\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 122}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=122}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0122}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6995, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.956,10.316) -- (10.587,10.366) -- (10.217,10.408) -- (9.846,10.441) -- (9.474,10.465) -- (9.101,10.481) -- (8.729,10.488) -- (8.356,10.486) -- (7.983,10.475) -- (7.611,10.456) -- (7.239,10.427) -- (6.868,10.39) -- (6.499,10.345) -- (6.13,10.29) -- (5.763,10.227) -- (5.479,10.187) -- (5.194,10.154) -- (4.908,10.127) -- (4.621,10.108) -- (4.334,10.095) -- (4.047,10.088) -- (3.76,10.089) -- (3.473,10.096) -- (3.186,10.11) -- (2.899,10.131) -- (2.614,10.158) -- (2.328,10.192) -- (2.044,10.233) -- (1.761,10.28);
\draw[line width=0.5pt] (10.956,10.316) -- (10.632,9.941) -- (10.299,9.573) -- (9.958,9.213) -- (9.608,8.862) -- (9.25,8.518) -- (8.883,8.183) -- (8.509,7.857) -- (8.128,7.54) -- (7.739,7.231) -- (7.343,6.932) -- (6.94,6.643) -- (6.531,6.363) -- (6.115,6.093) -- (5.693,5.833);
\draw[line width=0.5pt] (1.761,10.28) -- (1.991,9.922) -- (2.23,9.57) -- (2.476,9.222) -- (2.731,8.881) -- (2.994,8.546) -- (3.265,8.217) -- (3.544,7.894) -- (3.83,7.578) -- (4.123,7.269) -- (4.423,6.967) -- (4.731,6.672) -- (5.045,6.385) -- (5.366,6.105) -- (5.693,5.833);
\draw[line width=0.5pt] (1.761,10.28) -- (1.788,9.93) -- (1.806,9.579) -- (1.816,9.228) -- (1.817,8.876) -- (1.81,8.524) -- (1.795,8.173) -- (1.772,7.822) -- (1.74,7.472) -- (1.701,7.122) -- (1.653,6.774) -- (1.597,6.426) -- (1.532,6.081) -- (1.46,5.737) -- (1.379,5.395);
\draw[line width=0.5pt] (11.379,7.034) -- (10.963,7.011) -- (10.548,6.979) -- (10.133,6.936) -- (9.719,6.884) -- (9.307,6.821) -- (8.896,6.75) -- (8.487,6.668) -- (8.079,6.577) -- (7.675,6.476) -- (7.272,6.366) -- (6.873,6.247) -- (6.476,6.118) -- (6.083,5.98) -- (5.693,5.833);
\draw[line width=0.5pt] (11.379,7.034) -- (11.41,6.629) -- (11.431,6.224) -- (11.442,5.818) -- (11.444,5.411) -- (11.436,5.005) -- (11.418,4.599) -- (11.391,4.193) -- (11.355,3.788) -- (11.309,3.384) -- (11.254,2.981) -- (11.189,2.58) -- (11.114,2.181) -- (11.031,1.783) -- (10.938,1.388);
\draw[line width=0.5pt] (5.693,5.833) -- (5.382,5.849) -- (5.072,5.858) -- (4.761,5.859) -- (4.45,5.853) -- (4.139,5.84) -- (3.828,5.819) -- (3.518,5.792) -- (3.209,5.757) -- (2.901,5.714) -- (2.593,5.665) -- (2.287,5.608) -- (1.983,5.544) -- (1.68,5.473) -- (1.379,5.395);
\draw[line width=0.5pt] (5.693,5.833) -- (5.454,5.526) -- (5.207,5.226) -- (4.954,4.931) -- (4.693,4.642) -- (4.426,4.359) -- (4.152,4.083) -- (3.872,3.813) -- (3.585,3.55) -- (3.292,3.293) -- (2.994,3.044) -- (2.689,2.802) -- (2.379,2.567) -- (2.064,2.339) -- (1.744,2.119);
\draw[line width=0.5pt] (5.693,5.833) -- (6.016,5.46) -- (6.348,5.096) -- (6.688,4.739) -- (7.037,4.39) -- (7.394,4.05) -- (7.759,3.717) -- (8.132,3.394) -- (8.512,3.079) -- (8.9,2.774) -- (9.294,2.477) -- (9.695,2.19) -- (10.103,1.913) -- (10.517,1.646) -- (10.938,1.388);
