\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 111}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=111}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0111}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7002, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.309,7.478) -- (5.727,7.34) -- (6.148,7.212) -- (6.573,7.094) -- (7.0,6.986) -- (7.43,6.888) -- (7.862,6.801) -- (8.296,6.723) -- (8.731,6.656) -- (9.168,6.599) -- (9.606,6.552) -- (10.045,6.515) -- (10.485,6.489) -- (10.925,6.473) -- (11.366,6.468);
\draw[line width=0.5pt] (5.309,7.478) -- (5.043,7.348) -- (4.774,7.225) -- (4.502,7.108) -- (4.227,6.998) -- (3.949,6.894) -- (3.669,6.797) -- (3.387,6.706) -- (3.103,6.622) -- (2.817,6.544) -- (2.53,6.474) -- (2.241,6.41) -- (1.95,6.353) -- (1.658,6.303) -- (1.366,6.259);
\draw[line width=0.5pt] (5.309,7.478) -- (5.481,7.197) -- (5.66,6.92) -- (5.845,6.648) -- (6.036,6.38) -- (6.234,6.116) -- (6.438,5.857) -- (6.648,5.603) -- (6.864,5.354) -- (7.086,5.11) -- (7.314,4.872) -- (7.547,4.638) -- (7.785,4.411) -- (8.028,4.189) -- (8.277,3.973);
\draw[line width=0.5pt] (5.309,7.478) -- (5.46,7.103) -- (5.602,6.725) -- (5.736,6.343) -- (5.86,5.958) -- (5.975,5.57) -- (6.081,5.179) -- (6.178,4.786) -- (6.265,4.391) -- (6.344,3.994) -- (6.413,3.596) -- (6.472,3.196) -- (6.522,2.794) -- (6.563,2.392) -- (6.594,1.989);
\draw[line width=0.5pt] (11.366,6.468) -- (11.232,6.197) -- (11.104,5.923) -- (10.983,5.646) -- (10.869,5.366) -- (10.761,5.084) -- (10.66,4.799) -- (10.566,4.512) -- (10.478,4.222) -- (10.397,3.931) -- (10.323,3.638) -- (10.256,3.343) -- (10.196,3.047) -- (10.143,2.749) -- (10.097,2.451);
\draw[line width=0.5pt] (1.366,6.259) -- (1.463,6.203) -- (1.56,6.145) -- (1.655,6.085) -- (1.748,6.022) -- (1.84,5.957) -- (1.931,5.89) -- (2.02,5.821) -- (2.107,5.749) -- (2.193,5.676) -- (2.277,5.601) -- (2.359,5.524) -- (2.439,5.445) -- (2.517,5.364) -- (2.593,5.281) -- (2.841,5.004) -- (3.095,4.733) -- (3.355,4.467) -- (3.622,4.208) -- (3.895,3.956) -- (4.173,3.709) -- (4.458,3.47) -- (4.748,3.237) -- (5.043,3.011) -- (5.344,2.792) -- (5.649,2.58) -- (5.959,2.376) -- (6.274,2.178) -- (6.594,1.989);
\draw[line width=0.5pt] (8.277,3.973) -- (8.389,3.846) -- (8.505,3.72) -- (8.623,3.598) -- (8.744,3.478) -- (8.868,3.362) -- (8.995,3.248) -- (9.124,3.137) -- (9.256,3.029) -- (9.391,2.925) -- (9.528,2.823) -- (9.667,2.725) -- (9.808,2.63) -- (9.952,2.539) -- (10.097,2.451);
\draw[line width=0.5pt] (8.277,3.973) -- (8.18,3.814) -- (8.078,3.658) -- (7.973,3.503) -- (7.865,3.351) -- (7.752,3.202) -- (7.637,3.056) -- (7.517,2.912) -- (7.395,2.771) -- (7.269,2.633) -- (7.14,2.498) -- (7.008,2.366) -- (6.873,2.237) -- (6.735,2.111) -- (6.594,1.989);
