\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 129}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=129}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0129}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7032, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.307,9.116) -- (1.473,9.086) -- (1.64,9.06) -- (1.808,9.037) -- (1.976,9.019) -- (2.145,9.005) -- (2.313,8.994) -- (2.482,8.988) -- (2.652,8.985) -- (2.821,8.987) -- (2.99,8.992) -- (3.159,9.002) -- (3.327,9.015) -- (3.495,9.033) -- (3.663,9.054);
\draw[line width=0.5pt] (1.307,9.116) -- (1.537,8.8) -- (1.76,8.478) -- (1.975,8.151) -- (2.183,7.819) -- (2.382,7.482) -- (2.574,7.141) -- (2.757,6.795) -- (2.933,6.445) -- (3.1,6.091) -- (3.259,5.733) -- (3.409,5.371) -- (3.551,5.007) -- (3.684,4.639) -- (3.808,4.268);
\draw[line width=0.5pt] (3.663,9.054) -- (3.914,8.991) -- (4.166,8.934) -- (4.42,8.883) -- (4.675,8.838) -- (4.931,8.8) -- (5.187,8.767) -- (5.445,8.74) -- (5.703,8.719) -- (5.962,8.704) -- (6.22,8.696) -- (6.479,8.693) -- (6.738,8.697) -- (6.997,8.706) -- (7.255,8.722);
\draw[line width=0.5pt] (3.663,9.054) -- (3.725,8.716) -- (3.78,8.377) -- (3.827,8.037) -- (3.865,7.696) -- (3.896,7.353) -- (3.918,7.01) -- (3.933,6.667) -- (3.939,6.323) -- (3.937,5.979) -- (3.928,5.636) -- (3.91,5.293) -- (3.884,4.95) -- (3.85,4.608) -- (3.808,4.268);
\draw[line width=0.5pt] (7.255,8.722) -- (7.536,8.642) -- (7.82,8.568) -- (8.105,8.502) -- (8.392,8.441) -- (8.68,8.388) -- (8.97,8.342) -- (9.26,8.302) -- (9.551,8.269) -- (9.843,8.243) -- (10.136,8.224) -- (10.429,8.211) -- (10.722,8.206) -- (11.015,8.208) -- (11.307,8.216);
\draw[line width=0.5pt] (7.255,8.722) -- (7.564,8.466) -- (7.867,8.203) -- (8.164,7.933) -- (8.455,7.655) -- (8.739,7.371) -- (9.016,7.08) -- (9.287,6.783) -- (9.55,6.48) -- (9.806,6.17) -- (10.055,5.855) -- (10.297,5.533) -- (10.53,5.207) -- (10.756,4.875) -- (10.974,4.537);
\draw[line width=0.5pt] (7.255,8.722) -- (6.962,8.444) -- (6.675,8.159) -- (6.396,7.868) -- (6.123,7.569) -- (5.857,7.265) -- (5.599,6.954) -- (5.347,6.637) -- (5.104,6.314) -- (4.868,5.986) -- (4.64,5.653) -- (4.419,5.314) -- (4.207,4.97) -- (4.003,4.621) -- (3.808,4.268);
\draw[line width=0.5pt] (7.255,8.722) -- (7.315,8.398) -- (7.368,8.073) -- (7.414,7.747) -- (7.451,7.419) -- (7.481,7.091) -- (7.503,6.762) -- (7.518,6.433) -- (7.525,6.103) -- (7.524,5.774) -- (7.515,5.444) -- (7.498,5.115) -- (7.474,4.786) -- (7.442,4.458) -- (7.402,4.132) -- (7.372,3.95) -- (7.345,3.768) -- (7.323,3.586) -- (7.305,3.403) -- (7.292,3.219) -- (7.283,3.036) -- (7.278,2.852) -- (7.278,2.668) -- (7.281,2.484) -- (7.29,2.3) -- (7.302,2.117) -- (7.319,1.934) -- (7.34,1.751) -- (7.365,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (10.974,4.537) -- (10.963,4.331) -- (10.958,4.125) -- (10.957,3.918) -- (10.961,3.711) -- (10.97,3.505) -- (10.984,3.298) -- (11.003,3.092) -- (11.026,2.887) -- (11.055,2.682) -- (11.088,2.478) -- (11.126,2.275) -- (11.168,2.073) -- (11.216,1.872) -- (11.268,1.672);
