\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 123}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=123}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0123}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7081, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.4,11.061) -- (2.717,10.973) -- (3.036,10.892) -- (3.357,10.82) -- (3.679,10.755) -- (4.003,10.697) -- (4.329,10.647) -- (4.655,10.605) -- (4.983,10.57) -- (5.311,10.544) -- (5.639,10.524) -- (5.968,10.513) -- (6.297,10.509) -- (6.626,10.513) -- (6.955,10.525);
\draw[line width=0.5pt] (2.4,11.061) -- (2.714,10.781) -- (3.021,10.494) -- (3.322,10.199) -- (3.616,9.898) -- (3.902,9.59) -- (4.181,9.275) -- (4.453,8.953) -- (4.717,8.625) -- (4.974,8.291) -- (5.222,7.952) -- (5.463,7.606) -- (5.695,7.255) -- (5.918,6.899) -- (6.134,6.538);
\draw[line width=0.5pt] (2.4,11.061) -- (2.343,10.706) -- (2.294,10.351) -- (2.254,9.994) -- (2.222,9.637) -- (2.198,9.278) -- (2.183,8.919) -- (2.177,8.56) -- (2.179,8.201) -- (2.189,7.842) -- (2.208,7.484) -- (2.235,7.126) -- (2.27,6.769) -- (2.314,6.412) -- (2.367,6.058) -- (2.328,5.765) -- (2.283,5.473) -- (2.231,5.183) -- (2.171,4.893) -- (2.106,4.606) -- (2.033,4.319) -- (1.954,4.035) -- (1.868,3.752) -- (1.775,3.472) -- (1.676,3.193) -- (1.57,2.918) -- (1.458,2.644) -- (1.339,2.374) -- (1.214,2.107);
\draw[line width=0.5pt] (10.852,10.668) -- (10.578,10.615) -- (10.302,10.569) -- (10.025,10.529) -- (9.747,10.496) -- (9.468,10.469) -- (9.189,10.449) -- (8.909,10.436) -- (8.63,10.429) -- (8.35,10.428) -- (8.07,10.435) -- (7.79,10.447) -- (7.511,10.467) -- (7.233,10.493) -- (6.955,10.525);
\draw[line width=0.5pt] (10.852,10.668) -- (10.84,10.419) -- (10.834,10.17) -- (10.834,9.921) -- (10.839,9.672) -- (10.851,9.423) -- (10.868,9.174) -- (10.891,8.926) -- (10.92,8.679) -- (10.955,8.432) -- (10.995,8.186) -- (11.041,7.941) -- (11.093,7.698) -- (11.151,7.455) -- (11.214,7.215);
\draw[line width=0.5pt] (10.852,10.668) -- (10.563,10.323) -- (10.266,9.986) -- (9.96,9.656) -- (9.647,9.332) -- (9.326,9.017) -- (8.998,8.708) -- (8.663,8.408) -- (8.321,8.116) -- (7.972,7.831) -- (7.617,7.555) -- (7.255,7.288) -- (6.887,7.029) -- (6.513,6.779) -- (6.134,6.538);
\draw[line width=0.5pt] (6.955,10.525) -- (6.853,10.252) -- (6.758,9.976) -- (6.669,9.697) -- (6.587,9.417) -- (6.511,9.135) -- (6.442,8.851) -- (6.38,8.565) -- (6.324,8.278) -- (6.275,7.99) -- (6.233,7.701) -- (6.198,7.411) -- (6.17,7.12) -- (6.148,6.829) -- (6.134,6.538);
\draw[line width=0.5pt] (11.214,7.215) -- (10.862,7.111) -- (10.507,7.016) -- (10.149,6.929) -- (9.79,6.851) -- (9.429,6.781) -- (9.066,6.719) -- (8.702,6.667) -- (8.337,6.622) -- (7.97,6.586) -- (7.604,6.559) -- (7.236,6.541) -- (6.869,6.531) -- (6.501,6.53) -- (6.134,6.538);
