\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 127}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=127}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0127}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6996, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.296,8.354) -- (8.501,8.315) -- (8.708,8.281) -- (8.915,8.252) -- (9.124,8.228) -- (9.332,8.209) -- (9.541,8.195) -- (9.751,8.186) -- (9.96,8.181) -- (10.17,8.182) -- (10.379,8.187) -- (10.588,8.198) -- (10.797,8.213) -- (11.006,8.233) -- (11.213,8.258);
\draw[line width=0.5pt] (8.296,8.354) -- (8.046,8.137) -- (7.792,7.926) -- (7.533,7.72) -- (7.269,7.521) -- (7.0,7.329) -- (6.726,7.142) -- (6.449,6.962) -- (6.167,6.789) -- (5.881,6.622) -- (5.591,6.462) -- (5.298,6.309) -- (5.001,6.163) -- (4.702,6.024) -- (4.398,5.892);
\draw[line width=0.5pt] (11.213,8.258) -- (11.182,8.014) -- (11.156,7.769) -- (11.136,7.523) -- (11.122,7.277) -- (11.113,7.03) -- (11.111,6.784) -- (11.114,6.537) -- (11.123,6.291) -- (11.137,6.044) -- (11.158,5.799) -- (11.184,5.553) -- (11.216,5.309) -- (11.254,5.065) -- (11.297,4.823);
\draw[line width=0.5pt] (1.828,8.239) -- (2.036,8.101) -- (2.241,7.958) -- (2.442,7.81) -- (2.64,7.657) -- (2.834,7.5) -- (3.024,7.338) -- (3.21,7.172) -- (3.393,7.001) -- (3.571,6.826) -- (3.745,6.647) -- (3.915,6.464) -- (4.081,6.277) -- (4.242,6.087) -- (4.398,5.892);
\draw[line width=0.5pt] (4.398,5.892) -- (4.647,5.857) -- (4.897,5.828) -- (5.147,5.805) -- (5.398,5.788) -- (5.649,5.777) -- (5.9,5.772) -- (6.152,5.772) -- (6.403,5.779) -- (6.654,5.791) -- (6.905,5.809) -- (7.155,5.834) -- (7.405,5.864) -- (7.653,5.9) -- (7.901,5.941) -- (8.154,5.899) -- (8.406,5.851) -- (8.657,5.797) -- (8.906,5.737) -- (9.154,5.671) -- (9.401,5.6) -- (9.645,5.522) -- (9.888,5.439) -- (10.129,5.35) -- (10.368,5.256) -- (10.604,5.156) -- (10.838,5.05) -- (11.069,4.939) -- (11.297,4.823);
\draw[line width=0.5pt] (4.398,5.892) -- (4.414,5.676) -- (4.425,5.46) -- (4.431,5.243) -- (4.431,5.026) -- (4.427,4.809) -- (4.417,4.592) -- (4.402,4.376) -- (4.382,4.16) -- (4.357,3.944) -- (4.328,3.729) -- (4.293,3.515) -- (4.253,3.302) -- (4.208,3.09) -- (4.157,2.879);
\draw[line width=0.5pt] (4.398,5.892) -- (4.574,5.614) -- (4.757,5.339) -- (4.946,5.069) -- (5.141,4.803) -- (5.343,4.542) -- (5.551,4.286) -- (5.764,4.035) -- (5.984,3.788) -- (6.209,3.547) -- (6.44,3.312) -- (6.676,3.081) -- (6.918,2.857) -- (7.165,2.638) -- (7.416,2.426);
\draw[line width=0.5pt] (4.398,5.892) -- (4.224,5.563) -- (4.042,5.239) -- (3.853,4.918) -- (3.655,4.602) -- (3.451,4.291) -- (3.239,3.985) -- (3.02,3.683) -- (2.793,3.387) -- (2.56,3.096) -- (2.321,2.811) -- (2.074,2.532) -- (1.822,2.258) -- (1.563,1.991) -- (1.297,1.73);
\draw[line width=0.5pt] (11.297,4.823) -- (10.996,4.695) -- (10.698,4.561) -- (10.403,4.419) -- (10.111,4.271) -- (9.823,4.115) -- (9.539,3.953) -- (9.258,3.784) -- (8.981,3.609) -- (8.709,3.427) -- (8.441,3.239) -- (8.178,3.045) -- (7.919,2.845) -- (7.665,2.638) -- (7.416,2.426);
\draw[line width=0.5pt] (11.297,4.823) -- (11.283,4.628) -- (11.263,4.435) -- (11.24,4.241) -- (11.211,4.048) -- (11.178,3.856) -- (11.141,3.664) -- (11.099,3.474) -- (11.053,3.284) -- (11.002,3.096) -- (10.947,2.909) -- (10.887,2.723) -- (10.823,2.539) -- (10.755,2.357) -- (10.682,2.176);