\draw[line width=0.5pt] (10.974,4.537) -- (10.751,4.288) -- (10.521,4.043) -- (10.286,3.804) -- (10.046,3.57) -- (9.8,3.343) -- (9.548,3.12) -- (9.292,2.904) -- (9.03,2.694) -- (8.764,2.491) -- (8.493,2.293) -- (8.218,2.102) -- (7.938,1.918) -- (7.654,1.74) -- (7.365,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (3.808,4.268) -- (4.03,4.038) -- (4.258,3.813) -- (4.492,3.593) -- (4.73,3.379) -- (4.974,3.171) -- (5.222,2.968) -- (5.475,2.772) -- (5.733,2.581) -- (5.995,2.396) -- (6.261,2.218) -- (6.531,2.046) -- (6.806,1.88) -- (7.084,1.721) -- (7.365,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (11.268,1.672) -- (10.993,1.622) -- (10.716,1.578) -- (10.438,1.541) -- (10.16,1.511) -- (9.881,1.487) -- (9.601,1.47) -- (9.321,1.459) -- (9.041,1.455) -- (8.761,1.458) -- (8.48,1.467) -- (8.201,1.483) -- (7.922,1.505) -- (7.643,1.534) -- (7.365,1.569);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.467,9.116) -- (1.446,9.196) -- (1.387,9.255) -- (1.307,9.276) -- (1.227,9.255) -- (1.169,9.196) -- (1.147,9.116) -- (1.169,9.036) -- (1.227,8.978) -- (1.307,8.956) -- (1.387,8.978) -- (1.446,9.036) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.823,9.054) -- (3.801,9.134) -- (3.743,9.193) -- (3.663,9.214) -- (3.583,9.193) -- (3.524,9.134) -- (3.503,9.054) -- (3.524,8.974) -- (3.583,8.915) -- (3.663,8.894) -- (3.743,8.915) -- (3.801,8.974) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.415,8.722) -- (7.393,8.802) -- (7.335,8.861) -- (7.255,8.882) -- (7.175,8.861) -- (7.116,8.802) -- (7.095,8.722) -- (7.116,8.642) -- (7.175,8.583) -- (7.255,8.562) -- (7.335,8.583) -- (7.393,8.642) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.467,8.216) -- (11.446,8.296) -- (11.387,8.355) -- (11.307,8.376) -- (11.227,8.355) -- (11.169,8.296) -- (11.147,8.216) -- (11.169,8.136) -- (11.227,8.078) -- (11.307,8.056) -- (11.387,8.078) -- (11.446,8.136) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.134,4.537) -- (11.112,4.617) -- (11.054,4.676) -- (10.974,4.697) -- (10.894,4.676) -- (10.835,4.617) -- (10.814,4.537) -- (10.835,4.457) -- (10.894,4.399) -- (10.974,4.377) -- (11.054,4.399) -- (11.112,4.457) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.968,4.268) -- (3.946,4.348) -- (3.888,4.406) -- (3.808,4.428) -- (3.728,4.406) -- (3.669,4.348) -- (3.648,4.268) -- (3.669,4.188) -- (3.728,4.129) -- (3.808,4.108) -- (3.888,4.129) -- (3.946,4.188) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.428,1.672) -- (11.407,1.752) -- (11.348,1.81) -- (11.268,1.832) -- (11.188,1.81) -- (11.13,1.752) -- (11.108,1.672) -- (11.13,1.592) -- (11.188,1.533) -- (11.268,1.512) -- (11.348,1.533) -- (11.407,1.592) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.525,1.569) -- (7.504,1.649) -- (7.445,1.708) -- (7.365,1.729) -- (7.285,1.708) -- (7.227,1.649) -- (7.205,1.569) -- (7.227,1.489) -- (7.285,1.43) -- (7.365,1.409) -- (7.445,1.43) -- (7.504,1.489) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.831,9.308) -- (2.785,9.478) -- (2.661,9.602) -- (2.491,9.648) -- (2.321,9.602) -- (2.196,9.478) -- (2.151,9.308) -- (2.196,9.138) -- (2.321,9.013) -- (2.491,8.968) -- (2.661,9.013) -- (2.785,9.138) -- cycle;
\node at (2.491,9.308) {\scalebox{1.422}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.382,6.942) -- (3.336,7.112) -- (3.212,7.236) -- (3.042,7.282) -- (2.872,7.236) -- (2.747,7.112) -- (2.702,6.942) -- (2.747,6.772) -- (2.872,6.647) -- (3.042,6.602) -- (3.212,6.647) -- (3.336,6.772) -- cycle;
