\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 124}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=124}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0124}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7339, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.832,11.569) -- (5.496,11.538) -- (5.159,11.5) -- (4.824,11.453) -- (4.49,11.399) -- (4.157,11.337) -- (3.826,11.267) -- (3.496,11.189) -- (3.168,11.104) -- (2.843,11.011) -- (2.519,10.91) -- (2.198,10.802) -- (1.88,10.686) -- (1.565,10.563) -- (1.253,10.432);
\draw[line width=0.5pt] (5.832,11.569) -- (5.949,11.164) -- (6.056,10.757) -- (6.153,10.347) -- (6.241,9.935) -- (6.319,9.52) -- (6.387,9.104) -- (6.445,8.687) -- (6.494,8.268) -- (6.532,7.848) -- (6.561,7.428) -- (6.58,7.007) -- (6.589,6.586) -- (6.588,6.165) -- (6.577,5.744);
\draw[line width=0.5pt] (10.578,11.442) -- (10.232,11.082) -- (9.895,10.714) -- (9.566,10.337) -- (9.247,9.953) -- (8.936,9.562) -- (8.634,9.163) -- (8.342,8.758) -- (8.06,8.345) -- (7.787,7.926) -- (7.525,7.501) -- (7.272,7.07) -- (7.03,6.633) -- (6.798,6.191) -- (6.577,5.744);
\draw[line width=0.5pt] (1.253,10.432) -- (1.682,10.158) -- (2.104,9.874) -- (2.519,9.58) -- (2.927,9.276) -- (3.329,8.963) -- (3.722,8.64) -- (4.109,8.308) -- (4.487,7.967) -- (4.857,7.617) -- (5.218,7.258) -- (5.572,6.892) -- (5.916,6.517) -- (6.251,6.134) -- (6.577,5.744);
\draw[line width=0.5pt] (1.253,10.432) -- (1.245,10.147) -- (1.244,9.862) -- (1.25,9.577) -- (1.262,9.292) -- (1.282,9.008) -- (1.307,8.724) -- (1.34,8.44) -- (1.379,8.158) -- (1.425,7.876) -- (1.477,7.596) -- (1.536,7.316) -- (1.601,7.039) -- (1.673,6.763) -- (1.752,6.489) -- (1.787,6.218) -- (1.816,5.947) -- (1.839,5.674) -- (1.855,5.401) -- (1.864,5.128) -- (1.868,4.855) -- (1.864,4.581) -- (1.855,4.308) -- (1.839,4.035) -- (1.817,3.763) -- (1.788,3.491) -- (1.753,3.22) -- (1.711,2.95) -- (1.663,2.681);
\draw[line width=0.5pt] (6.577,5.744) -- (6.262,5.473) -- (5.941,5.21) -- (5.614,4.954) -- (5.28,4.706) -- (4.941,4.466) -- (4.596,4.234) -- (4.246,4.01) -- (3.891,3.794) -- (3.531,3.587) -- (3.166,3.388) -- (2.796,3.198) -- (2.423,3.017) -- (2.045,2.844) -- (1.663,2.681);
\draw[line width=0.5pt] (6.577,5.744) -- (6.839,5.481) -- (7.106,5.224) -- (7.38,4.974) -- (7.66,4.73) -- (7.946,4.493) -- (8.237,4.263) -- (8.533,4.039) -- (8.834,3.823) -- (9.141,3.613) -- (9.452,3.411) -- (9.768,3.217) -- (10.088,3.03) -- (10.413,2.85) -- (10.742,2.678);
\draw[line width=0.5pt] (6.577,5.744) -- (6.617,5.447) -- (6.65,5.149) -- (6.675,4.851) -- (6.694,4.552) -- (6.706,4.252) -- (6.71,3.952) -- (6.708,3.653) -- (6.698,3.353) -- (6.682,3.054) -- (6.659,2.755) -- (6.628,2.457) -- (6.59,2.16) -- (6.546,1.864) -- (6.494,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (1.663,2.681) -- (1.993,2.55) -- (2.326,2.426) -- (2.663,2.31) -- (3.002,2.202) -- (3.343,2.102) -- (3.687,2.01) -- (4.033,1.926) -- (4.38,1.85) -- (4.73,1.782) -- (5.081,1.723) -- (5.433,1.672) -- (5.786,1.629) -- (6.14,1.595) -- (6.494,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (10.742,2.678) -- (10.453,2.553) -- (10.161,2.435) -- (9.866,2.324) -- (9.569,2.219) -- (9.27,2.122) -- (8.968,2.032) -- (8.664,1.948) -- (8.358,1.872) -- (8.051,1.803) -- (7.742,