\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 114}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=114}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0114}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7056, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.185,8.14) -- (6.764,8.199) -- (6.342,8.248) -- (5.919,8.286) -- (5.494,8.315) -- (5.07,8.334) -- (4.644,8.342) -- (4.219,8.341) -- (3.794,8.33) -- (3.369,8.308) -- (2.945,8.277) -- (2.522,8.236) -- (2.1,8.185) -- (1.68,8.124) -- (1.261,8.053);
\draw[line width=0.5pt] (7.185,8.14) -- (7.038,7.893) -- (6.886,7.649) -- (6.728,7.409) -- (6.564,7.173) -- (6.395,6.94) -- (6.22,6.712) -- (6.04,6.488) -- (5.854,6.267) -- (5.664,6.052) -- (5.469,5.841) -- (5.268,5.634) -- (5.063,5.433) -- (4.854,5.236) -- (4.639,5.045);
\draw[line width=0.5pt] (7.185,8.14) -- (7.115,7.668) -- (7.056,7.195) -- (7.008,6.72) -- (6.972,6.244) -- (6.947,5.767) -- (6.933,5.29) -- (6.931,4.813) -- (6.939,4.335) -- (6.959,3.858) -- (6.99,3.382) -- (7.032,2.906) -- (7.085,2.432) -- (7.149,1.96) -- (7.225,1.489);
\draw[line width=0.5pt] (7.185,8.14) -- (7.42,7.859) -- (7.649,7.572) -- (7.872,7.279) -- (8.087,6.982) -- (8.295,6.679) -- (8.497,6.372) -- (8.691,6.059) -- (8.877,5.743) -- (9.056,5.422) -- (9.228,5.097) -- (9.392,4.768) -- (9.547,4.436) -- (9.695,4.099) -- (9.835,3.76) -- (9.909,3.57) -- (9.988,3.381) -- (10.071,3.194) -- (10.158,3.009) -- (10.25,2.826) -- (10.346,2.646) -- (10.446,2.467) -- (10.551,2.291) -- (10.659,2.118) -- (10.772,1.947) -- (10.888,1.779) -- (11.009,1.614) -- (11.133,1.452) -- (11.261,1.292);
\draw[line width=0.5pt] (1.261,8.053) -- (1.467,7.803) -- (1.68,7.558) -- (1.898,7.317) -- (2.122,7.082) -- (2.351,6.853) -- (2.586,6.628) -- (2.826,6.41) -- (3.071,6.196) -- (3.321,5.989) -- (3.576,5.788) -- (3.835,5.593) -- (4.099,5.404) -- (4.367,5.221) -- (4.639,5.045);
\draw[line width=0.5pt] (1.261,8.053) -- (1.321,7.711) -- (1.372,7.367) -- (1.416,7.022) -- (1.451,6.676) -- (1.478,6.33) -- (1.497,5.982) -- (1.508,5.635) -- (1.511,5.287) -- (1.505,4.939) -- (1.492,4.592) -- (1.47,4.245) -- (1.44,3.898) -- (1.402,3.553) -- (1.355,3.209);
\draw[line width=0.5pt] (4.639,5.045) -- (4.387,4.951) -- (4.136,4.85) -- (3.888,4.744) -- (3.642,4.632) -- (3.399,4.515) -- (3.159,4.391) -- (2.922,4.262) -- (2.687,4.128) -- (2.456,3.988) -- (2.229,3.842) -- (2.005,3.692) -- (1.784,3.536) -- (1.568,3.375) -- (1.355,3.209);
\draw[line width=0.5pt] (1.355,3.209) -- (1.79,3.151) -- (2.223,3.083) -- (2.655,3.005) -- (3.085,2.916) -- (3.513,2.818) -- (3.938,2.709) -- (4.361,2.591) -- (4.781,2.462) -- (5.198,2.324) -- (5.611,2.176) -- (6.021,2.019) -- (6.426,1.852) -- (6.828,1.675) -- (7.225,1.489);
