\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 131}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=131}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0131}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6977, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.236,8.357) -- (10.968,8.392) -- (10.699,8.42) -- (10.43,8.442) -- (10.16,8.458) -- (9.889,8.467) -- (9.619,8.47) -- (9.348,8.467) -- (9.077,8.457) -- (8.807,8.441) -- (8.538,8.419) -- (8.269,8.39) -- (8.0,8.355) -- (7.733,8.314) -- (7.467,8.266) -- (7.215,8.233) -- (6.963,8.206) -- (6.71,8.184) -- (6.457,8.169) -- (6.203,8.16) -- (5.949,8.157) -- (5.695,8.159) -- (5.441,8.168) -- (5.187,8.182) -- (4.934,8.203) -- (4.682,8.229) -- (4.43,8.262) -- (4.179,8.3) -- (3.929,8.344);
\draw[line width=0.5pt] (11.236,8.357) -- (11.186,8.18) -- (11.132,8.004) -- (11.074,7.829) -- (11.011,7.656) -- (10.944,7.484) -- (10.874,7.314) -- (10.799,7.145) -- (10.721,6.979) -- (10.638,6.814) -- (10.552,6.651) -- (10.462,6.49) -- (10.368,6.332) -- (10.271,6.175) -- (10.169,6.022);
\draw[line width=0.5pt] (10.169,6.022) -- (10.023,6.034) -- (9.876,6.042) -- (9.729,6.048) -- (9.582,6.049) -- (9.435,6.047) -- (9.288,6.042) -- (9.141,6.033) -- (8.994,6.021) -- (8.848,6.006) -- (8.702,5.987) -- (8.556,5.964) -- (8.411,5.938) -- (8.267,5.909) -- (8.124,5.877) -- (7.901,5.838) -- (7.678,5.804) -- (7.454,5.776) -- (7.229,5.753) -- (7.003,5.735) -- (6.777,5.723) -- (6.551,5.715) -- (6.325,5.714) -- (6.099,5.717) -- (5.873,5.726) -- (5.647,5.74) -- (5.422,5.759) -- (5.198,5.784) -- (4.974,5.814);
\draw[line width=0.5pt] (10.169,6.022) -- (10.302,5.75) -- (10.427,5.475) -- (10.547,5.198) -- (10.659,4.917) -- (10.765,4.634) -- (10.865,4.348) -- (10.957,4.061) -- (11.043,3.771) -- (11.122,3.479) -- (11.194,3.185) -- (11.26,2.89) -- (11.318,2.593) -- (11.369,2.296) -- (11.413,1.997);
\draw[line width=0.5pt] (10.169,6.022) -- (9.982,5.723) -- (9.802,5.421) -- (9.629,5.114) -- (9.464,4.803) -- (9.306,4.488) -- (9.155,4.169) -- (9.012,3.847) -- (8.876,3.522) -- (8.748,3.194) -- (8.628,2.862) -- (8.515,2.529) -- (8.411,2.192) -- (8.314,1.853) -- (8.226,1.513);
\draw[line width=0.5pt] (4.974,5.814) -- (4.731,5.716) -- (4.485,5.624) -- (4.237,5.537) -- (3.988,5.457) -- (3.736,5.382) -- (3.483,5.313) -- (3.228,5.25) -- (2.972,5.194) -- (2.714,5.143) -- (2.455,5.098) -- (2.196,5.059) -- (1.936,5.027) -- (1.675,5.001) -- (1.413,4.98);
\draw[line width=0.5pt] (4.974,5.814) -- (4.703,5.637) -- (4.436,5.453) -- (4.174,5.263) -- (3.916,5.067) -- (3.663,4.864) -- (3.415,4.656) -- (3.171,4.442) -- (2.933,4.222) -- (2.7,3.997) -- (2.472,3.767) -- (2.25,3.531) -- (2.034,3.29) -- (1.823,3.044) -- (1.618,2.793);
\draw[line width=0.5pt] (4.974,5.814) -- (5.251,5.545) -- (5.522,5.269) -- (5.787,4.987) -- (6.045,4.698) -- (6.296,4.404) -- (6.54,4.104) -- (6.777,3.798) -- (7.007,3.486) -- (7.229,3.169) -- (7.444,2.847) -- (7.652,2.521) -- (7.851,2.189) -- (8.042,1.853) -- (8.226,1.513);