1.742) -- (7.431,1.687) -- (7.12,1.64) -- (6.807,1.601) -- (6.494,1.569);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.992,11.569) -- (5.971,11.649) -- (5.912,11.707) -- (5.832,11.729) -- (5.752,11.707) -- (5.694,11.649) -- (5.672,11.569) -- (5.694,11.489) -- (5.752,11.43) -- (5.832,11.409) -- (5.912,11.43) -- (5.971,11.489) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.738,11.442) -- (10.717,11.522) -- (10.658,11.58) -- (10.578,11.602) -- (10.498,11.58) -- (10.439,11.522) -- (10.418,11.442) -- (10.439,11.362) -- (10.498,11.303) -- (10.578,11.282) -- (10.658,11.303) -- (10.717,11.362) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.413,10.432) -- (1.392,10.512) -- (1.333,10.571) -- (1.253,10.592) -- (1.173,10.571) -- (1.115,10.512) -- (1.093,10.432) -- (1.115,10.352) -- (1.173,10.294) -- (1.253,10.272) -- (1.333,10.294) -- (1.392,10.352) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.737,5.744) -- (6.716,5.824) -- (6.657,5.882) -- (6.577,5.904) -- (6.497,5.882) -- (6.438,5.824) -- (6.417,5.744) -- (6.438,5.664) -- (6.497,5.605) -- (6.577,5.584) -- (6.657,5.605) -- (6.716,5.664) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.823,2.681) -- (1.801,2.761) -- (1.743,2.82) -- (1.663,2.841) -- (1.583,2.82) -- (1.524,2.761) -- (1.503,2.681) -- (1.524,2.601) -- (1.583,2.543) -- (1.663,2.521) -- (1.743,2.543) -- (1.801,2.601) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.902,2.678) -- (10.88,2.758) -- (10.822,2.817) -- (10.742,2.838) -- (10.662,2.817) -- (10.603,2.758) -- (10.582,2.678) -- (10.603,2.598) -- (10.662,2.54) -- (10.742,2.518) -- (10.822,2.54) -- (10.88,2.598) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.654,1.569) -- (6.633,1.649) -- (6.574,1.707) -- (6.494,1.729) -- (6.414,1.707) -- (6.356,1.649) -- (6.334,1.569) -- (6.356,1.489) -- (6.414,1.43) -- (6.494,1.409) -- (6.574,1.43) -- (6.633,1.489) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.913,10.879) -- (3.867,11.049) -- (3.743,11.173) -- (3.573,11.219) -- (3.403,11.173) -- (3.279,11.049) -- (3.233,10.879) -- (3.279,10.709) -- (3.403,10.584) -- (3.573,10.539) -- (3.743,10.584) -- (3.867,10.709) -- cycle;
\node at (3.573,10.879) {\scalebox{1.363}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.102,8.727) -- (7.057,8.897) -- (6.932,9.022) -- (6.762,9.067) -- (6.592,9.022) -- (6.468,8.897) -- (6.422,8.727) -- (6.468,8.557) -- (6.592,8.433) -- (6.762,8.387) -- (6.932,8.433) -- (7.057,8.557) -- cycle;
\node at (6.762,8.727) {\scalebox{1.363}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.944,8.574) -- (8.899,8.744) -- (8.774,8.868) -- (8.604,8.914) -- (8.434,8.868) -- (8.31,8.744) -- (8.264,8.574) -- (8.31,8.404) -- (8.434,8.279) -- (8.604,8.234) -- (8.774,8.279) -- (8.899,8.404) -- cycle;
\node at (8.604,8.574) {\scalebox{1.363}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.66,8.548) -- (4.614,8.718) -- (4.49,8.842) -- (4.32,8.888) -- (4.15,8.842) -- (4.026,8.718) -- (3.98,8.548) -- (4.026,8.378) -- (4.15,8.253) -- (4.32,8.208) -- (4.49,8.253) -- (4.614,8.378) -- cycle;
\node at (4.32,8.548) {\scalebox{1.363}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.405,6.555) -- (2.36,6.725) -- (2.235,6.849) -- (2.065,6.895) -- (1.895,6.849) -- (1.771,6.725) -- (1.725,6.555) -- (1.771,6.385) -- (1.895,6.26) -- (2.065,6.215) -- (2.235,6.26) -- (2.36,6.385) -- cycle;