\draw[line width=0.5pt] (10.097,2.451) -- (9.844,2.456) -- (9.591,2.456) -- (9.337,2.45) -- (9.084,2.437) -- (8.831,2.419) -- (8.578,2.395) -- (8.327,2.364) -- (8.076,2.328) -- (7.825,2.286) -- (7.576,2.238) -- (7.328,2.185) -- (7.082,2.125) -- (6.837,2.06) -- (6.594,1.989);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.469,7.478) -- (5.447,7.558) -- (5.389,7.616) -- (5.309,7.638) -- (5.229,7.616) -- (5.17,7.558) -- (5.149,7.478) -- (5.17,7.398) -- (5.229,7.339) -- (5.309,7.318) -- (5.389,7.339) -- (5.447,7.398) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.526,6.468) -- (11.504,6.548) -- (11.446,6.607) -- (11.366,6.628) -- (11.286,6.607) -- (11.227,6.548) -- (11.206,6.468) -- (11.227,6.388) -- (11.286,6.329) -- (11.366,6.308) -- (11.446,6.329) -- (11.504,6.388) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.526,6.259) -- (1.504,6.339) -- (1.446,6.398) -- (1.366,6.419) -- (1.286,6.398) -- (1.227,6.339) -- (1.206,6.259) -- (1.227,6.179) -- (1.286,6.121) -- (1.366,6.099) -- (1.446,6.121) -- (1.504,6.179) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.437,3.973) -- (8.416,4.053) -- (8.357,4.112) -- (8.277,4.133) -- (8.197,4.112) -- (8.139,4.053) -- (8.117,3.973) -- (8.139,3.893) -- (8.197,3.835) -- (8.277,3.813) -- (8.357,3.835) -- (8.416,3.893) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.257,2.451) -- (10.236,2.531) -- (10.177,2.589) -- (10.097,2.611) -- (10.017,2.589) -- (9.959,2.531) -- (9.937,2.451) -- (9.959,2.371) -- (10.017,2.312) -- (10.097,2.291) -- (10.177,2.312) -- (10.236,2.371) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.754,1.989) -- (6.733,2.069) -- (6.674,2.128) -- (6.594,2.149) -- (6.514,2.128) -- (6.455,2.069) -- (6.434,1.989) -- (6.455,1.909) -- (6.514,1.85) -- (6.594,1.829) -- (6.674,1.85) -- (6.733,1.909) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.688,7.039) -- (8.643,7.209) -- (8.518,7.333) -- (8.348,7.379) -- (8.178,7.333) -- (8.054,7.209) -- (8.008,7.039) -- (8.054,6.869) -- (8.178,6.744) -- (8.348,6.699) -- (8.518,6.744) -- (8.643,6.869) -- cycle;
\node at (8.348,7.039) {\scalebox{1.428}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.822,6.4) -- (3.776,6.57) -- (3.652,6.695) -- (3.482,6.74) -- (3.312,6.695) -- (3.188,6.57) -- (3.142,6.4) -- (3.188,6.23) -- (3.312,6.106) -- (3.482,6.06) -- (3.652,6.106) -- (3.776,6.23) -- cycle;
\node at (3.482,6.4) {\scalebox{1.428}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.233,5.81) -- (7.187,5.98) -- (7.063,6.104) -- (6.893,6.15) -- (6.723,6.104) -- (6.598,5.98) -- (6.553,5.81) -- (6.598,5.64) -- (6.723,5.516) -- (6.893,5.47) -- (7.063,5.516) -- (7.187,5.64) -- cycle;
\node at (6.893,5.81) {\scalebox{1.428}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.829,4.859) -- (6.784,5.029) -- (6.659,5.154) -- (6.489,5.199) -- (6.319,5.154) -- (6.195,5.029) -- (6.149,4.859) -- (6.195,4.689) -- (6.319,4.565) -- (6.489,4.519) -- (6.659,4.565) -- (6.784,4.689) -- cycle;
\node at (6.489,4.859) {\scalebox{1.428}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.211,4.415) -- (11.165,4.585) -- (11.041,4.71) -- (10.871,4.755) -- (10.701,4.71) -- (10.576,4.585) -- (10.531,4.415) -- (10.576,4.245) -- (10.701,4.121) -- (10.871,4.075) -- (11.041,4.121) -- (11.165,4.245) -- cycle;