\draw[line width=0.5pt] (1.379,5.395) -- (1.441,5.167) -- (1.497,4.937) -- (1.548,4.706) -- (1.594,4.474) -- (1.633,4.241) -- (1.668,4.007) -- (1.697,3.772) -- (1.72,3.537) -- (1.738,3.301) -- (1.75,3.064) -- (1.757,2.828) -- (1.758,2.592) -- (1.754,2.355) -- (1.744,2.119);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.116,10.316) -- (11.094,10.396) -- (11.036,10.454) -- (10.956,10.476) -- (10.876,10.454) -- (10.817,10.396) -- (10.796,10.316) -- (10.817,10.236) -- (10.876,10.177) -- (10.956,10.156) -- (11.036,10.177) -- (11.094,10.236) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.921,10.28) -- (1.9,10.36) -- (1.841,10.419) -- (1.761,10.44) -- (1.681,10.419) -- (1.623,10.36) -- (1.601,10.28) -- (1.623,10.2) -- (1.681,10.142) -- (1.761,10.12) -- (1.841,10.142) -- (1.9,10.2) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.539,7.034) -- (11.518,7.114) -- (11.459,7.173) -- (11.379,7.194) -- (11.299,7.173) -- (11.241,7.114) -- (11.219,7.034) -- (11.241,6.954) -- (11.299,6.896) -- (11.379,6.874) -- (11.459,6.896) -- (11.518,6.954) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.853,5.833) -- (5.832,5.913) -- (5.773,5.971) -- (5.693,5.993) -- (5.613,5.971) -- (5.554,5.913) -- (5.533,5.833) -- (5.554,5.753) -- (5.613,5.694) -- (5.693,5.673) -- (5.773,5.694) -- (5.832,5.753) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.539,5.395) -- (1.518,5.475) -- (1.459,5.533) -- (1.379,5.555) -- (1.299,5.533) -- (1.241,5.475) -- (1.219,5.395) -- (1.241,5.315) -- (1.299,5.256) -- (1.379,5.235) -- (1.459,5.256) -- (1.518,5.315) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.904,2.119) -- (1.882,2.199) -- (1.824,2.258) -- (1.744,2.279) -- (1.664,2.258) -- (1.605,2.199) -- (1.584,2.119) -- (1.605,2.039) -- (1.664,1.98) -- (1.744,1.959) -- (1.824,1.98) -- (1.882,2.039) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.098,1.388) -- (11.076,1.468) -- (11.018,1.527) -- (10.938,1.548) -- (10.858,1.527) -- (10.799,1.468) -- (10.778,1.388) -- (10.799,1.308) -- (10.858,1.249) -- (10.938,1.228) -- (11.018,1.249) -- (11.076,1.308) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.153,9.911) -- (6.108,10.081) -- (5.983,10.206) -- (5.813,10.251) -- (5.643,10.206) -- (5.519,10.081) -- (5.473,9.911) -- (5.519,9.741) -- (5.643,9.617) -- (5.813,9.571) -- (5.983,9.617) -- (6.108,9.741) -- cycle;
\node at (5.813,9.911) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.057,7.614) -- (9.011,7.784) -- (8.887,7.908) -- (8.717,7.954) -- (8.547,7.908) -- (8.422,7.784) -- (8.377,7.614) -- (8.422,7.444) -- (8.547,7.319) -- (8.717,7.274) -- (8.887,7.319) -- (9.011,7.444) -- cycle;
\node at (8.717,7.614) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.123,8.106) -- (4.078,8.276) -- (3.953,8.401) -- (3.783,8.446) -- (3.613,8.401) -- (3.489,8.276) -- (3.443,8.106) -- (3.489,7.936) -- (3.613,7.812) -- (3.783,7.766) -- (3.953,7.812) -- (4.078,7.936) -- cycle;
\node at (3.783,8.106) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.431,7.797) -- (2.385,7.967) -- (2.261,8.091) -- (2.091,8.137) -- (1.921,8.091) -- (1.797,7.967) -- (1.751,7.797) -- (1.797,7.627) -- (1.921,7.503) -- (2.091,7.457) -- (2.261,7.503) -- (2.385,7.627) -- cycle;
\node at (2.091,7.797) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.893,6.355) -- (8.847,6.525) -- (8.723,6.649) -- (8.553,6.695) -- (8.383,6.649) -- (8.258,6.525) -- (8.213,6.355) -- (8.258,6.185) -- (8.383,6.061) -- (8.553,6.015) -- (8.723,6.061) -- (8.847,6.185) -- cycle;