\node at (3.042,6.942) {\scalebox{1.422}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.814,9.058) -- (5.769,9.228) -- (5.644,9.353) -- (5.474,9.398) -- (5.304,9.353) -- (5.18,9.228) -- (5.134,9.058) -- (5.18,8.888) -- (5.304,8.764) -- (5.474,8.718) -- (5.644,8.764) -- (5.769,8.888) -- cycle;
\node at (5.474,9.058) {\scalebox{1.422}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.593,6.677) -- (4.547,6.847) -- (4.423,6.971) -- (4.253,7.017) -- (4.083,6.971) -- (3.958,6.847) -- (3.913,6.677) -- (3.958,6.507) -- (4.083,6.382) -- (4.253,6.337) -- (4.423,6.382) -- (4.547,6.507) -- cycle;
\node at (4.253,6.677) {\scalebox{1.422}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.64,8.619) -- (9.594,8.789) -- (9.47,8.914) -- (9.3,8.959) -- (9.13,8.914) -- (9.005,8.789) -- (8.96,8.619) -- (9.005,8.449) -- (9.13,8.325) -- (9.3,8.279) -- (9.47,8.325) -- (9.594,8.449) -- cycle;
\node at (9.3,8.619) {\scalebox{1.422}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.866,6.996) -- (9.82,7.166) -- (9.696,7.29) -- (9.526,7.336) -- (9.356,7.29) -- (9.232,7.166) -- (9.186,6.996) -- (9.232,6.826) -- (9.356,6.701) -- (9.526,6.656) -- (9.696,6.701) -- (9.82,6.826) -- cycle;
\node at (9.526,6.996) {\scalebox{1.422}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.941,6.441) -- (5.895,6.611) -- (5.771,6.736) -- (5.601,6.781) -- (5.431,6.736) -- (5.306,6.611) -- (5.261,6.441) -- (5.306,6.271) -- (5.431,6.147) -- (5.601,6.101) -- (5.771,6.147) -- (5.895,6.271) -- cycle;
\node at (5.601,6.441) {\scalebox{1.422}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.059,4.088) -- (8.014,4.258) -- (7.889,4.382) -- (7.719,4.428) -- (7.549,4.382) -- (7.425,4.258) -- (7.379,4.088) -- (7.425,3.918) -- (7.549,3.793) -- (7.719,3.748) -- (7.889,3.793) -- (8.014,3.918) -- cycle;
\node at (7.719,4.088) {\scalebox{1.422}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.661,3.125) -- (11.616,3.295) -- (11.491,3.42) -- (11.321,3.465) -- (11.151,3.42) -- (11.027,3.295) -- (10.981,3.125) -- (11.027,2.955) -- (11.151,2.831) -- (11.321,2.785) -- (11.491,2.831) -- (11.616,2.955) -- cycle;
\node at (11.321,3.125) {\scalebox{1.422}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.835,2.657) -- (9.79,2.827) -- (9.665,2.952) -- (9.495,2.997) -- (9.325,2.952) -- (9.201,2.827) -- (9.155,2.657) -- (9.201,2.487) -- (9.325,2.363) -- (9.495,2.317) -- (9.665,2.363) -- (9.79,2.487) -- cycle;
\node at (9.495,2.657) {\scalebox{1.422}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.009,3.027) -- (5.963,3.197) -- (5.839,3.321) -- (5.669,3.367) -- (5.499,3.321) -- (5.374,3.197) -- (5.329,3.027) -- (5.374,2.857) -- (5.499,2.732) -- (5.669,2.687) -- (5.839,2.732) -- (5.963,2.857) -- cycle;
\node at (5.669,3.027) {\scalebox{1.422}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.669,1.14) -- (9.624,1.31) -- (9.499,1.434) -- (9.329,1.48) -- (9.159,1.434) -- (9.035,1.31) -- (8.989,1.14) -- (9.035,0.97) -- (9.159,0.845) -- (9.329,0.8) -- (9.499,0.845) -- (9.624,0.97) -- cycle;