\draw[line width=0.5pt] (6.134,6.538) -- (6.105,6.182) -- (6.086,5.825) -- (6.074,5.468) -- (6.071,5.11) -- (6.077,4.753) -- (6.091,4.395) -- (6.113,4.039) -- (6.144,3.682) -- (6.183,3.327) -- (6.23,2.973) -- (6.286,2.619) -- (6.35,2.268) -- (6.422,1.918) -- (6.503,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (1.214,2.107) -- (1.595,2.127) -- (1.976,2.137) -- (2.357,2.139) -- (2.739,2.132) -- (3.12,2.116) -- (3.501,2.091) -- (3.881,2.057) -- (4.26,2.014) -- (4.638,1.962) -- (5.014,1.901) -- (5.389,1.831) -- (5.763,1.753) -- (6.134,1.666) -- (6.503,1.57);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.56,11.061) -- (2.538,11.141) -- (2.48,11.199) -- (2.4,11.221) -- (2.32,11.199) -- (2.261,11.141) -- (2.24,11.061) -- (2.261,10.981) -- (2.32,10.922) -- (2.4,10.901) -- (2.48,10.922) -- (2.538,10.981) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.012,10.668) -- (10.991,10.748) -- (10.932,10.806) -- (10.852,10.828) -- (10.772,10.806) -- (10.714,10.748) -- (10.692,10.668) -- (10.714,10.588) -- (10.772,10.529) -- (10.852,10.508) -- (10.932,10.529) -- (10.991,10.588) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.115,10.525) -- (7.094,10.605) -- (7.035,10.664) -- (6.955,10.685) -- (6.875,10.664) -- (6.816,10.605) -- (6.795,10.525) -- (6.816,10.445) -- (6.875,10.387) -- (6.955,10.365) -- (7.035,10.387) -- (7.094,10.445) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.374,7.215) -- (11.353,7.295) -- (11.294,7.353) -- (11.214,7.375) -- (11.134,7.353) -- (11.076,7.295) -- (11.054,7.215) -- (11.076,7.135) -- (11.134,7.076) -- (11.214,7.055) -- (11.294,7.076) -- (11.353,7.135) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.294,6.538) -- (6.272,6.618) -- (6.214,6.676) -- (6.134,6.698) -- (6.054,6.676) -- (5.995,6.618) -- (5.974,6.538) -- (5.995,6.458) -- (6.054,6.399) -- (6.134,6.378) -- (6.214,6.399) -- (6.272,6.458) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.374,2.107) -- (1.353,2.187) -- (1.294,2.245) -- (1.214,2.267) -- (1.134,2.245) -- (1.076,2.187) -- (1.054,2.107) -- (1.076,2.027) -- (1.134,1.968) -- (1.214,1.947) -- (1.294,1.968) -- (1.353,2.027) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.663,1.57) -- (6.641,1.65) -- (6.583,1.709) -- (6.503,1.73) -- (6.423,1.709) -- (6.364,1.65) -- (6.343,1.57) -- (6.364,1.49) -- (6.423,1.431) -- (6.503,1.41) -- (6.583,1.431) -- (6.641,1.49) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.033,10.923) -- (4.987,11.093) -- (4.863,11.217) -- (4.693,11.263) -- (4.523,11.217) -- (4.398,11.093) -- (4.353,10.923) -- (4.398,10.753) -- (4.523,10.628) -- (4.693,10.583) -- (4.863,10.628) -- (4.987,10.753) -- cycle;
\node at (4.693,10.923) {\scalebox{1.412}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.04,9.157) -- (4.994,9.327) -- (4.87,9.451) -- (4.7,9.497) -- (4.53,9.451) -- (4.405,9.327) -- (4.36,9.157) -- (4.405,8.987) -- (4.53,8.862) -- (4.7,8.817) -- (4.87,8.862) -- (4.994,8.987) -- cycle;
\node at (4.7,9.157) {\scalebox{1.412}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.027,6.064) -- (2.981,6.234) -- (2.857,6.359) -- (2.687,6.404) -- (2.517,6.359) -- (2.392,6.234) -- (2.347,6.064) -- (2.392,5.894) -- (2.517,5.77) -- (2.687,5.724) -- (2.857,5.77) -- (2.981,5.894) -- cycle;
\node at (2.687,6.064) {\scalebox{1.412}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.261,10.116) -- (9.216,10.286) -- (9.091,10.41) -- (8.921,10.456) -- (8.751,10.41) -- (8.627,10.286) -- (8.581,10.116) -- (8.627,9.946) -- (8.751,9.822) -- (8.921,9.776) -- (9.091,9.822) -- (9.216,9.946) -- cycle;
\node at (8.921,10.116) {\scalebox{1.412}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.549,8.96) -- (11.504,9.13) -- (11.379,9.254) -- (11.209,9.3) -- (11.039,9.254) -- (10.915,9.13) -- (10.869,8.96) -- (10.915,8.79) -- (11.039,8.665) -- (11.209,8.62) -- (11.379,8.665) -- (11.504,8.79) -- cycle;
