\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 12}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=12}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0012}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6851, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.158,8.198) -- (10.959,8.175) -- (10.76,8.148) -- (10.562,8.115) -- (10.365,8.078) -- (10.169,8.036) -- (9.974,7.99) -- (9.78,7.939) -- (9.587,7.883) -- (9.395,7.823) -- (9.205,7.759) -- (9.017,7.69) -- (8.83,7.616) -- (8.645,7.539) -- (8.462,7.457);
\draw[line width=0.5pt] (11.158,8.198) -- (11.202,7.969) -- (11.24,7.738) -- (11.273,7.507) -- (11.301,7.275) -- (11.323,7.042) -- (11.34,6.809) -- (11.351,6.575) -- (11.356,6.341) -- (11.356,6.108) -- (11.351,5.874) -- (11.34,5.64) -- (11.324,5.407) -- (11.302,5.174) -- (11.275,4.942);
\draw[line width=0.5pt] (1.914,7.979) -- (2.144,7.695) -- (2.38,7.416) -- (2.624,7.142) -- (2.873,6.875) -- (3.129,6.613) -- (3.391,6.357) -- (3.659,6.108) -- (3.932,5.864) -- (4.212,5.628) -- (4.496,5.398) -- (4.786,5.174) -- (5.082,4.958) -- (5.382,4.749) -- (5.686,4.547);
\draw[line width=0.5pt] (8.462,7.457) -- (8.689,7.309) -- (8.912,7.156) -- (9.132,6.998) -- (9.348,6.835) -- (9.56,6.667) -- (9.768,6.494) -- (9.972,6.316) -- (10.172,6.133) -- (10.367,5.945) -- (10.558,5.753) -- (10.744,5.557) -- (10.926,5.356) -- (11.103,5.151) -- (11.275,4.942);
\draw[line width=0.5pt] (11.275,4.942) -- (11.116,4.979) -- (10.957,5.011) -- (10.798,5.04) -- (10.637,5.066) -- (10.476,5.087) -- (10.314,5.105) -- (10.153,5.118) -- (9.99,5.128) -- (9.828,5.134) -- (9.666,5.137) -- (9.503,5.135) -- (9.341,5.13) -- (9.179,5.121) -- (9.017,5.108) -- (8.787,5.032) -- (8.555,4.961) -- (8.322,4.896) -- (8.087,4.836) -- (7.851,4.782) -- (7.613,4.733) -- (7.375,4.69) -- (7.135,4.653) -- (6.895,4.621) -- (6.654,4.595) -- (6.412,4.574) -- (6.171,4.559) -- (5.929,4.55) -- (5.686,4.547);
\draw[line width=0.5pt] (11.275,4.942) -- (11.059,4.661) -- (10.837,4.384) -- (10.608,4.113) -- (10.373,3.847) -- (10.132,3.587) -- (9.884,3.332) -- (9.631,3.083) -- (9.372,2.841) -- (9.107,2.604) -- (8.837,2.374) -- (8.562,2.15) -- (8.281,1.933) -- (7.995,1.722) -- (7.705,1.519);
\draw[line width=0.5pt] (1.576,4.789) -- (1.865,4.727) -- (2.155,4.672) -- (2.446,4.623) -- (2.739,4.582) -- (3.032,4.547) -- (3.327,4.519) -- (3.621,4.499) -- (3.917,4.485) -- (4.212,4.478) -- (4.508,4.478) -- (4.803,4.485) -- (5.098,4.498) -- (5.393,4.519) -- (5.686,4.547);
\draw[line width=0.5pt] (1.576,4.789) -- (1.588,4.573) -- (1.594,4.357) -- (1.595,4.14) -- (1.591,3.923) -- (1.582,3.707) -- (1.568,3.491) -- (1.549,3.275) -- (1.525,3.059) -- (1.496,2.845) -- (1.462,2.631) -- (1.422,2.418) -- (1.378,2.206) -- (1.329,1.995) -- (1.275,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (5.686,4.547) -- (5.344,4.4) -- (5.004,4.244) -- (4.669,4.08) -- (4.337,3.909) -- (4.009,3.73) -- (3.686,3.543) -- (3.367,3.348) -- (3.052,3.146) -- (2.743,2.937) -- (2.438,2.72) -- (2.139,2.497) -- (1.845,2.267) -- (1.557,2.029) -- (1.275,