\draw[line width=0.5pt] (7.225,1.489) -- (7.509,1.431) -- (7.794,1.379) -- (8.081,1.335) -- (8.368,1.297) -- (8.656,1.266) -- (8.945,1.242) -- (9.235,1.224) -- (9.525,1.213) -- (9.815,1.209) -- (10.105,1.212) -- (10.395,1.222) -- (10.684,1.239) -- (10.973,1.262) -- (11.261,1.292);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.345,8.14) -- (7.323,8.22) -- (7.265,8.279) -- (7.185,8.3) -- (7.105,8.279) -- (7.046,8.22) -- (7.025,8.14) -- (7.046,8.06) -- (7.105,8.002) -- (7.185,7.98) -- (7.265,8.002) -- (7.323,8.06) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.421,8.053) -- (1.4,8.133) -- (1.341,8.192) -- (1.261,8.213) -- (1.181,8.192) -- (1.122,8.133) -- (1.101,8.053) -- (1.122,7.973) -- (1.181,7.914) -- (1.261,7.893) -- (1.341,7.914) -- (1.4,7.973) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.799,5.045) -- (4.778,5.125) -- (4.719,5.183) -- (4.639,5.205) -- (4.559,5.183) -- (4.501,5.125) -- (4.479,5.045) -- (4.501,4.965) -- (4.559,4.906) -- (4.639,4.885) -- (4.719,4.906) -- (4.778,4.965) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.515,3.209) -- (1.494,3.289) -- (1.435,3.347) -- (1.355,3.369) -- (1.275,3.347) -- (1.217,3.289) -- (1.195,3.209) -- (1.217,3.129) -- (1.275,3.07) -- (1.355,3.049) -- (1.435,3.07) -- (1.494,3.129) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.385,1.489) -- (7.364,1.569) -- (7.305,1.627) -- (7.225,1.649) -- (7.145,1.627) -- (7.087,1.569) -- (7.065,1.489) -- (7.087,1.409) -- (7.145,1.35) -- (7.225,1.329) -- (7.305,1.35) -- (7.364,1.409) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.421,1.292) -- (11.4,1.372) -- (11.341,1.431) -- (11.261,1.452) -- (11.181,1.431) -- (11.122,1.372) -- (11.101,1.292) -- (11.122,1.212) -- (11.181,1.154) -- (11.261,1.132) -- (11.341,1.154) -- (11.4,1.212) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.564,8.021) -- (4.518,8.191) -- (4.394,8.315) -- (4.224,8.361) -- (4.054,8.315) -- (3.929,8.191) -- (3.884,8.021) -- (3.929,7.851) -- (4.054,7.727) -- (4.224,7.681) -- (4.394,7.727) -- (4.518,7.851) -- cycle;
\node at (4.224,8.021) {\scalebox{1.417}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.627,6.284) -- (6.581,6.454) -- (6.457,6.579) -- (6.287,6.624) -- (6.117,6.579) -- (5.992,6.454) -- (5.947,6.284) -- (5.992,6.114) -- (6.117,5.99) -- (6.287,5.944) -- (6.457,5.99) -- (6.581,6.114) -- cycle;
\node at (6.287,6.284) {\scalebox{1.417}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.59,4.815) -- (7.545,4.985) -- (7.42,5.109) -- (7.25,5.155) -- (7.08,5.109) -- (6.956,4.985) -- (6.91,4.815) -- (6.956,4.645) -- (7.08,4.52) -- (7.25,4.475) -- (7.42,4.52) -- (7.545,4.645) -- cycle;
\node at (7.25,4.815) {\scalebox{1.417}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.472,3.88) -- (10.427,4.05) -- (10.302,4.174) -- (10.132,4.22) -- (9.962,4.174) -- (9.838,4.05) -- (9.792,3.88) -- (9.838,3.71) -- (9.962,3.585) -- (10.132,3.54) -- (10.302,3.585) -- (10.427,3.71) -- cycle;
\node at (10.132,3.88) {\scalebox{1.417}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.379,6.649) -- (3.333,6.819) -- (3.209,6.943) -- (3.039,6.989) -- (2.869,6.943) -- (2.744,6.819) -- (2.699,6.649) -- (2.744,6.479) -- (2.869,6.354) -- (3.039,6.309) -- (3.209,6.354) -- (3.333,6.479) -- cycle;
