\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 120}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=120}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0120}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7356, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.262,11.401) -- (2.497,11.301) -- (2.735,11.208) -- (2.976,11.12) -- (3.218,11.038) -- (3.462,10.961) -- (3.708,10.891) -- (3.956,10.826) -- (4.205,10.767) -- (4.455,10.713) -- (4.706,10.666) -- (4.959,10.625) -- (5.212,10.589) -- (5.466,10.56) -- (5.721,10.536) -- (6.017,10.592) -- (6.315,10.64) -- (6.613,10.682) -- (6.913,10.716) -- (7.213,10.743) -- (7.514,10.764) -- (7.816,10.777) -- (8.117,10.783) -- (8.419,10.782) -- (8.721,10.774) -- (9.022,10.759) -- (9.322,10.737) -- (9.622,10.708) -- (9.922,10.671);
\draw[line width=0.5pt] (2.262,11.401) -- (2.571,11.091) -- (2.872,10.775) -- (3.166,10.451) -- (3.452,10.12) -- (3.731,9.783) -- (4.001,9.439) -- (4.264,9.089) -- (4.518,8.733) -- (4.763,8.371) -- (5.0,8.003) -- (5.229,7.63) -- (5.448,7.252) -- (5.658,6.869) -- (5.859,6.481);
\draw[line width=0.5pt] (9.922,10.671) -- (9.911,10.378) -- (9.907,10.084) -- (9.91,9.79) -- (9.919,9.496) -- (9.936,9.202) -- (9.96,8.909) -- (9.99,8.617) -- (10.028,8.325) -- (10.072,8.034) -- (10.123,7.744) -- (10.181,7.456) -- (10.246,7.169) -- (10.317,6.884) -- (10.395,6.601) -- (10.437,6.23) -- (10.471,5.859) -- (10.496,5.486) -- (10.512,5.113) -- (10.519,4.739) -- (10.517,4.366) -- (10.507,3.992) -- (10.488,3.619) -- (10.46,3.247) -- (10.423,2.875) -- (10.378,2.504) -- (10.324,2.135) -- (10.261,1.767) -- (10.19,1.401);
\draw[line width=0.5pt] (5.859,6.481) -- (5.984,6.208) -- (6.102,5.931) -- (6.213,5.653) -- (6.318,5.371) -- (6.417,5.087) -- (6.508,4.801) -- (6.593,4.513) -- (6.671,4.223) -- (6.742,3.931) -- (6.807,3.637) -- (6.864,3.342) -- (6.914,3.046) -- (6.958,2.749) -- (6.994,2.451);
\draw[line width=0.5pt] (5.859,6.481) -- (5.485,6.219) -- (5.117,5.949) -- (4.756,5.67) -- (4.401,5.382) -- (4.053,5.086) -- (3.711,4.782) -- (3.377,4.47) -- (3.051,4.15) -- (2.732,3.823) -- (2.421,3.489) -- (2.118,3.147) -- (1.823,2.798) -- (1.536,2.442) -- (1.259,2.08);
\draw[line width=0.5pt] (5.859,6.481) -- (6.222,6.168) -- (6.577,5.847) -- (6.924,5.517) -- (7.264,5.179) -- (7.596,4.834) -- (7.919,4.48) -- (8.234,4.119) -- (8.541,3.751) -- (8.839,3.376) -- (9.127,2.993) -- (9.407,2.605) -- (9.678,2.209) -- (9.939,1.808) -- (10.19,1.401);
\draw[line width=0.5pt] (6.994,2.451) -- (6.584,2.488) -- (6.172,2.515) -- (5.76,2.532) -- (5.348,2.539) -- (4.935,2.536) -- (4.523,2.524) -- (4.111,2.502) -- (3.7,2.471) -- (3.289,2.43) -- (2.88,2.379) -- (2.472,2.319) -- (2.065,2.249) -- (1.661,2.169) -- (1.259,2.08);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.422,11.401) -- (2.4,11.481) -- (2.342,11.539) -- (2.262,11.561) -- (2.182,11.539) -- (2.123,11.481) -- (2.102,11.401) -- (2.123,11.321) -- (2.182,11.262) -- (2.262,11.241) -- (2.342,11.262) -- (2.4,11.321) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.082,10.671) -- (10.06,10.751) -- (10.002,10.81) -- (9.922,10.831) -- (9.842,10.81) -- (9.783,10.751) -- (9.762,10.671) -- (9.783,10.591) -- (9.842,10.533) -- (9.922,10.511) -- (10.002,10.533) -- (10.06,10.591) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.019,6.481) -- (5.998,6.561) -- (5.939,6.619) -- (5.859,6.641) -- (5.779,6.619) -- (5.721,6.561) -- (5.699,6.481) -- (5.721,6.401) -- (5.779,6.342) -- (5.859,6.321) -- (5.939,6.342) -- (5.998,6.401) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.154,2.451) -- (7.133,2.531) -- (7.074,2.59) -- (6.994,2.611) -- (6.914,2.59) -- (6.856,2.531) -- (6.834,2.451) -- (6.856,2.371) -- (6.914,2.313) -- (6.994,2.291) -- (7.074,2.313) -- (7.133,2.371) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.419,2.08) -- (1.397,2.16) -- (1.339,2.219) -- (1.259,2.24) -- (1.179,2.219) -- (1.12,2.16) -- (1.099,2.08) -- (1.12,2.0) -- (1.179,1.942) -- (1.259,1.92) -- (1.339,1.942) -- (1.397,2.0) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.35,1.401) -- (10.328,1.481) -- (10.27,1.539) -- (10.19,1.561) -- (10.11,1.539) -- (10.051,1.481) -- (10.03,1.401) -- (10.051,1.321) -- (10.11,1.262) -- (10.19,1.241) -- (10.27,1.262) -- (10.328,1.321) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.042,10.856) -- (5.997,11.026) -- (5.872,11.15) -- (5.702,11.196) -- (5.532,11.15) -- (5.408,11.026) -- (5.362,10.856) -- (5.408,10.686) -- (5.532,10.561) -- (5.702,10.516) -- (5.872,10.561) -- (5.997,10.686) -- cycle;
\node at (5.702,10.856) {\scalebox{1.359}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.862,9.278) -- (4.816,9.448) -- (4.692,9.572) -- (4.522,9.618) -- (4.352,9.572) -- (4.227,9.448) -- (4.182,9.278) -- (4.227,9.108) -- (4.352,8.983) -- (4.522,8.938) -- (4.692,8.983) -- (4.816,9.108) -- cycle;
\node at (4.522,9.278) {\scalebox{1.359}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.05,6.659) -- (11.004,6.829) -- (10.88,6.954) -- (10.71,6.999) -- (10.54,6.954) -- (10.415,6.829) -- (10.37,6.659) -- (10.415,6.489) -- (10.54,6.365) -- (10.71,6.319) -- (10.88,6.365) -- (11.004,6.489) -- cycle;
\node at (10.71,6.659) {\scalebox{1.359}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.241,4.6) -- (7.195,4.77) -- (7.071,4.894) -- (6.901,4.94) -- (6.731,4.894) -- (6.607,4.77) -- (6.561,4.6) -- (6.607,4.43) -- (6.731,4.305) -- (6.901,4.26) -- (7.071,4.305) -- (7.195,4.43) -- cycle;
\node at (6.901,4.6) {\scalebox{1.359}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.939,4.239) -- (3.893,4.409) -- (3.769,4.533) -- (3.599,4.579) -- (3.429,4.533) -- (3.304,4.409) -- (3.259,4.239) -- (3.304,4.069) -- (3.429,3.944) -- (3.599,3.899) -- (3.769,3.944) -- (3.893,4.069) -- cycle;
\node at (3.599,4.239) {\scalebox{1.359}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.818,4.327) -- (8.772,4.497) -- (8.648,4.621) -- (8.478,4.667) -- (8.308,4.621) -- (8.183,4.497) -- (8.138,4.327) -- (8.183,4.157) -- (8.308,4.032) -- (8.478,3.987) -- (8.648,4.032) -- (8.772,4.157) -- cycle;
\node at (8.478,4.327) {\scalebox{1.359}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.472,2.183) -- (4.426,2.353) -- (4.302,2.478) -- (4.132,2.523) -- (3.962,2.478) -- (3.837,2.353) -- (3.792,2.183) -- (3.837,2.013) -- (3.962,1.889) -- (4.132,1.843) -- (4.302,1.889) -- (4.426,2.013) -- cycle;
\node at (4.132,2.183) {\scalebox{1.359}{\small 7}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.559,6.181) -- (6.159,6.181) -- (6.159,6.781) -- (5.559,6.781) -- cycle;