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (1.275,1.785) -- (1.564,1.839) -- (1.855,1.887) -- (2.146,1.927) -- (2.439,1.961) -- (2.732,1.987) -- (3.026,2.007) -- (3.321,2.02) -- (3.616,2.026) -- (3.91,2.025) -- (4.205,2.017) -- (4.499,2.002) -- (4.793,1.98) -- (5.086,1.951) -- (5.378,1.916) -- (5.539,1.862) -- (5.7,1.812) -- (5.863,1.766) -- (6.027,1.724) -- (6.192,1.686) -- (6.358,1.652) -- (6.525,1.621) -- (6.692,1.595) -- (6.86,1.572) -- (7.029,1.554) -- (7.198,1.539) -- (7.367,1.528) -- (7.536,1.522) -- (7.705,1.519);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.318,8.198) -- (11.297,8.278) -- (11.238,8.337) -- (11.158,8.358) -- (11.078,8.337) -- (11.019,8.278) -- (10.998,8.198) -- (11.019,8.118) -- (11.078,8.06) -- (11.158,8.038) -- (11.238,8.06) -- (11.297,8.118) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.074,7.979) -- (2.053,8.059) -- (1.994,8.118) -- (1.914,8.139) -- (1.834,8.118) -- (1.776,8.059) -- (1.754,7.979) -- (1.776,7.899) -- (1.834,7.841) -- (1.914,7.819) -- (1.994,7.841) -- (2.053,7.899) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.622,7.457) -- (8.601,7.537) -- (8.542,7.595) -- (8.462,7.617) -- (8.382,7.595) -- (8.324,7.537) -- (8.302,7.457) -- (8.324,7.377) -- (8.382,7.318) -- (8.462,7.297) -- (8.542,7.318) -- (8.601,7.377) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.435,4.942) -- (11.413,5.022) -- (11.355,5.081) -- (11.275,5.102) -- (11.195,5.081) -- (11.136,5.022) -- (11.115,4.942) -- (11.136,4.862) -- (11.195,4.804) -- (11.275,4.782) -- (11.355,4.804) -- (11.413,4.862) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.736,4.789) -- (1.715,4.869) -- (1.656,4.928) -- (1.576,4.949) -- (1.496,4.928) -- (1.438,4.869) -- (1.416,4.789) -- (1.438,4.709) -- (1.496,4.651) -- (1.576,4.629) -- (1.656,4.651) -- (1.715,4.709) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.846,4.547) -- (5.825,4.627) -- (5.766,4.686) -- (5.686,4.707) -- (5.606,4.686) -- (5.548,4.627) -- (5.526,4.547) -- (5.548,4.467) -- (5.606,4.409) -- (5.686,4.387) -- (5.766,4.409) -- (5.825,4.467) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.435,1.785) -- (1.413,1.865) -- (1.355,1.924) -- (1.275,1.945) -- (1.195,1.924) -- (1.136,1.865) -- (1.115,1.785) -- (1.136,1.705) -- (1.195,1.647) -- (1.275,1.625) -- (1.355,1.647) -- (1.413,1.705) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.865,1.519) -- (7.844,1.599) -- (7.785,1.657) -- (7.705,1.679) -- (7.625,1.657) -- (7.566,1.599) -- (7.545,1.519) -- (7.566,1.439) -- (7.625,1.38) -- (7.705,1.359) -- (7.785,1.38) -- (7.844,1.439) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.205,7.63) -- (10.159,7.8) -- (10.035,7.925) -- (9.865,7.97) -- (9.695,7.925) -- (9.57,7.8) -- (9.525,7.63) -- (9.57,7.46) -- (9.695,7.336) -- (9.865,7.29) -- (10.035,7.336) -- (10.159,7.46) -- cycle;
\node at (9.865,7.63) {\scalebox{1.46}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.01,6.587) -- (11.965,6.757) -- (11.84,6.881) -- (11.67,6.927) -- (11.5,6.881) -- (11.376,6.757) -- (11.33,6.587) -- (11.376,6.417) -- (11.5,6.292) -- (11.67,6.247) -- (11.84,6.292) -- (11.965,6.417) -- cycle;