\node at (8.553,6.355) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.05,4.168) -- (12.005,4.338) -- (11.88,4.462) -- (11.71,4.508) -- (11.54,4.462) -- (11.416,4.338) -- (11.37,4.168) -- (11.416,3.998) -- (11.54,3.873) -- (11.71,3.828) -- (11.88,3.873) -- (12.005,3.998) -- cycle;
\node at (11.71,4.168) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.89,5.473) -- (3.845,5.643) -- (3.72,5.768) -- (3.55,5.813) -- (3.38,5.768) -- (3.256,5.643) -- (3.21,5.473) -- (3.256,5.303) -- (3.38,5.179) -- (3.55,5.133) -- (3.72,5.179) -- (3.845,5.303) -- cycle;
\node at (3.55,5.473) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.431,3.58) -- (4.385,3.75) -- (4.261,3.874) -- (4.091,3.92) -- (3.921,3.874) -- (3.796,3.75) -- (3.751,3.58) -- (3.796,3.41) -- (3.921,3.285) -- (4.091,3.24) -- (4.261,3.285) -- (4.385,3.41) -- cycle;
\node at (4.091,3.58) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.679,3.638) -- (8.633,3.808) -- (8.509,3.933) -- (8.339,3.978) -- (8.169,3.933) -- (8.044,3.808) -- (7.999,3.638) -- (8.044,3.468) -- (8.169,3.344) -- (8.339,3.298) -- (8.509,3.344) -- (8.633,3.468) -- cycle;
\node at (8.339,3.638) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.355,3.807) -- (2.309,3.977) -- (2.185,4.102) -- (2.015,4.147) -- (1.845,4.102) -- (1.72,3.977) -- (1.675,3.807) -- (1.72,3.637) -- (1.845,3.513) -- (2.015,3.467) -- (2.185,3.513) -- (2.309,3.637) -- cycle;
\node at (2.015,3.807) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.393,5.533) -- (5.993,5.533) -- (5.993,6.133) -- (5.393,6.133) -- cycle;
\node at (5.693,5.833) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.013,7.92) -- (1.613,7.92) -- (1.613,8.52) -- (1.013,8.52) -- cycle;
\node at (1.313,8.22) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.281,2.238) -- (3.881,2.238) -- (3.881,2.838) -- (3.281,2.838) -- cycle;
\node at (3.581,2.538) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\node at (11.415,10.733) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (1.309,10.705) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (11.988,7.151) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (5.114,5.61) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (0.765,5.312) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (1.276,1.712) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (11.376,0.95) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.679,9.366) -- (12.679,10.466);
\draw[line width=0.5pt] (12.448,10.081) -- (12.679,10.466) -- (12.91,10.081);
\draw[line width=0.5pt] (12.377,9.916) -- (12.982,9.916);
\node at (12.679,10.851) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① passage du Marché & ⑥ rue Verte & Ⓐ Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② quai aux Fleurs & ⑦ avenue de la Gare & Ⓑ Carrefour de la Mairie & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ rue des Jardins & ⑧ rue Neuve & Ⓒ Coin du Lavoir & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ rue du Moulin & ⑨ rue des Lilas & Ⓓ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