\draw[line width=0.5pt] (1.413,4.98) -- (1.404,4.823) -- (1.398,4.666) -- (1.396,4.508) -- (1.398,4.351) -- (1.403,4.193) -- (1.413,4.036) -- (1.425,3.878) -- (1.442,3.722) -- (1.462,3.565) -- (1.486,3.409) -- (1.514,3.254) -- (1.545,3.1) -- (1.58,2.946) -- (1.618,2.793);
\draw[line width=0.5pt] (11.413,1.997) -- (11.193,1.928) -- (10.97,1.864) -- (10.747,1.805) -- (10.522,1.752) -- (10.295,1.703) -- (10.068,1.661) -- (9.839,1.623) -- (9.61,1.591) -- (9.38,1.564) -- (9.15,1.543) -- (8.919,1.527) -- (8.688,1.517) -- (8.457,1.512) -- (8.226,1.513);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.396,8.357) -- (11.375,8.437) -- (11.316,8.496) -- (11.236,8.517) -- (11.156,8.496) -- (11.098,8.437) -- (11.076,8.357) -- (11.098,8.277) -- (11.156,8.218) -- (11.236,8.197) -- (11.316,8.218) -- (11.375,8.277) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.089,8.344) -- (4.068,8.424) -- (4.009,8.483) -- (3.929,8.504) -- (3.849,8.483) -- (3.791,8.424) -- (3.769,8.344) -- (3.791,8.264) -- (3.849,8.206) -- (3.929,8.184) -- (4.009,8.206) -- (4.068,8.264) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.329,6.022) -- (10.308,6.102) -- (10.249,6.16) -- (10.169,6.182) -- (10.089,6.16) -- (10.031,6.102) -- (10.009,6.022) -- (10.031,5.942) -- (10.089,5.883) -- (10.169,5.862) -- (10.249,5.883) -- (10.308,5.942) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.134,5.814) -- (5.112,5.894) -- (5.054,5.953) -- (4.974,5.974) -- (4.894,5.953) -- (4.835,5.894) -- (4.814,5.814) -- (4.835,5.734) -- (4.894,5.676) -- (4.974,5.654) -- (5.054,5.676) -- (5.112,5.734) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.573,4.98) -- (1.552,5.06) -- (1.493,5.119) -- (1.413,5.14) -- (1.333,5.119) -- (1.275,5.06) -- (1.253,4.98) -- (1.275,4.9) -- (1.333,4.842) -- (1.413,4.82) -- (1.493,4.842) -- (1.552,4.9) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.778,2.793) -- (1.757,2.873) -- (1.698,2.932) -- (1.618,2.953) -- (1.538,2.932) -- (1.48,2.873) -- (1.458,2.793) -- (1.48,2.713) -- (1.538,2.655) -- (1.618,2.633) -- (1.698,2.655) -- (1.757,2.713) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.573,1.997) -- (11.552,2.077) -- (11.493,2.135) -- (11.413,2.157) -- (11.333,2.135) -- (11.275,2.077) -- (11.253,1.997) -- (11.275,1.917) -- (11.333,1.858) -- (11.413,1.837) -- (11.493,1.858) -- (11.552,1.917) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.386,1.513) -- (8.364,1.593) -- (8.306,1.651) -- (8.226,1.673) -- (8.146,1.651) -- (8.087,1.593) -- (8.066,1.513) -- (8.087,1.433) -- (8.146,1.374) -- (8.226,1.353) -- (8.306,1.374) -- (8.364,1.433) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.856,7.95) -- (7.811,8.12) -- (7.686,8.244) -- (7.516,8.29) -- (7.346,8.244) -- (7.222,8.12) -- (7.176,7.95) -- (7.222,7.78) -- (7.346,7.655) -- (7.516,7.61) -- (7.686,7.655) -- (7.811,7.78) -- cycle;
\node at (7.516,7.95) {\scalebox{1.433}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.43,7.012) -- (11.385,7.182) -- (11.26,7.307) -- (11.09,7.352) -- (10.92,7.307) -- (10.796,7.182) -- (10.75,7.012) -- (10.796,6.842) -- (10.92,6.718) -- (11.09,6.672) -- (11.26,6.718) -- (11.385,6.842) -- cycle;