\node at (11.67,6.587) {\scalebox{1.46}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.214,6.344) -- (4.169,6.514) -- (4.044,6.639) -- (3.874,6.684) -- (3.704,6.639) -- (3.58,6.514) -- (3.534,6.344) -- (3.58,6.174) -- (3.704,6.05) -- (3.874,6.004) -- (4.044,6.05) -- (4.169,6.174) -- cycle;
\node at (3.874,6.344) {\scalebox{1.46}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.525,6.554) -- (10.48,6.724) -- (10.355,6.849) -- (10.185,6.894) -- (10.015,6.849) -- (9.891,6.724) -- (9.845,6.554) -- (9.891,6.384) -- (10.015,6.26) -- (10.185,6.214) -- (10.355,6.26) -- (10.48,6.384) -- cycle;
\node at (10.185,6.554) {\scalebox{1.46}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.428,4.796) -- (9.382,4.966) -- (9.258,5.09) -- (9.088,5.136) -- (8.918,5.09) -- (8.793,4.966) -- (8.748,4.796) -- (8.793,4.626) -- (8.918,4.502) -- (9.088,4.456) -- (9.258,4.502) -- (9.382,4.626) -- cycle;
\node at (9.088,4.796) {\scalebox{1.46}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.192,2.852) -- (10.147,3.022) -- (10.022,3.147) -- (9.852,3.192) -- (9.682,3.147) -- (9.558,3.022) -- (9.512,2.852) -- (9.558,2.682) -- (9.682,2.558) -- (9.852,2.512) -- (10.022,2.558) -- (10.147,2.682) -- cycle;
\node at (9.852,2.852) {\scalebox{1.46}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.98,4.818) -- (3.935,4.988) -- (3.81,5.113) -- (3.64,5.158) -- (3.47,5.113) -- (3.346,4.988) -- (3.3,4.818) -- (3.346,4.648) -- (3.47,4.524) -- (3.64,4.478) -- (3.81,4.524) -- (3.935,4.648) -- cycle;
\node at (3.64,4.818) {\scalebox{1.46}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.208,3.243) -- (2.162,3.413) -- (2.038,3.537) -- (1.868,3.583) -- (1.698,3.537) -- (1.573,3.413) -- (1.528,3.243) -- (1.573,3.073) -- (1.698,2.948) -- (1.868,2.903) -- (2.038,2.948) -- (2.162,3.073) -- cycle;
\node at (1.868,3.243) {\scalebox{1.46}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.876,3.077) -- (3.831,3.247) -- (3.706,3.371) -- (3.536,3.417) -- (3.366,3.371) -- (3.242,3.247) -- (3.196,3.077) -- (3.242,2.907) -- (3.366,2.782) -- (3.536,2.737) -- (3.706,2.782) -- (3.831,2.907) -- cycle;
\node at (3.536,3.077) {\scalebox{1.46}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.78,2.23) -- (5.734,2.4) -- (5.61,2.524) -- (5.44,2.57) -- (5.27,2.524) -- (5.145,2.4) -- (5.1,2.23) -- (5.145,2.06) -- (5.27,1.935) -- (5.44,1.89) -- (5.61,1.935) -- (5.734,2.06) -- cycle;
\node at (5.44,2.23) {\scalebox{1.46}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.614,7.679) -- (2.214,7.679) -- (2.214,8.279) -- (1.614,8.279) -- cycle;
\node at (1.914,7.979) {\scalebox{1.46}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.548,1.838) -- (3.148,1.838) -- (3.148,2.438) -- (2.548,2.438) -- cycle;
\node at (2.848,2.138) {\scalebox{1.46}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.667,6.562) -- (13.267,6.562) -- (13.267,7.162) -- (12.667,7.162) -- cycle;