\draw[line width=0.5pt] (4.157,2.879) -- (4.383,2.811) -- (4.611,2.749) -- (4.84,2.692) -- (5.07,2.64) -- (5.302,2.594) -- (5.535,2.553) -- (5.768,2.518) -- (6.002,2.488) -- (6.237,2.464) -- (6.473,2.445) -- (6.709,2.432) -- (6.944,2.424) -- (7.18,2.422) -- (7.416,2.426);
\draw[line width=0.5pt] (4.157,2.879) -- (3.967,2.767) -- (3.775,2.658) -- (3.579,2.555) -- (3.381,2.456) -- (3.181,2.361) -- (2.979,2.272) -- (2.775,2.187) -- (2.569,2.107) -- (2.36,2.031) -- (2.151,1.961) -- (1.939,1.896) -- (1.727,1.835) -- (1.513,1.78) -- (1.297,1.73);
\draw[line width=0.5pt] (7.416,2.426) -- (7.645,2.372) -- (7.875,2.324) -- (8.106,2.282) -- (8.338,2.245) -- (8.571,2.213) -- (8.805,2.187) -- (9.039,2.166) -- (9.274,2.151) -- (9.508,2.141) -- (9.743,2.137) -- (9.979,2.138) -- (10.213,2.145) -- (10.448,2.158) -- (10.682,2.176);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.456,8.354) -- (8.434,8.434) -- (8.376,8.492) -- (8.296,8.514) -- (8.216,8.492) -- (8.157,8.434) -- (8.136,8.354) -- (8.157,8.274) -- (8.216,8.215) -- (8.296,8.194) -- (8.376,8.215) -- (8.434,8.274) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.373,8.258) -- (11.352,8.338) -- (11.293,8.397) -- (11.213,8.418) -- (11.133,8.397) -- (11.075,8.338) -- (11.053,8.258) -- (11.075,8.178) -- (11.133,8.12) -- (11.213,8.098) -- (11.293,8.12) -- (11.352,8.178) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.988,8.239) -- (1.967,8.319) -- (1.908,8.378) -- (1.828,8.399) -- (1.748,8.378) -- (1.69,8.319) -- (1.668,8.239) -- (1.69,8.159) -- (1.748,8.101) -- (1.828,8.079) -- (1.908,8.101) -- (1.967,8.159) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.558,5.892) -- (4.537,5.972) -- (4.478,6.031) -- (4.398,6.052) -- (4.318,6.031) -- (4.26,5.972) -- (4.238,5.892) -- (4.26,5.812) -- (4.318,5.754) -- (4.398,5.732) -- (4.478,5.754) -- (4.537,5.812) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.457,4.823) -- (11.436,4.903) -- (11.377,4.961) -- (11.297,4.983) -- (11.217,4.961) -- (11.159,4.903) -- (11.137,4.823) -- (11.159,4.743) -- (11.217,4.684) -- (11.297,4.663) -- (11.377,4.684) -- (11.436,4.743) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.317,2.879) -- (4.296,2.959) -- (4.237,3.018) -- (4.157,3.039) -- (4.077,3.018) -- (4.019,2.959) -- (3.997,2.879) -- (4.019,2.799) -- (4.077,2.741) -- (4.157,2.719) -- (4.237,2.741) -- (4.296,2.799) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.576,2.426) -- (7.555,2.506) -- (7.496,2.564) -- (7.416,2.586) -- (7.336,2.564) -- (7.278,2.506) -- (7.256,2.426) -- (7.278,2.346) -- (7.336,2.287) -- (7.416,2.266) -- (7.496,2.287) -- (7.555,2.346) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.842,2.176) -- (10.821,2.256) -- (10.762,2.314) -- (10.682,2.336) -- (10.602,2.314) -- (10.544,2.256) -- (10.522,2.176) -- (10.544,2.096) -- (10.602,2.037) -- (10.682,2.016) -- (10.762,2.037) -- (10.821,2.096) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.457,1.73) -- (1.436,1.81) -- (1.377,1.869) -- (1.297,1.89) -- (1.217,1.869) -- (1.159,1.81) -- (1.137,1.73) -- (1.159,1.65) -- (1.217,1.591) -- (1.297,1.57) -- (1.377,1.591) -- (1.436,1.65) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.101,8.505) -- (10.056,8.675) -- (9.931,8.8) -- (9.761,8.845) -- (9.591,8.8) -- (9.467,8.675) -- (9.421,8.505) -- (9.467,8.335) -- (9.591,8.211) -- (9.761,8.165) -- (9.931,8.211) -- (10.056,8.335) -- cycle;
