\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 113}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=113}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0113}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7002, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.37,7.596) -- (10.123,7.581) -- (9.877,7.559) -- (9.631,7.532) -- (9.385,7.499) -- (9.141,7.46) -- (8.897,7.416) -- (8.655,7.366) -- (8.413,7.31) -- (8.173,7.248) -- (7.935,7.181) -- (7.698,7.108) -- (7.464,7.03) -- (7.231,6.946) -- (7.0,6.857);
\draw[line width=0.5pt] (10.37,7.596) -- (10.322,7.389) -- (10.27,7.183) -- (10.212,6.979) -- (10.15,6.775) -- (10.082,6.573) -- (10.01,6.373) -- (9.934,6.175) -- (9.852,5.978) -- (9.767,5.783) -- (9.676,5.591) -- (9.581,5.4) -- (9.482,5.212) -- (9.378,5.027) -- (9.27,4.844);
\draw[line width=0.5pt] (10.37,7.596) -- (10.392,7.273) -- (10.422,6.949) -- (10.46,6.627) -- (10.505,6.305) -- (10.558,5.985) -- (10.618,5.666) -- (10.686,5.348) -- (10.761,5.032) -- (10.843,4.718) -- (10.933,4.405) -- (11.03,4.095) -- (11.135,3.788) -- (11.246,3.483) -- (11.365,3.181);
\draw[line width=0.5pt] (7.0,6.857) -- (7.183,6.739) -- (7.363,6.617) -- (7.54,6.49) -- (7.714,6.36) -- (7.886,6.225) -- (8.053,6.086) -- (8.218,5.944) -- (8.379,5.797) -- (8.537,5.647) -- (8.691,5.494) -- (8.842,5.336) -- (8.989,5.175) -- (9.131,5.011) -- (9.27,4.844);
\draw[line width=0.5pt] (7.0,6.857) -- (6.755,6.723) -- (6.512,6.584) -- (6.273,6.439) -- (6.038,6.289) -- (5.806,6.133) -- (5.577,5.972) -- (5.353,5.805) -- (5.132,5.633) -- (4.916,5.456) -- (4.704,5.274) -- (4.496,5.087) -- (4.293,4.895) -- (4.094,4.698) -- (3.9,4.497) -- (3.737,4.362) -- (3.571,4.231) -- (3.402,4.104) -- (3.229,3.981) -- (3.054,3.862) -- (2.876,3.747) -- (2.695,3.637) -- (2.512,3.53) -- (2.326,3.428) -- (2.138,3.331) -- (1.948,3.237) -- (1.756,3.149) -- (1.561,3.065) -- (1.365,2.985);
\draw[line width=0.5pt] (7.0,6.857) -- (6.999,6.517) -- (6.989,6.178) -- (6.972,5.839) -- (6.946,5.5) -- (6.913,5.162) -- (6.871,4.825) -- (6.822,4.489) -- (6.765,4.154) -- (6.7,3.821) -- (6.627,3.489) -- (6.546,3.159) -- (6.458,2.831) -- (6.362,2.506) -- (6.258,2.183);
\draw[line width=0.5pt] (9.27,4.844) -- (9.028,4.688) -- (8.789,4.527) -- (8.554,4.36) -- (8.323,4.187) -- (8.096,4.009) -- (7.873,3.826) -- (7.654,3.638) -- (7.44,3.444) -- (7.231,3.246) -- (7.026,3.042) -- (6.827,2.834) -- (6.632,2.622) -- (6.442,2.404) -- (6.258,2.183);
\draw[line width=0.5pt] (11.365,3.181) -- (11.014,3.055) -- (10.66,2.936) -- (10.303,2.826) -- (9.944,2.725) -- (9.582,2.632) -- (9.218,2.547) -- (8.853,2.471) -- (8.485,2.404) -- (8.116,2.345) -- (7.746,2.295) -- (7.375,2.254) -- (7.003,2.221) -- (6.631,2.198) -- (6.258,2.183);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.53,7.596) -- (10.509,7.676) -- (10.45,7.735) -- (10.37,7.756) -- (10.29,7.735) -- (10.232,7.676) -- (10.21,7.596) -- (10.232,7.516) -- (10.29,7.458) -- (10.37,7.436) -- (10.45,7.458) -- (10.509,7.516) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.16,6.857) -- (7.139,6.937) -- (7.08,6.995) -- (7.0,7.017) -- (6.92,6.995) -- (6.861,6.937) -- (6.84,6.857) -- (6.861,6.777) -- (6.92,6.718) -- (7.0,6.697) -- (7.08,6.718) -- (7.139,6.777) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.43