\node at (11.09,7.012) {\scalebox{1.433}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.525,5.562) -- (8.48,5.732) -- (8.355,5.857) -- (8.185,5.902) -- (8.015,5.857) -- (7.891,5.732) -- (7.845,5.562) -- (7.891,5.392) -- (8.015,5.268) -- (8.185,5.222) -- (8.355,5.268) -- (8.48,5.392) -- cycle;
\node at (8.185,5.562) {\scalebox{1.433}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.603,4.155) -- (11.558,4.325) -- (11.433,4.449) -- (11.263,4.495) -- (11.093,4.449) -- (10.969,4.325) -- (10.923,4.155) -- (10.969,3.985) -- (11.093,3.861) -- (11.263,3.815) -- (11.433,3.861) -- (11.558,3.985) -- cycle;
\node at (11.263,4.155) {\scalebox{1.433}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.645,3.721) -- (9.6,3.891) -- (9.475,4.015) -- (9.305,4.061) -- (9.135,4.015) -- (9.011,3.891) -- (8.965,3.721) -- (9.011,3.551) -- (9.135,3.426) -- (9.305,3.381) -- (9.475,3.426) -- (9.6,3.551) -- cycle;
\node at (9.305,3.721) {\scalebox{1.433}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.641,4.939) -- (3.595,5.109) -- (3.471,5.233) -- (3.301,5.279) -- (3.131,5.233) -- (3.006,5.109) -- (2.961,4.939) -- (3.006,4.769) -- (3.131,4.644) -- (3.301,4.599) -- (3.471,4.644) -- (3.595,4.769) -- cycle;
\node at (3.301,4.939) {\scalebox{1.433}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.725,4.204) -- (3.68,4.374) -- (3.555,4.499) -- (3.385,4.544) -- (3.215,4.499) -- (3.091,4.374) -- (3.045,4.204) -- (3.091,4.034) -- (3.215,3.91) -- (3.385,3.864) -- (3.555,3.91) -- (3.68,4.034) -- cycle;
\node at (3.385,4.204) {\scalebox{1.433}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.372,3.991) -- (7.327,4.161) -- (7.202,4.285) -- (7.032,4.331) -- (6.862,4.285) -- (6.738,4.161) -- (6.692,3.991) -- (6.738,3.821) -- (6.862,3.696) -- (7.032,3.651) -- (7.202,3.696) -- (7.327,3.821) -- cycle;
\node at (7.032,3.991) {\scalebox{1.433}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.084,3.908) -- (2.039,4.078) -- (1.914,4.203) -- (1.744,4.248) -- (1.574,4.203) -- (1.45,4.078) -- (1.404,3.908) -- (1.45,3.738) -- (1.574,3.614) -- (1.744,3.568) -- (1.914,3.614) -- (2.039,3.738) -- cycle;
\node at (1.744,3.908) {\scalebox{1.433}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.228,1.307) -- (10.182,1.477) -- (10.058,1.601) -- (9.888,1.647) -- (9.718,1.601) -- (9.593,1.477) -- (9.548,1.307) -- (9.593,1.137) -- (9.718,1.012) -- (9.888,0.967) -- (10.058,1.012) -- (10.182,1.137) -- cycle;
\node at (9.888,1.307) {\scalebox{1.433}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.926,1.213) -- (8.526,1.213) -- (8.526,1.813) -- (7.926,1.813) -- cycle;
\node at (8.226,1.513) {\scalebox{1.433}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.605,8.465) -- (8.205,8.465) -- (8.205,9.065) -- (7.605,9.065) -- cycle;
\node at (7.905,8.765) {\scalebox{1.433}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (1.957,4.327) -- (2.557,4.327) -- (2.557,4.927) -- (1.957,4.927) -- cycle;
\node at (2.257,4.627) {\scalebox{1.433}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,3.388) -- (1.2,3.388) -- (1.2,3.988) -- (0.6,3.988) -- cycle;