\node at (2.065,6.555) {\scalebox{1.363}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.756,3.738) -- (4.71,3.908) -- (4.586,4.033) -- (4.416,4.078) -- (4.246,4.033) -- (4.121,3.908) -- (4.076,3.738) -- (4.121,3.568) -- (4.246,3.444) -- (4.416,3.398) -- (4.586,3.444) -- (4.71,3.568) -- cycle;
\node at (4.416,3.738) {\scalebox{1.363}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.063,4.297) -- (9.017,4.467) -- (8.893,4.591) -- (8.723,4.637) -- (8.553,4.591) -- (8.428,4.467) -- (8.383,4.297) -- (8.428,4.127) -- (8.553,4.003) -- (8.723,3.957) -- (8.893,4.003) -- (9.017,4.127) -- cycle;
\node at (8.723,4.297) {\scalebox{1.363}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.368,3.646) -- (7.322,3.816) -- (7.198,3.941) -- (7.028,3.986) -- (6.858,3.941) -- (6.733,3.816) -- (6.688,3.646) -- (6.733,3.476) -- (6.858,3.352) -- (7.028,3.306) -- (7.198,3.352) -- (7.322,3.476) -- cycle;
\node at (7.028,3.646) {\scalebox{1.363}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.445,2.237) -- (4.399,2.407) -- (4.275,2.532) -- (4.105,2.577) -- (3.935,2.532) -- (3.81,2.407) -- (3.765,2.237) -- (3.81,2.067) -- (3.935,1.943) -- (4.105,1.897) -- (4.275,1.943) -- (4.399,2.067) -- cycle;
\node at (4.105,2.237) {\scalebox{1.363}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.085,1.639) -- (9.039,1.809) -- (8.915,1.933) -- (8.745,1.979) -- (8.575,1.933) -- (8.45,1.809) -- (8.405,1.639) -- (8.45,1.469) -- (8.575,1.344) -- (8.745,1.299) -- (8.915,1.344) -- (9.039,1.469) -- cycle;
\node at (8.745,1.639) {\scalebox{1.363}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.277,5.444) -- (6.877,5.444) -- (6.877,6.044) -- (6.277,6.044) -- cycle;
\node at (6.577,5.744) {\scalebox{1.363}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.426,3.505) -- (10.026,3.505) -- (10.026,4.105) -- (9.426,4.105) -- cycle;
\node at (9.726,3.805) {\scalebox{1.363}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.392,8.775) -- (9.992,8.775) -- (9.992,9.375) -- (9.392,9.375) -- cycle;
\node at (9.692,9.075) {\scalebox{1.363}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.083,9.484) -- (7.683,9.484) -- (7.683,10.084) -- (7.083,10.084) -- cycle;
\node at (7.383,9.784) {\scalebox{1.363}{\small d}};
\node at (5.791,12.187) {\scalebox{1.363}{\small A}};
\node at (10.995,11.9) {\scalebox{1.363}{\small B}};
\node at (0.765,10.815) {\scalebox{1.363}{\small C}};
\node at (6.85,5.187) {\scalebox{1.363}{\small D}};
\node at (1.195,2.275) {\scalebox{1.363}{\small E}};
\node at (11.213,2.276) {\scalebox{1.363}{\small F}};
\node at (6.535,0.95) {\scalebox{1.363}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.042,10.619) -- (12.042,11.719);
\draw[line width=0.5pt] (11.811,11.334) -- (12.042,11.719) -- (12.273,11.334);
\draw[line width=0.5pt] (11.739,11.169) -- (12.344,11.169);
\node at (12.042,12.104) {\scalebox{1.363}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Peupliers & ⑥ sentier des Prés & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Moulin & ⑦ rue de la Poste & Ⓑ Place aux Herbes & \textbf{b} le gymnase \\ \hline
