\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 130}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=130}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0130}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7043, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.286,8.662) -- (1.459,8.361) -- (1.64,8.065) -- (1.827,7.772) -- (2.021,7.484) -- (2.222,7.201) -- (2.43,6.922) -- (2.644,6.649) -- (2.864,6.38) -- (3.091,6.117) -- (3.324,5.859) -- (3.563,5.607) -- (3.807,5.361) -- (4.058,5.12) -- (4.313,4.885);
\draw[line width=0.5pt] (1.286,8.662) -- (1.392,8.411) -- (1.492,8.158) -- (1.586,7.903) -- (1.674,7.645) -- (1.755,7.385) -- (1.831,7.124) -- (1.901,6.86) -- (1.964,6.595) -- (2.021,6.329) -- (2.072,6.062) -- (2.117,5.793) -- (2.155,5.523) -- (2.187,5.253) -- (2.212,4.982) -- (2.138,4.737) -- (2.069,4.489) -- (2.007,4.24) -- (1.95,3.989) -- (1.899,3.738) -- (1.854,3.485) -- (1.815,3.231) -- (1.782,2.976) -- (1.755,2.72) -- (1.734,2.464) -- (1.719,2.208) -- (1.71,1.951) -- (1.707,1.694) -- (1.71,1.437);
\draw[line width=0.5pt] (11.133,8.205) -- (10.951,8.197) -- (10.768,8.184) -- (10.586,8.167) -- (10.405,8.146) -- (10.224,8.12) -- (10.043,8.09) -- (9.864,8.056) -- (9.685,8.018) -- (9.507,7.975) -- (9.33,7.928) -- (9.155,7.878) -- (8.98,7.823) -- (8.808,7.764) -- (8.636,7.701);
\draw[line width=0.5pt] (11.133,8.205) -- (11.188,7.923) -- (11.236,7.64) -- (11.277,7.356) -- (11.311,7.07) -- (11.339,6.784) -- (11.36,6.498) -- (11.375,6.21) -- (11.382,5.923) -- (11.383,5.635) -- (11.377,5.348) -- (11.365,5.061) -- (11.345,4.774) -- (11.319,4.488) -- (11.286,4.203);
\draw[line width=0.5pt] (8.636,7.701) -- (8.299,7.548) -- (7.965,7.388) -- (7.636,7.22) -- (7.31,7.044) -- (6.988,6.861) -- (6.671,6.67) -- (6.359,6.471) -- (6.051,6.266) -- (5.748,6.053) -- (5.45,5.833) -- (5.157,5.606) -- (4.87,5.373) -- (4.589,5.132) -- (4.313,4.885);
\draw[line width=0.5pt] (8.636,7.701) -- (8.638,7.453) -- (8.634,7.206) -- (8.623,6.958) -- (8.607,6.711) -- (8.586,6.464) -- (8.558,6.218) -- (8.525,5.972) -- (8.486,5.728) -- (8.441,5.484) -- (8.391,5.241) -- (8.334,5.0) -- (8.272,4.76) -- (8.205,4.522) -- (8.132,4.285);
\draw[line width=0.5pt] (8.636,7.701) -- (8.786,7.424) -- (8.942,7.15) -- (9.104,6.881) -- (9.273,6.615) -- (9.448,6.353) -- (9.629,6.096) -- (9.817,5.842) -- (10.01,5.593) -- (10.209,5.349) -- (10.413,5.11) -- (10.624,4.875) -- (10.839,4.646) -- (11.06,4.421) -- (11.286,4.203);
\draw[line width=0.5pt] (4.313,4.885) -- (4.591,4.885) -- (4.868,4.877) -- (5.145,4.864) -- (5.421,4.843) -- (5.697,4.816) -- (5.973,4.783) -- (6.247,4.743) -- (6.521,4.697) -- (6.793,4.644) -- (7.064,4.585) -- (7.334,4.52) -- (7.602,4.448) -- (7.868,4.37) -- (8.132,4.285);
\draw[line width=0.5pt] (4.313,4.885) -- (4.521,4.611) -- (4.735,4.342) -- (4.955,4.078) -- (5.181,3.819) -- (5.414,3.565) -- (5.652,3.317) -- (5.896,3.075) -- (6.146,2.838) -- (6.401,2.608) -- (6.662,2.383) -- (6.928,2.164) -- (7.199,1.952) -- (7.474,1.747) -- (7.755,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (8.132,4.285) -- (8.356,4.314) -- (8.581,4.337) -- (8.807,4.355) -- (9.033,4.368) -- (9.259,4.375) -- (9.486,4.377) -- (9.712,4.374) -- (9.939,4.366) -- (10.165,4.352) -- (10.39,4.332) -- (10.615,4.308) -- (10.84,4.278) -- (11.063,4.243) -- (11.286,4.203);