\node at (11.209,8.96) {\scalebox{1.412}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.214,8.167) -- (9.168,8.337) -- (9.044,8.462) -- (8.874,8.507) -- (8.704,8.462) -- (8.58,8.337) -- (8.534,8.167) -- (8.58,7.997) -- (8.704,7.873) -- (8.874,7.827) -- (9.044,7.873) -- (9.168,7.997) -- cycle;
\node at (8.874,8.167) {\scalebox{1.412}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.033,8.501) -- (6.988,8.671) -- (6.863,8.795) -- (6.693,8.841) -- (6.523,8.795) -- (6.399,8.671) -- (6.353,8.501) -- (6.399,8.331) -- (6.523,8.206) -- (6.693,8.161) -- (6.863,8.206) -- (6.988,8.331) -- cycle;
\node at (6.693,8.501) {\scalebox{1.412}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.084,6.349) -- (9.039,6.519) -- (8.914,6.644) -- (8.744,6.689) -- (8.574,6.644) -- (8.45,6.519) -- (8.404,6.349) -- (8.45,6.179) -- (8.574,6.055) -- (8.744,6.009) -- (8.914,6.055) -- (9.039,6.179) -- cycle;
\node at (8.744,6.349) {\scalebox{1.412}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.772,4.062) -- (6.727,4.232) -- (6.602,4.357) -- (6.432,4.402) -- (6.262,4.357) -- (6.138,4.232) -- (6.092,4.062) -- (6.138,3.892) -- (6.262,3.768) -- (6.432,3.722) -- (6.602,3.768) -- (6.727,3.892) -- cycle;
\node at (6.432,4.062) {\scalebox{1.412}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.253,2.375) -- (4.207,2.545) -- (4.083,2.669) -- (3.913,2.715) -- (3.743,2.669) -- (3.619,2.545) -- (3.573,2.375) -- (3.619,2.205) -- (3.743,2.08) -- (3.913,2.035) -- (4.083,2.08) -- (4.207,2.205) -- cycle;
\node at (3.913,2.375) {\scalebox{1.412}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.834,6.238) -- (6.434,6.238) -- (6.434,6.838) -- (5.834,6.838) -- cycle;
\node at (6.134,6.538) {\scalebox{1.412}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.764,8.058) -- (10.364,8.058) -- (10.364,8.658) -- (9.764,8.658) -- cycle;
\node at (10.064,8.358) {\scalebox{1.412}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.577,9.003) -- (5.177,9.003) -- (5.177,9.603) -- (4.577,9.603) -- cycle;
\node at (4.877,9.303) {\scalebox{1.412}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.966,9.198) -- (7.566,9.198) -- (7.566,9.798) -- (6.966,9.798) -- cycle;
\node at (7.266,9.498) {\scalebox{1.412}{\small d}};
\node at (1.956,11.493) {\scalebox{1.412}{\small A}};
\node at (11.333,11.059) {\scalebox{1.412}{\small B}};
\node at (7.042,11.139) {\scalebox{1.412}{\small C}};
\node at (11.834,7.23) {\scalebox{1.412}{\small D}};
\node at (5.816,6.005) {\scalebox{1.412}{\small E}};
\node at (0.765,1.68) {\scalebox{1.412}{\small F}};
\node at (6.506,0.95) {\scalebox{1.412}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.514,10.111) -- (12.514,11.211);
\draw[line width=0.5pt] (12.283,10.826) -- (12.514,11.211) -- (12.745,10.826);
\draw[line width=0.5pt] (12.212,10.661) -- (12.817,10.661);
\node at (12.514,11.596) {\scalebox{1.412}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Peupliers & ⑥ avenue de la Gare & Ⓐ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Stade & ⑦ boulevard du Parc & Ⓑ Carrefour Saint-Roch & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ sentier des Prés & ⑧ rue Basse & Ⓒ Carrefour du Lavoir & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ chemin du Lavoir & ⑨ rue de la Mairie & Ⓓ Place du Marché & \textbf{d} la boulangerie \\ \hline