\node at (9.329,1.14) {\scalebox{1.422}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.007,7.916) -- (11.607,7.916) -- (11.607,8.516) -- (11.007,8.516) -- cycle;
\node at (11.307,8.216) {\scalebox{1.422}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.398,6.849) -- (9.998,6.849) -- (9.998,7.449) -- (9.398,7.449) -- cycle;
\node at (9.698,7.149) {\scalebox{1.422}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.182,6.384) -- (4.782,6.384) -- (4.782,6.984) -- (4.182,6.984) -- cycle;
\node at (4.482,6.684) {\scalebox{1.422}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.892,7.061) -- (2.492,7.061) -- (2.492,7.661) -- (1.892,7.661) -- cycle;
\node at (2.192,7.361) {\scalebox{1.422}{\small d}};
\node at (0.765,9.417) {\scalebox{1.422}{\small A}};
\node at (3.205,9.472) {\scalebox{1.422}{\small B}};
\node at (7.285,9.341) {\scalebox{1.422}{\small C}};
\node at (11.85,8.517) {\scalebox{1.422}{\small D}};
\node at (11.559,4.332) {\scalebox{1.422}{\small E}};
\node at (3.251,3.994) {\scalebox{1.422}{\small F}};
\node at (11.703,1.23) {\scalebox{1.422}{\small G}};
\node at (7.401,0.95) {\scalebox{1.422}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.607,8.166) -- (12.607,9.266);
\draw[line width=0.5pt] (12.376,8.881) -- (12.607,9.266) -- (12.838,8.881);
\draw[line width=0.5pt] (12.305,8.716) -- (12.91,8.716);
\node at (12.607,9.651) {\scalebox{1.422}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Jardins & ⑦ rue du Four & Ⓐ Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② boulevard du Parc & ⑧ rue de la Mairie & Ⓑ Carrefour des Tilleuls & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ rue du Puits & ⑨ rue Verte & Ⓒ Carrefour de la Mairie & \textbf{c} la boulangerie \\ \hline
④ chemin Creux & ⑩ sentier des Prés & Ⓓ Placette des Ormes & \textbf{d} la gendarmerie \\ \hline
⑤ impasse des Roses & ⑪ venelle du Chat & Ⓔ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
⑥ rue Neuve & ⑫ passage du Marché & Ⓕ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6292, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.307,9.116) -- (1.473,9.086) -- (1.64,9.06) -- (1.808,9.037) -- (1.976,9.019) -- (2.145,9.005) -- (2.313,8.994) -- (2.482,8.988) -- (2.652,8.985) -- (2.821,8.987) -- (2.99,8.992) -- (3.159,9.002) -- (3.327,9.015) -- (3.495,9.033) -- (3.663,9.054);
\draw[line width=0.5pt] (1.307,9.116) -- (1.537,8.8) -- (1.76,8.478) -- (1.975,8.151) -- (2.183,7.819) -- (2.382,7.482) -- (2.574,7.141) -- (2.757,6.795) -- (2.933,6.445) -- (3.1,6.091) -- (3.259,5.733) -- (3.409,5.371) -- (3.551,5.007) -- (3.684,4.639) -- (3.808,4.268);
\draw[line width=0.5pt] (3.663,9.054) -- (3.914,8.991) -- (4.166,8.934) -- (4.42,8.883) -- (4.675,8.838) -- (4.931,8.8) -- (5.187,8.767) -- (5.445,8.74) -- (5.703,8.719) -- (5.962,8.704) -- (6.22,8.696) -- (6.479,8.693) -- (6.738,8.697) -- (6.997,8.706) -- (7.255,8.722);
\draw[line width=0.5pt] (3.663,9.054) -- (3.725,8.716) -- (3.78,8.377) -- (3.827,8.037) -- (3.865,7.696) -- (3.896,7.353) -- (3.918,7.01) -- (3.933,6.667) -- (3.939,6.323) -- (3.937,5.979) -- (3.928,5.636) -- (3.91,5.293) -- (3.884,4.95) -- (3.85,4.608) -- (3.808,4.268);
