\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 13}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=13}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0013}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7053, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.189,8.363) -- (3.982,8.395) -- (3.774,8.422) -- (3.566,8.444) -- (3.357,8.461) -- (3.147,8.473) -- (2.938,8.48) -- (2.728,8.483) -- (2.518,8.48) -- (2.309,8.472) -- (2.099,8.46) -- (1.89,8.442) -- (1.682,8.42) -- (1.474,8.393) -- (1.267,8.361);
\draw[line width=0.5pt] (4.189,8.363) -- (4.444,8.308) -- (4.697,8.247) -- (4.949,8.18) -- (5.199,8.107) -- (5.448,8.028) -- (5.695,7.944) -- (5.939,7.853) -- (6.182,7.757) -- (6.422,7.655) -- (6.66,7.548) -- (6.895,7.435) -- (7.127,7.316) -- (7.356,7.193) -- (7.582,7.063);
\draw[line width=0.5pt] (4.189,8.363) -- (4.131,8.1) -- (4.08,7.836) -- (4.034,7.57) -- (3.995,7.303) -- (3.962,7.036) -- (3.936,6.768) -- (3.916,6.499) -- (3.902,6.229) -- (3.894,5.96) -- (3.893,5.69) -- (3.898,5.421) -- (3.909,5.151) -- (3.927,4.883) -- (3.951,4.614);
\draw[line width=0.5pt] (1.267,8.361) -- (1.498,8.125) -- (1.724,7.883) -- (1.944,7.636) -- (2.158,7.384) -- (2.366,7.127) -- (2.568,6.865) -- (2.764,6.598) -- (2.953,6.327) -- (3.136,6.052) -- (3.313,5.772) -- (3.483,5.488) -- (3.646,5.2) -- (3.802,4.909) -- (3.951,4.614);
\draw[line width=0.5pt] (7.582,7.063) -- (7.81,6.831) -- (8.044,6.604) -- (8.283,6.382) -- (8.527,6.166) -- (8.776,5.956) -- (9.03,5.751) -- (9.289,5.553) -- (9.552,5.36) -- (9.82,5.174) -- (10.092,4.995) -- (10.368,4.822) -- (10.648,4.655) -- (10.932,4.495) -- (11.219,4.342);
\draw[line width=0.5pt] (7.582,7.063) -- (7.608,6.842) -- (7.628,6.62) -- (7.643,6.398) -- (7.653,6.176) -- (7.658,5.953) -- (7.657,5.73) -- (7.651,5.507) -- (7.64,5.284) -- (7.624,5.062) -- (7.602,4.84) -- (7.575,4.619) -- (7.543,4.399) -- (7.506,4.179) -- (7.464,3.96) -- (7.468,3.798) -- (7.475,3.636) -- (7.487,3.474) -- (7.502,3.313) -- (7.522,3.152) -- (7.545,2.991) -- (7.571,2.831) -- (7.602,2.671) -- (7.636,2.512) -- (7.674,2.355) -- (7.715,2.198) -- (7.761,2.042) -- (7.81,1.887) -- (7.862,1.734);
\draw[line width=0.5pt] (3.951,4.614) -- (4.197,4.367) -- (4.448,4.126) -- (4.706,3.891) -- (4.968,3.662) -- (5.236,3.439) -- (5.51,3.223) -- (5.788,3.013) -- (6.071,2.809) -- (6.359,2.613) -- (6.651,2.423) -- (6.948,2.24) -- (7.249,2.064) -- (7.554,1.895) -- (7.862,1.734);
\draw[line width=0.5pt] (3.951,4.614) -- (3.963,4.385) -- (3.969,4.155) -- (3.97,3.924) -- (3.965,3.694) -- (3.955,3.464) -- (3.94,3.234) -- (3.919,3.005) -- (3.893,2.776) -- (3.861,2.548) -- (3.824,2.321) -- (3.782,2.095) -- (3.734,1.869) -- (3.681,1.645) -- (3.623,1.423);
\draw[line width=0.5pt] (11.219,4.342) -- (10.953,4.194) -- (10.69,4.04) -- (10.431,3.879) -- (10.175,3.712) -- (9.924,3.54) -- (9.676,3.361) -- (9.433,3.176) -- (9.194,2.986) -- (8.96,2.791) -- (8.731,2.59) -- (8.506,2.384) -- (8.286,2.172) -- (8.072,1.955) -- (7.862,1.734);