\node at (9.761,8.505) {\scalebox{1.429}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.959,6.692) -- (6.914,6.862) -- (6.789,6.986) -- (6.619,7.032) -- (6.449,6.986) -- (6.325,6.862) -- (6.279,6.692) -- (6.325,6.522) -- (6.449,6.397) -- (6.619,6.352) -- (6.789,6.397) -- (6.914,6.522) -- cycle;
\node at (6.619,6.692) {\scalebox{1.429}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.774,6.545) -- (11.728,6.715) -- (11.604,6.839) -- (11.434,6.885) -- (11.264,6.839) -- (11.139,6.715) -- (11.094,6.545) -- (11.139,6.375) -- (11.264,6.25) -- (11.434,6.205) -- (11.604,6.25) -- (11.728,6.375) -- cycle;
\node at (11.434,6.545) {\scalebox{1.429}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.766,7.408) -- (3.721,7.578) -- (3.596,7.702) -- (3.426,7.748) -- (3.256,7.702) -- (3.132,7.578) -- (3.086,7.408) -- (3.132,7.238) -- (3.256,7.113) -- (3.426,7.068) -- (3.596,7.113) -- (3.721,7.238) -- cycle;
\node at (3.426,7.408) {\scalebox{1.429}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.241,6.261) -- (8.196,6.431) -- (8.071,6.556) -- (7.901,6.601) -- (7.731,6.556) -- (7.607,6.431) -- (7.561,6.261) -- (7.607,6.091) -- (7.731,5.967) -- (7.901,5.921) -- (8.071,5.967) -- (8.196,6.091) -- cycle;
\node at (7.901,6.261) {\scalebox{1.429}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.061,4.35) -- (5.016,4.52) -- (4.891,4.645) -- (4.721,4.69) -- (4.551,4.645) -- (4.427,4.52) -- (4.381,4.35) -- (4.427,4.18) -- (4.551,4.056) -- (4.721,4.01) -- (4.891,4.056) -- (5.016,4.18) -- cycle;
\node at (4.721,4.35) {\scalebox{1.429}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.346,4.245) -- (6.3,4.415) -- (6.176,4.539) -- (6.006,4.585) -- (5.836,4.539) -- (5.711,4.415) -- (5.666,4.245) -- (5.711,4.075) -- (5.836,3.95) -- (6.006,3.905) -- (6.176,3.95) -- (6.3,4.075) -- cycle;
\node at (6.006,4.245) {\scalebox{1.429}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.616,3.492) -- (3.571,3.662) -- (3.446,3.786) -- (3.276,3.832) -- (3.106,3.786) -- (2.982,3.662) -- (2.936,3.492) -- (2.982,3.322) -- (3.106,3.198) -- (3.276,3.152) -- (3.446,3.198) -- (3.571,3.322) -- cycle;
\node at (3.276,3.492) {\scalebox{1.429}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.766,3.512) -- (9.721,3.682) -- (9.596,3.807) -- (9.426,3.852) -- (9.256,3.807) -- (9.132,3.682) -- (9.086,3.512) -- (9.132,3.342) -- (9.256,3.218) -- (9.426,3.172) -- (9.596,3.218) -- (9.721,3.342) -- cycle;
\node at (9.426,3.512) {\scalebox{1.429}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.751,3.401) -- (11.705,3.571) -- (11.581,3.696) -- (11.411,3.741) -- (11.241,3.696) -- (11.116,3.571) -- (11.071,3.401) -- (11.116,3.231) -- (11.241,3.107) -- (11.411,3.061) -- (11.581,3.107) -- (11.705,3.231) -- cycle;