⑤ rue Neuve & ⑩ chemin des Vignes & Ⓔ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6335, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.4,11.061) -- (2.717,10.973) -- (3.036,10.892) -- (3.357,10.82) -- (3.679,10.755) -- (4.003,10.697) -- (4.329,10.647) -- (4.655,10.605) -- (4.983,10.57) -- (5.311,10.544) -- (5.639,10.524) -- (5.968,10.513) -- (6.297,10.509) -- (6.626,10.513) -- (6.955,10.525);
\draw[line width=0.5pt] (2.4,11.061) -- (2.714,10.781) -- (3.021,10.494) -- (3.322,10.199) -- (3.616,9.898) -- (3.902,9.59) -- (4.181,9.275) -- (4.453,8.953) -- (4.717,8.625) -- (4.974,8.291) -- (5.222,7.952) -- (5.463,7.606) -- (5.695,7.255) -- (5.918,6.899) -- (6.134,6.538);
\draw[line width=0.5pt] (2.4,11.061) -- (2.343,10.706) -- (2.294,10.351) -- (2.254,9.994) -- (2.222,9.637) -- (2.198,9.278) -- (2.183,8.919) -- (2.177,8.56) -- (2.179,8.201) -- (2.189,7.842) -- (2.208,7.484) -- (2.235,7.126) -- (2.27,6.769) -- (2.314,6.412) -- (2.367,6.058) -- (2.328,5.765) -- (2.283,5.473) -- (2.231,5.183) -- (2.171,4.893) -- (2.106,4.606) -- (2.033,4.319) -- (1.954,4.035) -- (1.868,3.752) -- (1.775,3.472) -- (1.676,3.193) -- (1.57,2.918) -- (1.458,2.644) -- (1.339,2.374) -- (1.214,2.107);
\draw[line width=0.5pt] (10.852,10.668) -- (10.578,10.615) -- (10.302,10.569) -- (10.025,10.529) -- (9.747,10.496) -- (9.468,10.469) -- (9.189,10.449) -- (8.909,10.436) -- (8.63,10.429) -- (8.35,10.428) -- (8.07,10.435) -- (7.79,10.447) -- (7.511,10.467) -- (7.233,10.493) -- (6.955,10.525);
\draw[line width=0.5pt] (10.852,10.668) -- (10.84,10.419) -- (10.834,10.17) -- (10.834,9.921) -- (10.839,9.672) -- (10.851,9.423) -- (10.868,9.174) -- (10.891,8.926) -- (10.92,8.679) -- (10.955,8.432) -- (10.995,8.186) -- (11.041,7.941) -- (11.093,7.698) -- (11.151,7.455) -- (11.214,7.215);
\draw[line width=0.5pt] (10.852,10.668) -- (10.563,10.323) -- (10.266,9.986) -- (9.96,9.656) -- (9.647,9.332) -- (9.326,9.017) -- (8.998,8.708) -- (8.663,8.408) -- (8.321,8.116) -- (7.972,7.831) -- (7.617,7.555) -- (7.255,7.288) -- (6.887,7.029) -- (6.513,6.779) -- (6.134,6.538);
\draw[line width=0.5pt] (6.955,10.525) -- (6.853,10.252) -- (6.758,9.976) -- (6.669,9.697) -- (6.587,9.417) -- (6.511,9.135) -- (6.442,8.851) -- (6.38,8.565) -- (6.324,8.278) -- (6.275,7.99) -- (6.233,7.701) -- (6.198,7.411) -- (6.17,7.12) -- (6.148,6.829) -- (6.134,6.538);
\draw[line width=0.5pt] (11.214,7.215) -- (10.862,7.111) -- (10.507,7.016) -- (10.149,6.929) -- (9.79,6.851) -- (9.429,6.781) -- (9.066,6.719) -- (8.702,6.667) -- (8.337,6.622) -- (7.97,6.586) -- (7.604,6.559) -- (7.236,6.541) -- (6.869,6.531) -- (6.501,6.53) -- (6.134,6.538);
\draw[line width=0.5pt] (6.134,6.538) -- (6.105,6.182) -- (6.086,5.825) -- (6.074,5.468) -- (6.071,5.11) -- (6.077,4.753) -- (6.091,4.395) -- (6.113,4.039) -- (6.144,3.682) -- (6.183,3.327) -- (6.23,2.973) -- (6.286,2.619) -- (6.35,2.268) -- (6.422,1.918) -- (6.503,1.57);
