\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 132}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=132}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0132}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7456, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.893,9.073) -- (7.151,9.029) -- (7.409,8.991) -- (7.669,8.96) -- (7.93,8.934) -- (8.191,8.914) -- (8.452,8.901) -- (8.714,8.894) -- (8.976,8.893) -- (9.237,8.898) -- (9.499,8.909) -- (9.76,8.926) -- (10.021,8.95) -- (10.281,8.979) -- (10.54,9.015);
\draw[line width=0.5pt] (6.893,9.073) -- (6.966,8.855) -- (7.034,8.634) -- (7.097,8.413) -- (7.155,8.189) -- (7.208,7.964) -- (7.255,7.738) -- (7.297,7.511) -- (7.334,7.283) -- (7.365,7.055) -- (7.391,6.825) -- (7.411,6.595) -- (7.426,6.365) -- (7.436,6.134) -- (7.44,5.904);
\draw[line width=0.5pt] (6.893,9.073) -- (6.618,8.847) -- (6.348,8.615) -- (6.084,8.376) -- (5.825,8.131) -- (5.572,7.88) -- (5.326,7.623) -- (5.085,7.36) -- (4.85,7.091) -- (4.622,6.817) -- (4.401,6.538) -- (4.186,6.254) -- (3.978,5.965) -- (3.776,5.671) -- (3.582,5.373);
\draw[line width=0.5pt] (10.54,9.015) -- (10.63,8.798) -- (10.715,8.579) -- (10.794,8.358) -- (10.869,8.134) -- (10.938,7.91) -- (11.002,7.683) -- (11.061,7.455) -- (11.114,7.226) -- (11.162,6.996) -- (11.205,6.765) -- (11.242,6.532) -- (11.273,6.299) -- (11.299,6.066) -- (11.319,5.831) -- (11.216,5.592) -- (11.118,5.349) -- (11.026,5.105) -- (10.94,4.858) -- (10.859,4.609) -- (10.785,4.359) -- (10.716,4.106) -- (10.653,3.853) -- (10.596,3.597) -- (10.546,3.341) -- (10.501,3.083) -- (10.462,2.825) -- (10.43,2.566) -- (10.403,2.306);
\draw[line width=0.5pt] (7.44,5.904) -- (7.16,5.908) -- (6.881,5.906) -- (6.602,5.898) -- (6.323,5.883) -- (6.044,5.861) -- (5.766,5.832) -- (5.489,5.797) -- (5.213,5.756) -- (4.937,5.708) -- (4.663,5.654) -- (4.39,5.593) -- (4.119,5.526) -- (3.85,5.453) -- (3.582,5.373);
\draw[line width=0.5pt] (3.582,5.373) -- (3.459,5.109) -- (3.329,4.848) -- (3.193,4.59) -- (3.051,4.335) -- (2.904,4.083) -- (2.75,3.835) -- (2.59,3.591) -- (2.425,3.351) -- (2.254,3.114) -- (2.078,2.882) -- (1.896,2.653) -- (1.709,2.43) -- (1.517,2.21) -- (1.319,1.996);
\draw[line width=0.5pt] (3.582,5.373) -- (3.612,5.118) -- (3.648,4.865) -- (3.689,4.612) -- (3.737,4.36) -- (3.79,4.109) -- (3.85,3.86) -- (3.915,3.612) -- (3.986,3.365) -- (4.063,3.121) -- (4.145,2.878) -- (4.234,2.637) -- (4.327,2.399) -- (4.427,2.162) -- (4.532,1.929);
\draw[line width=0.5pt] (3.582,5.373) -- (3.944,5.148) -- (4.301,4.915) -- (4.651,4.674) -- (4.997,4.424) -- (5.336,4.166) -- (5.669,3.901) -- (5.996,3.627) -- (6.316,3.346) -- (6.63,3.058) -- (6.937,2.762) -- (7.237,2.459) -- (7.529,2.149) -- (7.814,1.833) -- (8.091,1.51);
\draw[line width=0.5pt] (10.403,2.306) -- (10.231,2.275) -- (10.059,2.239) -- (9.888,2.2) -- (9.718,2.157) -- (9.549,2.11) -- (9.381,2.058) -- (9.214,2.003) -- (9.049,1.944) -- (8.885,1.881) -- (8.723,1.814) -- (8.562,1.744) -- (8.403,1.669) -- (8.246,1.591) -- (8.091,1.51);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,1.996) -- (1.548,2.026) -- (1.777,2.051) -- (2.007,2.071) -- (2.237,2.085) -- (2.467,2.094) -- (2.698,2.097) -- (2.928,2.095) -- (3.159,2.087) -- (3.389,2.074) -- (3.619,2.056) -- (3.848,2.032) -- (4.077,2.003) -- (4.305,1.969) -- (4.532,1.929);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.053,9.073) -- (7.031,9.153) -- (6.973,9.212) -- (6.893,9.233) -- (6.813,9.212) -- (6.754,9.153) -