\node at (11.411,3.401) {\scalebox{1.429}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.152,2.835) -- (6.107,3.005) -- (5.982,3.13) -- (5.812,3.175) -- (5.642,3.13) -- (5.518,3.005) -- (5.472,2.835) -- (5.518,2.665) -- (5.642,2.541) -- (5.812,2.495) -- (5.982,2.541) -- (6.107,2.665) -- cycle;
\node at (5.812,2.835) {\scalebox{1.429}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.234,1.89) -- (3.189,2.06) -- (3.064,2.184) -- (2.894,2.23) -- (2.724,2.184) -- (2.6,2.06) -- (2.554,1.89) -- (2.6,1.72) -- (2.724,1.595) -- (2.894,1.55) -- (3.064,1.595) -- (3.189,1.72) -- cycle;
\node at (2.894,1.89) {\scalebox{1.429}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.403,2.485) -- (9.358,2.655) -- (9.233,2.78) -- (9.063,2.825) -- (8.893,2.78) -- (8.769,2.655) -- (8.723,2.485) -- (8.769,2.315) -- (8.893,2.191) -- (9.063,2.145) -- (9.233,2.191) -- (9.358,2.315) -- cycle;
\node at (9.063,2.485) {\scalebox{1.429}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.116,2.126) -- (7.716,2.126) -- (7.716,2.726) -- (7.116,2.726) -- cycle;
\node at (7.416,2.426) {\scalebox{1.429}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.45,7.297) -- (7.05,7.297) -- (7.05,7.897) -- (6.45,7.897) -- cycle;
\node at (6.75,7.597) {\scalebox{1.429}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.854,0.65) -- (2.454,0.65) -- (2.454,1.25) -- (1.854,1.25) -- cycle;
\node at (2.154,0.95) {\scalebox{1.429}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.379,2.703) -- (12.979,2.703) -- (12.979,3.303) -- (12.379,3.303) -- cycle;
\node at (12.679,3.003) {\scalebox{1.429}{\small d}};
\node at (8.556,8.916) {\scalebox{1.429}{\small A}};
\node at (11.714,8.625) {\scalebox{1.429}{\small B}};
\node at (1.312,8.583) {\scalebox{1.429}{\small C}};
\node at (3.821,6.119) {\scalebox{1.429}{\small D}};
\node at (11.917,4.802) {\scalebox{1.429}{\small E}};
\node at (3.677,2.488) {\scalebox{1.429}{\small F}};
\node at (7.577,1.827) {\scalebox{1.429}{\small G}};
\node at (11.188,1.817) {\scalebox{1.429}{\small H}};
\node at (0.765,1.412) {\scalebox{1.429}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.597,7.404) -- (12.597,8.504);
\draw[line width=0.5pt] (12.366,8.119) -- (12.597,8.504) -- (12.828,8.119);
\draw[line width=0.5pt] (12.295,7.954) -- (12.9,7.954);
\node at (12.597,8.889) {\scalebox{1.429}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Moulin & ⑧ rue de l'Église & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Pont & ⑨ rue du Puits & Ⓑ Fontaine Notre-Dame & \textbf{b} la pharmacie \\ \hline
③ rue du Four & ⑩ rue Basse & Ⓒ Placette des Ormes & \textbf{c} la salle des fêtes \\ \hline
④ impasse du Puits & ⑪ rue Haute & Ⓓ Carrefour du Lavoir & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ allée des Peupliers & ⑫ rue des Jardins & Ⓔ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
⑥ rue Pasteur & ⑬ chemin du Lavoir & Ⓕ Rond-point du Stade &  \\ \hline
⑦ passage du Marché &  & Ⓖ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.626, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.296,8.354) -- (8.501,8.315) -- (8.708,8.281) -- (8.915,8.252) -- (9.124,8.228) -- (9.332,8.209) -- (9.541,8.195) -- (9.751,8.186) -- (9.96,8.181) -- (10.17,8.182) -- (10.379,8.187) -- (10.588,8.198) -- (10.797,8.213) -- (11.006,8.233) -- (11.213,8.258);
