\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 121}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=121}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0121}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7817, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.265,11.002) -- (9.05,11.076) -- (8.833,11.145) -- (8.614,11.209) -- (8.394,11.268) -- (8.173,11.321) -- (7.95,11.37) -- (7.727,11.413) -- (7.502,11.451) -- (7.277,11.484) -- (7.05,11.511) -- (6.824,11.533) -- (6.597,11.55) -- (6.369,11.561) -- (6.142,11.567) -- (5.798,11.461) -- (5.451,11.363) -- (5.103,11.273) -- (4.752,11.192) -- (4.399,11.119) -- (4.045,11.054) -- (3.689,10.997) -- (3.332,10.949) -- (2.974,10.909) -- (2.615,10.878) -- (2.255,10.855) -- (1.895,10.841) -- (1.535,10.835) -- (1.176,10.837);
\draw[line width=0.5pt] (9.265,11.002) -- (9.412,10.727) -- (9.552,10.449) -- (9.686,10.167) -- (9.813,9.883) -- (9.934,9.595) -- (10.047,9.304) -- (10.154,9.011) -- (10.254,8.716) -- (10.347,8.418) -- (10.433,8.119) -- (10.512,7.817) -- (10.584,7.514) -- (10.648,7.209) -- (10.705,6.902) -- (10.605,6.606) -- (10.511,6.307) -- (10.425,6.006) -- (10.345,5.704) -- (10.273,5.399) -- (10.208,5.092) -- (10.15,4.784) -- (10.1,4.475) -- (10.056,4.165) -- (10.02,3.854) -- (9.992,3.542) -- (9.971,3.23) -- (9.957,2.917) -- (9.95,2.604);
\draw[line width=0.5pt] (1.176,10.837) -- (1.382,10.465) -- (1.598,10.097) -- (1.823,9.735) -- (2.056,9.378) -- (2.297,9.026) -- (2.547,8.681) -- (2.804,8.341) -- (3.07,8.007) -- (3.343,7.68) -- (3.624,7.359) -- (3.912,7.045) -- (4.208,6.738) -- (4.51,6.438) -- (4.82,6.145);
\draw[line width=0.5pt] (4.82,6.145) -- (4.604,5.867) -- (4.382,5.594) -- (4.153,5.326) -- (3.918,5.064) -- (3.677,4.807) -- (3.43,4.556) -- (3.177,4.311) -- (2.918,4.072) -- (2.654,3.839) -- (2.385,3.612) -- (2.11,3.392) -- (1.83,3.179) -- (1.545,2.972) -- (1.256,2.772);
\draw[line width=0.5pt] (4.82,6.145) -- (5.145,5.838) -- (5.477,5.538) -- (5.816,5.247) -- (6.162,4.964) -- (6.515,4.688) -- (6.874,4.421) -- (7.239,4.163) -- (7.61,3.913) -- (7.987,3.672) -- (8.37,3.44) -- (8.757,3.217) -- (9.15,3.003) -- (9.548,2.799) -- (9.95,2.604);
\draw[line width=0.5pt] (4.82,6.145) -- (4.867,5.82) -- (4.905,5.494) -- (4.936,5.167) -- (4.96,4.839) -- (4.975,4.511) -- (4.983,4.182) -- (4.983,3.854) -- (4.976,3.525) -- (4.96,3.197) -- (4.937,2.869) -- (4.907,2.542) -- (4.868,2.216) -- (4.822,1.891) -- (4.769,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (1.256,2.772) -- (1.491,2.648) -- (1.73,2.53) -- (1.972,2.417) -- (2.216,2.31) -- (2.462,2.209) -- (2.711,2.114) -- (2.962,2.024) -- (3.216,1.941) -- (3.471,1.863) -- (3.727,1.792) -- (3.986,1.726) -- (4.245,1.667) -- (4.506,1.614) -- (4.769,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (9.95,2.604) -- (9.594,2.474) -- (9.235,2.352) -- (8.874,2.239) -- (8.509,2.134) -- (8.142,2.038) -- (7.773,1.95) -- (7.402,1.872) -- (7.029,1.802) -- (6.655,1.74) -- (6.279,1.688) -- (5.903,1.644) -- (5.525,1.609) -- (5.147,1.584) -- (4.769,1.567);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.425,11.002) -- (9.403,11.082) -- (9.345,11.14) -- (9.265,11.162) -- (9.185,11.14) -- (9.126,11.082) -- (9.105,11.002) -- (9.126,10.922) -- (9.185,10.863) -- (9.265,10.842) -- (9.345,10.863) -- (9.403,10.922) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.336,10.837) -- (1.314,10.917) -- (1.256,10.976) -- (1.176,10.997) -- (1.096,10.976) -- (1.037,10.917) -- (1.016,10.837) -- (1.037,10.757) -- (1.096,10.699) -- (1.176,10.677) -- (1.256,10.699) -- (1.314,10.757) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.98,6.145) -- (4.959,6.225) -- (4.9,6.283) -- (4.82,6.305) -- (4.74,6.283) -- (4.682,6.225) -- (4.66,6.145) -- (4.682,6.065) -- (4.74,6.006) -- (4.82,5.985) -- (4.9,6.006) -- (4.959,6.065) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.416,2.772) -- (1.394,2.852) -- (1.336,2.91) -- (1.256,2.932) -- (1.176,2.91) -- (1.117,2.852) -- (1.096,2.772) -- (1.117,2.692) -- (1.176,2.633) -- (1.256,2.612) -- (1.336,2.633) -- (1.394,2.692) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.11,2.604) -- (10.089,2.684) -- (10.03,2.743) -- (9.95,2.764) -- (9.87,2.743) -- (9.812,2.684) -- (9.79,2.604) -- (9.812,2.524) -- (9.87,2.465) -- (9.95,2.444) -- (10.03,2.465) -- (10.089,2.524) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.929,1.567) -- (4.907,1.647) -- (4.849,1.705) -- (4.769,1.727) -- (4.689,1.705) -- (4.63,1.647) -- (4.609,1.567) -- (4.63,1.487) -- (4.689,1.428) -- (4.769,1.407) -- (4.849,1.428) -- (4.907,1.487) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.537,11.252) -- (6.491,11.422) -- (6.367,11.546) -- (6.197,11.592) -- (6.027,11.546) -- (5.903,11.422) -- (5.857,11.252) -- (5.903,11.082) -- (6.027,10.957) -- (6.197,10.912) -- (6.367,10.957) -- (6.491,11.082) -- cycle;
\node at (6.197,11.252) {\scalebox{1.279}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.364,6.88) -- (11.319,7.05) -- (11.194,7.174) -- (11.024,7.22) -- (10.854,7.174) -- (10.73,7.05) -- (10.684,6.88) -- (10.73,6.71) -- (10.854,6.585) -- (11.024,6.54) -- (11.194,6.585) -- (11.319,6.71) -- cycle;
\node at (11.024,6.88) {\scalebox{1.279}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.397,8.537) -- (3.351,8.707) -- (3.227,8.832) -- (3.057,8.877) -- (2.887,8.832) -- (2.763,8.707) -- (2.717,8.537) -- (2.763,8.367) -- (2.887,8.243) -- (3.057,8.197) -- (3.227,8.243) -- (3.351,8.367) -- cycle;
\node at (3.057,8.537) {\scalebox{1.279}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.737,4.079) -- (3.691,4.249) -- (3.567,4.373) -- (3.397,4.419) -- (3.227,4.373) -- (3.103,4.249) -- (3.057,4.079) -- (3.103,3.909) -- (3.227,3.784) -- (3.397,3.739) -- (3.567,3.784) -- (3.691,3.909) -- cycle;
\node at (3.397,4.079) {\scalebox{1.279}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.761,4.426) -- (7.715,4.596) -- (7.591,4.721) -- (7.421,4.766) -- (7.251,4.721) -- (7.126,4.596) -- (7.081,4.426) -- (7.126,4.256) -- (7.251,4.132) -- (7.421,4.086) -- (7.591,4.132) -- (7.715,4.256) -- cycle;
\node at (7.421,4.426) {\scalebox{1.279}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.643,3.85) -- (5.598,4.02) -- (5.473,4.145) -- (5.303,4.19) -- (5.133,4.145) -- (5.009,4.02) -- (4.963,3.85) -- (5.009,3.68) -- (5.133,3.556) -- (5.303,3.51) -- (5.473,3.556) -- (5.598,3.68) -- cycle;
\node at (5.303,3.85) {\scalebox{1.279}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.406,2.327) -- (3.361,2.497) -- (3.236,2.621) -- (3.066,2.667) -- (2.896,2.621) -- (2.772,2.497) -- (2.726,2.327) -- (2.772,2.157) -- (2.896,2.033) -- (3.066,1.987) -- (3.236,2.033) -- (3.361,2.157) -- cycle;
\node at (3.066,2.327) {\scalebox{1.279}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.805,1.558) -- (7.759,1.728) -- (7.635,1.852) -- (7.465,1.898) -- (7.295,1.852) -- (7.17,1.728) -- (7.125,1.558) -- (7.17,1.388) -- (7.295,1.263) -- (7.465,1.218) -- (7.635,1.263) -- (7.759,1.388) -- cycle;