\draw[line width=0.5pt] (7.862,1.734) -- (7.565,1.665) -- (7.267,1.604) -- (6.967,1.55) -- (6.665,1.503) -- (6.363,1.462) -- (6.06,1.429) -- (5.756,1.404) -- (5.451,1.385) -- (5.146,1.373) -- (4.841,1.369) -- (4.536,1.372) -- (4.231,1.381) -- (3.927,1.399) -- (3.623,1.423);
\draw[line width=0.5pt] (7.862,1.734) -- (8.1,1.673) -- (8.339,1.619) -- (8.58,1.569) -- (8.821,1.526) -- (9.064,1.488) -- (9.307,1.456) -- (9.551,1.43) -- (9.796,1.409) -- (10.041,1.394) -- (10.286,1.385) -- (10.532,1.381) -- (10.777,1.384) -- (11.022,1.392) -- (11.267,1.406);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.349,8.363) -- (4.328,8.443) -- (4.269,8.502) -- (4.189,8.523) -- (4.109,8.502) -- (4.051,8.443) -- (4.029,8.363) -- (4.051,8.283) -- (4.109,8.225) -- (4.189,8.203) -- (4.269,8.225) -- (4.328,8.283) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.427,8.361) -- (1.406,8.441) -- (1.347,8.499) -- (1.267,8.521) -- (1.187,8.499) -- (1.129,8.441) -- (1.107,8.361) -- (1.129,8.281) -- (1.187,8.222) -- (1.267,8.201) -- (1.347,8.222) -- (1.406,8.281) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.742,7.063) -- (7.721,7.143) -- (7.662,7.202) -- (7.582,7.223) -- (7.502,7.202) -- (7.444,7.143) -- (7.422,7.063) -- (7.444,6.983) -- (7.502,6.925) -- (7.582,6.903) -- (7.662,6.925) -- (7.721,6.983) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.111,4.614) -- (4.09,4.694) -- (4.031,4.753) -- (3.951,4.774) -- (3.871,4.753) -- (3.813,4.694) -- (3.791,4.614) -- (3.813,4.534) -- (3.871,4.476) -- (3.951,4.454) -- (4.031,4.476) -- (4.09,4.534) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.379,4.342) -- (11.358,4.422) -- (11.299,4.481) -- (11.219,4.502) -- (11.139,4.481) -- (11.081,4.422) -- (11.059,4.342) -- (11.081,4.262) -- (11.139,4.204) -- (11.219,4.182) -- (11.299,4.204) -- (11.358,4.262) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.022,1.734) -- (8.001,1.814) -- (7.942,1.872) -- (7.862,1.894) -- (7.782,1.872) -- (7.724,1.814) -- (7.702,1.734) -- (7.724,1.654) -- (7.782,1.595) -- (7.862,1.574) -- (7.942,1.595) -- (8.001,1.654) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.783,1.423) -- (3.762,1.503) -- (3.703,1.562) -- (3.623,1.583) -- (3.543,1.562) -- (3.485,1.503) -- (3.463,1.423) -- (3.485,1.343) -- (3.543,1.284) -- (3.623,1.263) -- (3.703,1.284) -- (3.762,1.343) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.427,1.406) -- (11.406,1.486) -- (11.347,1.545) -- (11.267,1.566) -- (11.187,1.545) -- (11.129,1.486) -- (11.107,1.406) -- (11.129,1.326) -- (11.187,1.268) -- (11.267,1.246) -- (11.347,1.268) -- (11.406,1.326) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.068,8.163) -- (3.023,8.333) -- (2.898,8.457) -- (2.728,8.503) -- (2.558,8.457) -- (2.434,8.333) -- (2.388,8.163) -- (2.434,7.993) -- (2.558,7.868) -- (2.728,7.823) -- (2.898,7.868) -- (3.023,7.993) -- cycle;
