\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 112}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=112}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0112}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7016, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.011,6.623) -- (6.379,6.504) -- (6.75,6.393) -- (7.124,6.291) -- (7.5,6.198) -- (7.878,6.114) -- (8.257,6.039) -- (8.639,5.973) -- (9.022,5.915) -- (9.406,5.867) -- (9.792,5.828) -- (10.178,5.798) -- (10.564,5.777) -- (10.951,5.765) -- (11.338,5.762);
\draw[line width=0.5pt] (6.011,6.623) -- (5.807,6.501) -- (5.599,6.383) -- (5.389,6.271) -- (5.176,6.164) -- (4.961,6.061) -- (4.743,5.964) -- (4.523,5.872) -- (4.301,5.785) -- (4.077,5.703) -- (3.851,5.626) -- (3.624,5.555) -- (3.395,5.49) -- (3.164,5.429) -- (2.932,5.375);
\draw[line width=0.5pt] (6.011,6.623) -- (6.157,6.402) -- (6.307,6.186) -- (6.463,5.972) -- (6.623,5.763) -- (6.789,5.557) -- (6.959,5.355) -- (7.134,5.157) -- (7.314,4.963) -- (7.498,4.774) -- (7.686,4.589) -- (7.879,4.408) -- (8.076,4.232) -- (8.277,4.061) -- (8.482,3.895);
\draw[line width=0.5pt] (6.011,6.623) -- (6.137,6.274) -- (6.254,5.922) -- (6.363,5.567) -- (6.463,5.209) -- (6.555,4.849) -- (6.639,4.488) -- (6.714,4.124) -- (6.781,3.758) -- (6.839,3.392) -- (6.888,3.023) -- (6.929,2.654) -- (6.96,2.285) -- (6.984,1.914) -- (6.998,1.543);
\draw[line width=0.5pt] (11.338,5.762) -- (11.115,5.661) -- (10.895,5.555) -- (10.677,5.443) -- (10.461,5.326) -- (10.249,5.205) -- (10.039,5.078) -- (9.833,4.946) -- (9.629,4.81) -- (9.429,4.669) -- (9.232,4.523) -- (9.039,4.373) -- (8.85,4.218) -- (8.664,4.059) -- (8.482,3.895);
\draw[line width=0.5pt] (2.932,5.375) -- (2.854,5.134) -- (2.769,4.896) -- (2.679,4.66) -- (2.584,4.425) -- (2.483,4.193) -- (2.377,3.964) -- (2.265,3.737) -- (2.148,3.512) -- (2.025,3.291) -- (1.898,3.072) -- (1.765,2.857) -- (1.628,2.644) -- (1.485,2.436) -- (1.338,2.23);
\draw[line width=0.5pt] (2.932,5.375) -- (2.959,5.299) -- (2.987,5.225) -- (3.017,5.151) -- (3.048,5.077) -- (3.082,5.005) -- (3.117,4.933) -- (3.154,4.862) -- (3.192,4.792) -- (3.232,4.723) -- (3.274,4.655) -- (3.317,4.587) -- (3.362,4.521) -- (3.408,4.456) -- (3.456,4.392) -- (3.738,4.229) -- (4.017,4.059) -- (4.291,3.883) -- (4.561,3.7) -- (4.827,3.511) -- (5.088,3.316) -- (5.345,3.114) -- (5.596,2.907) -- (5.843,2.693) -- (6.085,2.474) -- (6.321,2.25) -- (6.553,2.02) -- (6.778,1.784) -- (6.998,1.543);
\draw[line width=0.5pt] (8.482,3.895) -- (8.402,3.712) -- (8.319,3.531) -- (8.231,3.352) -- (8.138,3.175) -- (8.042,3.001) -- (7.941,2.828) -- (7.837,2.658) -- (7.728,2.491) -- (7.616,2.326) -- (7.5,2.163) -- (7.38,2.004) -- (7.256,1.847) -- (7.129,1.694) -- (6.998,1.543);