\node at (12.967,6.862) {\scalebox{1.46}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.64,1.796) -- (11.24,1.796) -- (11.24,2.396) -- (10.64,2.396) -- cycle;
\node at (10.94,2.096) {\scalebox{1.46}{\small d}};
\node at (11.688,8.52) {\scalebox{1.46}{\small A}};
\node at (1.399,8.324) {\scalebox{1.46}{\small B}};
\node at (8.903,7.893) {\scalebox{1.46}{\small C}};
\node at (11.894,4.917) {\scalebox{1.46}{\small D}};
\node at (0.958,4.74) {\scalebox{1.46}{\small E}};
\node at (5.319,4.048) {\scalebox{1.46}{\small F}};
\node at (0.765,1.432) {\scalebox{1.46}{\small G}};
\node at (7.951,0.95) {\scalebox{1.46}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.575,7.248) -- (12.575,8.348);
\draw[line width=0.5pt] (12.344,7.963) -- (12.575,8.348) -- (12.806,7.963);
\draw[line width=0.5pt] (12.272,7.798) -- (12.877,7.798);
\node at (12.575,8.733) {\scalebox{1.46}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Verte & ⑥ quai aux Fleurs & Ⓐ Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Stade & ⑦ allée des Peupliers & Ⓑ Place du Marché & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ impasse des Cerisiers & ⑧ rue Neuve & Ⓒ Place Sainte-Croix & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ rue des Écoles & ⑨ rue des Lilas & Ⓓ Carrefour du Moulin & \textbf{d} la mairie \\ \hline
⑤ boulevard du Parc & ⑩ sentier des Prés & Ⓔ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point du Stade &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6129, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.158,8.198) -- (10.959,8.175) -- (10.76,8.148) -- (10.562,8.115) -- (10.365,8.078) -- (10.169,8.036) -- (9.974,7.99) -- (9.78,7.939) -- (9.587,7.883) -- (9.395,7.823) -- (9.205,7.759) -- (9.017,7.69) -- (8.83,7.616) -- (8.645,7.539) -- (8.462,7.457);
\draw[line width=0.5pt] (11.158,8.198) -- (11.202,7.969) -- (11.24,7.738) -- (11.273,7.507) -- (11.301,7.275) -- (11.323,7.042) -- (11.34,6.809) -- (11.351,6.575) -- (11.356,6.341) -- (11.356,6.108) -- (11.351,5.874) -- (11.34,5.64) -- (11.324,5.407) -- (11.302,5.174) -- (11.275,4.942);
\draw[line width=0.5pt] (1.914,7.979) -- (2.144,7.695) -- (2.38,7.416) -- (2.624,7.142) -- (2.873,6.875) -- (3.129,6.613) -- (3.391,6.357) -- (3.659,6.108) -- (3.932,5.864) -- (4.212,5.628) -- (4.496,5.398) -- (4.786,5.174) -- (5.082,4.958) -- (5.382,4.749) -- (5.686,4.547);
\draw[line width=0.5pt] (8.462,7.457) -- (8.689,7.309) -- (8.912,7.156) -- (9.132,6.998) -- (9.348,6.835) -- (9.56,6.667) -- (9.768,6.494) -- (9.972,6.316) -- (10.172,6.133) -- (10.367,5.945) -- (10.558,5.753) -- (10.744,5.557) -- (10.926,5.356) -- (11.103,5.151) -- (11.275,4.942);
\draw[line width=0.5pt] (11.275,4.942) -- (11.116,4.979) -- (10.957,5.011) -- (10.798,5.04) -- (10.637,5.066) -- (10.476,5.087) -- (10.314,5.105) -- (10.153,5.118) -- (9.99,5.128) -- (9.828,5.134) -- (9.666,5.137) -- (9.503,5.135) -- (9.341,5.13) -- (9.179,5.121) -- (9.017,5.108) -- (8.787,5.032) -- (8.555,4.961) -- (8.322,4.896) -- (8.087,4.836) -- (7.851,4.782) -- (7.613,4.733) -- (7.375,4.69) -- (7.135,4.653) -- (6.895,4.621) -- (6.654,4.595) -- (6.412,4.574) -- (6.171,4.559) -- (5.929,4.55) -- (5.686,4.547);