\node at (2.728,8.163) {\scalebox{1.418}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.394,8.152) -- (6.348,8.322) -- (6.224,8.447) -- (6.054,8.492) -- (5.884,8.447) -- (5.759,8.322) -- (5.714,8.152) -- (5.759,7.982) -- (5.884,7.858) -- (6.054,7.812) -- (6.224,7.858) -- (6.348,7.982) -- cycle;
\node at (6.054,8.152) {\scalebox{1.418}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.575,6.478) -- (4.529,6.648) -- (4.405,6.773) -- (4.235,6.818) -- (4.065,6.773) -- (3.94,6.648) -- (3.895,6.478) -- (3.94,6.308) -- (4.065,6.184) -- (4.235,6.138) -- (4.405,6.184) -- (4.529,6.308) -- cycle;
\node at (4.235,6.478) {\scalebox{1.418}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.364,6.785) -- (3.318,6.955) -- (3.194,7.079) -- (3.024,7.125) -- (2.854,7.079) -- (2.729,6.955) -- (2.684,6.785) -- (2.729,6.615) -- (2.854,6.49) -- (3.024,6.445) -- (3.194,6.49) -- (3.318,6.615) -- cycle;
\node at (3.024,6.785) {\scalebox{1.418}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.82,5.809) -- (9.775,5.979) -- (9.65,6.103) -- (9.48,6.149) -- (9.31,6.103) -- (9.186,5.979) -- (9.14,5.809) -- (9.186,5.639) -- (9.31,5.515) -- (9.48,5.469) -- (9.65,5.515) -- (9.775,5.639) -- cycle;
\node at (9.48,5.809) {\scalebox{1.418}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.122,3.928) -- (8.077,4.098) -- (7.952,4.223) -- (7.782,4.268) -- (7.612,4.223) -- (7.488,4.098) -- (7.442,3.928) -- (7.488,3.758) -- (7.612,3.634) -- (7.782,3.588) -- (7.952,3.634) -- (8.077,3.758) -- cycle;
\node at (7.782,3.928) {\scalebox{1.418}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.318,3.27) -- (6.272,3.44) -- (6.148,3.565) -- (5.978,3.61) -- (5.808,3.565) -- (5.683,3.44) -- (5.638,3.27) -- (5.683,3.1) -- (5.808,2.976) -- (5.978,2.93) -- (6.148,2.976) -- (6.272,3.1) -- cycle;
\node at (5.978,3.27) {\scalebox{1.418}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.577,2.972) -- (4.532,3.142) -- (4.407,3.267) -- (4.237,3.312) -- (4.067,3.267) -- (3.943,3.142) -- (3.897,2.972) -- (3.943,2.802) -- (4.067,2.678) -- (4.237,2.632) -- (4.407,2.678) -- (4.532,2.802) -- cycle;
\node at (4.237,2.972) {\scalebox{1.418}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.97,2.924) -- (9.924,3.094) -- (9.8,3.218) -- (9.63,3.264) -- (9.46,3.218) -- (9.335,3.094) -- (9.29,2.924) -- (9.335,2.754) -- (9.46,2.629) -- (9.63,2.584) -- (9.8,2.629) -- (9.924,2.754) -- cycle;
\node at (9.63,2.924) {\scalebox{1.418}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.119,1.084) -- (6.074,1.254) -- (5.949,1.379) -- (5.779,1.424) -- (5.609,1.379) -- (5.485,1.254) -- (5.439,1.084) -- (5.485,0.914) -- (5.609,0.79) -- (5.779,0.744) -- (5.949,0.79) -- (6.074,0.914) -- cycle;
\node at (5.779,1.084) {\scalebox{1.418}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.922,1.748) -- (9.876,1.918) -- (9.752,2.043) -- (9.582,2.088) -- (9.412,2.043) -- (9.287,1.918) -- (9.242,1.748) -- (9.287,1.578) -- (9.412,1.454) -- (9.582,1.408) -- (9.752,1.454) -- (9.876,1.578) -- cycle;