- (6.733,9.073) -- (6.754,8.993) -- (6.813,8.935) -- (6.893,8.913) -- (6.973,8.935) -- (7.031,8.993) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.7,9.015) -- (10.678,9.095) -- (10.62,9.154) -- (10.54,9.175) -- (10.46,9.154) -- (10.401,9.095) -- (10.38,9.015) -- (10.401,8.935) -- (10.46,8.876) -- (10.54,8.855) -- (10.62,8.876) -- (10.678,8.935) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.6,5.904) -- (7.578,5.984) -- (7.52,6.042) -- (7.44,6.064) -- (7.36,6.042) -- (7.301,5.984) -- (7.28,5.904) -- (7.301,5.824) -- (7.36,5.765) -- (7.44,5.744) -- (7.52,5.765) -- (7.578,5.824) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.742,5.373) -- (3.721,5.453) -- (3.662,5.511) -- (3.582,5.533) -- (3.502,5.511) -- (3.444,5.453) -- (3.422,5.373) -- (3.444,5.293) -- (3.502,5.234) -- (3.582,5.213) -- (3.662,5.234) -- (3.721,5.293) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.563,2.306) -- (10.542,2.386) -- (10.483,2.444) -- (10.403,2.466) -- (10.323,2.444) -- (10.265,2.386) -- (10.243,2.306) -- (10.265,2.226) -- (10.323,2.167) -- (10.403,2.146) -- (10.483,2.167) -- (10.542,2.226) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.479,1.996) -- (1.458,2.076) -- (1.399,2.134) -- (1.319,2.156) -- (1.239,2.134) -- (1.181,2.076) -- (1.159,1.996) -- (1.181,1.916) -- (1.239,1.857) -- (1.319,1.836) -- (1.399,1.857) -- (1.458,1.916) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.692,1.929) -- (4.67,2.009) -- (4.612,2.067) -- (4.532,2.089) -- (4.452,2.067) -- (4.393,2.009) -- (4.372,1.929) -- (4.393,1.849) -- (4.452,1.79) -- (4.532,1.769) -- (4.612,1.79) -- (4.67,1.849) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.251,1.51) -- (8.23,1.59) -- (8.171,1.648) -- (8.091,1.67) -- (8.011,1.648) -- (7.953,1.59) -- (7.931,1.51) -- (7.953,1.43) -- (8.011,1.371) -- (8.091,1.35) -- (8.171,1.371) -- (8.23,1.43) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.059,9.214) -- (9.013,9.384) -- (8.889,9.508) -- (8.719,9.554) -- (8.549,9.508) -- (8.424,9.384) -- (8.379,9.214) -- (8.424,9.044) -- (8.549,8.919) -- (8.719,8.874) -- (8.889,8.919) -- (9.013,9.044) -- cycle;
\node at (8.719,9.214) {\scalebox{1.341}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.952,7.566) -- (7.907,7.736) -- (7.782,7.86) -- (7.612,7.906) -- (7.442,7.86) -- (7.318,7.736) -- (7.272,7.566) -- (7.318,7.396) -- (7.442,7.271) -- (7.612,7.226) -- (7.782,7.271) -- (7.907,7.396) -- cycle;
\node at (7.612,7.566) {\scalebox{1.341}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.663,7.146) -- (5.618,7.316) -- (5.493,7.441) -- (5.323,7.486) -- (5.153,7.441) -- (5.029,7.316) -- (4.983,7.146) -- (5.029,6.976) -- (5.153,6.852) -- (5.323,6.806) -- (5.493,6.852) -- (5.618,6.976) -- cycle;
\node at (5.323,7.146) {\scalebox{1.341}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.975,5.776) -- (11.929,5.946) -- (11.805,6.071) -- (11.635,6.116) -- (11.465,6.071) -- (11.34,5.946) -- (11.295,5.776) -- (11.34,5.606) -- (11.465,5.482) -- (11.635,5.436) -- (11.805,5.482) -- (11.929,5.606) -- cycle;
\node at (11.635,5.776) {\scalebox{1.341}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.873,5.48) -- (5.827,5.65) -- (5.703,5.775) -- (5.533,5.82) -- (5.363,5.775) -- (5.238,5.65) -- (5.193,5.48) -- (5.238,5.31) -- (5.363,5.186) -- (5.533,5.14) -- (5.703,5.186) -- (5.827,5.31) -- cycle;