,4.844) -- (9.409,4.924) -- (9.35,4.982) -- (9.27,5.004) -- (9.19,4.982) -- (9.132,4.924) -- (9.11,4.844) -- (9.132,4.764) -- (9.19,4.705) -- (9.27,4.684) -- (9.35,4.705) -- (9.409,4.764) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.525,3.181) -- (11.504,3.261) -- (11.445,3.32) -- (11.365,3.341) -- (11.285,3.32) -- (11.226,3.261) -- (11.205,3.181) -- (11.226,3.101) -- (11.285,3.043) -- (11.365,3.021) -- (11.445,3.043) -- (11.504,3.101) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.525,2.985) -- (1.504,3.065) -- (1.445,3.124) -- (1.365,3.145) -- (1.285,3.124) -- (1.226,3.065) -- (1.205,2.985) -- (1.226,2.905) -- (1.285,2.847) -- (1.365,2.825) -- (1.445,2.847) -- (1.504,2.905) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.418,2.183) -- (6.396,2.263) -- (6.338,2.321) -- (6.258,2.343) -- (6.178,2.321) -- (6.119,2.263) -- (6.098,2.183) -- (6.119,2.103) -- (6.178,2.044) -- (6.258,2.023) -- (6.338,2.044) -- (6.396,2.103) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.063,7.053) -- (9.018,7.223) -- (8.893,7.347) -- (8.723,7.393) -- (8.553,7.347) -- (8.429,7.223) -- (8.383,7.053) -- (8.429,6.883) -- (8.553,6.759) -- (8.723,6.713) -- (8.893,6.759) -- (9.018,6.883) -- cycle;
\node at (8.723,7.053) {\scalebox{1.428}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.571,6.056) -- (10.525,6.226) -- (10.401,6.35) -- (10.231,6.396) -- (10.061,6.35) -- (9.936,6.226) -- (9.891,6.056) -- (9.936,5.886) -- (10.061,5.762) -- (10.231,5.716) -- (10.401,5.762) -- (10.525,5.886) -- cycle;
\node at (10.231,6.056) {\scalebox{1.428}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.338,5.418) -- (11.292,5.588) -- (11.168,5.713) -- (10.998,5.758) -- (10.828,5.713) -- (10.703,5.588) -- (10.658,5.418) -- (10.703,5.248) -- (10.828,5.124) -- (10.998,5.078) -- (11.168,5.124) -- (11.292,5.248) -- cycle;
\node at (10.998,5.418) {\scalebox{1.428}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.77,6.183) -- (8.725,6.353) -- (8.6,6.478) -- (8.43,6.523) -- (8.26,6.478) -- (8.136,6.353) -- (8.09,6.183) -- (8.136,6.013) -- (8.26,5.889) -- (8.43,5.843) -- (8.6,5.889) -- (8.725,6.013) -- cycle;
\node at (8.43,6.183) {\scalebox{1.428}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.46,4.264) -- (4.414,4.434) -- (4.29,4.559) -- (4.12,4.604) -- (3.95,4.559) -- (3.825,4.434) -- (3.78,4.264) -- (3.825,4.094) -- (3.95,3.97) -- (4.12,3.924) -- (4.29,3.97) -- (4.414,4.094) -- cycle;
\node at (4.12,4.264) {\scalebox{1.428}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.478,4.439) -- (7.432,4.609) -- (7.308,4.733) -- (7.138,4.779) -- (6.968,4.733) -- (6.843,4.609) -- (6.798,4.439) -- (6.843,4.269) -- (6.968,4.144) -- (7.138,4.099) -- (7.308,4.144) -- (7.432,4.269) -- cycle;
\node at (7.138,4.439) {\scalebox{1.428}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.206,3.398) -- (8.161,3.568) -- (8.036,3.692) -- (7.866,3.738) -- (7.696,3.692) -- (7.572,3.568) -- (7.526,3.398) -- (7.572,3.228) -- (7.696,3.103) -- (7.866,3.058) -- (8.036,3.103) -- (8.161,3.228) -- cycle;
\node at (7.866,3.398) {\scalebox{1.428}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.254,2.157) -- (9.209,2.327) -- (9.084,2.452) -- (8.914,2.497) -- (8.744,2.452) -- (8.62,2.327) -- (8.574,2.157) -- (8.62,1.987) -- (8.744,1.863) -- (8.914,1.817) -- (9.084,1.863) -- (9.209,1.987) -- cycle;