\node at (9.582,1.748) {\scalebox{1.418}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.651,4.314) -- (4.251,4.314) -- (4.251,4.914) -- (3.651,4.914) -- cycle;
\node at (3.951,4.614) {\scalebox{1.418}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.61,8.367) -- (2.21,8.367) -- (2.21,8.967) -- (1.61,8.967) -- cycle;
\node at (1.91,8.667) {\scalebox{1.418}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.15,0.974) -- (10.75,0.974) -- (10.75,1.574) -- (10.15,1.574) -- cycle;
\node at (10.45,1.274) {\scalebox{1.418}{\small c}};
\node at (3.874,8.897) {\scalebox{1.418}{\small A}};
\node at (0.765,8.725) {\scalebox{1.418}{\small B}};
\node at (7.862,7.617) {\scalebox{1.418}{\small C}};
\node at (3.331,4.602) {\scalebox{1.418}{\small D}};
\node at (11.838,4.301) {\scalebox{1.418}{\small E}};
\node at (8.144,1.181) {\scalebox{1.418}{\small F}};
\node at (3.222,0.95) {\scalebox{1.418}{\small G}};
\node at (11.783,1.063) {\scalebox{1.418}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.567,7.413) -- (12.567,8.513);
\draw[line width=0.5pt] (12.336,8.128) -- (12.567,8.513) -- (12.798,8.128);
\draw[line width=0.5pt] (12.265,7.963) -- (12.87,7.963);
\node at (12.567,8.898) {\scalebox{1.418}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Mairie & ⑦ avenue de la Gare & Ⓐ Rond-point de la Gare & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Puits & ⑧ rue de l'Église & Ⓑ Place du Marché & \textbf{b} la salle des fêtes \\ \hline
③ passage du Marché & ⑨ chemin Creux & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ rue Basse & ⑩ rue du Stade & Ⓓ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
⑤ quai aux Fleurs & ⑪ impasse Verte & Ⓔ Place de l'Église &  \\ \hline
⑥ rue du Moulin &  & Ⓕ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Coin du Lavoir &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6311, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.189,8.363) -- (3.982,8.395) -- (3.774,8.422) -- (3.566,8.444) -- (3.357,8.461) -- (3.147,8.473) -- (2.938,8.48) -- (2.728,8.483) -- (2.518,8.48) -- (2.309,8.472) -- (2.099,8.46) -- (1.89,8.442) -- (1.682,8.42) -- (1.474,8.393) -- (1.267,8.361);
\draw[line width=0.5pt] (4.189,8.363) -- (4.444,8.308) -- (4.697,8.247) -- (4.949,8.18) -- (5.199,8.107) -- (5.448,8.028) -- (5.695,7.944) -- (5.939,7.853) -- (6.182,7.757) -- (6.422,7.655) -- (6.66,7.548) -- (6.895,7.435) -- (7.127,7.316) -- (7.356,7.193) -- (7.582,7.063);
\draw[line width=0.5pt] (4.189,8.363) -- (4.131,8.1) -- (4.08,7.836) -- (4.034,7.57) -- (3.995,7.303) -- (3.962,7.036) -- (3.936,6.768) -- (3.916,6.499) -- (3.902,6.229) -- (3.894,5.96) -- (3.893,5.69) -- (3.898,5.421) -- (3.909,5.151) -- (3.927,4.883) -- (3.951,4.614);
\draw[line width=0.5pt] (1.267,8.361) -- (1.498,8.125) -- (1.724,7.883) -- (1.944,7.636) -- (2.158,7.384) -- (2.366,7.127) -- (2.568,6.865) -- (2.764,6.598) -- (2.953,6.327) -- (3.136,6.052) -- (3.313,5.772) -- (3.483,5.488) -- (3.646,5.2) -- (3.802,4.909) -- (3.951,4.614);