③ impasse des Roses & ⑧ rue du Puits & Ⓒ Rond-point de la Gare & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ rue des Lilas & ⑨ rue des Jardins & Ⓓ Carrefour du Moulin & \textbf{d} la boulangerie \\ \hline
⑤ avenue de la Gare & ⑩ allée des Tilleuls & Ⓔ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6567, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.832,11.569) -- (5.496,11.538) -- (5.159,11.5) -- (4.824,11.453) -- (4.49,11.399) -- (4.157,11.337) -- (3.826,11.267) -- (3.496,11.189) -- (3.168,11.104) -- (2.843,11.011) -- (2.519,10.91) -- (2.198,10.802) -- (1.88,10.686) -- (1.565,10.563) -- (1.253,10.432);
\draw[line width=0.5pt] (5.832,11.569) -- (5.949,11.164) -- (6.056,10.757) -- (6.153,10.347) -- (6.241,9.935) -- (6.319,9.52) -- (6.387,9.104) -- (6.445,8.687) -- (6.494,8.268) -- (6.532,7.848) -- (6.561,7.428) -- (6.58,7.007) -- (6.589,6.586) -- (6.588,6.165) -- (6.577,5.744);
\draw[line width=0.5pt] (10.578,11.442) -- (10.232,11.082) -- (9.895,10.714) -- (9.566,10.337) -- (9.247,9.953) -- (8.936,9.562) -- (8.634,9.163) -- (8.342,8.758) -- (8.06,8.345) -- (7.787,7.926) -- (7.525,7.501) -- (7.272,7.07) -- (7.03,6.633) -- (6.798,6.191) -- (6.577,5.744);
\draw[line width=0.5pt] (1.253,10.432) -- (1.682,10.158) -- (2.104,9.874) -- (2.519,9.58) -- (2.927,9.276) -- (3.329,8.963) -- (3.722,8.64) -- (4.109,8.308) -- (4.487,7.967) -- (4.857,7.617) -- (5.218,7.258) -- (5.572,6.892) -- (5.916,6.517) -- (6.251,6.134) -- (6.577,5.744);
\draw[line width=0.5pt] (1.253,10.432) -- (1.245,10.147) -- (1.244,9.862) -- (1.25,9.577) -- (1.262,9.292) -- (1.282,9.008) -- (1.307,8.724) -- (1.34,8.44) -- (1.379,8.158) -- (1.425,7.876) -- (1.477,7.596) -- (1.536,7.316) -- (1.601,7.039) -- (1.673,6.763) -- (1.752,6.489) -- (1.787,6.218) -- (1.816,5.947) -- (1.839,5.674) -- (1.855,5.401) -- (1.864,5.128) -- (1.868,4.855) -- (1.864,4.581) -- (1.855,4.308) -- (1.839,4.035) -- (1.817,3.763) -- (1.788,3.491) -- (1.753,3.22) -- (1.711,2.95) -- (1.663,2.681);
\draw[line width=0.5pt] (6.577,5.744) -- (6.262,5.473) -- (5.941,5.21) -- (5.614,4.954) -- (5.28,4.706) -- (4.941,4.466) -- (4.596,4.234) -- (4.246,4.01) -- (3.891,3.794) -- (3.531,3.587) -- (3.166,3.388) -- (2.796,3.198) -- (2.423,3.017) -- (2.045,2.844) -- (1.663,2.681);
\draw[line width=0.5pt] (6.577,5.744) -- (6.839,5.481) -- (7.106,5.224) -- (7.38,4.974) -- (7.66,4.73) -- (7.946,4.493) -- (8.237,4.263) -- (8.533,4.039) -- (8.834,3.823) -- (9.141,3.613) -- (9.452,3.411) -- (9.768,3.217) -- (10.088,3.03) -- (10.413,2.85) -- (10.742,2.678);
\draw[line width=0.5pt] (6.577,5.744) -- (6.617,5.447) -- (6.65,5.149) -- (6.675,4.851) -- (6.694,4.552) -- (6.706,4.252) -- (6.71,3.952) -- (6.708,3.653) -- (6.698,3.353) -- (6.682,3.054) -- (6.659,2.755) -- (6.628,2.457) -- (6.59,2.16) -- (6.546,1.864) -- (6.494,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (1.663,2.681) -- (1.993,2.55) -- (2.326,2.426) -- (2.663,2.31) -- (3.002,2.202) -- (3.343,2.102) -- (3.687,2.01) -- (4.033,1.926) -- (4.38,1.85) -- (4.73,1.782) -- (5.081,1.723) -- (5.433,1.672) -- (5.786,1.629) -- (6.14,1.595) -- (6.494,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (10.742,2.678) -- (10.453,2.553) -- (10.161,2.435) -- (9.866,2.324) -- (9.569,2.219) -- (9.27,2.122) -- (8.968,2.032) -- (8.664,1.948) -- (8.358