\draw[line width=0.5pt] (8.132,4.285) -- (8.075,4.096) -- (8.023,3.904) -- (7.975,3.712) -- (7.932,3.518) -- (7.894,3.324) -- (7.86,3.129) -- (7.83,2.932) -- (7.806,2.736) -- (7.785,2.538) -- (7.77,2.341) -- (7.759,2.143) -- (7.753,1.944) -- (7.751,1.746) -- (7.755,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (11.286,4.203) -- (11.065,3.976) -- (10.838,3.754) -- (10.606,3.538) -- (10.369,3.328) -- (10.128,3.123) -- (9.881,2.923) -- (9.63,2.73) -- (9.374,2.542) -- (9.114,2.361) -- (8.85,2.185) -- (8.582,2.016) -- (8.31,1.854) -- (8.034,1.698) -- (7.755,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (7.755,1.548) -- (7.524,1.629) -- (7.292,1.704) -- (7.058,1.773) -- (6.822,1.837) -- (6.585,1.896) -- (6.347,1.949) -- (6.107,1.996) -- (5.866,2.038) -- (5.624,2.074) -- (5.382,2.104) -- (5.139,2.129) -- (4.896,2.148) -- (4.652,2.161) -- (4.408,2.168) -- (4.225,2.087) -- (4.04,2.01) -- (3.853,1.937) -- (3.664,1.869) -- (3.474,1.805) -- (3.282,1.746) -- (3.089,1.692) -- (2.895,1.641) -- (2.7,1.596) -- (2.503,1.555) -- (2.306,1.518) -- (2.108,1.487) -- (1.91,1.46) -- (1.71,1.437);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.446,8.662) -- (1.425,8.742) -- (1.366,8.801) -- (1.286,8.822) -- (1.206,8.801) -- (1.147,8.742) -- (1.126,8.662) -- (1.147,8.582) -- (1.206,8.523) -- (1.286,8.502) -- (1.366,8.523) -- (1.425,8.582) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.293,8.205) -- (11.272,8.285) -- (11.213,8.344) -- (11.133,8.365) -- (11.053,8.344) -- (10.994,8.285) -- (10.973,8.205) -- (10.994,8.125) -- (11.053,8.067) -- (11.133,8.045) -- (11.213,8.067) -- (11.272,8.125) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.796,7.701) -- (8.775,7.781) -- (8.716,7.839) -- (8.636,7.861) -- (8.556,7.839) -- (8.498,7.781) -- (8.476,7.701) -- (8.498,7.621) -- (8.556,7.562) -- (8.636,7.541) -- (8.716,7.562) -- (8.775,7.621) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.473,4.885) -- (4.452,4.965) -- (4.393,5.024) -- (4.313,5.045) -- (4.233,5.024) -- (4.175,4.965) -- (4.153,4.885) -- (4.175,4.805) -- (4.233,4.747) -- (4.313,4.725) -- (4.393,4.747) -- (4.452,4.805) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.292,4.285) -- (8.27,4.365) -- (8.212,4.424) -- (8.132,4.445) -- (8.052,4.424) -- (7.993,4.365) -- (7.972,4.285) -- (7.993,4.205) -- (8.052,4.147) -- (8.132,4.125) -- (8.212,4.147) -- (8.27,4.205) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.446,4.203) -- (11.425,4.283) -- (11.366,4.341) -- (11.286,4.363) -- (11.206,4.341) -- (11.147,4.283) -- (11.126,4.203) -- (11.147,4.123) -- (11.206,4.064) -- (11.286,4.043) -- (11.366,4.064) -- (11.425,4.123) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.915,1.548) -- (7.893,1.628) -- (7.835,1.687) -- (7.755,1.708) -- (7.675,1.687) -- (7.616,1.628) -- (7.595,1.548) -- (7.616,1.468