\draw[line width=0.5pt] (7.582,7.063) -- (7.81,6.831) -- (8.044,6.604) -- (8.283,6.382) -- (8.527,6.166) -- (8.776,5.956) -- (9.03,5.751) -- (9.289,5.553) -- (9.552,5.36) -- (9.82,5.174) -- (10.092,4.995) -- (10.368,4.822) -- (10.648,4.655) -- (10.932,4.495) -- (11.219,4.342);
\draw[line width=0.5pt] (7.582,7.063) -- (7.608,6.842) -- (7.628,6.62) -- (7.643,6.398) -- (7.653,6.176) -- (7.658,5.953) -- (7.657,5.73) -- (7.651,5.507) -- (7.64,5.284) -- (7.624,5.062) -- (7.602,4.84) -- (7.575,4.619) -- (7.543,4.399) -- (7.506,4.179) -- (7.464,3.96) -- (7.468,3.798) -- (7.475,3.636) -- (7.487,3.474) -- (7.502,3.313) -- (7.522,3.152) -- (7.545,2.991) -- (7.571,2.831) -- (7.602,2.671) -- (7.636,2.512) -- (7.674,2.355) -- (7.715,2.198) -- (7.761,2.042) -- (7.81,1.887) -- (7.862,1.734);
\draw[line width=0.5pt] (3.951,4.614) -- (4.197,4.367) -- (4.448,4.126) -- (4.706,3.891) -- (4.968,3.662) -- (5.236,3.439) -- (5.51,3.223) -- (5.788,3.013) -- (6.071,2.809) -- (6.359,2.613) -- (6.651,2.423) -- (6.948,2.24) -- (7.249,2.064) -- (7.554,1.895) -- (7.862,1.734);
\draw[line width=0.5pt] (3.951,4.614) -- (3.963,4.385) -- (3.969,4.155) -- (3.97,3.924) -- (3.965,3.694) -- (3.955,3.464) -- (3.94,3.234) -- (3.919,3.005) -- (3.893,2.776) -- (3.861,2.548) -- (3.824,2.321) -- (3.782,2.095) -- (3.734,1.869) -- (3.681,1.645) -- (3.623,1.423);
\draw[line width=0.5pt] (11.219,4.342) -- (10.953,4.194) -- (10.69,4.04) -- (10.431,3.879) -- (10.175,3.712) -- (9.924,3.54) -- (9.676,3.361) -- (9.433,3.176) -- (9.194,2.986) -- (8.96,2.791) -- (8.731,2.59) -- (8.506,2.384) -- (8.286,2.172) -- (8.072,1.955) -- (7.862,1.734);
\draw[line width=0.5pt] (7.862,1.734) -- (7.565,1.665) -- (7.267,1.604) -- (6.967,1.55) -- (6.665,1.503) -- (6.363,1.462) -- (6.06,1.429) -- (5.756,1.404) -- (5.451,1.385) -- (5.146,1.373) -- (4.841,1.369) -- (4.536,1.372) -- (4.231,1.381) -- (3.927,1.399) -- (3.623,1.423);
\draw[line width=0.5pt] (7.862,1.734) -- (8.1,1.673) -- (8.339,1.619) -- (8.58,1.569) -- (8.821,1.526) -- (9.064,1.488) -- (9.307,1.456) -- (9.551,1.43) -- (9.796,1.409) -- (10.041,1.394) -- (10.286,1.385) -- (10.532,1.381) -- (10.777,1.384) -- (11.022,1.392) -- (11.267,1.406);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.349,8.363) -- (4.328,8.443) -- (4.269,8.502) -- (4.189,8.523) -- (4.109,8.502) -- (4.051,8.443) -- (4.029,8.363) -- (4.051,8.283) -- (4.109,8.225) -- (4.189,8.203) -- (4.269,8.225) -- (4.328,8.283) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.427,8.361) -- (1.406,8.441) -- (1.347,8.499) -- (1.267,8.521) -- (1.187,8.499) -- (1.129,8.441) -- (1.107,8.361) -- (1.129,8.281) -- (1.187,8.222) -- (1.267,8.201) -- (1.347,8.222) -- (1.406,8.281) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.742,7.063) -- (7.721,7.143) -- (7.662,7.202) -- (7.582,7.223) -- (7.502,7.202) -- (7.444,7.143) -- (7.422,7.063) -- (7.444,6.983) -- (7.502,6.925) -- (7.582,6.903) -- (7.662,6.925) -- (7.721,6.983) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.111,4.614) -- (4.09,4.694) -- (4.031,4.753