\draw[line width=0.5pt] (8.296,8.354) -- (8.046,8.137) -- (7.792,7.926) -- (7.533,7.72) -- (7.269,7.521) -- (7.0,7.329) -- (6.726,7.142) -- (6.449,6.962) -- (6.167,6.789) -- (5.881,6.622) -- (5.591,6.462) -- (5.298,6.309) -- (5.001,6.163) -- (4.702,6.024) -- (4.398,5.892);
\draw[line width=0.5pt] (11.213,8.258) -- (11.182,8.014) -- (11.156,7.769) -- (11.136,7.523) -- (11.122,7.277) -- (11.113,7.03) -- (11.111,6.784) -- (11.114,6.537) -- (11.123,6.291) -- (11.137,6.044) -- (11.158,5.799) -- (11.184,5.553) -- (11.216,5.309) -- (11.254,5.065) -- (11.297,4.823);
\draw[line width=0.5pt] (1.828,8.239) -- (2.036,8.101) -- (2.241,7.958) -- (2.442,7.81) -- (2.64,7.657) -- (2.834,7.5) -- (3.024,7.338) -- (3.21,7.172) -- (3.393,7.001) -- (3.571,6.826) -- (3.745,6.647) -- (3.915,6.464) -- (4.081,6.277) -- (4.242,6.087) -- (4.398,5.892);
\draw[line width=0.5pt] (4.398,5.892) -- (4.647,5.857) -- (4.897,5.828) -- (5.147,5.805) -- (5.398,5.788) -- (5.649,5.777) -- (5.9,5.772) -- (6.152,5.772) -- (6.403,5.779) -- (6.654,5.791) -- (6.905,5.809) -- (7.155,5.834) -- (7.405,5.864) -- (7.653,5.9) -- (7.901,5.941) -- (8.154,5.899) -- (8.406,5.851) -- (8.657,5.797) -- (8.906,5.737) -- (9.154,5.671) -- (9.401,5.6) -- (9.645,5.522) -- (9.888,5.439) -- (10.129,5.35) -- (10.368,5.256) -- (10.604,5.156) -- (10.838,5.05) -- (11.069,4.939) -- (11.297,4.823);
\draw[line width=0.5pt] (4.398,5.892) -- (4.414,5.676) -- (4.425,5.46) -- (4.431,5.243) -- (4.431,5.026) -- (4.427,4.809) -- (4.417,4.592) -- (4.402,4.376) -- (4.382,4.16) -- (4.357,3.944) -- (4.328,3.729) -- (4.293,3.515) -- (4.253,3.302) -- (4.208,3.09) -- (4.157,2.879);
\draw[line width=0.5pt] (4.398,5.892) -- (4.574,5.614) -- (4.757,5.339) -- (4.946,5.069) -- (5.141,4.803) -- (5.343,4.542) -- (5.551,4.286) -- (5.764,4.035) -- (5.984,3.788) -- (6.209,3.547) -- (6.44,3.312) -- (6.676,3.081) -- (6.918,2.857) -- (7.165,2.638) -- (7.416,2.426);
\draw[line width=0.5pt] (4.398,5.892) -- (4.224,5.563) -- (4.042,5.239) -- (3.853,4.918) -- (3.655,4.602) -- (3.451,4.291) -- (3.239,3.985) -- (3.02,3.683) -- (2.793,3.387) -- (2.56,3.096) -- (2.321,2.811) -- (2.074,2.532) -- (1.822,2.258) -- (1.563,1.991) -- (1.297,1.73);
\draw[line width=0.5pt] (11.297,4.823) -- (10.996,4.695) -- (10.698,4.561) -- (10.403,4.419) -- (10.111,4.271) -- (9.823,4.115) -- (9.539,3.953) -- (9.258,3.784) -- (8.981,3.609) -- (8.709,3.427) -- (8.441,3.239) -- (8.178,3.045) -- (7.919,2.845) -- (7.665,2.638) -- (7.416,2.426);
\draw[line width=0.5pt] (11.297,4.823) -- (11.283,4.628) -- (11.263,4.435) -- (11.24,4.241) -- (11.211,4.048) -- (11.178,3.856) -- (11.141,3.664) -- (11.099,3.474) -- (11.053,3.284) -- (11.002,3.096) -- (10.947,2.909) -- (10.887,2.723) -- (10.823,2.539) -- (10.755,2.357) -- (10.682,2.176);
\draw[line width=0.5pt] (4.157,2.879) -- (4.383,2.811) -- (4.611,2.749) -- (4.84,2.692) -- (5.07,2.64) -- (5.302,2.594) -- (5.535,2.553) -- (5.768,2.518) -- (6.002,2.488) -- (6.237,2.464) -- (6.473,2.445) -- (6.709,2.432) -- (6.944,2.424) -- (7.18,2.422) -- (7.416,2.426);