\node at (7.465,1.558) {\scalebox{1.279}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.65,2.304) -- (10.25,2.304) -- (10.25,2.904) -- (9.65,2.904) -- cycle;
\node at (9.95,2.604) {\scalebox{1.279}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.255,3.612) -- (3.855,3.612) -- (3.855,4.212) -- (3.255,4.212) -- cycle;
\node at (3.555,3.912) {\scalebox{1.279}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.413,2.462) -- (6.013,2.462) -- (6.013,3.062) -- (5.413,3.062) -- cycle;
\node at (5.713,2.762) {\scalebox{1.279}{\small c}};
\node at (9.647,11.49) {\scalebox{1.279}{\small A}};
\node at (0.787,11.321) {\scalebox{1.279}{\small B}};
\node at (4.345,6.544) {\scalebox{1.279}{\small C}};
\node at (0.765,2.393) {\scalebox{1.279}{\small D}};
\node at (10.463,2.256) {\scalebox{1.279}{\small E}};
\node at (4.705,0.95) {\scalebox{1.279}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (11.25,10.052) -- (11.25,11.152);
\draw[line width=0.5pt] (11.019,10.767) -- (11.25,11.152) -- (11.481,10.767);
\draw[line width=0.5pt] (10.948,10.602) -- (11.553,10.602);
\node at (11.25,11.537) {\scalebox{1.279}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Neuve & ⑤ rue Pasteur & Ⓐ Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Four & ⑥ rue Basse & Ⓑ Place aux Herbes & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ allée des Peupliers & ⑦ rue de la Poste & Ⓒ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{c} la bibliothèque \\ \hline
④ passage du Marché & ⑧ rue de la Mairie & Ⓓ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓔ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6994, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.265,11.002) -- (9.05,11.076) -- (8.833,11.145) -- (8.614,11.209) -- (8.394,11.268) -- (8.173,11.321) -- (7.95,11.37) -- (7.727,11.413) -- (7.502,11.451) -- (7.277,11.484) -- (7.05,11.511) -- (6.824,11.533) -- (6.597,11.55) -- (6.369,11.561) -- (6.142,11.567) -- (5.798,11.461) -- (5.451,11.363) -- (5.103,11.273) -- (4.752,11.192) -- (4.399,11.119) -- (4.045,11.054) -- (3.689,10.997) -- (3.332,10.949) -- (2.974,10.909) -- (2.615,10.878) -- (2.255,10.855) -- (1.895,10.841) -- (1.535,10.835) -- (1.176,10.837);
\draw[line width=0.5pt] (9.265,11.002) -- (9.412,10.727) -- (9.552,10.449) -- (9.686,10.167) -- (9.813,9.883) -- (9.934,9.595) -- (10.047,9.304) -- (10.154,9.011) -- (10.254,8.716) -- (10.347,8.418) -- (10.433,8.119) -- (10.512,7.817) -- (10.584,7.514) -- (10.648,7.209) -- (10.705,6.902) -- (10.605,6.606) -- (10.511,6.307) -- (10.425,6.006) -- (10.345,5.704) -- (10.273,5.399) -- (10.208,5.092) -- (10.15,4.784) -- (10.1,4.475) -- (10.056,4.165) -- (10.02,3.854) -- (9.992,3.542) -- (9.971,3.23) -- (9.957,2.917) -- (9.95,2.604);
\draw[line width=0.5pt] (1.176,10.837) -- (1.382,10.465) -- (1.598,10.097) -- (1.823,9.735) -- (2.056,9.378) -- (2.297,9.026) -- (2.547,8.681) -- (2.804,8.341) -- (3.07,8.007) -- (3.343,7.68) -- (3.624,7.359) -- (3.912,7.045) -- (4.208,6.738) -- (4.51,6.438) -- (4.82,6.145);
\draw[line width=0.5pt] (4.82,6.145) -- (4.604,5.867) -- (4.382,5.594) -- (4.153,5.326) -- (3.918,5.064) -- (3.677,4.807) -- (3.43,4.556) -- (3.177,4.311) -- (2.918,4.072) -- (2.654,3.839) -- (2.385,3.612) -- (2.11,3.392) -- (1.83,3.179) -- (1.545,2.972) -- (1.256,2.772);