) -- (3.951,4.774) -- (3.871,4.753) -- (3.813,4.694) -- (3.791,4.614) -- (3.813,4.534) -- (3.871,4.476) -- (3.951,4.454) -- (4.031,4.476) -- (4.09,4.534) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.379,4.342) -- (11.358,4.422) -- (11.299,4.481) -- (11.219,4.502) -- (11.139,4.481) -- (11.081,4.422) -- (11.059,4.342) -- (11.081,4.262) -- (11.139,4.204) -- (11.219,4.182) -- (11.299,4.204) -- (11.358,4.262) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.022,1.734) -- (8.001,1.814) -- (7.942,1.872) -- (7.862,1.894) -- (7.782,1.872) -- (7.724,1.814) -- (7.702,1.734) -- (7.724,1.654) -- (7.782,1.595) -- (7.862,1.574) -- (7.942,1.595) -- (8.001,1.654) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.783,1.423) -- (3.762,1.503) -- (3.703,1.562) -- (3.623,1.583) -- (3.543,1.562) -- (3.485,1.503) -- (3.463,1.423) -- (3.485,1.343) -- (3.543,1.284) -- (3.623,1.263) -- (3.703,1.284) -- (3.762,1.343) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.427,1.406) -- (11.406,1.486) -- (11.347,1.545) -- (11.267,1.566) -- (11.187,1.545) -- (11.129,1.486) -- (11.107,1.406) -- (11.129,1.326) -- (11.187,1.268) -- (11.267,1.246) -- (11.347,1.268) -- (11.406,1.326) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.068,8.163) -- (3.023,8.333) -- (2.898,8.457) -- (2.728,8.503) -- (2.558,8.457) -- (2.434,8.333) -- (2.388,8.163) -- (2.434,7.993) -- (2.558,7.868) -- (2.728,7.823) -- (2.898,7.868) -- (3.023,7.993) -- cycle;
\node at (2.728,8.163) {\scalebox{1.585}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.394,8.152) -- (6.348,8.322) -- (6.224,8.447) -- (6.054,8.492) -- (5.884,8.447) -- (5.759,8.322) -- (5.714,8.152) -- (5.759,7.982) -- (5.884,7.858) -- (6.054,7.812) -- (6.224,7.858) -- (6.348,7.982) -- cycle;
\node at (6.054,8.152) {\scalebox{1.585}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.575,6.478) -- (4.529,6.648) -- (4.405,6.773) -- (4.235,6.818) -- (4.065,6.773) -- (3.94,6.648) -- (3.895,6.478) -- (3.94,6.308) -- (4.065,6.184) -- (4.235,6.138) -- (4.405,6.184) -- (4.529,6.308) -- cycle;
\node at (4.235,6.478) {\scalebox{1.585}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.364,6.785) -- (3.318,6.955) -- (3.194,7.079) -- (3.024,7.125) -- (2.854,7.079) -- (2.729,6.955) -- (2.684,6.785) -- (2.729,6.615) -- (2.854,6.49) -- (3.024,6.445) -- (3.194,6.49) -- (3.318,6.615) -- cycle;
\node at (3.024,6.785) {\scalebox{1.585}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.82,5.809) -- (9.775,5.979) -- (9.65,6.103) -- (9.48,6.149) -- (9.31,6.103) -- (9.186,5.979) -- (9.14,5.809) -- (9.186,5.639) -- (9.31,5.515) -- (9.48,5.469) -- (9.65,5.515) -- (9.775,5.639) -- cycle;
\node at (9.48,5.809) {\scalebox{1.585}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.122,3.928) -- (8.077,4.098) -- (7.952,4.223) -- (7.782,4.268) -- (7.612,4.223) -- (7.488,4.098) -- (7.442,3.928) -- (7.488,3.758) -- (7.612,3.634) -- (7.782,3.588) -- (7.952,3.634) -- (8.077,3.758) -- cycle;