\node at (3.039,6.649) {\scalebox{1.417}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.168,5.641) -- (2.122,5.811) -- (1.998,5.935) -- (1.828,5.981) -- (1.658,5.935) -- (1.533,5.811) -- (1.488,5.641) -- (1.533,5.471) -- (1.658,5.347) -- (1.828,5.301) -- (1.998,5.347) -- (2.122,5.471) -- cycle;
\node at (1.828,5.641) {\scalebox{1.417}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.418,3.983) -- (3.372,4.153) -- (3.248,4.277) -- (3.078,4.323) -- (2.908,4.277) -- (2.783,4.153) -- (2.738,3.983) -- (2.783,3.813) -- (2.908,3.688) -- (3.078,3.643) -- (3.248,3.688) -- (3.372,3.813) -- cycle;
\node at (3.078,3.983) {\scalebox{1.417}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.791,2.898) -- (4.746,3.068) -- (4.621,3.192) -- (4.451,3.238) -- (4.281,3.192) -- (4.157,3.068) -- (4.111,2.898) -- (4.157,2.728) -- (4.281,2.603) -- (4.451,2.558) -- (4.621,2.603) -- (4.746,2.728) -- cycle;
\node at (4.451,2.898) {\scalebox{1.417}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.591,1.544) -- (9.545,1.714) -- (9.421,1.838) -- (9.251,1.884) -- (9.081,1.838) -- (8.956,1.714) -- (8.911,1.544) -- (8.956,1.374) -- (9.081,1.249) -- (9.251,1.204) -- (9.421,1.249) -- (9.545,1.374) -- cycle;
\node at (9.251,1.544) {\scalebox{1.417}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.339,4.745) -- (4.939,4.745) -- (4.939,5.345) -- (4.339,5.345) -- cycle;
\node at (4.639,5.045) {\scalebox{1.417}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.112,7.296) -- (2.712,7.296) -- (2.712,7.896) -- (2.112,7.896) -- cycle;
\node at (2.412,7.596) {\scalebox{1.417}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.711,5.683) -- (1.311,5.683) -- (1.311,6.283) -- (0.711,6.283) -- cycle;
\node at (1.011,5.983) {\scalebox{1.417}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.594,1.911) -- (4.194,1.911) -- (4.194,2.511) -- (3.594,2.511) -- cycle;
\node at (3.894,2.211) {\scalebox{1.417}{\small d}};
\node at (7.449,8.701) {\scalebox{1.417}{\small A}};
\node at (0.784,8.449) {\scalebox{1.417}{\small B}};
\node at (4.107,5.363) {\scalebox{1.417}{\small C}};
\node at (0.765,3.019) {\scalebox{1.417}{\small D}};
\node at (7.532,0.95) {\scalebox{1.417}{\small E}};
\node at (11.801,0.989) {\scalebox{1.417}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.561,7.19) -- (12.561,8.29);
\draw[line width=0.5pt] (12.33,7.905) -- (12.561,8.29) -- (12.792,7.905);
\draw[line width=0.5pt] (12.259,7.74) -- (12.864,7.74);