\node at (10.871,4.415) {\scalebox{1.428}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.171,5.495) -- (3.126,5.665) -- (3.001,5.789) -- (2.831,5.835) -- (2.661,5.789) -- (2.537,5.665) -- (2.491,5.495) -- (2.537,5.325) -- (2.661,5.2) -- (2.831,5.155) -- (3.001,5.2) -- (3.126,5.325) -- cycle;
\node at (2.831,5.495) {\scalebox{1.428}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.67,3.382) -- (9.624,3.552) -- (9.5,3.677) -- (9.33,3.722) -- (9.16,3.677) -- (9.035,3.552) -- (8.99,3.382) -- (9.035,3.212) -- (9.16,3.088) -- (9.33,3.042) -- (9.5,3.088) -- (9.624,3.212) -- cycle;
\node at (9.33,3.382) {\scalebox{1.428}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.101,2.705) -- (8.056,2.875) -- (7.931,2.999) -- (7.761,3.045) -- (7.591,2.999) -- (7.467,2.875) -- (7.421,2.705) -- (7.467,2.535) -- (7.591,2.41) -- (7.761,2.365) -- (7.931,2.41) -- (8.056,2.535) -- cycle;
\node at (7.761,2.705) {\scalebox{1.428}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.708,2.047) -- (8.663,2.217) -- (8.538,2.342) -- (8.368,2.387) -- (8.198,2.342) -- (8.074,2.217) -- (8.028,2.047) -- (8.074,1.877) -- (8.198,1.753) -- (8.368,1.707) -- (8.538,1.753) -- (8.663,1.877) -- cycle;
\node at (8.368,2.047) {\scalebox{1.428}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.797,2.151) -- (10.397,2.151) -- (10.397,2.751) -- (9.797,2.751) -- cycle;
\node at (10.097,2.451) {\scalebox{1.428}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.195,0.65) -- (8.795,0.65) -- (8.795,1.25) -- (8.195,1.25) -- cycle;
\node at (8.495,0.95) {\scalebox{1.428}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.363,4.94) -- (5.963,4.94) -- (5.963,5.54) -- (5.363,5.54) -- cycle;
\node at (5.663,5.24) {\scalebox{1.428}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.683,2.469) -- (11.283,2.469) -- (11.283,3.069) -- (10.683,3.069) -- cycle;
\node at (10.983,2.769) {\scalebox{1.428}{\small d}};
\node at (4.958,7.989) {\scalebox{1.428}{\small A}};
\node at (11.94,6.701) {\scalebox{1.428}{\small B}};
\node at (0.765,6.414) {\scalebox{1.428}{\small C}};
\node at (8.781,3.612) {\scalebox{1.428}{\small D}};
\node at (10.584,2.066) {\scalebox{1.428}{\small E}};
\node at (6.469,1.382) {\scalebox{1.428}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.666,6.528) -- (12.666,7.628);
\draw[line width=0.5pt] (12.435,7.243) -- (12.666,7.628) -- (12.897,7.243);
\draw[line width=0.5pt] (12.363,7.078) -- (12.968,7.078);
\node at (12.666,8.013) {\scalebox{1.428}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① boulevard du Parc & ⑥ rue du Puits & Ⓐ Carrefour du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Lilas & ⑦ chemin des Vignes & Ⓑ Place de la Fontaine & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ rue du Pont & ⑧ rue de la Poste & Ⓒ Fontaine Notre-Dame & \textbf{c} le stade \\ \hline
④ rue Pasteur & ⑨ rue Haute & Ⓓ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{d} la mairie \\ \hline