\draw[line width=0.5pt] (4.82,6.145) -- (5.145,5.838) -- (5.477,5.538) -- (5.816,5.247) -- (6.162,4.964) -- (6.515,4.688) -- (6.874,4.421) -- (7.239,4.163) -- (7.61,3.913) -- (7.987,3.672) -- (8.37,3.44) -- (8.757,3.217) -- (9.15,3.003) -- (9.548,2.799) -- (9.95,2.604);
\draw[line width=0.5pt] (4.82,6.145) -- (4.867,5.82) -- (4.905,5.494) -- (4.936,5.167) -- (4.96,4.839) -- (4.975,4.511) -- (4.983,4.182) -- (4.983,3.854) -- (4.976,3.525) -- (4.96,3.197) -- (4.937,2.869) -- (4.907,2.542) -- (4.868,2.216) -- (4.822,1.891) -- (4.769,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (1.256,2.772) -- (1.491,2.648) -- (1.73,2.53) -- (1.972,2.417) -- (2.216,2.31) -- (2.462,2.209) -- (2.711,2.114) -- (2.962,2.024) -- (3.216,1.941) -- (3.471,1.863) -- (3.727,1.792) -- (3.986,1.726) -- (4.245,1.667) -- (4.506,1.614) -- (4.769,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (9.95,2.604) -- (9.594,2.474) -- (9.235,2.352) -- (8.874,2.239) -- (8.509,2.134) -- (8.142,2.038) -- (7.773,1.95) -- (7.402,1.872) -- (7.029,1.802) -- (6.655,1.74) -- (6.279,1.688) -- (5.903,1.644) -- (5.525,1.609) -- (5.147,1.584) -- (4.769,1.567);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.425,11.002) -- (9.403,11.082) -- (9.345,11.14) -- (9.265,11.162) -- (9.185,11.14) -- (9.126,11.082) -- (9.105,11.002) -- (9.126,10.922) -- (9.185,10.863) -- (9.265,10.842) -- (9.345,10.863) -- (9.403,10.922) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.336,10.837) -- (1.314,10.917) -- (1.256,10.976) -- (1.176,10.997) -- (1.096,10.976) -- (1.037,10.917) -- (1.016,10.837) -- (1.037,10.757) -- (1.096,10.699) -- (1.176,10.677) -- (1.256,10.699) -- (1.314,10.757) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.98,6.145) -- (4.959,6.225) -- (4.9,6.283) -- (4.82,6.305) -- (4.74,6.283) -- (4.682,6.225) -- (4.66,6.145) -- (4.682,6.065) -- (4.74,6.006) -- (4.82,5.985) -- (4.9,6.006) -- (4.959,6.065) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.416,2.772) -- (1.394,2.852) -- (1.336,2.91) -- (1.256,2.932) -- (1.176,2.91) -- (1.117,2.852) -- (1.096,2.772) -- (1.117,2.692) -- (1.176,2.633) -- (1.256,2.612) -- (1.336,2.633) -- (1.394,2.692) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.11,2.604) -- (10.089,2.684) -- (10.03,2.743) -- (9.95,2.764) -- (9.87,2.743) -- (9.812,2.684) -- (9.79,2.604) -- (9.812,2.524) -- (9.87,2.465) -- (9.95,2.444) -- (10.03,2.465) -- (10.089,2.524) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.929,1.567) -- (4.907,1.647) -- (4.849,1.705) -- (4.769,1.727) -- (4.689,1.705) -- (4.63,1.647) -- (4.609,1.567) -- (4.63,1.487) -- (4.689,1.428) -- (4.769,1.407) -- (4.849,1.428) -- (4.907,1.487) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.537,11.252) -- (6.491,11.422) -- (6.367,11.546) -- (6.197,11.592) -- (6.027,11.546) -- (5.903,11.422) -- (5.857,11.252) -- (5.903,11.082) -- (6.027,10.957) -- (6.197,10.912) -- (6.367,10.957) -- (6.491,11.082) -- cycle;
\node at (6.197,11.252) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.364,6.88) -- (11.319,7.05) -- (11.194,7.174) -- (11.024,7.22) -- (10.854,7.174) -- (10.73,7.05) -- (10.684,6.88) -- (10.73,6.71) -- (10.854,6.585) -- (11.024,6.54) -- (11.194,6.585) -- (11.319,6.71) -- cycle;
\node at (11.024,6.88) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.397,8.537) -- (3.351,8.707) -- (3.227,8.832) -- (3.057,8.877) -- (2.887,8.832) -- (2.763,8.707) -- (2.717,8.537) -- (2.763,8.367) -- (2.887,8.243) -- (3.057,8.197) -- (3.227,8.243) -- (3.351,8.367) -- cycle;