,1.872) -- (8.051,1.803) -- (7.742,1.742) -- (7.431,1.687) -- (7.12,1.64) -- (6.807,1.601) -- (6.494,1.569);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.992,11.569) -- (5.971,11.649) -- (5.912,11.707) -- (5.832,11.729) -- (5.752,11.707) -- (5.694,11.649) -- (5.672,11.569) -- (5.694,11.489) -- (5.752,11.43) -- (5.832,11.409) -- (5.912,11.43) -- (5.971,11.489) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.738,11.442) -- (10.717,11.522) -- (10.658,11.58) -- (10.578,11.602) -- (10.498,11.58) -- (10.439,11.522) -- (10.418,11.442) -- (10.439,11.362) -- (10.498,11.303) -- (10.578,11.282) -- (10.658,11.303) -- (10.717,11.362) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.413,10.432) -- (1.392,10.512) -- (1.333,10.571) -- (1.253,10.592) -- (1.173,10.571) -- (1.115,10.512) -- (1.093,10.432) -- (1.115,10.352) -- (1.173,10.294) -- (1.253,10.272) -- (1.333,10.294) -- (1.392,10.352) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.737,5.744) -- (6.716,5.824) -- (6.657,5.882) -- (6.577,5.904) -- (6.497,5.882) -- (6.438,5.824) -- (6.417,5.744) -- (6.438,5.664) -- (6.497,5.605) -- (6.577,5.584) -- (6.657,5.605) -- (6.716,5.664) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.823,2.681) -- (1.801,2.761) -- (1.743,2.82) -- (1.663,2.841) -- (1.583,2.82) -- (1.524,2.761) -- (1.503,2.681) -- (1.524,2.601) -- (1.583,2.543) -- (1.663,2.521) -- (1.743,2.543) -- (1.801,2.601) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.902,2.678) -- (10.88,2.758) -- (10.822,2.817) -- (10.742,2.838) -- (10.662,2.817) -- (10.603,2.758) -- (10.582,2.678) -- (10.603,2.598) -- (10.662,2.54) -- (10.742,2.518) -- (10.822,2.54) -- (10.88,2.598) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.654,1.569) -- (6.633,1.649) -- (6.574,1.707) -- (6.494,1.729) -- (6.414,1.707) -- (6.356,1.649) -- (6.334,1.569) -- (6.356,1.489) -- (6.414,1.43) -- (6.494,1.409) -- (6.574,1.43) -- (6.633,1.489) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.913,10.879) -- (3.867,11.049) -- (3.743,11.173) -- (3.573,11.219) -- (3.403,11.173) -- (3.279,11.049) -- (3.233,10.879) -- (3.279,10.709) -- (3.403,10.584) -- (3.573,10.539) -- (3.743,10.584) -- (3.867,10.709) -- cycle;
\node at (3.573,10.879) {\scalebox{1.523}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.102,8.727) -- (7.057,8.897) -- (6.932,9.022) -- (6.762,9.067) -- (6.592,9.022) -- (6.468,8.897) -- (6.422,8.727) -- (6.468,8.557) -- (6.592,8.433) -- (6.762,8.387) -- (6.932,8.433) -- (7.057,8.557) -- cycle;
\node at (6.762,8.727) {\scalebox{1.523}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.944,8.574) -- (8.899,8.744) -- (8.774,8.868) -- (8.604,8.914) -- (8.434,8.868) -- (8.31,8.744) -- (8.264,8.574) -- (8.31,8.404) -- (8.434,8.279) -- (8.604,8.234) -- (8.774,8.279) -- (8.899,8.404) -- cycle;
\node at (8.604,8.574) {\scalebox{1.523}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.66,8.548) -- (4.614,8.718) -- (4.49,8.842) -- (4.32,8.888) -- (4.15,8.842) -- (4.026,8.718) -- (3.98,8.548) -- (4.026,8.378) -- (4.15,8.253) -- (4.32,8.208) -- (4.49,8.253) -- (4.614,8.378) -- cycle;
\node at (4.32,8.548) {\scalebox{1.523}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.405,6.555) -- (2.36,6.725) -- (2.235,6.849) -- (2.065,6.895) -- (1.895,6.849) -- (1.771,6.725) -- (1.725,6.555) -- (1.771,6.385) -- (1.895,6.26) -- (2.065,6.215) -- (2.235,6.26) -- (2.36,6.385) -- cycle;