\node at (5.533,5.48) {\scalebox{1.341}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.196,3.413) -- (3.15,3.583) -- (3.026,3.707) -- (2.856,3.753) -- (2.686,3.707) -- (2.562,3.583) -- (2.516,3.413) -- (2.562,3.243) -- (2.686,3.118) -- (2.856,3.073) -- (3.026,3.118) -- (3.15,3.243) -- cycle;
\node at (2.856,3.413) {\scalebox{1.341}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.563,3.697) -- (4.518,3.867) -- (4.393,3.991) -- (4.223,4.037) -- (4.053,3.991) -- (3.929,3.867) -- (3.883,3.697) -- (3.929,3.527) -- (4.053,3.402) -- (4.223,3.357) -- (4.393,3.402) -- (4.518,3.527) -- cycle;
\node at (4.223,3.697) {\scalebox{1.341}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.544,3.87) -- (6.499,4.04) -- (6.374,4.165) -- (6.204,4.21) -- (6.034,4.165) -- (5.91,4.04) -- (5.864,3.87) -- (5.91,3.7) -- (6.034,3.576) -- (6.204,3.53) -- (6.374,3.576) -- (6.499,3.7) -- cycle;
\node at (6.204,3.87) {\scalebox{1.341}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.659,1.701) -- (9.613,1.871) -- (9.489,1.995) -- (9.319,2.041) -- (9.149,1.995) -- (9.024,1.871) -- (8.979,1.701) -- (9.024,1.531) -- (9.149,1.406) -- (9.319,1.361) -- (9.489,1.406) -- (9.613,1.531) -- cycle;
\node at (9.319,1.701) {\scalebox{1.341}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.275,2.415) -- (3.23,2.585) -- (3.105,2.709) -- (2.935,2.755) -- (2.765,2.709) -- (2.641,2.585) -- (2.595,2.415) -- (2.641,2.245) -- (2.765,2.12) -- (2.935,2.075) -- (3.105,2.12) -- (3.23,2.245) -- cycle;
\node at (2.935,2.415) {\scalebox{1.341}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.282,5.073) -- (3.882,5.073) -- (3.882,5.673) -- (3.282,5.673) -- cycle;
\node at (3.582,5.373) {\scalebox{1.341}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (4.727,7.689) -- (5.327,7.689) -- (5.327,8.289) -- (4.727,8.289) -- cycle;
\node at (5.027,7.989) {\scalebox{1.341}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.539,7.305) -- (8.139,7.305) -- (8.139,7.905) -- (7.539,7.905) -- cycle;
\node at (7.839,7.605) {\scalebox{1.341}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.632,2.729) -- (6.232,2.729) -- (6.232,3.329) -- (5.632,3.329) -- cycle;
\node at (5.932,3.029) {\scalebox{1.341}{\small d}};
\node at (6.934,9.692) {\scalebox{1.341}{\small A}};
\node at (10.954,9.476) {\scalebox{1.341}{\small B}};
\node at (7.782,6.421) {\scalebox{1.341}{\small C}};
\node at (2.98,5.519) {\scalebox{1.341}{\small D}};
\node at (10.932,1.982) {\scalebox{1.341}{\small E}};
\node at (0.765,1.718) {\scalebox{1.341}{\small F}};
\node at (4.156,1.436) {\scalebox{1.341}{\small G}};
\node at (8.358,0.95) {\scalebox{1.341}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (11.84,8.123) -- (11.84,9.223);
\draw[line width=0.5pt] (11.609,8.838) -- (11.84,9.223) -- (12.071,8.838);
\draw[line width=0.5pt] (11.537,8.673) -- (12.142,8.673);
\node at (11.84,9.608) {\scalebox{1.341}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin de Ronde & ⑥ chemin des Vignes & Ⓐ Carrefour de la Mairie & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de la Mairie & ⑦ passage du Marché & Ⓑ Place du Marché & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ rue du Moulin & ⑧ sentier des Prés & Ⓒ Fontaine Notre-Dame & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ rue du Stade & ⑨ allée des Tilleuls & Ⓓ Rond-point de la Gare & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ venelle du Chat & ⑩ allée des Peupliers & Ⓔ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place des Tanneurs &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6671, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.893,9.073) -- (7.151,9.029) -- (7.409,8.991) -- (7.669,8.96) -- (7.93,8.934) -- (8.191,8.914) -- (8.452,8.901) -- (8.714,8.894) -- (8.976,8.893) -- (9.237,8.898) -- (9.499,8.909) -- (9.76,8.926) -- (10.021,8.95) -- (10.281,8.979) -- (10.54,9.015);