\node at (8.914,2.157) {\scalebox{1.428}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.065,2.685) -- (1.665,2.685) -- (1.665,3.285) -- (1.065,3.285) -- cycle;
\node at (1.365,2.985) {\scalebox{1.428}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.718,2.925) -- (8.318,2.925) -- (8.318,3.525) -- (7.718,3.525) -- cycle;
\node at (8.018,3.225) {\scalebox{1.428}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.155,0.65) -- (9.755,0.65) -- (9.755,1.25) -- (9.155,1.25) -- cycle;
\node at (9.455,0.95) {\scalebox{1.428}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.136,6.147) -- (11.736,6.147) -- (11.736,6.747) -- (11.136,6.747) -- cycle;
\node at (11.436,6.447) {\scalebox{1.428}{\small d}};
\node at (10.791,8.051) {\scalebox{1.428}{\small A}};
\node at (6.839,7.455) {\scalebox{1.428}{\small B}};
\node at (9.884,4.931) {\scalebox{1.428}{\small C}};
\node at (11.945,2.961) {\scalebox{1.428}{\small D}};
\node at (0.765,2.829) {\scalebox{1.428}{\small E}};
\node at (5.957,1.641) {\scalebox{1.428}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.665,6.646) -- (12.665,7.746);
\draw[line width=0.5pt] (12.434,7.361) -- (12.665,7.746) -- (12.896,7.361);
\draw[line width=0.5pt] (12.363,7.196) -- (12.968,7.196);
\node at (12.665,8.131) {\scalebox{1.428}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Stade & ⑤ impasse du Vieux-Four & Ⓐ Carrefour des Tilleuls & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Lilas & ⑥ rue du Puits & Ⓑ Carrefour du Lavoir & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ quai aux Fleurs & ⑦ rue du Four & Ⓒ Carrefour de la Mairie & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ rue de la Mairie & ⑧ rue de l'Église & Ⓓ Place des Tanneurs & \textbf{d} l'église \\ \hline
 &  & Ⓔ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6265, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.37,7.596) -- (10.123,7.581) -- (9.877,7.559) -- (9.631,7.532) -- (9.385,7.499) -- (9.141,7.46) -- (8.897,7.416) -- (8.655,7.366) -- (8.413,7.31) -- (8.173,7.248) -- (7.935,7.181) -- (7.698,7.108) -- (7.464,7.03) -- (7.231,6.946) -- (7.0,6.857);
\draw[line width=0.5pt] (10.37,7.596) -- (10.322,7.389) -- (10.27,7.183) -- (10.212,6.979) -- (10.15,6.775) -- (10.082,6.573) -- (10.01,6.373) -- (9.934,6.175) -- (9.852,5.978) -- (9.767,5.783) -- (9.676,5.591) -- (9.581,5.4) -- (9.482,5.212) -- (9.378,5.027) -- (9.27,4.844);
\draw[line width=0.5pt] (10.37,7.596) -- (10.392,7.273) -- (10.422,6.949) -- (10.46,6.627) -- (10.505,6.305) -- (10.558,5.985) -- (10.618,5.666) -- (10.686,5.348) -- (10.761,5.032) -- (10.843,4.718) -- (10.933,4.405) -- (11.03,4.095) -- (11.135,3.788) -- (11.246,3.483) -- (11.365,3.181);
\draw[line width=0.5pt] (7.0,6.857) -- (7.183,6.739) -- (7.363,6.617) -- (7.54,6.49) -- (7.714,6.36) -- (7.886,6.225) -- (8.053,6.086) -- (8.218,5.944) -- (8.379,5.797) -- (8.537,5.647) -- (8.691,5.494) -- (8.842,5.336) -- (8.989,5.175) -- (9.131,5.011) -- (9.27,4.844);