\node at (0.9,3.688) {\scalebox{1.433}{\small d}};
\node at (11.737,8.723) {\scalebox{1.433}{\small A}};
\node at (3.542,8.829) {\scalebox{1.433}{\small B}};
\node at (10.764,6.197) {\scalebox{1.433}{\small C}};
\node at (4.421,6.095) {\scalebox{1.433}{\small D}};
\node at (0.793,4.981) {\scalebox{1.433}{\small E}};
\node at (1.05,2.545) {\scalebox{1.433}{\small F}};
\node at (11.94,1.669) {\scalebox{1.433}{\small G}};
\node at (8.486,0.95) {\scalebox{1.433}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.713,7.407) -- (12.713,8.507);
\draw[line width=0.5pt] (12.482,8.122) -- (12.713,8.507) -- (12.944,8.122);
\draw[line width=0.5pt] (12.411,7.957) -- (13.016,7.957);
\node at (12.713,8.892) {\scalebox{1.433}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① impasse Verte & ⑥ chemin Creux & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Peupliers & ⑦ boulevard du Parc & Ⓑ Place du Vieux-Puits & \textbf{b} la salle des fêtes \\ \hline
③ rue du Four & ⑧ rue Verte & Ⓒ Carrefour Saint-Roch & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ rue du Moulin & ⑨ rue du Stade & Ⓓ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{d} le marché couvert \\ \hline
⑤ rue de l'Église & ⑩ rue Neuve & Ⓔ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6243, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.236,8.357) -- (10.968,8.392) -- (10.699,8.42) -- (10.43,8.442) -- (10.16,8.458) -- (9.889,8.467) -- (9.619,8.47) -- (9.348,8.467) -- (9.077,8.457) -- (8.807,8.441) -- (8.538,8.419) -- (8.269,8.39) -- (8.0,8.355) -- (7.733,8.314) -- (7.467,8.266) -- (7.215,8.233) -- (6.963,8.206) -- (6.71,8.184) -- (6.457,8.169) -- (6.203,8.16) -- (5.949,8.157) -- (5.695,8.159) -- (5.441,8.168) -- (5.187,8.182) -- (4.934,8.203) -- (4.682,8.229) -- (4.43,8.262) -- (4.179,8.3) -- (3.929,8.344);
\draw[line width=0.5pt] (11.236,8.357) -- (11.186,8.18) -- (11.132,8.004) -- (11.074,7.829) -- (11.011,7.656) -- (10.944,7.484) -- (10.874,7.314) -- (10.799,7.145) -- (10.721,6.979) -- (10.638,6.814) -- (10.552,6.651) -- (10.462,6.49) -- (10.368,6.332) -- (10.271,6.175) -- (10.169,6.022);
\draw[line width=0.5pt] (10.169,6.022) -- (10.023,6.034) -- (9.876,6.042) -- (9.729,6.048) -- (9.582,6.049) -- (9.435,6.047) -- (9.288,6.042) -- (9.141,6.033) -- (8.994,6.021) -- (8.848,6.006) -- (8.702,5.987) -- (8.556,5.964) -- (8.411,5.938) -- (8.267,5.909) -- (8.124,5.877) -- (7.901,5.838) -- (7.678,5.804) -- (7.454,5.776) -- (7.229,5.753) -- (7.003,5.735) -- (6.777,5.723) -- (6.551,5.715) -- (6.325,5.714) -- (6.099,5.717) -- (5.873,5.726) -- (5.647,5.74) -- (5.422,5.759) -- (5.198,5.784) -- (4.974,5.814);
\draw[line width=0.5pt] (10.169,6.022) -- (10.302,5.75) -- (10.427,5.475) -- (10.547,5.198) -- (10.659,4.917) -- (10.765,4.634) -- (10.865,4.348) -- (10.957,4.061) -- (11.043,3.771) -- (11.122,3.479) -- (11.194,3.185) -- (11.26,2.89) -- (11.318,2.593) -- (11.369,2.296) -- (11.413,1.997);