) -- (7.675,1.41) -- (7.755,1.388) -- (7.835,1.41) -- (7.893,1.468) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.87,1.437) -- (1.849,1.517) -- (1.79,1.576) -- (1.71,1.597) -- (1.63,1.576) -- (1.572,1.517) -- (1.55,1.437) -- (1.572,1.357) -- (1.63,1.299) -- (1.71,1.277) -- (1.79,1.299) -- (1.849,1.357) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.234,6.849) -- (3.188,7.019) -- (3.064,7.143) -- (2.894,7.189) -- (2.724,7.143) -- (2.599,7.019) -- (2.554,6.849) -- (2.599,6.679) -- (2.724,6.555) -- (2.894,6.509) -- (3.064,6.555) -- (3.188,6.679) -- cycle;
\node at (2.894,6.849) {\scalebox{1.42}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.871,4.952) -- (2.825,5.122) -- (2.701,5.247) -- (2.531,5.292) -- (2.361,5.247) -- (2.236,5.122) -- (2.191,4.952) -- (2.236,4.782) -- (2.361,4.658) -- (2.531,4.612) -- (2.701,4.658) -- (2.825,4.782) -- cycle;
\node at (2.531,4.952) {\scalebox{1.42}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.267,7.742) -- (10.222,7.912) -- (10.097,8.037) -- (9.927,8.082) -- (9.757,8.037) -- (9.633,7.912) -- (9.587,7.742) -- (9.633,7.572) -- (9.757,7.448) -- (9.927,7.402) -- (10.097,7.448) -- (10.222,7.572) -- cycle;
\node at (9.927,7.742) {\scalebox{1.42}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.034,6.223) -- (11.989,6.393) -- (11.864,6.517) -- (11.694,6.563) -- (11.524,6.517) -- (11.4,6.393) -- (11.354,6.223) -- (11.4,6.053) -- (11.524,5.928) -- (11.694,5.883) -- (11.864,5.928) -- (11.989,6.053) -- cycle;
\node at (11.694,6.223) {\scalebox{1.42}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.873,6.203) -- (6.828,6.373) -- (6.703,6.498) -- (6.533,6.543) -- (6.363,6.498) -- (6.239,6.373) -- (6.193,6.203) -- (6.239,6.033) -- (6.363,5.909) -- (6.533,5.863) -- (6.703,5.909) -- (6.828,6.033) -- cycle;
\node at (6.533,6.203) {\scalebox{1.42}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.181,5.925) -- (9.136,6.095) -- (9.011,6.22) -- (8.841,6.265) -- (8.671,6.22) -- (8.547,6.095) -- (8.501,5.925) -- (8.547,5.755) -- (8.671,5.631) -- (8.841,5.585) -- (9.011,5.631) -- (9.136,5.755) -- cycle;
\node at (8.841,5.925) {\scalebox{1.42}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.412,6.036) -- (10.366,6.206) -- (10.242,6.33) -- (10.072,6.376) -- (9.902,6.33) -- (9.777,6.206) -- (9.732,6.036) -- (9.777,5.866) -- (9.902,5.741) -- (10.072,5.696) -- (10.242,5.741) -- (10.366,5.866) -- cycle;
\node at (10.072,6.036) {\scalebox{1.42}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.637,5.059) -- (6.592,5.229) -- (6.467,5.354) -- (6.297,5.399) -- (6.127,5.354) -- (6.003,5.229) -- (5.957,5.059) -- (6.003,4.889) -- (6.127,4.765) -- (6.297,4.719) -- (6.467,4.765) -- (6.592,4.889) -- cycle;
\node at (6.297,5.059) {\scalebox{1.42}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.459,3.305) -- (6.414,3.475) -- (6.289,3.599) -- (6.119,3.645) -- (5.949,3.599) -- (5.825,3.475) -- (5.779,3.305) -- (5.825,3.135) -- (5.949,3.01) -- (6.119,2.965) -- (6.289,3.01) -- (6.414,3.135) -- cycle;