⑤ rue Verte &  & Ⓔ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6265, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.309,7.478) -- (5.727,7.34) -- (6.148,7.212) -- (6.573,7.094) -- (7.0,6.986) -- (7.43,6.888) -- (7.862,6.801) -- (8.296,6.723) -- (8.731,6.656) -- (9.168,6.599) -- (9.606,6.552) -- (10.045,6.515) -- (10.485,6.489) -- (10.925,6.473) -- (11.366,6.468);
\draw[line width=0.5pt] (5.309,7.478) -- (5.043,7.348) -- (4.774,7.225) -- (4.502,7.108) -- (4.227,6.998) -- (3.949,6.894) -- (3.669,6.797) -- (3.387,6.706) -- (3.103,6.622) -- (2.817,6.544) -- (2.53,6.474) -- (2.241,6.41) -- (1.95,6.353) -- (1.658,6.303) -- (1.366,6.259);
\draw[line width=0.5pt] (5.309,7.478) -- (5.481,7.197) -- (5.66,6.92) -- (5.845,6.648) -- (6.036,6.38) -- (6.234,6.116) -- (6.438,5.857) -- (6.648,5.603) -- (6.864,5.354) -- (7.086,5.11) -- (7.314,4.872) -- (7.547,4.638) -- (7.785,4.411) -- (8.028,4.189) -- (8.277,3.973);
\draw[line width=0.5pt] (5.309,7.478) -- (5.46,7.103) -- (5.602,6.725) -- (5.736,6.343) -- (5.86,5.958) -- (5.975,5.57) -- (6.081,5.179) -- (6.178,4.786) -- (6.265,4.391) -- (6.344,3.994) -- (6.413,3.596) -- (6.472,3.196) -- (6.522,2.794) -- (6.563,2.392) -- (6.594,1.989);
\draw[line width=0.5pt] (11.366,6.468) -- (11.232,6.197) -- (11.104,5.923) -- (10.983,5.646) -- (10.869,5.366) -- (10.761,5.084) -- (10.66,4.799) -- (10.566,4.512) -- (10.478,4.222) -- (10.397,3.931) -- (10.323,3.638) -- (10.256,3.343) -- (10.196,3.047) -- (10.143,2.749) -- (10.097,2.451);
\draw[line width=0.5pt] (1.366,6.259) -- (1.463,6.203) -- (1.56,6.145) -- (1.655,6.085) -- (1.748,6.022) -- (1.84,5.957) -- (1.931,5.89) -- (2.02,5.821) -- (2.107,5.749) -- (2.193,5.676) -- (2.277,5.601) -- (2.359,5.524) -- (2.439,5.445) -- (2.517,5.364) -- (2.593,5.281) -- (2.841,5.004) -- (3.095,4.733) -- (3.355,4.467) -- (3.622,4.208) -- (3.895,3.956) -- (4.173,3.709) -- (4.458,3.47) -- (4.748,3.237) -- (5.043,3.011) -- (5.344,2.792) -- (5.649,2.58) -- (5.959,2.376) -- (6.274,2.178) -- (6.594,1.989);
\draw[line width=0.5pt] (8.277,3.973) -- (8.389,3.846) -- (8.505,3.72) -- (8.623,3.598) -- (8.744,3.478) -- (8.868,3.362) -- (8.995,3.248) -- (9.124,3.137) -- (9.256,3.029) -- (9.391,2.925) -- (9.528,2.823) -- (9.667,2.725) -- (9.808,2.63) -- (9.952,2.539) -- (10.097,2.451);
\draw[line width=0.5pt] (8.277,3.973) -- (8.18,3.814) -- (8.078,3.658) -- (7.973,3.503) -- (7.865,3.351) -- (7.752,3.202) -- (7.637,3.056) -- (7.517,2.912) -- (7.395,2.771) -- (7.269,2.633) -- (7.14,2.498) -- (7.008,2.366) -- (6.873,2.237) -- (6.735,2.111) -- (6.594,1.989);
\draw[line width=0.5pt] (10.097,2.451) -- (9.844,2.456) -- (9.591,2.456) -- (9.337,2.45) -- (9.084,2.437) -- (8.831,2.419) -- (8.578,2.395) -- (8.327,2.364) -- (8.076,2.328) -- (7.825,2.286) -- (7.576,2.238) -- (7.328,2.185) -- (7.082,2.125) -- (6.837,2.06) -- (6.594,1.989);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.469,7.478) -- (5.447,7.558) -- (5.389,7.616) -- (5.309,7.638) -- (5.229,7.616) -- (5.17,7.558) -- (5.149,7.478) -- (5.17,7.398) -- (5.229,7.339) -- (5.309,7.318) -- (5.389,7.339) -- (5.447,7.398) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.526,6.468) -- (11.504,6.548) -- (11.446,6.607) -- (11.366,6.628) -- (11.286,6.607) -- (11.227,6.548) -- (11.206,6.468) -- (11.227,6.388) -- (11.286,6.329) -- (11.366,6.308) -- (11.446,6.329) -- (11.504,6.388) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.526,6.259) -- (1.504,6.339) -- (1.446,6.398) -- (1.366,6.419) -- (1.286,6.398) -- (1.227,6.339) -- (1.206,6.259) -- (1.227,6.179) -- (1.286,6.121) -- (1.366,6.099) -- (1.446,6.121) -- (1.504,6.179) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.437,3.973) -- (8.416,4.053) -- (8.357,4.112) -- (8.277,4.133) -- (8.197,4.112) -- (8.139,4.053) -- (8.117,3.973) -- (8.139,3.893) -- (8.197,3.835) -- (8.277,3.813) -- (8.357,3.835) -- (8.416,3.893) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.257,2.451) -- (10.236,2.531) -- (10.177,2.589) -- (10.097,2.611) -- (10.017,2.589) -- (9.959,2.531) -- (9.937,2.451) -- (9.959,2.371) -- (10.017,2.312) -- (10.097,2.291) -- (10.177,2.312) -- (10.236,2.371) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.754,1.989) -- (6.733,2.069) -- (6.674,2.128) -- (6.594,2.149) -- (6.514,2.128) -- (6.455,2.069) -- (6.434,1.989) -- (6.455,1.909) -- (6.514,1.85) -- (6.594,1.829) -- (6.674,1.85) -- (6.733,1.909) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.688,7.039) -- (8.643,7.209) -- (8.518,7.333) -- (8.348,7.379) -- (8.178,7.333) -- (8.054,7.209) -- (8.008,7.039) -- (8.054,6.869) -- (8.178,6.744) -- (8.348,6.699) -- (8.518,6.744) -- (8.643,6.869) -- cycle;
\node at (8.348,7.039) {\scalebox{1.596}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.822,6.4) -- (3.776,6.57) -- (3.652,6.695) -- (3.482,6.74) -- (3.312,6.695) -- (3.188,6.57) -- (3.142,6.4) -- (3.188,6.23) -- (3.312,6.106) -- (3.482,6.06) -- (3.652,6.106) -- (3.776,6.23) -- cycle;
\node at (3.482,6.4) {\scalebox{1.596}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.233,5.81) -- (7.187,5.98) -- (7.063,6.104) -- (6.893,6.15) -- (6.723,6.104) -- (6.598,5.98) -- (6.553,5.81) -- (6.598,5.64) -- (6.723,5.516) -- (6.893,5.47) -- (7.063,5.516) -- (7.187,5.64) -- cycle;
\node at (6.893,5.81) {\scalebox{1.596}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.829,4.859) -- (6.784,5.029) -- (6.659,5.154) -- (6.489,5.199) -- (6.319,5.154) -- (6.195,5.029) -- (6.149,4.859) -- (6.195,4.689) -- (6.319,4.565) -- (6.489,4.519) -- (6.659,4.565) -- (6.784,4.689) -- cycle;
\node at (6.489,4.859) {\scalebox{1.596}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.211,4.415) -- (11.165,4.585) -- (11.041,4.71) -- (10.871,4.755) -- (10.701,4.71) -- (10.576,4.585) -- (10.531,4.415) -- (10.576,4.245) -- (10.701,4.121) -- (10.871,4.075) -- (11.041,4.121) -- (11.165,4.245) -- cycle;
\node at (10.871,4.415) {\scalebox{1.596}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.171,5.495) -- (3.126,5.665) -- (3.001,5.789) -- (2.831,5.835) -- (2.661,5.789) -- (2.537,5.665) -- (2.491,5.495) -- (2.537,5.325) -- (2.661,5.2) -- (2.831,5.155) -- (3.001,5.2) -- (3.126,5.325) -- cycle;