\node at (5.859,6.481) {\scalebox{1.359}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.715,6.613) -- (12.315,6.613) -- (12.315,7.213) -- (11.715,7.213) -- cycle;
\node at (12.015,6.913) {\scalebox{1.359}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.339,3.689) -- (9.939,3.689) -- (9.939,4.289) -- (9.339,4.289) -- cycle;
\node at (9.639,3.989) {\scalebox{1.359}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.999,3.135) -- (8.599,3.135) -- (8.599,3.735) -- (7.999,3.735) -- cycle;
\node at (8.299,3.435) {\scalebox{1.359}{\small d}};
\node at (1.915,11.914) {\scalebox{1.359}{\small A}};
\node at (10.303,11.16) {\scalebox{1.359}{\small B}};
\node at (5.68,7.074) {\scalebox{1.359}{\small C}};
\node at (7.16,1.854) {\scalebox{1.359}{\small D}};
\node at (0.765,1.705) {\scalebox{1.359}{\small E}};
\node at (10.616,0.95) {\scalebox{1.359}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (11.49,10.451) -- (11.49,11.551);
\draw[line width=0.5pt] (11.259,11.166) -- (11.49,11.551) -- (11.721,11.166);
\draw[line width=0.5pt] (11.187,11.001) -- (11.792,11.001);
\node at (11.49,11.936) {\scalebox{1.359}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① sentier des Prés & ⑤ avenue de la Gare & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Peupliers & ⑥ chemin des Vignes & Ⓑ Place du Marché & \textbf{b} la pharmacie \\ \hline
③ rue Pasteur & ⑦ rue des Jardins & Ⓒ Carrefour du Lavoir & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ rue des Écoles &  & Ⓓ Place des Tanneurs & \textbf{d} le marché couvert \\ \hline
 &  & Ⓔ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6581, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.262,11.401) -- (2.497,11.301) -- (2.735,11.208) -- (2.976,11.12) -- (3.218,11.038) -- (3.462,10.961) -- (3.708,10.891) -- (3.956,10.826) -- (4.205,10.767) -- (4.455,10.713) -- (4.706,10.666) -- (4.959,10.625) -- (5.212,10.589) -- (5.466,10.56) -- (5.721,10.536) -- (6.017,10.592) -- (6.315,10.64) -- (6.613,10.682) -- (6.913,10.716) -- (7.213,10.743) -- (7.514,10.764) -- (7.816,10.777) -- (8.117,10.783) -- (8.419,10.782) -- (8.721,10.774) -- (9.022,10.759) -- (9.322,10.737) -- (9.622,10.708) -- (9.922,10.671);
\draw[line width=0.5pt] (2.262,11.401) -- (2.571,11.091) -- (2.872,10.775) -- (3.166,10.451) -- (3.452,10.12) -- (3.731,9.783) -- (4.001,9.439) -- (4.264,9.089) -- (4.518,8.733) -- (4.763,8.371) -- (5.0,8.003) -- (5.229,7.63) -- (5.448,7.252) -- (5.658,6.869) -- (5.859,6.481);
\draw[line width=0.5pt] (9.922,10.671) -- (9.911,10.378) -- (9.907,10.084) -- (9.91,9.79) -- (9.919,9.496) -- (9.936,9.202) -- (9.96,8.909) -- (9.99,8.617) -- (10.028,8.325) -- (10.072,8.034) -- (10.123,7.744) -- (10.181,7.456) -- (10.246,7.169) -- (10.317,6.884) -- (10.395,6.601) -- (10.437,6.23) -- (10.471,5.859) -- (10.496,5.486) -- (10.512,5.113) -- (10.519,4.739) -- (10.517,4.366) -- (10.507,3.992) -- (10.488,3.619) -- (10.46,3.247) -- (10.423,2.875) -- (10.378,2.504) -- (10.324,2.135) -- (10.261,1.767) -- (10.19,1.401);
\draw[line width=0.5pt] (5.859,6.481) -- (5.984,6.208) -- (6.102,5.931) -- (6.213,5.653) -- (6.318,5.371) -- (6.417,5.087) -- (6.508,4.801) -- (6.593,4.513) -- (6.671,4.223) -- (6.742,3.931) -- (6.807,3.637) -- (6.864,3.342) -- (6.914,3.046) -- (6.958,2.749) -- (6.994,2.451);