\draw[line width=0.5pt] (1.214,2.107) -- (1.595,2.127) -- (1.976,2.137) -- (2.357,2.139) -- (2.739,2.132) -- (3.12,2.116) -- (3.501,2.091) -- (3.881,2.057) -- (4.26,2.014) -- (4.638,1.962) -- (5.014,1.901) -- (5.389,1.831) -- (5.763,1.753) -- (6.134,1.666) -- (6.503,1.57);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.56,11.061) -- (2.538,11.141) -- (2.48,11.199) -- (2.4,11.221) -- (2.32,11.199) -- (2.261,11.141) -- (2.24,11.061) -- (2.261,10.981) -- (2.32,10.922) -- (2.4,10.901) -- (2.48,10.922) -- (2.538,10.981) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.012,10.668) -- (10.991,10.748) -- (10.932,10.806) -- (10.852,10.828) -- (10.772,10.806) -- (10.714,10.748) -- (10.692,10.668) -- (10.714,10.588) -- (10.772,10.529) -- (10.852,10.508) -- (10.932,10.529) -- (10.991,10.588) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.115,10.525) -- (7.094,10.605) -- (7.035,10.664) -- (6.955,10.685) -- (6.875,10.664) -- (6.816,10.605) -- (6.795,10.525) -- (6.816,10.445) -- (6.875,10.387) -- (6.955,10.365) -- (7.035,10.387) -- (7.094,10.445) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.374,7.215) -- (11.353,7.295) -- (11.294,7.353) -- (11.214,7.375) -- (11.134,7.353) -- (11.076,7.295) -- (11.054,7.215) -- (11.076,7.135) -- (11.134,7.076) -- (11.214,7.055) -- (11.294,7.076) -- (11.353,7.135) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.294,6.538) -- (6.272,6.618) -- (6.214,6.676) -- (6.134,6.698) -- (6.054,6.676) -- (5.995,6.618) -- (5.974,6.538) -- (5.995,6.458) -- (6.054,6.399) -- (6.134,6.378) -- (6.214,6.399) -- (6.272,6.458) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.374,2.107) -- (1.353,2.187) -- (1.294,2.245) -- (1.214,2.267) -- (1.134,2.245) -- (1.076,2.187) -- (1.054,2.107) -- (1.076,2.027) -- (1.134,1.968) -- (1.214,1.947) -- (1.294,1.968) -- (1.353,2.027) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.663,1.57) -- (6.641,1.65) -- (6.583,1.709) -- (6.503,1.73) -- (6.423,1.709) -- (6.364,1.65) -- (6.343,1.57) -- (6.364,1.49) -- (6.423,1.431) -- (6.503,1.41) -- (6.583,1.431) -- (6.641,1.49) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.033,10.923) -- (4.987,11.093) -- (4.863,11.217) -- (4.693,11.263) -- (4.523,11.217) -- (4.398,11.093) -- (4.353,10.923) -- (4.398,10.753) -- (4.523,10.628) -- (4.693,10.583) -- (4.863,10.628) -- (4.987,10.753) -- cycle;
\node at (4.693,10.923) {\scalebox{1.579}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.04,9.157) -- (4.994,9.327) -- (4.87,9.451) -- (4.7,9.497) -- (4.53,9.451) -- (4.405,9.327) -- (4.36,9.157) -- (4.405,8.987) -- (4.53,8.862) -- (4.7,8.817) -- (4.87,8.862) -- (4.994,8.987) -- cycle;
\node at (4.7,9.157) {\scalebox{1.579}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.027,6.064) -- (2.981,6.234) -- (2.857,6.359) -- (2.687,6.404) -- (2.517,6.359) -- (2.392,6.234) -- (2.347,6.064) -- (2.392,5.894) -- (2.517,5.77) -- (2.687,5.724) -- (2.857,5.77) -- (2.981,5.894) -- cycle;
\node at (2.687,6.064) {\scalebox{1.579}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.261,10.116) -- (9.216,10.286) -- (9.091,10.41) -- (8.921,10.456) -- (8.751,10.41) -- (8.627,10.286) -- (8.581,10.116) -- (8.627,9.946) -- (8.751,9.822) -- (8.921,9.776) -- (9.091,9.822) -- (9.216,9.946) -- cycle;