\draw[line width=0.5pt] (7.255,8.722) -- (7.536,8.642) -- (7.82,8.568) -- (8.105,8.502) -- (8.392,8.441) -- (8.68,8.388) -- (8.97,8.342) -- (9.26,8.302) -- (9.551,8.269) -- (9.843,8.243) -- (10.136,8.224) -- (10.429,8.211) -- (10.722,8.206) -- (11.015,8.208) -- (11.307,8.216);
\draw[line width=0.5pt] (7.255,8.722) -- (7.564,8.466) -- (7.867,8.203) -- (8.164,7.933) -- (8.455,7.655) -- (8.739,7.371) -- (9.016,7.08) -- (9.287,6.783) -- (9.55,6.48) -- (9.806,6.17) -- (10.055,5.855) -- (10.297,5.533) -- (10.53,5.207) -- (10.756,4.875) -- (10.974,4.537);
\draw[line width=0.5pt] (7.255,8.722) -- (6.962,8.444) -- (6.675,8.159) -- (6.396,7.868) -- (6.123,7.569) -- (5.857,7.265) -- (5.599,6.954) -- (5.347,6.637) -- (5.104,6.314) -- (4.868,5.986) -- (4.64,5.653) -- (4.419,5.314) -- (4.207,4.97) -- (4.003,4.621) -- (3.808,4.268);
\draw[line width=0.5pt] (7.255,8.722) -- (7.315,8.398) -- (7.368,8.073) -- (7.414,7.747) -- (7.451,7.419) -- (7.481,7.091) -- (7.503,6.762) -- (7.518,6.433) -- (7.525,6.103) -- (7.524,5.774) -- (7.515,5.444) -- (7.498,5.115) -- (7.474,4.786) -- (7.442,4.458) -- (7.402,4.132) -- (7.372,3.95) -- (7.345,3.768) -- (7.323,3.586) -- (7.305,3.403) -- (7.292,3.219) -- (7.283,3.036) -- (7.278,2.852) -- (7.278,2.668) -- (7.281,2.484) -- (7.29,2.3) -- (7.302,2.117) -- (7.319,1.934) -- (7.34,1.751) -- (7.365,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (10.974,4.537) -- (10.963,4.331) -- (10.958,4.125) -- (10.957,3.918) -- (10.961,3.711) -- (10.97,3.505) -- (10.984,3.298) -- (11.003,3.092) -- (11.026,2.887) -- (11.055,2.682) -- (11.088,2.478) -- (11.126,2.275) -- (11.168,2.073) -- (11.216,1.872) -- (11.268,1.672);
\draw[line width=0.5pt] (10.974,4.537) -- (10.751,4.288) -- (10.521,4.043) -- (10.286,3.804) -- (10.046,3.57) -- (9.8,3.343) -- (9.548,3.12) -- (9.292,2.904) -- (9.03,2.694) -- (8.764,2.491) -- (8.493,2.293) -- (8.218,2.102) -- (7.938,1.918) -- (7.654,1.74) -- (7.365,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (3.808,4.268) -- (4.03,4.038) -- (4.258,3.813) -- (4.492,3.593) -- (4.73,3.379) -- (4.974,3.171) -- (5.222,2.968) -- (5.475,2.772) -- (5.733,2.581) -- (5.995,2.396) -- (6.261,2.218) -- (6.531,2.046) -- (6.806,1.88) -- (7.084,1.721) -- (7.365,1.569);
\draw[line width=0.5pt] (11.268,1.672) -- (10.993,1.622) -- (10.716,1.578) -- (10.438,1.541) -- (10.16,1.511) -- (9.881,1.487) -- (9.601,1.47) -- (9.321,1.459) -- (9.041,1.455) -- (8.761,1.458) -- (8.48,1.467) -- (8.201,1.483) -- (7.922,1.505) -- (7.643,1.534) -- (7.365,1.569);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.467,9.116) -- (1.446,9.196) -- (1.387,9.255) -- (1.307,9.276) -- (1.227,9.255) -- (1.169,9.196) -- (1.147,9.116) -- (1.169,9.036) -- (1.227,8.978) -- (1.307,8.956) -- (1.387,8.978) -- (1.446,9.036) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.823,9.054) -- (3.801,9.134) -- (3.743,9.193) -- (3.663,9.214) -- (3.583,9.193) -- (3.524,9.134) -- (3.503,9.054) -- (3.524,8.974) -- (3.583,8.915) -- (3.663,8.894) -- (3.743,8.915) -- (3.801,8.974) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.415,8.722) -- (7.393,8.802) -- (7.335,8.861) -- (7.255,8.882) -- (7.175,8.861) -- (7.116,8.802) -- (7.095,8.722) -- (7.116,8.642) -- (7.175,8.583) -- (7.255,8.562) -- (7.335,8.583) -- (7.393,8.642) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