\draw[line width=0.5pt] (1.338,2.23) -- (1.731,2.12) -- (2.128,2.018) -- (2.526,1.926) -- (2.927,1.844) -- (3.33,1.771) -- (3.734,1.707) -- (4.139,1.653) -- (4.546,1.609) -- (4.954,1.574) -- (5.363,1.548) -- (5.771,1.533) -- (6.18,1.527) -- (6.589,1.53) -- (6.998,1.543);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.171,6.623) -- (6.15,6.703) -- (6.091,6.761) -- (6.011,6.783) -- (5.931,6.761) -- (5.873,6.703) -- (5.851,6.623) -- (5.873,6.543) -- (5.931,6.484) -- (6.011,6.463) -- (6.091,6.484) -- (6.15,6.543) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.498,5.762) -- (11.476,5.842) -- (11.418,5.901) -- (11.338,5.922) -- (11.258,5.901) -- (11.199,5.842) -- (11.178,5.762) -- (11.199,5.682) -- (11.258,5.624) -- (11.338,5.602) -- (11.418,5.624) -- (11.476,5.682) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.092,5.375) -- (3.071,5.455) -- (3.012,5.513) -- (2.932,5.535) -- (2.852,5.513) -- (2.794,5.455) -- (2.772,5.375) -- (2.794,5.295) -- (2.852,5.236) -- (2.932,5.215) -- (3.012,5.236) -- (3.071,5.295) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.642,3.895) -- (8.62,3.975) -- (8.562,4.034) -- (8.482,4.055) -- (8.402,4.034) -- (8.343,3.975) -- (8.322,3.895) -- (8.343,3.815) -- (8.402,3.757) -- (8.482,3.735) -- (8.562,3.757) -- (8.62,3.815) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.498,2.23) -- (1.476,2.31) -- (1.418,2.369) -- (1.338,2.39) -- (1.258,2.369) -- (1.199,2.31) -- (1.178,2.23) -- (1.199,2.15) -- (1.258,2.092) -- (1.338,2.07) -- (1.418,2.092) -- (1.476,2.15) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.158,1.543) -- (7.136,1.623) -- (7.078,1.682) -- (6.998,1.703) -- (6.918,1.682) -- (6.859,1.623) -- (6.838,1.543) -- (6.859,1.463) -- (6.918,1.405) -- (6.998,1.383) -- (7.078,1.405) -- (7.136,1.463) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.03,6.289) -- (8.985,6.459) -- (8.86,6.583) -- (8.69,6.629) -- (8.52,6.583) -- (8.396,6.459) -- (8.35,6.289) -- (8.396,6.119) -- (8.52,5.994) -- (8.69,5.949) -- (8.86,5.994) -- (8.985,6.119) -- cycle;
\node at (8.69,6.289) {\scalebox{1.425}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.983,5.575) -- (4.938,5.745) -- (4.813,5.87) -- (4.643,5.915) -- (4.473,5.87) -- (4.349,5.745) -- (4.303,5.575) -- (4.349,5.405) -- (4.473,5.281) -- (4.643,5.235) -- (4.813,5.281) -- (4.938,5.405) -- cycle;
\node at (4.643,5.575) {\scalebox{1.425}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.711,5.372) -- (7.666,5.542) -- (7.541,5.666) -- (7.371,5.712) -- (7.201,5.666) -- (7.077,5.542) -- (7.031,5.372) -- (7.077,5.202) -- (7.201,5.077) -- (7.371,5.032) -- (7.541,5.077) -- (7.666,5.202) -- cycle;
\node at (7.371,5.372) {\scalebox{1.425}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.368,4.185) -- (7.323,4.355) -- (7.198,4.479) -- (7.028,4.525) -- (6.858,4.479) -- (6.734,4.355) -- (6.688,4.185) -- (6.734,4.015) -- (6.858,3.89) -- (7.028,3.845) -- (7.198,3.89) -- (7.323,4.015) -- cycle;
\node at (7.028,4.185) {\scalebox{1.425}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.348,4.679) -- (10.302,4.849) -- (10.178,4.973) -- (10.008,5.019) -- (9.838,4.973) -- (9.713,4.849) -- (9.668,4.679) -- (9.713,4.509) -- (9.838,4.384) -- (10.008,4.339) -- (10.178,4.384) -- (10.302,4.509) -- cycle;
\node at (10.008,4.679) {\scalebox{1.425}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.89,3.592) -- (2.845,3.762) -- (2.72,3.886) -- (2.55,3.932) -- (2.38,3.886) -- (2.256,3.762) -- (2.21,3.592) -- (2.256,3.422) -- (2.38,3.297) -- (2.55,3.252) -- (2.72,3.297) -- (2.845,3.422) -- cycle;