\node at (7.782,3.928) {\scalebox{1.585}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.318,3.27) -- (6.272,3.44) -- (6.148,3.565) -- (5.978,3.61) -- (5.808,3.565) -- (5.683,3.44) -- (5.638,3.27) -- (5.683,3.1) -- (5.808,2.976) -- (5.978,2.93) -- (6.148,2.976) -- (6.272,3.1) -- cycle;
\node at (5.978,3.27) {\scalebox{1.585}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.577,2.972) -- (4.532,3.142) -- (4.407,3.267) -- (4.237,3.312) -- (4.067,3.267) -- (3.943,3.142) -- (3.897,2.972) -- (3.943,2.802) -- (4.067,2.678) -- (4.237,2.632) -- (4.407,2.678) -- (4.532,2.802) -- cycle;
\node at (4.237,2.972) {\scalebox{1.585}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.97,2.924) -- (9.924,3.094) -- (9.8,3.218) -- (9.63,3.264) -- (9.46,3.218) -- (9.335,3.094) -- (9.29,2.924) -- (9.335,2.754) -- (9.46,2.629) -- (9.63,2.584) -- (9.8,2.629) -- (9.924,2.754) -- cycle;
\node at (9.63,2.924) {\scalebox{1.585}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.119,1.084) -- (6.074,1.254) -- (5.949,1.379) -- (5.779,1.424) -- (5.609,1.379) -- (5.485,1.254) -- (5.439,1.084) -- (5.485,0.914) -- (5.609,0.79) -- (5.779,0.744) -- (5.949,0.79) -- (6.074,0.914) -- cycle;
\node at (5.779,1.084) {\scalebox{1.585}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.922,1.748) -- (9.876,1.918) -- (9.752,2.043) -- (9.582,2.088) -- (9.412,2.043) -- (9.287,1.918) -- (9.242,1.748) -- (9.287,1.578) -- (9.412,1.454) -- (9.582,1.408) -- (9.752,1.454) -- (9.876,1.578) -- cycle;
\node at (9.582,1.748) {\scalebox{1.585}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.651,4.314) -- (4.251,4.314) -- (4.251,4.914) -- (3.651,4.914) -- cycle;
\node at (3.951,4.614) {\scalebox{1.585}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.61,8.367) -- (2.21,8.367) -- (2.21,8.967) -- (1.61,8.967) -- cycle;
\node at (1.91,8.667) {\scalebox{1.585}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.15,0.974) -- (10.75,0.974) -- (10.75,1.574) -- (10.15,1.574) -- cycle;
\node at (10.45,1.274) {\scalebox{1.585}{\small c}};
\node at (3.874,8.897) {\scalebox{1.585}{\small A}};
\node at (0.765,8.725) {\scalebox{1.585}{\small B}};
\node at (7.862,7.617) {\scalebox{1.585}{\small C}};
\node at (3.331,4.602) {\scalebox{1.585}{\small D}};
\node at (11.838,4.301) {\scalebox{1.585}{\small E}};
\node at (8.144,1.181) {\scalebox{1.585}{\small F}};
\node at (3.222,0.95) {\scalebox{1.585}{\small G}};
\node at (11.783,1.063) {\scalebox{1.585}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.567,7.413) -- (12.567,8.513);
\draw[line width=0.5pt] (12.336,8.128) -- (12.567,8.513) -- (12.798,8.128);
\draw[line width=0.5pt] (12.265,7.963) -- (12.87,7.963);
\node at (12.567,8.898) {\scalebox{1.585}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 3 & 4 & 2 & 5 & 2 & 1 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{C}, \textbf{F}, \textbf{H} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, C, F, H).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