\node at (6.119,3.305) {\scalebox{1.42}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.061,4.694) -- (10.015,4.864) -- (9.891,4.988) -- (9.721,5.034) -- (9.551,4.988) -- (9.426,4.864) -- (9.381,4.694) -- (9.426,4.524) -- (9.551,4.4) -- (9.721,4.354) -- (9.891,4.4) -- (10.015,4.524) -- cycle;
\node at (9.721,4.694) {\scalebox{1.42}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.487,2.889) -- (8.442,3.059) -- (8.317,3.183) -- (8.147,3.229) -- (7.977,3.183) -- (7.853,3.059) -- (7.807,2.889) -- (7.853,2.719) -- (7.977,2.594) -- (8.147,2.549) -- (8.317,2.594) -- (8.442,2.719) -- cycle;
\node at (8.147,2.889) {\scalebox{1.42}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.162,2.474) -- (10.117,2.644) -- (9.992,2.768) -- (9.822,2.814) -- (9.652,2.768) -- (9.528,2.644) -- (9.482,2.474) -- (9.528,2.304) -- (9.652,2.179) -- (9.822,2.134) -- (9.992,2.179) -- (10.117,2.304) -- cycle;
\node at (9.822,2.474) {\scalebox{1.42}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.802,1.853) -- (4.757,2.023) -- (4.632,2.147) -- (4.462,2.193) -- (4.292,2.147) -- (4.168,2.023) -- (4.122,1.853) -- (4.168,1.683) -- (4.292,1.558) -- (4.462,1.513) -- (4.632,1.558) -- (4.757,1.683) -- cycle;
\node at (4.462,1.853) {\scalebox{1.42}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.336,7.401) -- (8.936,7.401) -- (8.936,8.001) -- (8.336,8.001) -- cycle;
\node at (8.636,7.701) {\scalebox{1.42}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.792,7.19) -- (2.392,7.19) -- (2.392,7.79) -- (1.792,7.79) -- cycle;
\node at (2.092,7.49) {\scalebox{1.42}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.524,4.552) -- (11.124,4.552) -- (11.124,5.152) -- (10.524,5.152) -- cycle;
\node at (10.824,4.852) {\scalebox{1.42}{\small c}};
\node at (0.765,8.998) {\scalebox{1.42}{\small A}};
\node at (11.639,8.564) {\scalebox{1.42}{\small B}};
\node at (8.998,8.204) {\scalebox{1.42}{\small C}};
\node at (3.696,4.828) {\scalebox{1.42}{\small D}};
\node at (8.66,3.961) {\scalebox{1.42}{\small E}};
\node at (11.894,4.079) {\scalebox{1.42}{\small F}};
\node at (7.918,0.95) {\scalebox{1.42}{\small G}};
\node at (1.209,1.073) {\scalebox{1.42}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.586,7.712) -- (12.586,8.812);
\draw[line width=0.5pt] (12.355,8.427) -- (12.586,8.812) -- (12.817,8.427);
\draw[line width=0.5pt] (12.283,8.262) -- (12.888,8.262);
\node at (12.586,9.197) {\scalebox{1.42}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Tilleuls & ⑧ chemin de Ronde & Ⓐ Place des Tanneurs & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑨ rue du Puits & Ⓑ Place Sainte-Croix & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ avenue de la Gare & ⑩ chemin Creux & Ⓒ Rond-point de la Gare & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ boulevard du Parc & ⑪ rue du Pont & Ⓓ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
⑤ venelle du Chat & ⑫ rue Basse & Ⓔ Rond-point du Pont &  \\ \hline
⑥ rue du Four & ⑬ rue de la Mairie & Ⓕ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