\draw[line width=0.5pt] (11.275,4.942) -- (11.059,4.661) -- (10.837,4.384) -- (10.608,4.113) -- (10.373,3.847) -- (10.132,3.587) -- (9.884,3.332) -- (9.631,3.083) -- (9.372,2.841) -- (9.107,2.604) -- (8.837,2.374) -- (8.562,2.15) -- (8.281,1.933) -- (7.995,1.722) -- (7.705,1.519);
\draw[line width=0.5pt] (1.576,4.789) -- (1.865,4.727) -- (2.155,4.672) -- (2.446,4.623) -- (2.739,4.582) -- (3.032,4.547) -- (3.327,4.519) -- (3.621,4.499) -- (3.917,4.485) -- (4.212,4.478) -- (4.508,4.478) -- (4.803,4.485) -- (5.098,4.498) -- (5.393,4.519) -- (5.686,4.547);
\draw[line width=0.5pt] (1.576,4.789) -- (1.588,4.573) -- (1.594,4.357) -- (1.595,4.14) -- (1.591,3.923) -- (1.582,3.707) -- (1.568,3.491) -- (1.549,3.275) -- (1.525,3.059) -- (1.496,2.845) -- (1.462,2.631) -- (1.422,2.418) -- (1.378,2.206) -- (1.329,1.995) -- (1.275,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (5.686,4.547) -- (5.344,4.4) -- (5.004,4.244) -- (4.669,4.08) -- (4.337,3.909) -- (4.009,3.73) -- (3.686,3.543) -- (3.367,3.348) -- (3.052,3.146) -- (2.743,2.937) -- (2.438,2.72) -- (2.139,2.497) -- (1.845,2.267) -- (1.557,2.029) -- (1.275,1.785);
\draw[line width=0.5pt] (1.275,1.785) -- (1.564,1.839) -- (1.855,1.887) -- (2.146,1.927) -- (2.439,1.961) -- (2.732,1.987) -- (3.026,2.007) -- (3.321,2.02) -- (3.616,2.026) -- (3.91,2.025) -- (4.205,2.017) -- (4.499,2.002) -- (4.793,1.98) -- (5.086,1.951) -- (5.378,1.916) -- (5.539,1.862) -- (5.7,1.812) -- (5.863,1.766) -- (6.027,1.724) -- (6.192,1.686) -- (6.358,1.652) -- (6.525,1.621) -- (6.692,1.595) -- (6.86,1.572) -- (7.029,1.554) -- (7.198,1.539) -- (7.367,1.528) -- (7.536,1.522) -- (7.705,1.519);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.318,8.198) -- (11.297,8.278) -- (11.238,8.337) -- (11.158,8.358) -- (11.078,8.337) -- (11.019,8.278) -- (10.998,8.198) -- (11.019,8.118) -- (11.078,8.06) -- (11.158,8.038) -- (11.238,8.06) -- (11.297,8.118) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.074,7.979) -- (2.053,8.059) -- (1.994,8.118) -- (1.914,8.139) -- (1.834,8.118) -- (1.776,8.059) -- (1.754,7.979) -- (1.776,7.899) -- (1.834,7.841) -- (1.914,7.819) -- (1.994,7.841) -- (2.053,7.899) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.622,7.457) -- (8.601,7.537) -- (8.542,7.595) -- (8.462,7.617) -- (8.382,7.595) -- (8.324,7.537) -- (8.302,7.457) -- (8.324,7.377) -- (8.382,7.318) -- (8.462,7.297) -- (8.542,7.318) -- (8.601,7.377) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.435,4.942) -- (11.413,5.022) -- (11.355,5.081) -- (11.275,5.102) -- (11.195,5.081) -- (11.136,5.022) -- (11.115,4.942) -- (11.136,4.862) -- (11.195,4.804) -- (11.275,4.782) -- (11.355,4.804) -- (11.413,4.862) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.736,4.789) -- (1.715,4.869) -- (1.656,4.928) -- (1.576,4.949) -- (1.496,4.928) -- (1.438,4.869) -- (1.416,4.789) -- (1.438,4.709) -- (1.496,4.651) -- (1.576,4.629) -- (1.656,4.651) -- (1.715,4.709) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.846,4.547) -- (5.825,4.627) -- (5.766,4.686) -- (5.686,4.707) -- (5.606,4.686) -- (5.548,4.627) -- (5.526,4.547) -- (5.548,4.467) -- (5.606,4.409) -- (5.686,4.387) -- (5.766,4.409) -- (5.825,4.467) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.435,1.785) -- (1.413,1.865) -- (1.355,1.924) -- (1.275,1.945) -- (1.195,1.924) -- (1.136,1.865) -- (1.115,1.785) -- (1.136,1.705) -- (1.195,1.647) -- (1.275,1.625) -- (1.355,1.647) -- (1.413,1.705) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.865,1.519) -- (7.844,1.599) -- (7.785,1.657) -- (7.705,1.679) -- (7.625,1.657) -- (7.566,1.599) -- (7.545,1.519) -- (7.566,1.439) -- (7.625,1.38) -- (7.705,1.359) -- (7.785,1.38) -- (7.844,1.439) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.205,7.63) -- (10.159,7.8) -- (10.035,7.925) -- (9.865,7.97) -- (9.695,7.925) -- (9.57,7.8) -- (9.525,7.63) -- (9.57,7.46) -- (9.695,7.336) -- (9.865,7.29) -- (10.035,7.336) -- (10.159,7.46) -- cycle;
\node at (9.865,7.63) {\scalebox{1.632}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.01,6.587) -- (11.965,6.757) -- (11.84,6.881) -- (11.67,6.927) -- (11.5,6.881) -- (11.376,6.757) -- (11.33,6.587) -- (11.376,6.417) -- (11.5,6.292) -- (11.67,6.247) -- (11.84,6.292) -- (11.965,6.417) -- cycle;
\node at (11.67,6.587) {\scalebox{1.632}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.214,6.344) -- (4.169,6.514) -- (4.044,6.639) -- (3.874,6.684) -- (3.704,6.639) -- (3.58,6.514) -- (3.534,6.344) -- (3.58,6.174) -- (3.704,6.05) -- (3.874,6.004) -- (4.044,6.05) -- (4.169,6.174) -- cycle;
\node at (3.874,6.344) {\scalebox{1.632}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.525,6.554) -- (10.48,6.724) -- (10.355,6.849) -- (10.185,6.894) -- (10.015,6.849) -- (9.891,6.724) -- (9.845,6.554) -- (9.891,6.384) -- (10.015,6.26) -- (10.185,6.214) -- (10.355,6.26) -- (10.48,6.384) -- cycle;
\node at (10.185,6.554) {\scalebox{1.632}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.428,4.796) -- (9.382,4.966) -- (9.258,5.09) -- (9.088,5.136) -- (8.918,5.09) -- (8.793,4.966) -- (8.748,4.796) -- (8.793,4.626) -- (8.918,4.502) -- (9.088,4.456) -- (9.258,4.502) -- (9.382,4.626) -- cycle;
\node at (9.088,4.796) {\scalebox{1.632}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.192,2.852) -- (10.147,3.022) -- (10.022,3.147) -- (9.852,3.192) -- (9.682,3.147) -- (9.558,3.022) -- (9.512,2.852) -- (9.558,2.682) -- (9.682,2.558) -- (9.852,2.512) -- (10.022,2.558) -- (10.147,2.682) -- cycle;
\node at (9.852,2.852) {\scalebox{1.632}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.98,4.818) -- (3.935,4.988) -- (3.81,5.113) -- (3.64,5.158) -- (3.47,5.113) -- (3.346,4.988) -- (3.3,4.818) -- (3.346,4.648) -- (3.47,4.524) -- (3.64,4.478) -- (3.81,4.524) -- (3.935,4.648) -- cycle;
\node at (3.64,4.818) {\scalebox{1.632}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.208,3.243) -- (2.162,3.413) -- (2.038,3.537) -- (1.868,3.583) -- (1.698,3.537) -- (1.573,3.413) -- (1.528,3.243) -- (1.573,3.073) -- (1.698,2.948) -- (1.868,2.903) -- (2.038,2.948) -- (2.162,3.073) -- cycle;