\draw[line width=0.5pt] (5.859,6.481) -- (5.485,6.219) -- (5.117,5.949) -- (4.756,5.67) -- (4.401,5.382) -- (4.053,5.086) -- (3.711,4.782) -- (3.377,4.47) -- (3.051,4.15) -- (2.732,3.823) -- (2.421,3.489) -- (2.118,3.147) -- (1.823,2.798) -- (1.536,2.442) -- (1.259,2.08);
\draw[line width=0.5pt] (5.859,6.481) -- (6.222,6.168) -- (6.577,5.847) -- (6.924,5.517) -- (7.264,5.179) -- (7.596,4.834) -- (7.919,4.48) -- (8.234,4.119) -- (8.541,3.751) -- (8.839,3.376) -- (9.127,2.993) -- (9.407,2.605) -- (9.678,2.209) -- (9.939,1.808) -- (10.19,1.401);
\draw[line width=0.5pt] (6.994,2.451) -- (6.584,2.488) -- (6.172,2.515) -- (5.76,2.532) -- (5.348,2.539) -- (4.935,2.536) -- (4.523,2.524) -- (4.111,2.502) -- (3.7,2.471) -- (3.289,2.43) -- (2.88,2.379) -- (2.472,2.319) -- (2.065,2.249) -- (1.661,2.169) -- (1.259,2.08);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.422,11.401) -- (2.4,11.481) -- (2.342,11.539) -- (2.262,11.561) -- (2.182,11.539) -- (2.123,11.481) -- (2.102,11.401) -- (2.123,11.321) -- (2.182,11.262) -- (2.262,11.241) -- (2.342,11.262) -- (2.4,11.321) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.082,10.671) -- (10.06,10.751) -- (10.002,10.81) -- (9.922,10.831) -- (9.842,10.81) -- (9.783,10.751) -- (9.762,10.671) -- (9.783,10.591) -- (9.842,10.533) -- (9.922,10.511) -- (10.002,10.533) -- (10.06,10.591) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.019,6.481) -- (5.998,6.561) -- (5.939,6.619) -- (5.859,6.641) -- (5.779,6.619) -- (5.721,6.561) -- (5.699,6.481) -- (5.721,6.401) -- (5.779,6.342) -- (5.859,6.321) -- (5.939,6.342) -- (5.998,6.401) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.154,2.451) -- (7.133,2.531) -- (7.074,2.59) -- (6.994,2.611) -- (6.914,2.59) -- (6.856,2.531) -- (6.834,2.451) -- (6.856,2.371) -- (6.914,2.313) -- (6.994,2.291) -- (7.074,2.313) -- (7.133,2.371) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.419,2.08) -- (1.397,2.16) -- (1.339,2.219) -- (1.259,2.24) -- (1.179,2.219) -- (1.12,2.16) -- (1.099,2.08) -- (1.12,2.0) -- (1.179,1.942) -- (1.259,1.92) -- (1.339,1.942) -- (1.397,2.0) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.35,1.401) -- (10.328,1.481) -- (10.27,1.539) -- (10.19,1.561) -- (10.11,1.539) -- (10.051,1.481) -- (10.03,1.401) -- (10.051,1.321) -- (10.11,1.262) -- (10.19,1.241) -- (10.27,1.262) -- (10.328,1.321) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.042,10.856) -- (5.997,11.026) -- (5.872,11.15) -- (5.702,11.196) -- (5.532,11.15) -- (5.408,11.026) -- (5.362,10.856) -- (5.408,10.686) -- (5.532,10.561) -- (5.702,10.516) -- (5.872,10.561) -- (5.997,10.686) -- cycle;
\node at (5.702,10.856) {\scalebox{1.52}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.862,9.278) -- (4.816,9.448) -- (4.692,9.572) -- (4.522,9.618) -- (4.352,9.572) -- (4.227,9.448) -- (4.182,9.278) -- (4.227,9.108) -- (4.352,8.983) -- (4.522,8.938) -- (4.692,8.983) -- (4.816,9.108) -- cycle;
\node at (4.522,9.278) {\scalebox{1.52}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.05,6.659) -- (11.004,6.829) -- (10.88,6.954) -- (10.71,6.999) -- (10.54,6.954) -- (10.415,6.829) -- (10.37,6.659) -- (10.415,6.489) -- (10.54,6.365) -- (10.71,6.319) -- (10.88,6.365) -- (11.004,6.489) -- cycle;