.467,8.216) -- (11.446,8.296) -- (11.387,8.355) -- (11.307,8.376) -- (11.227,8.355) -- (11.169,8.296) -- (11.147,8.216) -- (11.169,8.136) -- (11.227,8.078) -- (11.307,8.056) -- (11.387,8.078) -- (11.446,8.136) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.134,4.537) -- (11.112,4.617) -- (11.054,4.676) -- (10.974,4.697) -- (10.894,4.676) -- (10.835,4.617) -- (10.814,4.537) -- (10.835,4.457) -- (10.894,4.399) -- (10.974,4.377) -- (11.054,4.399) -- (11.112,4.457) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.968,4.268) -- (3.946,4.348) -- (3.888,4.406) -- (3.808,4.428) -- (3.728,4.406) -- (3.669,4.348) -- (3.648,4.268) -- (3.669,4.188) -- (3.728,4.129) -- (3.808,4.108) -- (3.888,4.129) -- (3.946,4.188) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.428,1.672) -- (11.407,1.752) -- (11.348,1.81) -- (11.268,1.832) -- (11.188,1.81) -- (11.13,1.752) -- (11.108,1.672) -- (11.13,1.592) -- (11.188,1.533) -- (11.268,1.512) -- (11.348,1.533) -- (11.407,1.592) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.525,1.569) -- (7.504,1.649) -- (7.445,1.708) -- (7.365,1.729) -- (7.285,1.708) -- (7.227,1.649) -- (7.205,1.569) -- (7.227,1.489) -- (7.285,1.43) -- (7.365,1.409) -- (7.445,1.43) -- (7.504,1.489) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.831,9.308) -- (2.785,9.478) -- (2.661,9.602) -- (2.491,9.648) -- (2.321,9.602) -- (2.196,9.478) -- (2.151,9.308) -- (2.196,9.138) -- (2.321,9.013) -- (2.491,8.968) -- (2.661,9.013) -- (2.785,9.138) -- cycle;
\node at (2.491,9.308) {\scalebox{1.589}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.382,6.942) -- (3.336,7.112) -- (3.212,7.236) -- (3.042,7.282) -- (2.872,7.236) -- (2.747,7.112) -- (2.702,6.942) -- (2.747,6.772) -- (2.872,6.647) -- (3.042,6.602) -- (3.212,6.647) -- (3.336,6.772) -- cycle;
\node at (3.042,6.942) {\scalebox{1.589}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.814,9.058) -- (5.769,9.228) -- (5.644,9.353) -- (5.474,9.398) -- (5.304,9.353) -- (5.18,9.228) -- (5.134,9.058) -- (5.18,8.888) -- (5.304,8.764) -- (5.474,8.718) -- (5.644,8.764) -- (5.769,8.888) -- cycle;
\node at (5.474,9.058) {\scalebox{1.589}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.593,6.677) -- (4.547,6.847) -- (4.423,6.971) -- (4.253,7.017) -- (4.083,6.971) -- (3.958,6.847) -- (3.913,6.677) -- (3.958,6.507) -- (4.083,6.382) -- (4.253,6.337) -- (4.423,6.382) -- (4.547,6.507) -- cycle;
\node at (4.253,6.677) {\scalebox{1.589}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.64,8.619) -- (9.594,8.789) -- (9.47,8.914) -- (9.3,8.959) -- (9.13,8.914) -- (9.005,8.789) -- (8.96,8.619) -- (9.005,8.449) -- (9.13,8.325) -- (9.3,8.279) -- (9.47,8.325) -- (9.594,8.449) -- cycle;
\node at (9.3,8.619) {\scalebox{1.589}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.866,6.996) -- (9.82,7.166) -- (9.696,7.29) -- (9.526,7.336) -- (9.356,7.29) -- (9.232,7.166) -- (9.186,6.996) -- (9.232,6.826) -- (9.356,6.701) -- (9.526,6.656) -- (9.696,6.701) -- (9.82,6.826) -- cycle;
\node at (9.526,6.996) {\scalebox{1.589}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.941,6.441) -- (5.895,6.611) -- (5.771,6.736) -- (5.601,6.781) -- (5.431,6.736) -- (5.306,6.611) -- (5.261,6.441) -- (5.306,6.271) -- (5.431,6.147) -- (5.601,6.101) -- (5.771,6.147) -- (5.895,6.271) -- cycle;