\draw[line width=0.5pt] (10.169,6.022) -- (9.982,5.723) -- (9.802,5.421) -- (9.629,5.114) -- (9.464,4.803) -- (9.306,4.488) -- (9.155,4.169) -- (9.012,3.847) -- (8.876,3.522) -- (8.748,3.194) -- (8.628,2.862) -- (8.515,2.529) -- (8.411,2.192) -- (8.314,1.853) -- (8.226,1.513);
\draw[line width=0.5pt] (4.974,5.814) -- (4.731,5.716) -- (4.485,5.624) -- (4.237,5.537) -- (3.988,5.457) -- (3.736,5.382) -- (3.483,5.313) -- (3.228,5.25) -- (2.972,5.194) -- (2.714,5.143) -- (2.455,5.098) -- (2.196,5.059) -- (1.936,5.027) -- (1.675,5.001) -- (1.413,4.98);
\draw[line width=0.5pt] (4.974,5.814) -- (4.703,5.637) -- (4.436,5.453) -- (4.174,5.263) -- (3.916,5.067) -- (3.663,4.864) -- (3.415,4.656) -- (3.171,4.442) -- (2.933,4.222) -- (2.7,3.997) -- (2.472,3.767) -- (2.25,3.531) -- (2.034,3.29) -- (1.823,3.044) -- (1.618,2.793);
\draw[line width=0.5pt] (4.974,5.814) -- (5.251,5.545) -- (5.522,5.269) -- (5.787,4.987) -- (6.045,4.698) -- (6.296,4.404) -- (6.54,4.104) -- (6.777,3.798) -- (7.007,3.486) -- (7.229,3.169) -- (7.444,2.847) -- (7.652,2.521) -- (7.851,2.189) -- (8.042,1.853) -- (8.226,1.513);
\draw[line width=0.5pt] (1.413,4.98) -- (1.404,4.823) -- (1.398,4.666) -- (1.396,4.508) -- (1.398,4.351) -- (1.403,4.193) -- (1.413,4.036) -- (1.425,3.878) -- (1.442,3.722) -- (1.462,3.565) -- (1.486,3.409) -- (1.514,3.254) -- (1.545,3.1) -- (1.58,2.946) -- (1.618,2.793);
\draw[line width=0.5pt] (11.413,1.997) -- (11.193,1.928) -- (10.97,1.864) -- (10.747,1.805) -- (10.522,1.752) -- (10.295,1.703) -- (10.068,1.661) -- (9.839,1.623) -- (9.61,1.591) -- (9.38,1.564) -- (9.15,1.543) -- (8.919,1.527) -- (8.688,1.517) -- (8.457,1.512) -- (8.226,1.513);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.396,8.357) -- (11.375,8.437) -- (11.316,8.496) -- (11.236,8.517) -- (11.156,8.496) -- (11.098,8.437) -- (11.076,8.357) -- (11.098,8.277) -- (11.156,8.218) -- (11.236,8.197) -- (11.316,8.218) -- (11.375,8.277) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.089,8.344) -- (4.068,8.424) -- (4.009,8.483) -- (3.929,8.504) -- (3.849,8.483) -- (3.791,8.424) -- (3.769,8.344) -- (3.791,8.264) -- (3.849,8.206) -- (3.929,8.184) -- (4.009,8.206) -- (4.068,8.264) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.329,6.022) -- (10.308,6.102) -- (10.249,6.16) -- (10.169,6.182) -- (10.089,6.16) -- (10.031,6.102) -- (10.009,6.022) -- (10.031,5.942) -- (10.089,5.883) -- (10.169,5.862) -- (10.249,5.883) -- (10.308,5.942) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.134,5.814) -- (5.112,5.894) -- (5.054,5.953) -- (4.974,5.974) -- (4.894,5.953) -- (4.835,5.894) -- (4.814,5.814) -- (4.835,5.734) -- (4.894,5.676) -- (4.974,5.654) -- (5.054,5.676) -- (5.112,5.734) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.573,4.98) -- (1.552,5.06) -- (1.493,5.119) -- (1.413,5.14) -- (1.333,5.119) -- (1.275,5.06) -- (1.253,4.98) -- (1.275,4.9) -- (1.333,4.842) -- (1.413,4.82) -- (1.493,4.842) -- (1.552,4.9) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.778,2.793) -- (1.757,2.873) -- (1.698,2.932) -- (1.618,2.953) -- (1.538,2.932) -- (1.48,2.873) -- (1.458,2.793) -- (1.48,2.713) -- (1.538,2.655) -- (1.618,2.633) -- (1.698,2.655) -- (1.757,2.713) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.573,1.997) -- (11.552,2.077) -- (11.493,2.135) -- (11.413,2.157) -- (11.333,2.135) -- (11.275,2.077) -- (11.253,1.997) -- (11.275,1.917) -- (11.333,1.858) -- (11.413,1.837) -- (11.493,1.858) -- (11.552,1.917) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.386,1.513) -- (8.364,1.593) -- (8.306,1.651) -- (8.226,1.673) -- (8.146,1.651) -- (8.087,1.593) -- (8.066,1.513) -- (8.087,1.433) -- (8.146,1.374) -- (8.226,1.353) -- (8.306,1.374) -- (8.364,1.433) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.856,7.95) -- (7.811,8.12) -- (7.686,8.244) -- (7.516,8.29) -- (7.346,8.244) -- (7.222,8.12) -- (7.176,7.95) -- (7.222,7.78) -- (7.346,7.655) -- (7.516,7.61) -- (7.686,7.655) -- (7.811,7.78) -- cycle;
\node at (7.516,7.95) {\scalebox{1.602}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.43,7.012) -- (11.385,7.182) -- (11.26,7.307) -- (11.09,7.352) -- (10.92,7.307) -- (10.796,7.182) -- (10.75,7.012) -- (10.796,6.842) -- (10.92,6.718) -- (11.09,6.672) -- (11.26,6.718) -- (11.385,6.842) -- cycle;
\node at (11.09,7.012) {\scalebox{1.602}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.525,5.562) -- (8.48,5.732) -- (8.355,5.857) -- (8.185,5.902) -- (8.015,5.857) -- (7.891,5.732) -- (7.845,5.562) -- (7.891,5.392) -- (8.015,5.268) -- (8.185,5.222) -- (8.355,5.268) -- (8.48,5.392) -- cycle;
\node at (8.185,5.562) {\scalebox{1.602}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.603,4.155) -- (11.558,4.325) -- (11.433,4.449) -- (11.263,4.495) -- (11.093,4.449) -- (10.969,4.325) -- (10.923,4.155) -- (10.969,3.985) -- (11.093,3.861) -- (11.263,3.815) -- (11.433,3.861) -- (11.558,3.985) -- cycle;
\node at (11.263,4.155) {\scalebox{1.602}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.645,3.721) -- (9.6,3.891) -- (9.475,4.015) -- (9.305,4.061) -- (9.135,4.015) -- (9.011,3.891) -- (8.965,3.721) -- (9.011,3.551) -- (9.135,3.426) -- (9.305,3.381) -- (9.475,3.426) -- (9.6,3.551) -- cycle;
\node at (9.305,3.721) {\scalebox{1.602}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.641,4.939) -- (3.595,5.109) -- (3.471,5.233) -- (3.301,5.279) -- (3.131,5.233) -- (3.006,5.109) -- (2.961,4.939) -- (3.006,4.769) -- (3.131,4.644) -- (3.301,4.599) -- (3.471,4.644) -- (3.595,4.769) -- cycle;
\node at (3.301,4.939) {\scalebox{1.602}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.725,4.204) -- (3.68,4.374) -- (3.555,4.499) -- (3.385,4.544) -- (3.215,4.499) -- (3.091,4.374) -- (3.045,4.204) -- (3.091,4.034) -- (3.215,3.91) -- (3.385,3.864) -- (3.555,3.91) -- (3.68,4.034) -- cycle;
\node at (3.385,4.204) {\scalebox{1.602}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.372,3.991) -- (7.327,4.161) -- (7.202,4.285) -- (7.032,4.331) -- (6.862,4.285) -- (6.738,4.161) -- (6.692,3.991) -- (6.738,3.821) -- (6.862,3.696) -- (7.032,3.651) -- (7.202,3.696) -- (7.327,3.821) -- cycle;
\node at (7.032,3.991) {\scalebox{1.602}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.084,3.908) -- (2.039,4.078) -- (1.914,4.203) -- (1.744,4.248) -- (1.574,4.203) -- (1.45,4.078) -- (1.404,3.908) -- (1.45,3.738) -- (1.574,3.614) -- (1.744,3.568) -- (1.914,3.614) -- (2.039,3.738) -- cycle;