\node at (2.065,6.555) {\scalebox{1.523}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.756,3.738) -- (4.71,3.908) -- (4.586,4.033) -- (4.416,4.078) -- (4.246,4.033) -- (4.121,3.908) -- (4.076,3.738) -- (4.121,3.568) -- (4.246,3.444) -- (4.416,3.398) -- (4.586,3.444) -- (4.71,3.568) -- cycle;
\node at (4.416,3.738) {\scalebox{1.523}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.063,4.297) -- (9.017,4.467) -- (8.893,4.591) -- (8.723,4.637) -- (8.553,4.591) -- (8.428,4.467) -- (8.383,4.297) -- (8.428,4.127) -- (8.553,4.003) -- (8.723,3.957) -- (8.893,4.003) -- (9.017,4.127) -- cycle;
\node at (8.723,4.297) {\scalebox{1.523}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.368,3.646) -- (7.322,3.816) -- (7.198,3.941) -- (7.028,3.986) -- (6.858,3.941) -- (6.733,3.816) -- (6.688,3.646) -- (6.733,3.476) -- (6.858,3.352) -- (7.028,3.306) -- (7.198,3.352) -- (7.322,3.476) -- cycle;
\node at (7.028,3.646) {\scalebox{1.523}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.445,2.237) -- (4.399,2.407) -- (4.275,2.532) -- (4.105,2.577) -- (3.935,2.532) -- (3.81,2.407) -- (3.765,2.237) -- (3.81,2.067) -- (3.935,1.943) -- (4.105,1.897) -- (4.275,1.943) -- (4.399,2.067) -- cycle;
\node at (4.105,2.237) {\scalebox{1.523}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.085,1.639) -- (9.039,1.809) -- (8.915,1.933) -- (8.745,1.979) -- (8.575,1.933) -- (8.45,1.809) -- (8.405,1.639) -- (8.45,1.469) -- (8.575,1.344) -- (8.745,1.299) -- (8.915,1.344) -- (9.039,1.469) -- cycle;
\node at (8.745,1.639) {\scalebox{1.523}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.277,5.444) -- (6.877,5.444) -- (6.877,6.044) -- (6.277,6.044) -- cycle;
\node at (6.577,5.744) {\scalebox{1.523}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.426,3.505) -- (10.026,3.505) -- (10.026,4.105) -- (9.426,4.105) -- cycle;
\node at (9.726,3.805) {\scalebox{1.523}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.392,8.775) -- (9.992,8.775) -- (9.992,9.375) -- (9.392,9.375) -- cycle;
\node at (9.692,9.075) {\scalebox{1.523}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.083,9.484) -- (7.683,9.484) -- (7.683,10.084) -- (7.083,10.084) -- cycle;
\node at (7.383,9.784) {\scalebox{1.523}{\small d}};
\node at (5.791,12.187) {\scalebox{1.523}{\small A}};
\node at (10.995,11.9) {\scalebox{1.523}{\small B}};
\node at (0.765,10.815) {\scalebox{1.523}{\small C}};
\node at (6.85,5.187) {\scalebox{1.523}{\small D}};
\node at (1.195,2.275) {\scalebox{1.523}{\small E}};
\node at (11.213,2.276) {\scalebox{1.523}{\small F}};
\node at (6.535,0.95) {\scalebox{1.523}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.042,10.619) -- (12.042,11.719);
\draw[line width=0.5pt] (11.811,11.334) -- (12.042,11.719) -- (12.273,11.334);
\draw[line width=0.5pt] (11.739,11.169) -- (12.344,11.169);
\node at (12.042,12.104) {\scalebox{1.523}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 1 & 3 & 6 & 3 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{E}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, E, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