⑤ rue de l'Église & ⑩ chemin Creux & Ⓔ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6258, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.956,10.316) -- (10.587,10.366) -- (10.217,10.408) -- (9.846,10.441) -- (9.474,10.465) -- (9.101,10.481) -- (8.729,10.488) -- (8.356,10.486) -- (7.983,10.475) -- (7.611,10.456) -- (7.239,10.427) -- (6.868,10.39) -- (6.499,10.345) -- (6.13,10.29) -- (5.763,10.227) -- (5.479,10.187) -- (5.194,10.154) -- (4.908,10.127) -- (4.621,10.108) -- (4.334,10.095) -- (4.047,10.088) -- (3.76,10.089) -- (3.473,10.096) -- (3.186,10.11) -- (2.899,10.131) -- (2.614,10.158) -- (2.328,10.192) -- (2.044,10.233) -- (1.761,10.28);
\draw[line width=0.5pt] (10.956,10.316) -- (10.632,9.941) -- (10.299,9.573) -- (9.958,9.213) -- (9.608,8.862) -- (9.25,8.518) -- (8.883,8.183) -- (8.509,7.857) -- (8.128,7.54) -- (7.739,7.231) -- (7.343,6.932) -- (6.94,6.643) -- (6.531,6.363) -- (6.115,6.093) -- (5.693,5.833);
\draw[line width=0.5pt] (1.761,10.28) -- (1.991,9.922) -- (2.23,9.57) -- (2.476,9.222) -- (2.731,8.881) -- (2.994,8.546) -- (3.265,8.217) -- (3.544,7.894) -- (3.83,7.578) -- (4.123,7.269) -- (4.423,6.967) -- (4.731,6.672) -- (5.045,6.385) -- (5.366,6.105) -- (5.693,5.833);
\draw[line width=0.5pt] (1.761,10.28) -- (1.788,9.93) -- (1.806,9.579) -- (1.816,9.228) -- (1.817,8.876) -- (1.81,8.524) -- (1.795,8.173) -- (1.772,7.822) -- (1.74,7.472) -- (1.701,7.122) -- (1.653,6.774) -- (1.597,6.426) -- (1.532,6.081) -- (1.46,5.737) -- (1.379,5.395);
\draw[line width=0.5pt] (11.379,7.034) -- (10.963,7.011) -- (10.548,6.979) -- (10.133,6.936) -- (9.719,6.884) -- (9.307,6.821) -- (8.896,6.75) -- (8.487,6.668) -- (8.079,6.577) -- (7.675,6.476) -- (7.272,6.366) -- (6.873,6.247) -- (6.476,6.118) -- (6.083,5.98) -- (5.693,5.833);
\draw[line width=0.5pt] (11.379,7.034) -- (11.41,6.629) -- (11.431,6.224) -- (11.442,5.818) -- (11.444,5.411) -- (11.436,5.005) -- (11.418,4.599) -- (11.391,4.193) -- (11.355,3.788) -- (11.309,3.384) -- (11.254,2.981) -- (11.189,2.58) -- (11.114,2.181) -- (11.031,1.783) -- (10.938,1.388);
\draw[line width=0.5pt] (5.693,5.833) -- (5.382,5.849) -- (5.072,5.858) -- (4.761,5.859) -- (4.45,5.853) -- (4.139,5.84) -- (3.828,5.819) -- (3.518,5.792) -- (3.209,5.757) -- (2.901,5.714) -- (2.593,5.665) -- (2.287,5.608) -- (1.983,5.544) -- (1.68,5.473) -- (1.379,5.395);
\draw[line width=0.5pt] (5.693,5.833) -- (5.454,5.526) -- (5.207,5.226) -- (4.954,4.931) -- (4.693,4.642) -- (4.426,4.359) -- (4.152,4.083) -- (3.872,3.813) -- (3.585,3.55) -- (3.292,3.293) -- (2.994,3.044) -- (2.689,2.802) -- (2.379,2.567) -- (2.064,2.339) -- (1.744,2.119);
\draw[line width=0.5pt] (5.693,5.833) -- (6.016,5.46) -- (6.348,5.096) -- (6.688,4.739) -- (7.037,4.39) -- (7.394,4.05) -- (7.759,3.717) -- (8.132,3.394) -- (8.512,3.079) -- (8.9,2.774) -- (9.294,2.477) -- (9.695,2.19) -- (10.103,1.913) -- (10.517,1.646) -- (10.938,1.388);
\draw[line width=0.5pt] (1.379,5.395) -- (1.441,5.167) -- (1.497,4.937) -- (1.548,4.706) -- (1.594,4.474) -- (1.633,4.241) -- (1.668,4.007) -- (1.697,3.772) -- (1.72,3.537) -- (1.738,3.301) -- (1.75,3.064) -- (1.757,2.828) -- (1.758,2.592) -- (1.754,2.355) -- (1.744,2.119);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.116,10.316) -- (11.094,10.396) -- (11.036,10.454) -- (10.956,10.476) -- (10.876,10.454) -- (10.817,10.396) -- (10.796,10.316) -- (10.817,10.236) -- (10.876,10.177) -- (10.956,10.156) -- (11.036,10.177) -- (11.094,10.236) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.921,10.28) -- (1.9,