\draw[line width=0.5pt] (7.0,6.857) -- (6.755,6.723) -- (6.512,6.584) -- (6.273,6.439) -- (6.038,6.289) -- (5.806,6.133) -- (5.577,5.972) -- (5.353,5.805) -- (5.132,5.633) -- (4.916,5.456) -- (4.704,5.274) -- (4.496,5.087) -- (4.293,4.895) -- (4.094,4.698) -- (3.9,4.497) -- (3.737,4.362) -- (3.571,4.231) -- (3.402,4.104) -- (3.229,3.981) -- (3.054,3.862) -- (2.876,3.747) -- (2.695,3.637) -- (2.512,3.53) -- (2.326,3.428) -- (2.138,3.331) -- (1.948,3.237) -- (1.756,3.149) -- (1.561,3.065) -- (1.365,2.985);
\draw[line width=0.5pt] (7.0,6.857) -- (6.999,6.517) -- (6.989,6.178) -- (6.972,5.839) -- (6.946,5.5) -- (6.913,5.162) -- (6.871,4.825) -- (6.822,4.489) -- (6.765,4.154) -- (6.7,3.821) -- (6.627,3.489) -- (6.546,3.159) -- (6.458,2.831) -- (6.362,2.506) -- (6.258,2.183);
\draw[line width=0.5pt] (9.27,4.844) -- (9.028,4.688) -- (8.789,4.527) -- (8.554,4.36) -- (8.323,4.187) -- (8.096,4.009) -- (7.873,3.826) -- (7.654,3.638) -- (7.44,3.444) -- (7.231,3.246) -- (7.026,3.042) -- (6.827,2.834) -- (6.632,2.622) -- (6.442,2.404) -- (6.258,2.183);
\draw[line width=0.5pt] (11.365,3.181) -- (11.014,3.055) -- (10.66,2.936) -- (10.303,2.826) -- (9.944,2.725) -- (9.582,2.632) -- (9.218,2.547) -- (8.853,2.471) -- (8.485,2.404) -- (8.116,2.345) -- (7.746,2.295) -- (7.375,2.254) -- (7.003,2.221) -- (6.631,2.198) -- (6.258,2.183);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.53,7.596) -- (10.509,7.676) -- (10.45,7.735) -- (10.37,7.756) -- (10.29,7.735) -- (10.232,7.676) -- (10.21,7.596) -- (10.232,7.516) -- (10.29,7.458) -- (10.37,7.436) -- (10.45,7.458) -- (10.509,7.516) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.16,6.857) -- (7.139,6.937) -- (7.08,6.995) -- (7.0,7.017) -- (6.92,6.995) -- (6.861,6.937) -- (6.84,6.857) -- (6.861,6.777) -- (6.92,6.718) -- (7.0,6.697) -- (7.08,6.718) -- (7.139,6.777) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.43,4.844) -- (9.409,4.924) -- (9.35,4.982) -- (9.27,5.004) -- (9.19,4.982) -- (9.132,4.924) -- (9.11,4.844) -- (9.132,4.764) -- (9.19,4.705) -- (9.27,4.684) -- (9.35,4.705) -- (9.409,4.764) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.525,3.181) -- (11.504,3.261) -- (11.445,3.32) -- (11.365,3.341) -- (11.285,3.32) -- (11.226,3.261) -- (11.205,3.181) -- (11.226,3.101) -- (11.285,3.043) -- (11.365,3.021) -- (11.445,3.043) -- (11.504,3.101) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.525,2.985) -- (1.504,3.065) -- (1.445,3.124) -- (1.365,3.145) -- (1.285,3.124) -- (1.226,3.065) -- (1.205,2.985) -- (1.226,2.905) -- (1.285,2.847) -- (1.365,2.825) -- (1.445,2.847) -- (1.504,2.905) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.418,2.183) -- (6.396,2.263) -- (6.338,2.321) -- (6.258,2.343) -- (6.178,2.321) -- (6.119,2.263) -- (6.098,2.183) -- (6.119,2.103) -- (6.178,2.044) -- (6.258,2.023) -- (6.338,2.044) -- (6.396,2.103) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.063,7.053) -- (9.018,7.223) -- (8.893,7.347) -- (8.723,7.393) -- (8.553,7.347) -- (8.429,7.223) -- (8.383,7.053) -- (8.429,6.883) -- (8.553,6.759) -- (8.723,6.713) -- (8.893,6.759) -- (9.018,6.883) -- cycle;
\node at (8.723,7.053) {\scalebox{1.596}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.571,6.056) -- (10.525,6.226) -- (10.401,6.35) -- (10.231,6.396) -- (10.061,6.35) -- (9.936,6.226) -- (9.891,6.056) -- (9.936,5.886) -- (10.061,5.762) -- (10.231,5.716) -- (10.401,5.762) -- (10.525,5.886) -- cycle;