\node at (2.831,5.495) {\scalebox{1.596}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.67,3.382) -- (9.624,3.552) -- (9.5,3.677) -- (9.33,3.722) -- (9.16,3.677) -- (9.035,3.552) -- (8.99,3.382) -- (9.035,3.212) -- (9.16,3.088) -- (9.33,3.042) -- (9.5,3.088) -- (9.624,3.212) -- cycle;
\node at (9.33,3.382) {\scalebox{1.596}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.101,2.705) -- (8.056,2.875) -- (7.931,2.999) -- (7.761,3.045) -- (7.591,2.999) -- (7.467,2.875) -- (7.421,2.705) -- (7.467,2.535) -- (7.591,2.41) -- (7.761,2.365) -- (7.931,2.41) -- (8.056,2.535) -- cycle;
\node at (7.761,2.705) {\scalebox{1.596}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.708,2.047) -- (8.663,2.217) -- (8.538,2.342) -- (8.368,2.387) -- (8.198,2.342) -- (8.074,2.217) -- (8.028,2.047) -- (8.074,1.877) -- (8.198,1.753) -- (8.368,1.707) -- (8.538,1.753) -- (8.663,1.877) -- cycle;
\node at (8.368,2.047) {\scalebox{1.596}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.797,2.151) -- (10.397,2.151) -- (10.397,2.751) -- (9.797,2.751) -- cycle;
\node at (10.097,2.451) {\scalebox{1.596}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.195,0.65) -- (8.795,0.65) -- (8.795,1.25) -- (8.195,1.25) -- cycle;
\node at (8.495,0.95) {\scalebox{1.596}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.363,4.94) -- (5.963,4.94) -- (5.963,5.54) -- (5.363,5.54) -- cycle;
\node at (5.663,5.24) {\scalebox{1.596}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.683,2.469) -- (11.283,2.469) -- (11.283,3.069) -- (10.683,3.069) -- cycle;
\node at (10.983,2.769) {\scalebox{1.596}{\small d}};
\node at (4.958,7.989) {\scalebox{1.596}{\small A}};
\node at (11.94,6.701) {\scalebox{1.596}{\small B}};
\node at (0.765,6.414) {\scalebox{1.596}{\small C}};
\node at (8.781,3.612) {\scalebox{1.596}{\small D}};
\node at (10.584,2.066) {\scalebox{1.596}{\small E}};
\node at (6.469,1.382) {\scalebox{1.596}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.666,6.528) -- (12.666,7.628);
\draw[line width=0.5pt] (12.435,7.243) -- (12.666,7.628) -- (12.897,7.243);
\draw[line width=0.5pt] (12.363,7.078) -- (12.968,7.078);
\node at (12.666,8.013) {\scalebox{1.596}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 2 & 3 & 3 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{E}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{E}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en D}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}, prend la \textbf{rue Verte ⑤} vers le nord et atteint Place de la Fontaine \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ①}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ②}, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ④}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Pont ③}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin des Vignes ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Haute ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue de la Poste ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{D} ou en \textbf{E} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