\node at (1.868,3.243) {\scalebox{1.632}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.876,3.077) -- (3.831,3.247) -- (3.706,3.371) -- (3.536,3.417) -- (3.366,3.371) -- (3.242,3.247) -- (3.196,3.077) -- (3.242,2.907) -- (3.366,2.782) -- (3.536,2.737) -- (3.706,2.782) -- (3.831,2.907) -- cycle;
\node at (3.536,3.077) {\scalebox{1.632}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.78,2.23) -- (5.734,2.4) -- (5.61,2.524) -- (5.44,2.57) -- (5.27,2.524) -- (5.145,2.4) -- (5.1,2.23) -- (5.145,2.06) -- (5.27,1.935) -- (5.44,1.89) -- (5.61,1.935) -- (5.734,2.06) -- cycle;
\node at (5.44,2.23) {\scalebox{1.632}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.614,7.679) -- (2.214,7.679) -- (2.214,8.279) -- (1.614,8.279) -- cycle;
\node at (1.914,7.979) {\scalebox{1.632}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.548,1.838) -- (3.148,1.838) -- (3.148,2.438) -- (2.548,2.438) -- cycle;
\node at (2.848,2.138) {\scalebox{1.632}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.667,6.562) -- (13.267,6.562) -- (13.267,7.162) -- (12.667,7.162) -- cycle;
\node at (12.967,6.862) {\scalebox{1.632}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.64,1.796) -- (11.24,1.796) -- (11.24,2.396) -- (10.64,2.396) -- cycle;
\node at (10.94,2.096) {\scalebox{1.632}{\small d}};
\node at (11.688,8.52) {\scalebox{1.632}{\small A}};
\node at (1.399,8.324) {\scalebox{1.632}{\small B}};
\node at (8.903,7.893) {\scalebox{1.632}{\small C}};
\node at (11.894,4.917) {\scalebox{1.632}{\small D}};
\node at (0.958,4.74) {\scalebox{1.632}{\small E}};
\node at (5.319,4.048) {\scalebox{1.632}{\small F}};
\node at (0.765,1.432) {\scalebox{1.632}{\small G}};
\node at (7.951,0.95) {\scalebox{1.632}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.575,7.248) -- (12.575,8.348);
\draw[line width=0.5pt] (12.344,7.963) -- (12.575,8.348) -- (12.806,7.963);
\draw[line width=0.5pt] (12.272,7.798) -- (12.877,7.798);
\node at (12.575,8.733) {\scalebox{1.632}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 1 & 2 & 4 & 2 & 4 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{G}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{B}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en G}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place du Marché \textbf{(B)}, prend l'\textbf{impasse des Cerisiers ③} vers le sud-est et atteint Rond-point du Stade \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{boulevard du Parc ⑤}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ②}, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ④}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ⑧}, vers le nord, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑦}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(F)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Lilas ⑨}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{B} ou en \textbf{G} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