\draw[line width=0.5pt] (4.157,2.879) -- (3.967,2.767) -- (3.775,2.658) -- (3.579,2.555) -- (3.381,2.456) -- (3.181,2.361) -- (2.979,2.272) -- (2.775,2.187) -- (2.569,2.107) -- (2.36,2.031) -- (2.151,1.961) -- (1.939,1.896) -- (1.727,1.835) -- (1.513,1.78) -- (1.297,1.73);
\draw[line width=0.5pt] (7.416,2.426) -- (7.645,2.372) -- (7.875,2.324) -- (8.106,2.282) -- (8.338,2.245) -- (8.571,2.213) -- (8.805,2.187) -- (9.039,2.166) -- (9.274,2.151) -- (9.508,2.141) -- (9.743,2.137) -- (9.979,2.138) -- (10.213,2.145) -- (10.448,2.158) -- (10.682,2.176);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.456,8.354) -- (8.434,8.434) -- (8.376,8.492) -- (8.296,8.514) -- (8.216,8.492) -- (8.157,8.434) -- (8.136,8.354) -- (8.157,8.274) -- (8.216,8.215) -- (8.296,8.194) -- (8.376,8.215) -- (8.434,8.274) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.373,8.258) -- (11.352,8.338) -- (11.293,8.397) -- (11.213,8.418) -- (11.133,8.397) -- (11.075,8.338) -- (11.053,8.258) -- (11.075,8.178) -- (11.133,8.12) -- (11.213,8.098) -- (11.293,8.12) -- (11.352,8.178) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.988,8.239) -- (1.967,8.319) -- (1.908,8.378) -- (1.828,8.399) -- (1.748,8.378) -- (1.69,8.319) -- (1.668,8.239) -- (1.69,8.159) -- (1.748,8.101) -- (1.828,8.079) -- (1.908,8.101) -- (1.967,8.159) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.558,5.892) -- (4.537,5.972) -- (4.478,6.031) -- (4.398,6.052) -- (4.318,6.031) -- (4.26,5.972) -- (4.238,5.892) -- (4.26,5.812) -- (4.318,5.754) -- (4.398,5.732) -- (4.478,5.754) -- (4.537,5.812) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.457,4.823) -- (11.436,4.903) -- (11.377,4.961) -- (11.297,4.983) -- (11.217,4.961) -- (11.159,4.903) -- (11.137,4.823) -- (11.159,4.743) -- (11.217,4.684) -- (11.297,4.663) -- (11.377,4.684) -- (11.436,4.743) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.317,2.879) -- (4.296,2.959) -- (4.237,3.018) -- (4.157,3.039) -- (4.077,3.018) -- (4.019,2.959) -- (3.997,2.879) -- (4.019,2.799) -- (4.077,2.741) -- (4.157,2.719) -- (4.237,2.741) -- (4.296,2.799) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.576,2.426) -- (7.555,2.506) -- (7.496,2.564) -- (7.416,2.586) -- (7.336,2.564) -- (7.278,2.506) -- (7.256,2.426) -- (7.278,2.346) -- (7.336,2.287) -- (7.416,2.266) -- (7.496,2.287) -- (7.555,2.346) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.842,2.176) -- (10.821,2.256) -- (10.762,2.314) -- (10.682,2.336) -- (10.602,2.314) -- (10.544,2.256) -- (10.522,2.176) -- (10.544,2.096) -- (10.602,2.037) -- (10.682,2.016) -- (10.762,2.037) -- (10.821,2.096) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.457,1.73) -- (1.436,1.81) -- (1.377,1.869) -- (1.297,1.89) -- (1.217,1.869) -- (1.159,1.81) -- (1.137,1.73) -- (1.159,1.65) -- (1.217,1.591) -- (1.297,1.57) -- (1.377,1.591) -- (1.436,1.65) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.101,8.505) -- (10.056,8.675) -- (9.931,8.8) -- (9.761,8.845) -- (9.591,8.8) -- (9.467,8.675) -- (9.421,8.505) -- (9.467,8.335) -- (9.591,8.211) -- (9.761,8.165) -- (9.931,8.211) -- (10.056,8.335) -- cycle;