\node at (8.921,10.116) {\scalebox{1.579}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.549,8.96) -- (11.504,9.13) -- (11.379,9.254) -- (11.209,9.3) -- (11.039,9.254) -- (10.915,9.13) -- (10.869,8.96) -- (10.915,8.79) -- (11.039,8.665) -- (11.209,8.62) -- (11.379,8.665) -- (11.504,8.79) -- cycle;
\node at (11.209,8.96) {\scalebox{1.579}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.214,8.167) -- (9.168,8.337) -- (9.044,8.462) -- (8.874,8.507) -- (8.704,8.462) -- (8.58,8.337) -- (8.534,8.167) -- (8.58,7.997) -- (8.704,7.873) -- (8.874,7.827) -- (9.044,7.873) -- (9.168,7.997) -- cycle;
\node at (8.874,8.167) {\scalebox{1.579}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.033,8.501) -- (6.988,8.671) -- (6.863,8.795) -- (6.693,8.841) -- (6.523,8.795) -- (6.399,8.671) -- (6.353,8.501) -- (6.399,8.331) -- (6.523,8.206) -- (6.693,8.161) -- (6.863,8.206) -- (6.988,8.331) -- cycle;
\node at (6.693,8.501) {\scalebox{1.579}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.084,6.349) -- (9.039,6.519) -- (8.914,6.644) -- (8.744,6.689) -- (8.574,6.644) -- (8.45,6.519) -- (8.404,6.349) -- (8.45,6.179) -- (8.574,6.055) -- (8.744,6.009) -- (8.914,6.055) -- (9.039,6.179) -- cycle;
\node at (8.744,6.349) {\scalebox{1.579}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.772,4.062) -- (6.727,4.232) -- (6.602,4.357) -- (6.432,4.402) -- (6.262,4.357) -- (6.138,4.232) -- (6.092,4.062) -- (6.138,3.892) -- (6.262,3.768) -- (6.432,3.722) -- (6.602,3.768) -- (6.727,3.892) -- cycle;
\node at (6.432,4.062) {\scalebox{1.579}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.253,2.375) -- (4.207,2.545) -- (4.083,2.669) -- (3.913,2.715) -- (3.743,2.669) -- (3.619,2.545) -- (3.573,2.375) -- (3.619,2.205) -- (3.743,2.08) -- (3.913,2.035) -- (4.083,2.08) -- (4.207,2.205) -- cycle;
\node at (3.913,2.375) {\scalebox{1.579}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.834,6.238) -- (6.434,6.238) -- (6.434,6.838) -- (5.834,6.838) -- cycle;
\node at (6.134,6.538) {\scalebox{1.579}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.764,8.058) -- (10.364,8.058) -- (10.364,8.658) -- (9.764,8.658) -- cycle;
\node at (10.064,8.358) {\scalebox{1.579}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.577,9.003) -- (5.177,9.003) -- (5.177,9.603) -- (4.577,9.603) -- cycle;
\node at (4.877,9.303) {\scalebox{1.579}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.966,9.198) -- (7.566,9.198) -- (7.566,9.798) -- (6.966,9.798) -- cycle;
\node at (7.266,9.498) {\scalebox{1.579}{\small d}};
\node at (1.956,11.493) {\scalebox{1.579}{\small A}};
\node at (11.333,11.059) {\scalebox{1.579}{\small B}};
\node at (7.042,11.139) {\scalebox{1.579}{\small C}};
\node at (11.834,7.23) {\scalebox{1.579}{\small D}};
\node at (5.816,6.005) {\scalebox{1.579}{\small E}};
\node at (0.765,1.68) {\scalebox{1.579}{\small F}};
\node at (6.506,0.95) {\scalebox{1.579}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.514,10.111) -- (12.514,11.211);
\draw[line width=0.5pt] (12.283,10.826) -- (12.514,11.211) -- (12.745,10.826);
\draw[line width=0.5pt] (12.212,10.661) -- (12.817,10.661);
\node at (12.514,11.596) {\scalebox{1.579}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 3 & 2 & 5 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, C, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