10.36) -- (1.841,10.419) -- (1.761,10.44) -- (1.681,10.419) -- (1.623,10.36) -- (1.601,10.28) -- (1.623,10.2) -- (1.681,10.142) -- (1.761,10.12) -- (1.841,10.142) -- (1.9,10.2) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.539,7.034) -- (11.518,7.114) -- (11.459,7.173) -- (11.379,7.194) -- (11.299,7.173) -- (11.241,7.114) -- (11.219,7.034) -- (11.241,6.954) -- (11.299,6.896) -- (11.379,6.874) -- (11.459,6.896) -- (11.518,6.954) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.853,5.833) -- (5.832,5.913) -- (5.773,5.971) -- (5.693,5.993) -- (5.613,5.971) -- (5.554,5.913) -- (5.533,5.833) -- (5.554,5.753) -- (5.613,5.694) -- (5.693,5.673) -- (5.773,5.694) -- (5.832,5.753) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.539,5.395) -- (1.518,5.475) -- (1.459,5.533) -- (1.379,5.555) -- (1.299,5.533) -- (1.241,5.475) -- (1.219,5.395) -- (1.241,5.315) -- (1.299,5.256) -- (1.379,5.235) -- (1.459,5.256) -- (1.518,5.315) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.904,2.119) -- (1.882,2.199) -- (1.824,2.258) -- (1.744,2.279) -- (1.664,2.258) -- (1.605,2.199) -- (1.584,2.119) -- (1.605,2.039) -- (1.664,1.98) -- (1.744,1.959) -- (1.824,1.98) -- (1.882,2.039) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.098,1.388) -- (11.076,1.468) -- (11.018,1.527) -- (10.938,1.548) -- (10.858,1.527) -- (10.799,1.468) -- (10.778,1.388) -- (10.799,1.308) -- (10.858,1.249) -- (10.938,1.228) -- (11.018,1.249) -- (11.076,1.308) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.153,9.911) -- (6.108,10.081) -- (5.983,10.206) -- (5.813,10.251) -- (5.643,10.206) -- (5.519,10.081) -- (5.473,9.911) -- (5.519,9.741) -- (5.643,9.617) -- (5.813,9.571) -- (5.983,9.617) -- (6.108,9.741) -- cycle;
\node at (5.813,9.911) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.057,7.614) -- (9.011,7.784) -- (8.887,7.908) -- (8.717,7.954) -- (8.547,7.908) -- (8.422,7.784) -- (8.377,7.614) -- (8.422,7.444) -- (8.547,7.319) -- (8.717,7.274) -- (8.887,7.319) -- (9.011,7.444) -- cycle;
\node at (8.717,7.614) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.123,8.106) -- (4.078,8.276) -- (3.953,8.401) -- (3.783,8.446) -- (3.613,8.401) -- (3.489,8.276) -- (3.443,8.106) -- (3.489,7.936) -- (3.613,7.812) -- (3.783,7.766) -- (3.953,7.812) -- (4.078,7.936) -- cycle;
\node at (3.783,8.106) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.431,7.797) -- (2.385,7.967) -- (2.261,8.091) -- (2.091,8.137) -- (1.921,8.091) -- (1.797,7.967) -- (1.751,7.797) -- (1.797,7.627) -- (1.921,7.503) -- (2.091,7.457) -- (2.261,7.503) -- (2.385,7.627) -- cycle;
\node at (2.091,7.797) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.893,6.355) -- (8.847,6.525) -- (8.723,6.649) -- (8.553,6.695) -- (8.383,6.649) -- (8.258,6.525) -- (8.213,6.355) -- (8.258,6.185) -- (8.383,6.061) -- (8.553,6.015) -- (8.723,6.061) -- (8.847,6.185) -- cycle;
\node at (8.553,6.355) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.05,4.168) -- (12.005,4.338) -- (11.88,4.462) -- (11.71,4.508) -- (11.54,4.462) -- (11.416,4.338) -- (11.37,4.168) -- (11.416,3.998) -- (11.54,3.873) -- (11.71,3.828) -- (11.88,3.873) -- (12.005,3.998) -- cycle;