\node at (9.761,8.505) {\scalebox{1.597}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.959,6.692) -- (6.914,6.862) -- (6.789,6.986) -- (6.619,7.032) -- (6.449,6.986) -- (6.325,6.862) -- (6.279,6.692) -- (6.325,6.522) -- (6.449,6.397) -- (6.619,6.352) -- (6.789,6.397) -- (6.914,6.522) -- cycle;
\node at (6.619,6.692) {\scalebox{1.597}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.774,6.545) -- (11.728,6.715) -- (11.604,6.839) -- (11.434,6.885) -- (11.264,6.839) -- (11.139,6.715) -- (11.094,6.545) -- (11.139,6.375) -- (11.264,6.25) -- (11.434,6.205) -- (11.604,6.25) -- (11.728,6.375) -- cycle;
\node at (11.434,6.545) {\scalebox{1.597}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.766,7.408) -- (3.721,7.578) -- (3.596,7.702) -- (3.426,7.748) -- (3.256,7.702) -- (3.132,7.578) -- (3.086,7.408) -- (3.132,7.238) -- (3.256,7.113) -- (3.426,7.068) -- (3.596,7.113) -- (3.721,7.238) -- cycle;
\node at (3.426,7.408) {\scalebox{1.597}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.241,6.261) -- (8.196,6.431) -- (8.071,6.556) -- (7.901,6.601) -- (7.731,6.556) -- (7.607,6.431) -- (7.561,6.261) -- (7.607,6.091) -- (7.731,5.967) -- (7.901,5.921) -- (8.071,5.967) -- (8.196,6.091) -- cycle;
\node at (7.901,6.261) {\scalebox{1.597}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.061,4.35) -- (5.016,4.52) -- (4.891,4.645) -- (4.721,4.69) -- (4.551,4.645) -- (4.427,4.52) -- (4.381,4.35) -- (4.427,4.18) -- (4.551,4.056) -- (4.721,4.01) -- (4.891,4.056) -- (5.016,4.18) -- cycle;
\node at (4.721,4.35) {\scalebox{1.597}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.346,4.245) -- (6.3,4.415) -- (6.176,4.539) -- (6.006,4.585) -- (5.836,4.539) -- (5.711,4.415) -- (5.666,4.245) -- (5.711,4.075) -- (5.836,3.95) -- (6.006,3.905) -- (6.176,3.95) -- (6.3,4.075) -- cycle;
\node at (6.006,4.245) {\scalebox{1.597}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.616,3.492) -- (3.571,3.662) -- (3.446,3.786) -- (3.276,3.832) -- (3.106,3.786) -- (2.982,3.662) -- (2.936,3.492) -- (2.982,3.322) -- (3.106,3.198) -- (3.276,3.152) -- (3.446,3.198) -- (3.571,3.322) -- cycle;
\node at (3.276,3.492) {\scalebox{1.597}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.766,3.512) -- (9.721,3.682) -- (9.596,3.807) -- (9.426,3.852) -- (9.256,3.807) -- (9.132,3.682) -- (9.086,3.512) -- (9.132,3.342) -- (9.256,3.218) -- (9.426,3.172) -- (9.596,3.218) -- (9.721,3.342) -- cycle;
\node at (9.426,3.512) {\scalebox{1.597}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.751,3.401) -- (11.705,3.571) -- (11.581,3.696) -- (11.411,3.741) -- (11.241,3.696) -- (11.116,3.571) -- (11.071,3.401) -- (11.116,3.231) -- (11.241,3.107) -- (11.411,3.061) -- (11.581,3.107) -- (11.705,3.231) -- cycle;
\node at (11.411,3.401) {\scalebox{1.597}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.152,2.835) -- (6.107,3.005) -- (5.982,3.13) -- (5.812,3.175) -- (5.642,3.13) -- (5.518,3.005) -- (5.472,2.835) -- (5.518,2.665) -- (5.642,2.541) -- (5.812,2.495) -- (5.982,2.541) -- (6.107,2.665) -- cycle;
\node at (5.812,2.835) {\scalebox{1.597}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.234,1.89) -- (3.189,2.06) -- (3.064,2.184) -- (2.894,2.23) -- (2.724,2.184) -- (2.6,2.06) -- (2.554,1.89) -- (2.6,1.72) -- (2.724,1.595) -- (2.894,1.55) -- (3.064,1.595) -- (3.189,1.72) -- cycle;