\draw[line width=0.5pt] (6.893,9.073) -- (6.966,8.855) -- (7.034,8.634) -- (7.097,8.413) -- (7.155,8.189) -- (7.208,7.964) -- (7.255,7.738) -- (7.297,7.511) -- (7.334,7.283) -- (7.365,7.055) -- (7.391,6.825) -- (7.411,6.595) -- (7.426,6.365) -- (7.436,6.134) -- (7.44,5.904);
\draw[line width=0.5pt] (6.893,9.073) -- (6.618,8.847) -- (6.348,8.615) -- (6.084,8.376) -- (5.825,8.131) -- (5.572,7.88) -- (5.326,7.623) -- (5.085,7.36) -- (4.85,7.091) -- (4.622,6.817) -- (4.401,6.538) -- (4.186,6.254) -- (3.978,5.965) -- (3.776,5.671) -- (3.582,5.373);
\draw[line width=0.5pt] (10.54,9.015) -- (10.63,8.798) -- (10.715,8.579) -- (10.794,8.358) -- (10.869,8.134) -- (10.938,7.91) -- (11.002,7.683) -- (11.061,7.455) -- (11.114,7.226) -- (11.162,6.996) -- (11.205,6.765) -- (11.242,6.532) -- (11.273,6.299) -- (11.299,6.066) -- (11.319,5.831) -- (11.216,5.592) -- (11.118,5.349) -- (11.026,5.105) -- (10.94,4.858) -- (10.859,4.609) -- (10.785,4.359) -- (10.716,4.106) -- (10.653,3.853) -- (10.596,3.597) -- (10.546,3.341) -- (10.501,3.083) -- (10.462,2.825) -- (10.43,2.566) -- (10.403,2.306);
\draw[line width=0.5pt] (7.44,5.904) -- (7.16,5.908) -- (6.881,5.906) -- (6.602,5.898) -- (6.323,5.883) -- (6.044,5.861) -- (5.766,5.832) -- (5.489,5.797) -- (5.213,5.756) -- (4.937,5.708) -- (4.663,5.654) -- (4.39,5.593) -- (4.119,5.526) -- (3.85,5.453) -- (3.582,5.373);
\draw[line width=0.5pt] (3.582,5.373) -- (3.459,5.109) -- (3.329,4.848) -- (3.193,4.59) -- (3.051,4.335) -- (2.904,4.083) -- (2.75,3.835) -- (2.59,3.591) -- (2.425,3.351) -- (2.254,3.114) -- (2.078,2.882) -- (1.896,2.653) -- (1.709,2.43) -- (1.517,2.21) -- (1.319,1.996);
\draw[line width=0.5pt] (3.582,5.373) -- (3.612,5.118) -- (3.648,4.865) -- (3.689,4.612) -- (3.737,4.36) -- (3.79,4.109) -- (3.85,3.86) -- (3.915,3.612) -- (3.986,3.365) -- (4.063,3.121) -- (4.145,2.878) -- (4.234,2.637) -- (4.327,2.399) -- (4.427,2.162) -- (4.532,1.929);
\draw[line width=0.5pt] (3.582,5.373) -- (3.944,5.148) -- (4.301,4.915) -- (4.651,4.674) -- (4.997,4.424) -- (5.336,4.166) -- (5.669,3.901) -- (5.996,3.627) -- (6.316,3.346) -- (6.63,3.058) -- (6.937,2.762) -- (7.237,2.459) -- (7.529,2.149) -- (7.814,1.833) -- (8.091,1.51);
\draw[line width=0.5pt] (10.403,2.306) -- (10.231,2.275) -- (10.059,2.239) -- (9.888,2.2) -- (9.718,2.157) -- (9.549,2.11) -- (9.381,2.058) -- (9.214,2.003) -- (9.049,1.944) -- (8.885,1.881) -- (8.723,1.814) -- (8.562,1.744) -- (8.403,1.669) -- (8.246,1.591) -- (8.091,1.51);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,1.996) -- (1.548,2.026) -- (1.777,2.051) -- (2.007,2.071) -- (2.237,2.085) -- (2.467,2.094) -- (2.698,2.097) -- (2.928,2.095) -- (3.159,2.087) -- (3.389,2.074) -- (3.619,2.056) -- (3.848,2.032) -- (4.077,2.003) -- (4.305,1.969) -- (4.532,1.929);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.053,9.073) -- (7.031,9.153) -- (6.973,9.212) -- (6.893,9.233) -- (6.813,9.212) -- (6.754,9.153) -- (6.733,9.073) -- (6.754,8.993) -- (6.813,8.935) -- (6.893,8.913) -- (6.973,8.935) -- (7.031,8.993) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.7,9.015) -- (10.678,9.095) -- (10.62,9.154) -- (10.54,9.175) -- (10.46,9.154) -- (10.401