\node at (11.71,4.168) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.89,5.473) -- (3.845,5.643) -- (3.72,5.768) -- (3.55,5.813) -- (3.38,5.768) -- (3.256,5.643) -- (3.21,5.473) -- (3.256,5.303) -- (3.38,5.179) -- (3.55,5.133) -- (3.72,5.179) -- (3.845,5.303) -- cycle;
\node at (3.55,5.473) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.431,3.58) -- (4.385,3.75) -- (4.261,3.874) -- (4.091,3.92) -- (3.921,3.874) -- (3.796,3.75) -- (3.751,3.58) -- (3.796,3.41) -- (3.921,3.285) -- (4.091,3.24) -- (4.261,3.285) -- (4.385,3.41) -- cycle;
\node at (4.091,3.58) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.679,3.638) -- (8.633,3.808) -- (8.509,3.933) -- (8.339,3.978) -- (8.169,3.933) -- (8.044,3.808) -- (7.999,3.638) -- (8.044,3.468) -- (8.169,3.344) -- (8.339,3.298) -- (8.509,3.344) -- (8.633,3.468) -- cycle;
\node at (8.339,3.638) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.355,3.807) -- (2.309,3.977) -- (2.185,4.102) -- (2.015,4.147) -- (1.845,4.102) -- (1.72,3.977) -- (1.675,3.807) -- (1.72,3.637) -- (1.845,3.513) -- (2.015,3.467) -- (2.185,3.513) -- (2.309,3.637) -- cycle;
\node at (2.015,3.807) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.393,5.533) -- (5.993,5.533) -- (5.993,6.133) -- (5.393,6.133) -- cycle;
\node at (5.693,5.833) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.013,7.92) -- (1.613,7.92) -- (1.613,8.52) -- (1.013,8.52) -- cycle;
\node at (1.313,8.22) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (3.281,2.238) -- (3.881,2.238) -- (3.881,2.838) -- (3.281,2.838) -- cycle;
\node at (3.581,2.538) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\node at (11.415,10.733) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (1.309,10.705) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (11.988,7.151) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (5.114,5.61) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (0.765,5.312) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (1.276,1.712) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (11.376,0.95) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.679,9.366) -- (12.679,10.466);
\draw[line width=0.5pt] (12.448,10.081) -- (12.679,10.466) -- (12.91,10.081);
\draw[line width=0.5pt] (12.377,9.916) -- (12.982,9.916);
\node at (12.679,10.851) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 2 & 6 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{E} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{D}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{B} à \textbf{E}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de B :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour de la Mairie \textbf{(B)}, prend le \textbf{passage du Marché ①} vers l'est et atteint Place de la Fontaine \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ②}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ③}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Moulin ④}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑦}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue de l'Église ⑤}, vers l'est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ⑥}, vers le sud, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑨}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ⑧}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ⑩}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\end{document}