⑦ rue des Lilas &  & Ⓖ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6302, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.286,8.662) -- (1.459,8.361) -- (1.64,8.065) -- (1.827,7.772) -- (2.021,7.484) -- (2.222,7.201) -- (2.43,6.922) -- (2.644,6.649) -- (2.864,6.38) -- (3.091,6.117) -- (3.324,5.859) -- (3.563,5.607) -- (3.807,5.361) -- (4.058,5.12) -- (4.313,4.885);
\draw[line width=0.5pt] (1.286,8.662) -- (1.392,8.411) -- (1.492,8.158) -- (1.586,7.903) -- (1.674,7.645) -- (1.755,7.385) -- (1.831,7.124) -- (1.901,6.86) -- (1.964,6.595) -- (2.021,6.329) -- (2.072,6.062) -- (2.117,5.793) -- (2.155,5.523) -- (2.187,5.253) -- (2.212,4.982) -- (2.138,4.737) -- (2.069,4.489) -- (2.007,4.24) -- (1.95,3.989) -- (1.899,3.738) -- (1.854,3.485) -- (1.815,3.231) -- (1.782,2.976) -- (1.755,2.72) -- (1.734,2.464) -- (1.719,2.208) -- (1.71,1.951) -- (1.707,1.694) -- (1.71,1.437);
\draw[line width=0.5pt] (11.133,8.205) -- (10.951,8.197) -- (10.768,8.184) -- (10.586,8.167) -- (10.405,8.146) -- (10.224,8.12) -- (10.043,8.09) -- (9.864,8.056) -- (9.685,8.018) -- (9.507,7.975) -- (9.33,7.928) -- (9.155,7.878) -- (8.98,7.823) -- (8.808,7.764) -- (8.636,7.701);
\draw[line width=0.5pt] (11.133,8.205) -- (11.188,7.923) -- (11.236,7.64) -- (11.277,7.356) -- (11.311,7.07) -- (11.339,6.784) -- (11.36,6.498) -- (11.375,6.21) -- (11.382,5.923) -- (11.383,5.635) -- (11.377,5.348) -- (11.365,5.061) -- (11.345,4.774) -- (11.319,4.488) -- (11.286,4.203);
\draw[line width=0.5pt] (8.636,7.701) -- (8.299,7.548) -- (7.965,7.388) -- (7.636,7.22) -- (7.31,7.044) -- (6.988,6.861) -- (6.671,6.67) -- (6.359,6.471) -- (6.051,6.266) -- (5.748,6.053) -- (5.45,5.833) -- (5.157,5.606) -- (4.87,5.373) -- (4.589,5.132) -- (4.313,4.885);
\draw[line width=0.5pt] (8.636,7.701) -- (8.638,7.453) -- (8.634,7.206) -- (8.623,6.958) -- (8.607,6.711) -- (8.586,6.464) -- (8.558,6.218) -- (8.525,5.972) -- (8.486,5.728) -- (8.441,5.484) -- (8.391,5.241) -- (8.334,5.0) -- (8.272,4.76) -- (8.205,4.522) -- (8.132,4.285);
\draw[line width=0.5pt] (8.636,7.701) -- (8.786,7.424) -- (8.942,7.15) -- (9.104,6.881) -- (9.273,6.615) -- (9.448,6.353) -- (9.629,6.096) -- (9.817,5.842) -- (10.01,5.593) -- (10.209,5.349) -- (10.413,5.11) -- (10.624,4.875) -- (10.839,4.646) -- (11.06,4.421) -- (11.286,4.203);
\draw[line width=0.5pt] (4.313,4.885) -- (4.591,4.885) -- (4.868,4.877) -- (5.145,4.864) -- (5.421,4.843) -- (5.697,4.816) -- (5.973,4.783) -- (6.247,4.743) -- (6.521,4.697) -- (6.793,4.644) -- (7.064,4.585) -- (7.334,4.52) -- (7.602,4.448) -- (7.868,4.37) -- (8.132,4.285);
\draw[line width=0.5pt] (4.313,4.885) -- (4.521,4.611) -- (4.735,4.342) -- (4.955,4.078) -- (5.181,3.819) -- (5.414,3.565) -- (5.652,3.317) -- (5.896,3.075) -- (6.146,2.838) -- (6.401,2.608) -- (6.662,2.383) -- (6.928,2.164) -- (7.199,1.952) -- (7.474,1.747) -- (7.755,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (8.132,4.285) -- (8.356,4.314) -- (8.581,4.337) -- (8.807,4.355) -- (9.033,4.368) -- (9.259,4.375) -- (9.486,4.377) -- (9.712,4.374) -- (9.939,4.366) -- (10.165,4.352) -- (10.39,4.332) -- (10.615,4.308) -- (10.84,4.278) -- (11.063,4.243) -- (11.286,4.203);