\node at (1.744,3.908) {\scalebox{1.602}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.228,1.307) -- (10.182,1.477) -- (10.058,1.601) -- (9.888,1.647) -- (9.718,1.601) -- (9.593,1.477) -- (9.548,1.307) -- (9.593,1.137) -- (9.718,1.012) -- (9.888,0.967) -- (10.058,1.012) -- (10.182,1.137) -- cycle;
\node at (9.888,1.307) {\scalebox{1.602}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.926,1.213) -- (8.526,1.213) -- (8.526,1.813) -- (7.926,1.813) -- cycle;
\node at (8.226,1.513) {\scalebox{1.602}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.605,8.465) -- (8.205,8.465) -- (8.205,9.065) -- (7.605,9.065) -- cycle;
\node at (7.905,8.765) {\scalebox{1.602}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (1.957,4.327) -- (2.557,4.327) -- (2.557,4.927) -- (1.957,4.927) -- cycle;
\node at (2.257,4.627) {\scalebox{1.602}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,3.388) -- (1.2,3.388) -- (1.2,3.988) -- (0.6,3.988) -- cycle;
\node at (0.9,3.688) {\scalebox{1.602}{\small d}};
\node at (11.737,8.723) {\scalebox{1.602}{\small A}};
\node at (3.542,8.829) {\scalebox{1.602}{\small B}};
\node at (10.764,6.197) {\scalebox{1.602}{\small C}};
\node at (4.421,6.095) {\scalebox{1.602}{\small D}};
\node at (0.793,4.981) {\scalebox{1.602}{\small E}};
\node at (1.05,2.545) {\scalebox{1.602}{\small F}};
\node at (11.94,1.669) {\scalebox{1.602}{\small G}};
\node at (8.486,0.95) {\scalebox{1.602}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.713,7.407) -- (12.713,8.507);
\draw[line width=0.5pt] (12.482,8.122) -- (12.713,8.507) -- (12.944,8.122);
\draw[line width=0.5pt] (12.411,7.957) -- (13.016,7.957);
\node at (12.713,8.892) {\scalebox{1.602}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 1 & 4 & 4 & 2 & 2 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{H} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{H}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{H}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{H}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en B}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour de l'Hôpital \textbf{(H)}, prend la \textbf{rue de l'Église ⑤} vers le nord-est et atteint Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ③}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin Creux ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ⑨}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑦}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ⑧}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ⑩}, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ④}, vers le nord, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ②}, vers le nord-est, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse Verte ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(B)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{B} ou en \textbf{H} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