\node at (10.231,6.056) {\scalebox{1.596}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.338,5.418) -- (11.292,5.588) -- (11.168,5.713) -- (10.998,5.758) -- (10.828,5.713) -- (10.703,5.588) -- (10.658,5.418) -- (10.703,5.248) -- (10.828,5.124) -- (10.998,5.078) -- (11.168,5.124) -- (11.292,5.248) -- cycle;
\node at (10.998,5.418) {\scalebox{1.596}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.77,6.183) -- (8.725,6.353) -- (8.6,6.478) -- (8.43,6.523) -- (8.26,6.478) -- (8.136,6.353) -- (8.09,6.183) -- (8.136,6.013) -- (8.26,5.889) -- (8.43,5.843) -- (8.6,5.889) -- (8.725,6.013) -- cycle;
\node at (8.43,6.183) {\scalebox{1.596}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.46,4.264) -- (4.414,4.434) -- (4.29,4.559) -- (4.12,4.604) -- (3.95,4.559) -- (3.825,4.434) -- (3.78,4.264) -- (3.825,4.094) -- (3.95,3.97) -- (4.12,3.924) -- (4.29,3.97) -- (4.414,4.094) -- cycle;
\node at (4.12,4.264) {\scalebox{1.596}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.478,4.439) -- (7.432,4.609) -- (7.308,4.733) -- (7.138,4.779) -- (6.968,4.733) -- (6.843,4.609) -- (6.798,4.439) -- (6.843,4.269) -- (6.968,4.144) -- (7.138,4.099) -- (7.308,4.144) -- (7.432,4.269) -- cycle;
\node at (7.138,4.439) {\scalebox{1.596}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.206,3.398) -- (8.161,3.568) -- (8.036,3.692) -- (7.866,3.738) -- (7.696,3.692) -- (7.572,3.568) -- (7.526,3.398) -- (7.572,3.228) -- (7.696,3.103) -- (7.866,3.058) -- (8.036,3.103) -- (8.161,3.228) -- cycle;
\node at (7.866,3.398) {\scalebox{1.596}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.254,2.157) -- (9.209,2.327) -- (9.084,2.452) -- (8.914,2.497) -- (8.744,2.452) -- (8.62,2.327) -- (8.574,2.157) -- (8.62,1.987) -- (8.744,1.863) -- (8.914,1.817) -- (9.084,1.863) -- (9.209,1.987) -- cycle;
\node at (8.914,2.157) {\scalebox{1.596}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.065,2.685) -- (1.665,2.685) -- (1.665,3.285) -- (1.065,3.285) -- cycle;
\node at (1.365,2.985) {\scalebox{1.596}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.718,2.925) -- (8.318,2.925) -- (8.318,3.525) -- (7.718,3.525) -- cycle;
\node at (8.018,3.225) {\scalebox{1.596}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.155,0.65) -- (9.755,0.65) -- (9.755,1.25) -- (9.155,1.25) -- cycle;
\node at (9.455,0.95) {\scalebox{1.596}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.136,6.147) -- (11.736,6.147) -- (11.736,6.747) -- (11.136,6.747) -- cycle;
\node at (11.436,6.447) {\scalebox{1.596}{\small d}};
\node at (10.791,8.051) {\scalebox{1.596}{\small A}};
\node at (6.839,7.455) {\scalebox{1.596}{\small B}};
\node at (9.884,4.931) {\scalebox{1.596}{\small C}};
\node at (11.945,2.961) {\scalebox{1.596}{\small D}};
\node at (0.765,2.829) {\scalebox{1.596}{\small E}};
\node at (5.957,1.641) {\scalebox{1.596}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.665,6.646) -- (12.665,7.746);
\draw[line width=0.5pt] (12.434,7.361) -- (12.665,7.746) -- (12.896,7.361);
\draw[line width=0.5pt] (12.363,7.196) -- (12.968,7.196);
\node at (12.665,8.131) {\scalebox{1.596}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 4 & 3 & 2 & 1 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{C}, \textbf{E}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, C, E, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