\draw[line width=0.5pt] (8.132,4.285) -- (8.075,4.096) -- (8.023,3.904) -- (7.975,3.712) -- (7.932,3.518) -- (7.894,3.324) -- (7.86,3.129) -- (7.83,2.932) -- (7.806,2.736) -- (7.785,2.538) -- (7.77,2.341) -- (7.759,2.143) -- (7.753,1.944) -- (7.751,1.746) -- (7.755,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (11.286,4.203) -- (11.065,3.976) -- (10.838,3.754) -- (10.606,3.538) -- (10.369,3.328) -- (10.128,3.123) -- (9.881,2.923) -- (9.63,2.73) -- (9.374,2.542) -- (9.114,2.361) -- (8.85,2.185) -- (8.582,2.016) -- (8.31,1.854) -- (8.034,1.698) -- (7.755,1.548);
\draw[line width=0.5pt] (7.755,1.548) -- (7.524,1.629) -- (7.292,1.704) -- (7.058,1.773) -- (6.822,1.837) -- (6.585,1.896) -- (6.347,1.949) -- (6.107,1.996) -- (5.866,2.038) -- (5.624,2.074) -- (5.382,2.104) -- (5.139,2.129) -- (4.896,2.148) -- (4.652,2.161) -- (4.408,2.168) -- (4.225,2.087) -- (4.04,2.01) -- (3.853,1.937) -- (3.664,1.869) -- (3.474,1.805) -- (3.282,1.746) -- (3.089,1.692) -- (2.895,1.641) -- (2.7,1.596) -- (2.503,1.555) -- (2.306,1.518) -- (2.108,1.487) -- (1.91,1.46) -- (1.71,1.437);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.446,8.662) -- (1.425,8.742) -- (1.366,8.801) -- (1.286,8.822) -- (1.206,8.801) -- (1.147,8.742) -- (1.126,8.662) -- (1.147,8.582) -- (1.206,8.523) -- (1.286,8.502) -- (1.366,8.523) -- (1.425,8.582) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.293,8.205) -- (11.272,8.285) -- (11.213,8.344) -- (11.133,8.365) -- (11.053,8.344) -- (10.994,8.285) -- (10.973,8.205) -- (10.994,8.125) -- (11.053,8.067) -- (11.133,8.045) -- (11.213,8.067) -- (11.272,8.125) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.796,7.701) -- (8.775,7.781) -- (8.716,7.839) -- (8.636,7.861) -- (8.556,7.839) -- (8.498,7.781) -- (8.476,7.701) -- (8.498,7.621) -- (8.556,7.562) -- (8.636,7.541) -- (8.716,7.562) -- (8.775,7.621) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.473,4.885) -- (4.452,4.965) -- (4.393,5.024) -- (4.313,5.045) -- (4.233,5.024) -- (4.175,4.965) -- (4.153,4.885) -- (4.175,4.805) -- (4.233,4.747) -- (4.313,4.725) -- (4.393,4.747) -- (4.452,4.805) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.292,4.285) -- (8.27,4.365) -- (8.212,4.424) -- (8.132,4.445) -- (8.052,4.424) -- (7.993,4.365) -- (7.972,4.285) -- (7.993,4.205) -- (8.052,4.147) -- (8.132,4.125) -- (8.212,4.147) -- (8.27,4.205) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.446,4.203) -- (11.425,4.283) -- (11.366,4.341) -- (11.286,4.363) -- (11.206,4.341) -- (11.147,4.283) -- (11.126,4.203) -- (11.147,4.123) -- (11.206,4.064) -- (11.286,4.043) -- (11.366,4.064) -- (11.425,4.123) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.915,1.548) -- (7.893,1.628) -- (7.835,1.687) -- (7.755,1.708) -- (7.675,1.687) -- (7.616,1.628) -- (7.595,1.548) -- (7.616,1.468) -- (7.675,1.41) -- (7.755,1.388) -- (7.835,1.41) -- (7.893,1.468) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.87,1.437) -- (1.849,1.517) -- (1.79,1.576) -- (1.71,1.597) -- (1.63,1.576) -- (1.572,1.517) -- (1.55,1.437) -- (1.572,1.357) -- (1.63,1.299) -- (1.71,1.277) -- (1.79,1.299) -- (1.849,1.357) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.234,6.849) -- (3.188,7.019) -- (3.064,7.143) -- (2.894,7.189) -- (2.724,7.143) -- (2.599,7.019) -- (2.554,6.849) -- (2.599,6.679) -- (2.724,6.555) -- (2.894,6.509) -- (3.064,6.555) -- (3.188,6.679) -- cycle;