\node at (2.55,3.592) {\scalebox{1.425}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.977,4.656) -- (3.932,4.826) -- (3.807,4.95) -- (3.637,4.996) -- (3.467,4.95) -- (3.343,4.826) -- (3.297,4.656) -- (3.343,4.486) -- (3.467,4.362) -- (3.637,4.316) -- (3.807,4.362) -- (3.932,4.486) -- cycle;
\node at (3.637,4.656) {\scalebox{1.425}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.447,2.487) -- (8.402,2.657) -- (8.277,2.782) -- (8.107,2.827) -- (7.937,2.782) -- (7.813,2.657) -- (7.767,2.487) -- (7.813,2.317) -- (7.937,2.193) -- (8.107,2.147) -- (8.277,2.193) -- (8.402,2.317) -- cycle;
\node at (8.107,2.487) {\scalebox{1.425}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.518,1.971) -- (4.472,2.141) -- (4.348,2.265) -- (4.178,2.311) -- (4.008,2.265) -- (3.884,2.141) -- (3.838,1.971) -- (3.884,1.801) -- (4.008,1.677) -- (4.178,1.631) -- (4.348,1.677) -- (4.472,1.801) -- cycle;
\node at (4.178,1.971) {\scalebox{1.425}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (2.632,5.075) -- (3.232,5.075) -- (3.232,5.675) -- (2.632,5.675) -- cycle;
\node at (2.932,5.375) {\scalebox{1.425}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.246,6.949) -- (9.846,6.949) -- (9.846,7.549) -- (9.246,7.549) -- cycle;
\node at (9.546,7.249) {\scalebox{1.425}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.14,1.11) -- (3.74,1.11) -- (3.74,1.71) -- (3.14,1.71) -- cycle;
\node at (3.44,1.41) {\scalebox{1.425}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.932,4.255) -- (11.532,4.255) -- (11.532,4.855) -- (10.932,4.855) -- cycle;
\node at (11.232,4.555) {\scalebox{1.425}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.381,2.953) -- (1.981,2.953) -- (1.981,3.553) -- (1.381,3.553) -- cycle;
\node at (1.681,3.253) {\scalebox{1.425}{\small e}};
\node at (5.967,7.241) {\scalebox{1.425}{\small A}};
\node at (11.932,5.938) {\scalebox{1.425}{\small B}};
\node at (2.347,5.579) {\scalebox{1.425}{\small C}};
\node at (9.095,3.804) {\scalebox{1.425}{\small D}};
\node at (0.765,1.993) {\scalebox{1.425}{\small E}};
\node at (7.177,0.95) {\scalebox{1.425}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.638,5.673) -- (12.638,6.773);
\draw[line width=0.5pt] (12.407,6.388) -- (12.638,6.773) -- (12.869,6.388);
\draw[line width=0.5pt] (12.335,6.223) -- (12.94,6.223);
\node at (12.638,7.158) {\scalebox{1.425}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Moulin & ⑥ rue Basse & Ⓐ Rond-point de la Gare & \textbf{a} la poste \\ \hline
② quai aux Fleurs & ⑦ rue de la Mairie & Ⓑ Place de l'Église & \textbf{b} la pharmacie \\ \hline
③ avenue de la Gare & ⑧ rue des Écoles & Ⓒ Rond-point de la Poste & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ rue du Four & ⑨ chemin des Vignes & Ⓓ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ rue Haute &  & Ⓔ Fontaine Notre-Dame & \textbf{e} la bibliothèque \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point du Stade &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6278, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.011,6.623) -- (6.379,6.504) -- (6.75,6.393) -- (7.124,6.291) -- (7.5,6.198) -- (7.878,6.114) -- (8.257,6.039) -- (8.639,5.973) -- (9.022,5.915) -- (9.406,5.867) -- (9.792,5.828) -- (10.178,5.798) -- (10.564,5.777) -- (10.951,5.765) -- (11.338,5.762);