\node at (2.894,1.89) {\scalebox{1.597}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.403,2.485) -- (9.358,2.655) -- (9.233,2.78) -- (9.063,2.825) -- (8.893,2.78) -- (8.769,2.655) -- (8.723,2.485) -- (8.769,2.315) -- (8.893,2.191) -- (9.063,2.145) -- (9.233,2.191) -- (9.358,2.315) -- cycle;
\node at (9.063,2.485) {\scalebox{1.597}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.116,2.126) -- (7.716,2.126) -- (7.716,2.726) -- (7.116,2.726) -- cycle;
\node at (7.416,2.426) {\scalebox{1.597}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.45,7.297) -- (7.05,7.297) -- (7.05,7.897) -- (6.45,7.897) -- cycle;
\node at (6.75,7.597) {\scalebox{1.597}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.854,0.65) -- (2.454,0.65) -- (2.454,1.25) -- (1.854,1.25) -- cycle;
\node at (2.154,0.95) {\scalebox{1.597}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.379,2.703) -- (12.979,2.703) -- (12.979,3.303) -- (12.379,3.303) -- cycle;
\node at (12.679,3.003) {\scalebox{1.597}{\small d}};
\node at (8.556,8.916) {\scalebox{1.597}{\small A}};
\node at (11.714,8.625) {\scalebox{1.597}{\small B}};
\node at (1.312,8.583) {\scalebox{1.597}{\small C}};
\node at (3.821,6.119) {\scalebox{1.597}{\small D}};
\node at (11.917,4.802) {\scalebox{1.597}{\small E}};
\node at (3.677,2.488) {\scalebox{1.597}{\small F}};
\node at (7.577,1.827) {\scalebox{1.597}{\small G}};
\node at (11.188,1.817) {\scalebox{1.597}{\small H}};
\node at (0.765,1.412) {\scalebox{1.597}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.597,7.404) -- (12.597,8.504);
\draw[line width=0.5pt] (12.366,8.119) -- (12.597,8.504) -- (12.828,8.119);
\draw[line width=0.5pt] (12.295,7.954) -- (12.9,7.954);
\node at (12.597,8.889) {\scalebox{1.597}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 1 & 6 & 4 & 3 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{F} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{G}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{F} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{G}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{C} à \textbf{F}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de C :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Placette des Ormes \textbf{(C)}, prend l'\textbf{impasse du Puits ④} vers le sud-est et atteint Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ②}, vers le nord-est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ①}, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ③}, vers le sud, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑤}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ⑥}, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑪}, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑩}, vers le sud, jusqu'à Place du Marché \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑬}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(G)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{passage du Marché ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ⑧}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑫}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