\node at (12.561,8.675) {\scalebox{1.417}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Pasteur & ⑥ boulevard du Parc & Ⓐ Rond-point des Vaches & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Peupliers & ⑦ rue Basse & Ⓑ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ venelle du Chat & ⑧ rue de l'Église & Ⓒ Carrefour du Moulin & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ rue du Pont & ⑨ rue des Jardins & Ⓓ Rond-point de la Poste & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ allée des Tilleuls &  & Ⓔ Rond-point du Pont &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6313, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.185,8.14) -- (6.764,8.199) -- (6.342,8.248) -- (5.919,8.286) -- (5.494,8.315) -- (5.07,8.334) -- (4.644,8.342) -- (4.219,8.341) -- (3.794,8.33) -- (3.369,8.308) -- (2.945,8.277) -- (2.522,8.236) -- (2.1,8.185) -- (1.68,8.124) -- (1.261,8.053);
\draw[line width=0.5pt] (7.185,8.14) -- (7.038,7.893) -- (6.886,7.649) -- (6.728,7.409) -- (6.564,7.173) -- (6.395,6.94) -- (6.22,6.712) -- (6.04,6.488) -- (5.854,6.267) -- (5.664,6.052) -- (5.469,5.841) -- (5.268,5.634) -- (5.063,5.433) -- (4.854,5.236) -- (4.639,5.045);
\draw[line width=0.5pt] (7.185,8.14) -- (7.115,7.668) -- (7.056,7.195) -- (7.008,6.72) -- (6.972,6.244) -- (6.947,5.767) -- (6.933,5.29) -- (6.931,4.813) -- (6.939,4.335) -- (6.959,3.858) -- (6.99,3.382) -- (7.032,2.906) -- (7.085,2.432) -- (7.149,1.96) -- (7.225,1.489);
\draw[line width=0.5pt] (7.185,8.14) -- (7.42,7.859) -- (7.649,7.572) -- (7.872,7.279) -- (8.087,6.982) -- (8.295,6.679) -- (8.497,6.372) -- (8.691,6.059) -- (8.877,5.743) -- (9.056,5.422) -- (9.228,5.097) -- (9.392,4.768) -- (9.547,4.436) -- (9.695,4.099) -- (9.835,3.76) -- (9.909,3.57) -- (9.988,3.381) -- (10.071,3.194) -- (10.158,3.009) -- (10.25,2.826) -- (10.346,2.646) -- (10.446,2.467) -- (10.551,2.291) -- (10.659,2.118) -- (10.772,1.947) -- (10.888,1.779) -- (11.009,1.614) -- (11.133,1.452) -- (11.261,1.292);
\draw[line width=0.5pt] (1.261,8.053) -- (1.467,7.803) -- (1.68,7.558) -- (1.898,7.317) -- (2.122,7.082) -- (2.351,6.853) -- (2.586,6.628) -- (2.826,6.41) -- (3.071,6.196) -- (3.321,5.989) -- (3.576,5.788) -- (3.835,5.593) -- (4.099,5.404) -- (4.367,5.221) -- (4.639,5.045);
\draw[line width=0.5pt] (1.261,8.053) -- (1.321,7.711) -- (1.372,7.367) -- (1.416,7.022) -- (1.451,6.676) -- (1.478,6.33) -- (1.497,5.982) -- (1.508,5.635) -- (1.511,5.287) -- (1.505,4.939) -- (1.492,4.592) -- (1.47,4.245) -- (1.44,3.898) -- (1.402,3.553) -- (1.355,3.209);
\draw[line width=0.5pt] (4.639,5.045) -- (4.387,4.951) -- (4.136,4.85) -- (3.888,4.744) -- (3.642,4.632) -- (3.399,4.515) -- (3.159,4.391) -- (2.922,4.262) -- (2.687,4.128) -- (2.456,3.988) -- (2.229,3.842) -- (2.005,3.692) -- (1.784,3.536) -- (1.568,3.375) -- (1.355,3.209);
\draw[line width=0.5pt] (1.355,3.209) -- (1.79,3.151) -- (2.223,3.083) -- (2.655,3.005) -- (3.085,2.916) -- (3.513,2.818) -- (3.938,2.709) -- (4.361,2.591) -- (4.781,2.462) -- (5.198,2.324) -- (5.611,2.176) -- (6.021,2.019) -- (6.426,1.852) -- (6.828,1.675) -- (7.225,1.489);