\draw[line width=0.5pt] (6.011,6.623) -- (5.807,6.501) -- (5.599,6.383) -- (5.389,6.271) -- (5.176,6.164) -- (4.961,6.061) -- (4.743,5.964) -- (4.523,5.872) -- (4.301,5.785) -- (4.077,5.703) -- (3.851,5.626) -- (3.624,5.555) -- (3.395,5.49) -- (3.164,5.429) -- (2.932,5.375);
\draw[line width=0.5pt] (6.011,6.623) -- (6.157,6.402) -- (6.307,6.186) -- (6.463,5.972) -- (6.623,5.763) -- (6.789,5.557) -- (6.959,5.355) -- (7.134,5.157) -- (7.314,4.963) -- (7.498,4.774) -- (7.686,4.589) -- (7.879,4.408) -- (8.076,4.232) -- (8.277,4.061) -- (8.482,3.895);
\draw[line width=0.5pt] (6.011,6.623) -- (6.137,6.274) -- (6.254,5.922) -- (6.363,5.567) -- (6.463,5.209) -- (6.555,4.849) -- (6.639,4.488) -- (6.714,4.124) -- (6.781,3.758) -- (6.839,3.392) -- (6.888,3.023) -- (6.929,2.654) -- (6.96,2.285) -- (6.984,1.914) -- (6.998,1.543);
\draw[line width=0.5pt] (11.338,5.762) -- (11.115,5.661) -- (10.895,5.555) -- (10.677,5.443) -- (10.461,5.326) -- (10.249,5.205) -- (10.039,5.078) -- (9.833,4.946) -- (9.629,4.81) -- (9.429,4.669) -- (9.232,4.523) -- (9.039,4.373) -- (8.85,4.218) -- (8.664,4.059) -- (8.482,3.895);
\draw[line width=0.5pt] (2.932,5.375) -- (2.854,5.134) -- (2.769,4.896) -- (2.679,4.66) -- (2.584,4.425) -- (2.483,4.193) -- (2.377,3.964) -- (2.265,3.737) -- (2.148,3.512) -- (2.025,3.291) -- (1.898,3.072) -- (1.765,2.857) -- (1.628,2.644) -- (1.485,2.436) -- (1.338,2.23);
\draw[line width=0.5pt] (2.932,5.375) -- (2.959,5.299) -- (2.987,5.225) -- (3.017,5.151) -- (3.048,5.077) -- (3.082,5.005) -- (3.117,4.933) -- (3.154,4.862) -- (3.192,4.792) -- (3.232,4.723) -- (3.274,4.655) -- (3.317,4.587) -- (3.362,4.521) -- (3.408,4.456) -- (3.456,4.392) -- (3.738,4.229) -- (4.017,4.059) -- (4.291,3.883) -- (4.561,3.7) -- (4.827,3.511) -- (5.088,3.316) -- (5.345,3.114) -- (5.596,2.907) -- (5.843,2.693) -- (6.085,2.474) -- (6.321,2.25) -- (6.553,2.02) -- (6.778,1.784) -- (6.998,1.543);
\draw[line width=0.5pt] (8.482,3.895) -- (8.402,3.712) -- (8.319,3.531) -- (8.231,3.352) -- (8.138,3.175) -- (8.042,3.001) -- (7.941,2.828) -- (7.837,2.658) -- (7.728,2.491) -- (7.616,2.326) -- (7.5,2.163) -- (7.38,2.004) -- (7.256,1.847) -- (7.129,1.694) -- (6.998,1.543);
\draw[line width=0.5pt] (1.338,2.23) -- (1.731,2.12) -- (2.128,2.018) -- (2.526,1.926) -- (2.927,1.844) -- (3.33,1.771) -- (3.734,1.707) -- (4.139,1.653) -- (4.546,1.609) -- (4.954,1.574) -- (5.363,1.548) -- (5.771,1.533) -- (6.18,1.527) -- (6.589,1.53) -- (6.998,1.543);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.171,6.623) -- (6.15,6.703) -- (6.091,6.761) -- (6.011,6.783) -- (5.931,6.761) -- (5.873,6.703) -- (5.851,6.623) -- (5.873,6.543) -- (5.931,6.484) -- (6.011,6.463) -- (6.091,6.484) -- (6.15,6.543) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.498,5.762) -- (