\node at (3.057,8.537) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.737,4.079) -- (3.691,4.249) -- (3.567,4.373) -- (3.397,4.419) -- (3.227,4.373) -- (3.103,4.249) -- (3.057,4.079) -- (3.103,3.909) -- (3.227,3.784) -- (3.397,3.739) -- (3.567,3.784) -- (3.691,3.909) -- cycle;
\node at (3.397,4.079) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.761,4.426) -- (7.715,4.596) -- (7.591,4.721) -- (7.421,4.766) -- (7.251,4.721) -- (7.126,4.596) -- (7.081,4.426) -- (7.126,4.256) -- (7.251,4.132) -- (7.421,4.086) -- (7.591,4.132) -- (7.715,4.256) -- cycle;
\node at (7.421,4.426) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.643,3.85) -- (5.598,4.02) -- (5.473,4.145) -- (5.303,4.19) -- (5.133,4.145) -- (5.009,4.02) -- (4.963,3.85) -- (5.009,3.68) -- (5.133,3.556) -- (5.303,3.51) -- (5.473,3.556) -- (5.598,3.68) -- cycle;
\node at (5.303,3.85) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.406,2.327) -- (3.361,2.497) -- (3.236,2.621) -- (3.066,2.667) -- (2.896,2.621) -- (2.772,2.497) -- (2.726,2.327) -- (2.772,2.157) -- (2.896,2.033) -- (3.066,1.987) -- (3.236,2.033) -- (3.361,2.157) -- cycle;
\node at (3.066,2.327) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.805,1.558) -- (7.759,1.728) -- (7.635,1.852) -- (7.465,1.898) -- (7.295,1.852) -- (7.17,1.728) -- (7.125,1.558) -- (7.17,1.388) -- (7.295,1.263) -- (7.465,1.218) -- (7.635,1.263) -- (7.759,1.388) -- cycle;
\node at (7.465,1.558) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.65,2.304) -- (10.25,2.304) -- (10.25,2.904) -- (9.65,2.904) -- cycle;
\node at (9.95,2.604) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.255,3.612) -- (3.855,3.612) -- (3.855,4.212) -- (3.255,4.212) -- cycle;
\node at (3.555,3.912) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.413,2.462) -- (6.013,2.462) -- (6.013,3.062) -- (5.413,3.062) -- cycle;
\node at (5.713,2.762) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\node at (9.647,11.49) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (0.787,11.321) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (4.345,6.544) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (0.765,2.393) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (10.463,2.256) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (4.705,0.95) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (11.25,10.052) -- (11.25,11.152);
\draw[line width=0.5pt] (11.019,10.767) -- (11.25,11.152) -- (11.481,10.767);
\draw[line width=0.5pt] (10.948,10.602) -- (11.553,10.602);
\node at (11.25,11.537) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 2 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{E}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{E} et \textbf{F}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{E}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en F}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}, prend la \textbf{rue du Four ②} vers le nord et atteint Place de la Fontaine \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ③}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ④}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ⑦}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑥}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{E} ou en \textbf{F} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