\draw[line width=0.5pt] (7.225,1.489) -- (7.509,1.431) -- (7.794,1.379) -- (8.081,1.335) -- (8.368,1.297) -- (8.656,1.266) -- (8.945,1.242) -- (9.235,1.224) -- (9.525,1.213) -- (9.815,1.209) -- (10.105,1.212) -- (10.395,1.222) -- (10.684,1.239) -- (10.973,1.262) -- (11.261,1.292);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.345,8.14) -- (7.323,8.22) -- (7.265,8.279) -- (7.185,8.3) -- (7.105,8.279) -- (7.046,8.22) -- (7.025,8.14) -- (7.046,8.06) -- (7.105,8.002) -- (7.185,7.98) -- (7.265,8.002) -- (7.323,8.06) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.421,8.053) -- (1.4,8.133) -- (1.341,8.192) -- (1.261,8.213) -- (1.181,8.192) -- (1.122,8.133) -- (1.101,8.053) -- (1.122,7.973) -- (1.181,7.914) -- (1.261,7.893) -- (1.341,7.914) -- (1.4,7.973) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.799,5.045) -- (4.778,5.125) -- (4.719,5.183) -- (4.639,5.205) -- (4.559,5.183) -- (4.501,5.125) -- (4.479,5.045) -- (4.501,4.965) -- (4.559,4.906) -- (4.639,4.885) -- (4.719,4.906) -- (4.778,4.965) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.515,3.209) -- (1.494,3.289) -- (1.435,3.347) -- (1.355,3.369) -- (1.275,3.347) -- (1.217,3.289) -- (1.195,3.209) -- (1.217,3.129) -- (1.275,3.07) -- (1.355,3.049) -- (1.435,3.07) -- (1.494,3.129) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.385,1.489) -- (7.364,1.569) -- (7.305,1.627) -- (7.225,1.649) -- (7.145,1.627) -- (7.087,1.569) -- (7.065,1.489) -- (7.087,1.409) -- (7.145,1.35) -- (7.225,1.329) -- (7.305,1.35) -- (7.364,1.409) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.421,1.292) -- (11.4,1.372) -- (11.341,1.431) -- (11.261,1.452) -- (11.181,1.431) -- (11.122,1.372) -- (11.101,1.292) -- (11.122,1.212) -- (11.181,1.154) -- (11.261,1.132) -- (11.341,1.154) -- (11.4,1.212) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.564,8.021) -- (4.518,8.191) -- (4.394,8.315) -- (4.224,8.361) -- (4.054,8.315) -- (3.929,8.191) -- (3.884,8.021) -- (3.929,7.851) -- (4.054,7.727) -- (4.224,7.681) -- (4.394,7.727) -- (4.518,7.851) -- cycle;
\node at (4.224,8.021) {\scalebox{1.584}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.627,6.284) -- (6.581,6.454) -- (6.457,6.579) -- (6.287,6.624) -- (6.117,6.579) -- (5.992,6.454) -- (5.947,6.284) -- (5.992,6.114) -- (6.117,5.99) -- (6.287,5.944) -- (6.457,5.99) -- (6.581,6.114) -- cycle;
\node at (6.287,6.284) {\scalebox{1.584}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.59,4.815) -- (7.545,4.985) -- (7.42,5.109) -- (7.25,5.155) -- (7.08,5.109) -- (6.956,4.985) -- (6.91,4.815) -- (6.956,4.645) -- (7.08,4.52) -- (7.25,4.475) -- (7.42,4.52) -- (7.545,4.645) -- cycle;
\node at (7.25,4.815) {\scalebox{1.584}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.472,3.88) -- (10.427,4.05) -- (10.302,4.174) -- (10.132,4.22) -- (9.962,4.174) -- (9.838,4.05) -- (9.792,3.88) -- (9.838,3.71) -- (9.962,3.585) -- (10.132,3.54) -- (10.302,3.585) -- (10.427,3.71) -- cycle;