11.476,5.842) -- (11.418,5.901) -- (11.338,5.922) -- (11.258,5.901) -- (11.199,5.842) -- (11.178,5.762) -- (11.199,5.682) -- (11.258,5.624) -- (11.338,5.602) -- (11.418,5.624) -- (11.476,5.682) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.092,5.375) -- (3.071,5.455) -- (3.012,5.513) -- (2.932,5.535) -- (2.852,5.513) -- (2.794,5.455) -- (2.772,5.375) -- (2.794,5.295) -- (2.852,5.236) -- (2.932,5.215) -- (3.012,5.236) -- (3.071,5.295) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.642,3.895) -- (8.62,3.975) -- (8.562,4.034) -- (8.482,4.055) -- (8.402,4.034) -- (8.343,3.975) -- (8.322,3.895) -- (8.343,3.815) -- (8.402,3.757) -- (8.482,3.735) -- (8.562,3.757) -- (8.62,3.815) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.498,2.23) -- (1.476,2.31) -- (1.418,2.369) -- (1.338,2.39) -- (1.258,2.369) -- (1.199,2.31) -- (1.178,2.23) -- (1.199,2.15) -- (1.258,2.092) -- (1.338,2.07) -- (1.418,2.092) -- (1.476,2.15) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.158,1.543) -- (7.136,1.623) -- (7.078,1.682) -- (6.998,1.703) -- (6.918,1.682) -- (6.859,1.623) -- (6.838,1.543) -- (6.859,1.463) -- (6.918,1.405) -- (6.998,1.383) -- (7.078,1.405) -- (7.136,1.463) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.03,6.289) -- (8.985,6.459) -- (8.86,6.583) -- (8.69,6.629) -- (8.52,6.583) -- (8.396,6.459) -- (8.35,6.289) -- (8.396,6.119) -- (8.52,5.994) -- (8.69,5.949) -- (8.86,5.994) -- (8.985,6.119) -- cycle;
\node at (8.69,6.289) {\scalebox{1.593}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.983,5.575) -- (4.938,5.745) -- (4.813,5.87) -- (4.643,5.915) -- (4.473,5.87) -- (4.349,5.745) -- (4.303,5.575) -- (4.349,5.405) -- (4.473,5.281) -- (4.643,5.235) -- (4.813,5.281) -- (4.938,5.405) -- cycle;
\node at (4.643,5.575) {\scalebox{1.593}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.711,5.372) -- (7.666,5.542) -- (7.541,5.666) -- (7.371,5.712) -- (7.201,5.666) -- (7.077,5.542) -- (7.031,5.372) -- (7.077,5.202) -- (7.201,5.077) -- (7.371,5.032) -- (7.541,5.077) -- (7.666,5.202) -- cycle;
\node at (7.371,5.372) {\scalebox{1.593}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.368,4.185) -- (7.323,4.355) -- (7.198,4.479) -- (7.028,4.525) -- (6.858,4.479) -- (6.734,4.355) -- (6.688,4.185) -- (6.734,4.015) -- (6.858,3.89) -- (7.028,3.845) -- (7.198,3.89) -- (7.323,4.015) -- cycle;
\node at (7.028,4.185) {\scalebox{1.593}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.348,4.679) -- (10.302,4.849) -- (10.178,4.973) -- (10.008,5.019) -- (9.838,4.973) -- (9.713,4.849) -- (9.668,4.679) -- (9.713,4.509) -- (9.838,4.384) -- (10.008,4.339) -- (10.178,4.384) -- (10.302,4.509) -- cycle;
\node at (10.008,4.679) {\scalebox{1.593}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.89,3.592) -- (2.845,3.762) -- (2.72,3.886) -- (2.55,3.932) -- (2.38,3.886) -- (2.256,3.762) -- (2.21,3.592) -- (2.256,3.422) -- (2.38,3.297) -- (2.55,3.252) -- (2.72,3.297) -- (2.845,3.422) -- cycle;