\node at (2.894,6.849) {\scalebox{1.587}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.871,4.952) -- (2.825,5.122) -- (2.701,5.247) -- (2.531,5.292) -- (2.361,5.247) -- (2.236,5.122) -- (2.191,4.952) -- (2.236,4.782) -- (2.361,4.658) -- (2.531,4.612) -- (2.701,4.658) -- (2.825,4.782) -- cycle;
\node at (2.531,4.952) {\scalebox{1.587}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.267,7.742) -- (10.222,7.912) -- (10.097,8.037) -- (9.927,8.082) -- (9.757,8.037) -- (9.633,7.912) -- (9.587,7.742) -- (9.633,7.572) -- (9.757,7.448) -- (9.927,7.402) -- (10.097,7.448) -- (10.222,7.572) -- cycle;
\node at (9.927,7.742) {\scalebox{1.587}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.034,6.223) -- (11.989,6.393) -- (11.864,6.517) -- (11.694,6.563) -- (11.524,6.517) -- (11.4,6.393) -- (11.354,6.223) -- (11.4,6.053) -- (11.524,5.928) -- (11.694,5.883) -- (11.864,5.928) -- (11.989,6.053) -- cycle;
\node at (11.694,6.223) {\scalebox{1.587}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.873,6.203) -- (6.828,6.373) -- (6.703,6.498) -- (6.533,6.543) -- (6.363,6.498) -- (6.239,6.373) -- (6.193,6.203) -- (6.239,6.033) -- (6.363,5.909) -- (6.533,5.863) -- (6.703,5.909) -- (6.828,6.033) -- cycle;
\node at (6.533,6.203) {\scalebox{1.587}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.181,5.925) -- (9.136,6.095) -- (9.011,6.22) -- (8.841,6.265) -- (8.671,6.22) -- (8.547,6.095) -- (8.501,5.925) -- (8.547,5.755) -- (8.671,5.631) -- (8.841,5.585) -- (9.011,5.631) -- (9.136,5.755) -- cycle;
\node at (8.841,5.925) {\scalebox{1.587}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.412,6.036) -- (10.366,6.206) -- (10.242,6.33) -- (10.072,6.376) -- (9.902,6.33) -- (9.777,6.206) -- (9.732,6.036) -- (9.777,5.866) -- (9.902,5.741) -- (10.072,5.696) -- (10.242,5.741) -- (10.366,5.866) -- cycle;
\node at (10.072,6.036) {\scalebox{1.587}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.637,5.059) -- (6.592,5.229) -- (6.467,5.354) -- (6.297,5.399) -- (6.127,5.354) -- (6.003,5.229) -- (5.957,5.059) -- (6.003,4.889) -- (6.127,4.765) -- (6.297,4.719) -- (6.467,4.765) -- (6.592,4.889) -- cycle;
\node at (6.297,5.059) {\scalebox{1.587}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.459,3.305) -- (6.414,3.475) -- (6.289,3.599) -- (6.119,3.645) -- (5.949,3.599) -- (5.825,3.475) -- (5.779,3.305) -- (5.825,3.135) -- (5.949,3.01) -- (6.119,2.965) -- (6.289,3.01) -- (6.414,3.135) -- cycle;
\node at (6.119,3.305) {\scalebox{1.587}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.061,4.694) -- (10.015,4.864) -- (9.891,4.988) -- (9.721,5.034) -- (9.551,4.988) -- (9.426,4.864) -- (9.381,4.694) -- (9.426,4.524) -- (9.551,4.4) -- (9.721,4.354) -- (9.891,4.4) -- (10.015,4.524) -- cycle;
