) -- (5.273,2.001) -- (5.214,2.059) -- (5.134,2.081) -- (5.054,2.059) -- (4.996,2.001) -- (4.974,1.921) -- (4.996,1.841) -- (5.054,1.782) -- (5.134,1.761) -- (5.214,1.782) -- (5.273,1.841) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.514,1.523) -- (1.493,1.603) -- (1.434,1.661) -- (1.354,1.683) -- (1.274,1.661) -- (1.216,1.603) -- (1.194,1.523) -- (1.216,1.443) -- (1.274,1.384) -- (1.354,1.363) -- (1.434,1.384) -- (1.493,1.443) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.08,1.304) -- (11.058,1.384) -- (11.0,1.442) -- (10.92,1.464) -- (10.84,1.442) -- (10.781,1.384) -- (10.76,1.304) -- (10.781,1.224) -- (10.84,1.165) -- (10.92,1.144) -- (11.0,1.165) -- (11.058,1.224) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.517,5.715) -- (9.472,5.885) -- (9.347,6.009) -- (9.177,6.055) -- (9.007,6.009) -- (8.883,5.885) -- (8.837,5.715) -- (8.883,5.545) -- (9.007,5.42) -- (9.177,5.375) -- (9.347,5.42) -- (9.472,5.545) -- cycle;
\node at (9.177,5.715) {\scalebox{1.595}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.074,4.682) -- (10.029,4.852) -- (9.904,4.976) -- (9.734,5.022) -- (9.564,4.976) -- (9.44,4.852) -- (9.394,4.682) -- (9.44,4.512) -- (9.564,4.387) -- (9.734,4.342) -- (9.904,4.387) -- (10.029,4.512) -- cycle;
\node at (9.734,4.682) {\scalebox{1.595}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.911,5.114) -- (7.865,5.284) -- (7.741,5.409) -- (7.571,5.454) -- (7.401,5.409) -- (7.277,5.284) -- (7.231,5.114) -- (7.277,4.944) -- (7.401,4.82) -- (7.571,4.774) -- (7.741,4.82) -- (7.865,4.944) -- cycle;
\node at (7.571,5.114) {\scalebox{1.595}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.845,3.611) -- (6.799,3.781) -- (6.675,3.906) -- (6.505,3.951) -- (6.335,3.906) -- (6.21,3.781) -- (6.165,3.611) -- (6.21,3.441) -- (6.335,3.317) -- (6.505,3.271) -- (6.675,3.317) -- (6.799,3.441) -- cycle;
\node at (6.505,3.611) {\scalebox{1.595}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.354,3.636) -- (4.308,3.806) -- (4.184,3.931) -- (4.014,3.976) -- (3.844,3.931) -- (3.719,3.806) -- (3.674,3.636) -- (3.719,3.466) -- (3.844,3.342) -- (4.014,3.296) -- (4.184,3.342) -- (4.308,3.466) -- cycle;
\node at (4.014,3.636) {\scalebox{1.595}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.072,2.754) -- (7.026,2.924) -- (6.902,3.048) -- (6.732,3.094) -- (6.562,3.048) -- (6.437,2.924) -- (6.392,2.754) -- (6.437,2.584) -- (6.562,2.459) -- (6.732,2.414) -- (6.902,2.459) -- (7.026,2.584) -- cycle;
\node at (6.732,2.754) {\scalebox{1.595}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.746,2.89) -- (9.701,3.06) -- (9.576,3.185) -- (9.406,3.23) -- (9.236,3.185) -- (9.112,3.06) -- (9.066,2.89) -- (9.112,2.72) -- (9.236,2.596) -- (9.406,2.55) -- (9.576,2.596) -- (9.701,2.72) -- cycle;
\node at (9.406,2.89) {\scalebox{1.595}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.634,1.248) -- (3.589,1.418) -- (3.464,1.542) -- (3.294,1.588) -- (3.124,1.542) -- (3.0,1.418) -- (2.954,1.248) -- (3.0,1.078) -- (3.124,0.953) -- (3.294,0.908) -- (3.464,0.953) -- (3.589,1.078) -- cycle;
\node at (3.294,1.248) {\scalebox{1.595}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.376,1.692) -- (8.33,1.862) -- (8.206,1.986) -- (8.036,2.032) -- (7.866,1.986) -- (7.741,1.862) -- (7.696,1.692) -- (7.741,1.522) -- (7.866,1.397) -- (8.036,1.352) -- (8.206,1.397) -- (8.33,1.522) -- cycle;
\node at (8.036,1.692) {\scalebox{1.595}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.403,3.971) -- (8.003,3.971) -- (8.003,4.571) -- (7.403,4.571) -- cycle;
\node at (7.703,4.271) {\scalebox{1.595}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.172,1.266) -- (6.772,1.266) -- (6.772,1.866) -- (6.172,1.866) -- cycle;
\node at (6.472,1.566) {\scalebox{1.595}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.651,5.979) -- (10.251,5.979) -- (10.251,6.579) -- (9.651,6.579) -- cycle;
\node at (9.951,6.279) {\scalebox{1.595}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.278,0.65) -- (8.878,0.65) -- (8.878,1.25) -- (8.278,1.25) -- cycle;
\node at (8.578,0.95) {\scalebox{1.595}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.555,4.576) -- (11.155,4.576) -- (11.155,5.176) -- (10.555,5.176) -- cycle;
\node at (10.855,4.876) {\scalebox{1.595}{\small e}};
\node at (11.883,6.298) {\scalebox{1.595}{\small A}};
\node at (6.915,6.35) {\scalebox{1.595}{\small B}};
\node at (8.009,4.811) {\scalebox{1.595}{\small C}};
\node at (4.633,1.556) {\scalebox{1.595}{\small D}};
\node at (0.765,1.329) {\scalebox{1.595}{\small E}};
\node at (11.455,0.991) {\scalebox{1.595}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.654,5.024) -- (12.654,6.124);
\draw[line width=0.5pt] (12.423,5.739) -- (12.654,6.124) -- (12.885,5.739);
\draw[line width=0.5pt] (12.352,5.574) -- (12.957,5.574);
\node at (12.654,6.509) {\scalebox{1.595}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 4 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(C)}, prend la \textbf{venelle du Chat ②} vers le nord-est et atteint Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ①}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ③}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il prend dans le \textbf{boulevard du Parc ④}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑧}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Basse ⑨}, vers l'est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