,9.095) -- (10.38,9.015) -- (10.401,8.935) -- (10.46,8.876) -- (10.54,8.855) -- (10.62,8.876) -- (10.678,8.935) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.6,5.904) -- (7.578,5.984) -- (7.52,6.042) -- (7.44,6.064) -- (7.36,6.042) -- (7.301,5.984) -- (7.28,5.904) -- (7.301,5.824) -- (7.36,5.765) -- (7.44,5.744) -- (7.52,5.765) -- (7.578,5.824) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.742,5.373) -- (3.721,5.453) -- (3.662,5.511) -- (3.582,5.533) -- (3.502,5.511) -- (3.444,5.453) -- (3.422,5.373) -- (3.444,5.293) -- (3.502,5.234) -- (3.582,5.213) -- (3.662,5.234) -- (3.721,5.293) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.563,2.306) -- (10.542,2.386) -- (10.483,2.444) -- (10.403,2.466) -- (10.323,2.444) -- (10.265,2.386) -- (10.243,2.306) -- (10.265,2.226) -- (10.323,2.167) -- (10.403,2.146) -- (10.483,2.167) -- (10.542,2.226) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.479,1.996) -- (1.458,2.076) -- (1.399,2.134) -- (1.319,2.156) -- (1.239,2.134) -- (1.181,2.076) -- (1.159,1.996) -- (1.181,1.916) -- (1.239,1.857) -- (1.319,1.836) -- (1.399,1.857) -- (1.458,1.916) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.692,1.929) -- (4.67,2.009) -- (4.612,2.067) -- (4.532,2.089) -- (4.452,2.067) -- (4.393,2.009) -- (4.372,1.929) -- (4.393,1.849) -- (4.452,1.79) -- (4.532,1.769) -- (4.612,1.79) -- (4.67,1.849) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.251,1.51) -- (8.23,1.59) -- (8.171,1.648) -- (8.091,1.67) -- (8.011,1.648) -- (7.953,1.59) -- (7.931,1.51) -- (7.953,1.43) -- (8.011,1.371) -- (8.091,1.35) -- (8.171,1.371) -- (8.23,1.43) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.059,9.214) -- (9.013,9.384) -- (8.889,9.508) -- (8.719,9.554) -- (8.549,9.508) -- (8.424,9.384) -- (8.379,9.214) -- (8.424,9.044) -- (8.549,8.919) -- (8.719,8.874) -- (8.889,8.919) -- (9.013,9.044) -- cycle;
\node at (8.719,9.214) {\scalebox{1.499}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.952,7.566) -- (7.907,7.736) -- (7.782,7.86) -- (7.612,7.906) -- (7.442,7.86) -- (7.318,7.736) -- (7.272,7.566) -- (7.318,7.396) -- (7.442,7.271) -- (7.612,7.226) -- (7.782,7.271) -- (7.907,7.396) -- cycle;
\node at (7.612,7.566) {\scalebox{1.499}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.663,7.146) -- (5.618,7.316) -- (5.493,7.441) -- (5.323,7.486) -- (5.153,7.441) -- (5.029,7.316) -- (4.983,7.146) -- (5.029,6.976) -- (5.153,6.852) -- (5.323,6.806) -- (5.493,6.852) -- (5.618,6.976) -- cycle;
\node at (5.323,7.146) {\scalebox{1.499}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.975,5.776) -- (11.929,5.946) -- (11.805,6.071) -- (11.635,6.116) -- (11.465,6.071) -- (11.34,5.946) -- (11.295,5.776) -- (11.34,5.606) -- (11.465,5.482) -- (11.635,5.436) -- (11.805,5.482) -- (11.929,5.606) -- cycle;
\node at (11.635,5.776) {\scalebox{1.499}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.873,5.48) -- (5.827,5.65) -- (5.703,5.775) -- (5.533,5.82) -- (5.363,5.775) -- (5.238,5.65) -- (5.193,5.48) -- (5.238,5.31) -- (5.363,5.186) -- (5.533,5.14) -- (5.703,5.186) -- (5.827,5.31) -- cycle;
\node at (5.533,5.48) {\scalebox{1.499}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.196,3.413) -- (3.15,3.583) -- (3.026,3.707) -- (2.856,3.753) -- (2.686,3.707) -- (2.562,3.583) -- (2.516,3.413) -- (2.562,3.243) -- (2.686,3.118) -- (2.856,3.073) -- (3.026,3.118) -- (3.15,3.243) -- cycle;