\node at (5.601,6.441) {\scalebox{1.589}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.059,4.088) -- (8.014,4.258) -- (7.889,4.382) -- (7.719,4.428) -- (7.549,4.382) -- (7.425,4.258) -- (7.379,4.088) -- (7.425,3.918) -- (7.549,3.793) -- (7.719,3.748) -- (7.889,3.793) -- (8.014,3.918) -- cycle;
\node at (7.719,4.088) {\scalebox{1.589}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.661,3.125) -- (11.616,3.295) -- (11.491,3.42) -- (11.321,3.465) -- (11.151,3.42) -- (11.027,3.295) -- (10.981,3.125) -- (11.027,2.955) -- (11.151,2.831) -- (11.321,2.785) -- (11.491,2.831) -- (11.616,2.955) -- cycle;
\node at (11.321,3.125) {\scalebox{1.589}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.835,2.657) -- (9.79,2.827) -- (9.665,2.952) -- (9.495,2.997) -- (9.325,2.952) -- (9.201,2.827) -- (9.155,2.657) -- (9.201,2.487) -- (9.325,2.363) -- (9.495,2.317) -- (9.665,2.363) -- (9.79,2.487) -- cycle;
\node at (9.495,2.657) {\scalebox{1.589}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.009,3.027) -- (5.963,3.197) -- (5.839,3.321) -- (5.669,3.367) -- (5.499,3.321) -- (5.374,3.197) -- (5.329,3.027) -- (5.374,2.857) -- (5.499,2.732) -- (5.669,2.687) -- (5.839,2.732) -- (5.963,2.857) -- cycle;
\node at (5.669,3.027) {\scalebox{1.589}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.669,1.14) -- (9.624,1.31) -- (9.499,1.434) -- (9.329,1.48) -- (9.159,1.434) -- (9.035,1.31) -- (8.989,1.14) -- (9.035,0.97) -- (9.159,0.845) -- (9.329,0.8) -- (9.499,0.845) -- (9.624,0.97) -- cycle;
\node at (9.329,1.14) {\scalebox{1.589}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.007,7.916) -- (11.607,7.916) -- (11.607,8.516) -- (11.007,8.516) -- cycle;
\node at (11.307,8.216) {\scalebox{1.589}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.398,6.849) -- (9.998,6.849) -- (9.998,7.449) -- (9.398,7.449) -- cycle;
\node at (9.698,7.149) {\scalebox{1.589}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.182,6.384) -- (4.782,6.384) -- (4.782,6.984) -- (4.182,6.984) -- cycle;
\node at (4.482,6.684) {\scalebox{1.589}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.892,7.061) -- (2.492,7.061) -- (2.492,7.661) -- (1.892,7.661) -- cycle;
\node at (2.192,7.361) {\scalebox{1.589}{\small d}};
\node at (0.765,9.417) {\scalebox{1.589}{\small A}};
\node at (3.205,9.472) {\scalebox{1.589}{\small B}};
\node at (7.285,9.341) {\scalebox{1.589}{\small C}};
\node at (11.85,8.517) {\scalebox{1.589}{\small D}};
\node at (11.559,4.332) {\scalebox{1.589}{\small E}};
\node at (3.251,3.994) {\scalebox{1.589}{\small F}};
\node at (11.703,1.23) {\scalebox{1.589}{\small G}};
\node at (7.401,0.95) {\scalebox{1.589}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.607,8.166) -- (12.607,9.266);
\draw[line width=0.5pt] (12.376,8.881) -- (12.607,9.266) -- (12.838,8.881);
\draw[line width=0.5pt] (12.305,8.716) -- (12.91,8.716);
\node at (12.607,9.651) {\scalebox{1.589}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 5 & 1 & 3 & 4 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, D, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