\node at (2.55,3.592) {\scalebox{1.593}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.977,4.656) -- (3.932,4.826) -- (3.807,4.95) -- (3.637,4.996) -- (3.467,4.95) -- (3.343,4.826) -- (3.297,4.656) -- (3.343,4.486) -- (3.467,4.362) -- (3.637,4.316) -- (3.807,4.362) -- (3.932,4.486) -- cycle;
\node at (3.637,4.656) {\scalebox{1.593}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.447,2.487) -- (8.402,2.657) -- (8.277,2.782) -- (8.107,2.827) -- (7.937,2.782) -- (7.813,2.657) -- (7.767,2.487) -- (7.813,2.317) -- (7.937,2.193) -- (8.107,2.147) -- (8.277,2.193) -- (8.402,2.317) -- cycle;
\node at (8.107,2.487) {\scalebox{1.593}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.518,1.971) -- (4.472,2.141) -- (4.348,2.265) -- (4.178,2.311) -- (4.008,2.265) -- (3.884,2.141) -- (3.838,1.971) -- (3.884,1.801) -- (4.008,1.677) -- (4.178,1.631) -- (4.348,1.677) -- (4.472,1.801) -- cycle;
\node at (4.178,1.971) {\scalebox{1.593}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (2.632,5.075) -- (3.232,5.075) -- (3.232,5.675) -- (2.632,5.675) -- cycle;
\node at (2.932,5.375) {\scalebox{1.593}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.246,6.949) -- (9.846,6.949) -- (9.846,7.549) -- (9.246,7.549) -- cycle;
\node at (9.546,7.249) {\scalebox{1.593}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.14,1.11) -- (3.74,1.11) -- (3.74,1.71) -- (3.14,1.71) -- cycle;
\node at (3.44,1.41) {\scalebox{1.593}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.932,4.255) -- (11.532,4.255) -- (11.532,4.855) -- (10.932,4.855) -- cycle;
\node at (11.232,4.555) {\scalebox{1.593}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.381,2.953) -- (1.981,2.953) -- (1.981,3.553) -- (1.381,3.553) -- cycle;
\node at (1.681,3.253) {\scalebox{1.593}{\small e}};
\node at (5.967,7.241) {\scalebox{1.593}{\small A}};
\node at (11.932,5.938) {\scalebox{1.593}{\small B}};
\node at (2.347,5.579) {\scalebox{1.593}{\small C}};
\node at (9.095,3.804) {\scalebox{1.593}{\small D}};
\node at (0.765,1.993) {\scalebox{1.593}{\small E}};
\node at (7.177,0.95) {\scalebox{1.593}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.638,5.673) -- (12.638,6.773);
\draw[line width=0.5pt] (12.407,6.388) -- (12.638,6.773) -- (12.869,6.388);
\draw[line width=0.5pt] (12.335,6.223) -- (12.94,6.223);
\node at (12.638,7.158) {\scalebox{1.593}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 3 & 3 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{D} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{D}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{C}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en D}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Poste \textbf{(C)}, prend le \textbf{quai aux Fleurs ②} vers l'est et atteint Rond-point de la Gare \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ①}, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Haute ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ③}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Four ④}, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑨}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{C} ou en \textbf{D} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