\node at (2.856,3.413) {\scalebox{1.499}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.563,3.697) -- (4.518,3.867) -- (4.393,3.991) -- (4.223,4.037) -- (4.053,3.991) -- (3.929,3.867) -- (3.883,3.697) -- (3.929,3.527) -- (4.053,3.402) -- (4.223,3.357) -- (4.393,3.402) -- (4.518,3.527) -- cycle;
\node at (4.223,3.697) {\scalebox{1.499}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.544,3.87) -- (6.499,4.04) -- (6.374,4.165) -- (6.204,4.21) -- (6.034,4.165) -- (5.91,4.04) -- (5.864,3.87) -- (5.91,3.7) -- (6.034,3.576) -- (6.204,3.53) -- (6.374,3.576) -- (6.499,3.7) -- cycle;
\node at (6.204,3.87) {\scalebox{1.499}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.659,1.701) -- (9.613,1.871) -- (9.489,1.995) -- (9.319,2.041) -- (9.149,1.995) -- (9.024,1.871) -- (8.979,1.701) -- (9.024,1.531) -- (9.149,1.406) -- (9.319,1.361) -- (9.489,1.406) -- (9.613,1.531) -- cycle;
\node at (9.319,1.701) {\scalebox{1.499}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.275,2.415) -- (3.23,2.585) -- (3.105,2.709) -- (2.935,2.755) -- (2.765,2.709) -- (2.641,2.585) -- (2.595,2.415) -- (2.641,2.245) -- (2.765,2.12) -- (2.935,2.075) -- (3.105,2.12) -- (3.23,2.245) -- cycle;
\node at (2.935,2.415) {\scalebox{1.499}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.282,5.073) -- (3.882,5.073) -- (3.882,5.673) -- (3.282,5.673) -- cycle;
\node at (3.582,5.373) {\scalebox{1.499}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (4.727,7.689) -- (5.327,7.689) -- (5.327,8.289) -- (4.727,8.289) -- cycle;
\node at (5.027,7.989) {\scalebox{1.499}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.539,7.305) -- (8.139,7.305) -- (8.139,7.905) -- (7.539,7.905) -- cycle;
\node at (7.839,7.605) {\scalebox{1.499}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.632,2.729) -- (6.232,2.729) -- (6.232,3.329) -- (5.632,3.329) -- cycle;
\node at (5.932,3.029) {\scalebox{1.499}{\small d}};
\node at (6.934,9.692) {\scalebox{1.499}{\small A}};
\node at (10.954,9.476) {\scalebox{1.499}{\small B}};
\node at (7.782,6.421) {\scalebox{1.499}{\small C}};
\node at (2.98,5.519) {\scalebox{1.499}{\small D}};
\node at (10.932,1.982) {\scalebox{1.499}{\small E}};
\node at (0.765,1.718) {\scalebox{1.499}{\small F}};
\node at (4.156,1.436) {\scalebox{1.499}{\small G}};
\node at (8.358,0.95) {\scalebox{1.499}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (11.84,8.123) -- (11.84,9.223);
\draw[line width=0.5pt] (11.609,8.838) -- (11.84,9.223) -- (12.071,8.838);
\draw[line width=0.5pt] (11.537,8.673) -- (12.142,8.673);
\node at (11.84,9.608) {\scalebox{1.499}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 2 & 5 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{D}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{D}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en A}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Gare \textbf{(D)}, prend la \textbf{rue du Moulin ③} vers le nord-est et atteint Carrefour de la Mairie \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ①}, vers l'est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ④}, vers le sud, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑩}, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑦}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑤}, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ②}, vers le nord, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(A)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{D} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