\node at (10.71,6.659) {\scalebox{1.52}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.241,4.6) -- (7.195,4.77) -- (7.071,4.894) -- (6.901,4.94) -- (6.731,4.894) -- (6.607,4.77) -- (6.561,4.6) -- (6.607,4.43) -- (6.731,4.305) -- (6.901,4.26) -- (7.071,4.305) -- (7.195,4.43) -- cycle;
\node at (6.901,4.6) {\scalebox{1.52}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.939,4.239) -- (3.893,4.409) -- (3.769,4.533) -- (3.599,4.579) -- (3.429,4.533) -- (3.304,4.409) -- (3.259,4.239) -- (3.304,4.069) -- (3.429,3.944) -- (3.599,3.899) -- (3.769,3.944) -- (3.893,4.069) -- cycle;
\node at (3.599,4.239) {\scalebox{1.52}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.818,4.327) -- (8.772,4.497) -- (8.648,4.621) -- (8.478,4.667) -- (8.308,4.621) -- (8.183,4.497) -- (8.138,4.327) -- (8.183,4.157) -- (8.308,4.032) -- (8.478,3.987) -- (8.648,4.032) -- (8.772,4.157) -- cycle;
\node at (8.478,4.327) {\scalebox{1.52}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.472,2.183) -- (4.426,2.353) -- (4.302,2.478) -- (4.132,2.523) -- (3.962,2.478) -- (3.837,2.353) -- (3.792,2.183) -- (3.837,2.013) -- (3.962,1.889) -- (4.132,1.843) -- (4.302,1.889) -- (4.426,2.013) -- cycle;
\node at (4.132,2.183) {\scalebox{1.52}{\small 7}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.559,6.181) -- (6.159,6.181) -- (6.159,6.781) -- (5.559,6.781) -- cycle;
\node at (5.859,6.481) {\scalebox{1.52}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.715,6.613) -- (12.315,6.613) -- (12.315,7.213) -- (11.715,7.213) -- cycle;
\node at (12.015,6.913) {\scalebox{1.52}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.339,3.689) -- (9.939,3.689) -- (9.939,4.289) -- (9.339,4.289) -- cycle;
\node at (9.639,3.989) {\scalebox{1.52}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.999,3.135) -- (8.599,3.135) -- (8.599,3.735) -- (7.999,3.735) -- cycle;
\node at (8.299,3.435) {\scalebox{1.52}{\small d}};
\node at (1.915,11.914) {\scalebox{1.52}{\small A}};
\node at (10.303,11.16) {\scalebox{1.52}{\small B}};
\node at (5.68,7.074) {\scalebox{1.52}{\small C}};
\node at (7.16,1.854) {\scalebox{1.52}{\small D}};
\node at (0.765,1.705) {\scalebox{1.52}{\small E}};
\node at (10.616,0.95) {\scalebox{1.52}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (11.49,10.451) -- (11.49,11.551);
\draw[line width=0.5pt] (11.259,11.166) -- (11.49,11.551) -- (11.721,11.166);
\draw[line width=0.5pt] (11.187,11.001) -- (11.792,11.001);
\node at (11.49,11.936) {\scalebox{1.52}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 14 = 2 \(\times\) 7, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(C)}, prend l'\textbf{allée des Peupliers ②} vers le nord-ouest et atteint Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans le \textbf{sentier des Prés ①}, vers l'est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ③}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑥}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(C)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Écoles ④}, vers le sud, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑦}, vers l'ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑤}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