\node at (9.721,4.694) {\scalebox{1.587}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.487,2.889) -- (8.442,3.059) -- (8.317,3.183) -- (8.147,3.229) -- (7.977,3.183) -- (7.853,3.059) -- (7.807,2.889) -- (7.853,2.719) -- (7.977,2.594) -- (8.147,2.549) -- (8.317,2.594) -- (8.442,2.719) -- cycle;
\node at (8.147,2.889) {\scalebox{1.587}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.162,2.474) -- (10.117,2.644) -- (9.992,2.768) -- (9.822,2.814) -- (9.652,2.768) -- (9.528,2.644) -- (9.482,2.474) -- (9.528,2.304) -- (9.652,2.179) -- (9.822,2.134) -- (9.992,2.179) -- (10.117,2.304) -- cycle;
\node at (9.822,2.474) {\scalebox{1.587}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.802,1.853) -- (4.757,2.023) -- (4.632,2.147) -- (4.462,2.193) -- (4.292,2.147) -- (4.168,2.023) -- (4.122,1.853) -- (4.168,1.683) -- (4.292,1.558) -- (4.462,1.513) -- (4.632,1.558) -- (4.757,1.683) -- cycle;
\node at (4.462,1.853) {\scalebox{1.587}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.336,7.401) -- (8.936,7.401) -- (8.936,8.001) -- (8.336,8.001) -- cycle;
\node at (8.636,7.701) {\scalebox{1.587}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.792,7.19) -- (2.392,7.19) -- (2.392,7.79) -- (1.792,7.79) -- cycle;
\node at (2.092,7.49) {\scalebox{1.587}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.524,4.552) -- (11.124,4.552) -- (11.124,5.152) -- (10.524,5.152) -- cycle;
\node at (10.824,4.852) {\scalebox{1.587}{\small c}};
\node at (0.765,8.998) {\scalebox{1.587}{\small A}};
\node at (11.639,8.564) {\scalebox{1.587}{\small B}};
\node at (8.998,8.204) {\scalebox{1.587}{\small C}};
\node at (3.696,4.828) {\scalebox{1.587}{\small D}};
\node at (8.66,3.961) {\scalebox{1.587}{\small E}};
\node at (11.894,4.079) {\scalebox{1.587}{\small F}};
\node at (7.918,0.95) {\scalebox{1.587}{\small G}};
\node at (1.209,1.073) {\scalebox{1.587}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.586,7.712) -- (12.586,8.812);
\draw[line width=0.5pt] (12.355,8.427) -- (12.586,8.812) -- (12.817,8.427);
\draw[line width=0.5pt] (12.283,8.262) -- (12.888,8.262);
\node at (12.586,9.197) {\scalebox{1.587}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 4 & 4 & 4 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Gare \textbf{(C)}, prend l'\textbf{avenue de la Gare ③} vers l'est et atteint Place Sainte-Croix \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ④}, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ①}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue de l'Église ②}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑬}, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(G)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Puits ⑨}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ⑧}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin Creux ⑩}, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Basse ⑫}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ⑪}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Four ⑥}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