\node at (10.132,3.88) {\scalebox{1.584}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.379,6.649) -- (3.333,6.819) -- (3.209,6.943) -- (3.039,6.989) -- (2.869,6.943) -- (2.744,6.819) -- (2.699,6.649) -- (2.744,6.479) -- (2.869,6.354) -- (3.039,6.309) -- (3.209,6.354) -- (3.333,6.479) -- cycle;
\node at (3.039,6.649) {\scalebox{1.584}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.168,5.641) -- (2.122,5.811) -- (1.998,5.935) -- (1.828,5.981) -- (1.658,5.935) -- (1.533,5.811) -- (1.488,5.641) -- (1.533,5.471) -- (1.658,5.347) -- (1.828,5.301) -- (1.998,5.347) -- (2.122,5.471) -- cycle;
\node at (1.828,5.641) {\scalebox{1.584}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.418,3.983) -- (3.372,4.153) -- (3.248,4.277) -- (3.078,4.323) -- (2.908,4.277) -- (2.783,4.153) -- (2.738,3.983) -- (2.783,3.813) -- (2.908,3.688) -- (3.078,3.643) -- (3.248,3.688) -- (3.372,3.813) -- cycle;
\node at (3.078,3.983) {\scalebox{1.584}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.791,2.898) -- (4.746,3.068) -- (4.621,3.192) -- (4.451,3.238) -- (4.281,3.192) -- (4.157,3.068) -- (4.111,2.898) -- (4.157,2.728) -- (4.281,2.603) -- (4.451,2.558) -- (4.621,2.603) -- (4.746,2.728) -- cycle;
\node at (4.451,2.898) {\scalebox{1.584}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.591,1.544) -- (9.545,1.714) -- (9.421,1.838) -- (9.251,1.884) -- (9.081,1.838) -- (8.956,1.714) -- (8.911,1.544) -- (8.956,1.374) -- (9.081,1.249) -- (9.251,1.204) -- (9.421,1.249) -- (9.545,1.374) -- cycle;
\node at (9.251,1.544) {\scalebox{1.584}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.339,4.745) -- (4.939,4.745) -- (4.939,5.345) -- (4.339,5.345) -- cycle;
\node at (4.639,5.045) {\scalebox{1.584}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.112,7.296) -- (2.712,7.296) -- (2.712,7.896) -- (2.112,7.896) -- cycle;
\node at (2.412,7.596) {\scalebox{1.584}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (0.711,5.683) -- (1.311,5.683) -- (1.311,6.283) -- (0.711,6.283) -- cycle;
\node at (1.011,5.983) {\scalebox{1.584}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (3.594,1.911) -- (4.194,1.911) -- (4.194,2.511) -- (3.594,2.511) -- cycle;
\node at (3.894,2.211) {\scalebox{1.584}{\small d}};
\node at (7.449,8.701) {\scalebox{1.584}{\small A}};
\node at (0.784,8.449) {\scalebox{1.584}{\small B}};
\node at (4.107,5.363) {\scalebox{1.584}{\small C}};
\node at (0.765,3.019) {\scalebox{1.584}{\small D}};
\node at (7.532,0.95) {\scalebox{1.584}{\small E}};
\node at (11.801,0.989) {\scalebox{1.584}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.561,7.19) -- (12.561,8.29);
\draw[line width=0.5pt] (12.33,7.905) -- (12.561,8.29) -- (12.792,7.905);
\draw[line width=0.5pt] (12.259,7.74) -- (12.864,7.74);
\node at (12.561,8.675) {\scalebox{1.584}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 3 & 3 & 3 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, D, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
