\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 133}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=133}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0133}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6911, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.543,8.267) -- (1.737,8.183) -- (1.934,8.104) -- (2.132,8.03) -- (2.332,7.96) -- (2.533,7.895) -- (2.736,7.835) -- (2.94,7.78) -- (3.146,7.729) -- (3.353,7.683) -- (3.561,7.642) -- (3.769,7.606) -- (3.978,7.575) -- (4.188,7.549) -- (4.399,7.528) -- (4.619,7.58) -- (4.84,7.626) -- (5.063,7.667) -- (5.287,7.702) -- (5.511,7.733) -- (5.736,7.758) -- (5.961,7.778) -- (6.187,7.792) -- (6.413,7.801) -- (6.64,7.805) -- (6.866,7.804) -- (7.092,7.797) -- (7.318,7.785) -- (7.544,7.767);
\draw[line width=0.5pt] (7.544,7.767) -- (7.409,7.536) -- (7.27,7.307) -- (7.124,7.082) -- (6.974,6.86) -- (6.818,6.642) -- (6.658,6.428) -- (6.492,6.217) -- (6.321,6.01) -- (6.146,5.807) -- (5.965,5.609) -- (5.781,5.415) -- (5.592,5.225) -- (5.398,5.04) -- (5.2,4.86);
\draw[line width=0.5pt] (7.544,7.767) -- (7.747,7.484) -- (7.957,7.205) -- (8.173,6.931) -- (8.396,6.662) -- (8.625,6.399) -- (8.861,6.14) -- (9.102,5.888) -- (9.349,5.641) -- (9.602,5.4) -- (9.861,5.165) -- (10.125,4.937) -- (10.394,4.714) -- (10.668,4.499) -- (10.948,4.289);
\draw[line width=0.5pt] (7.544,7.767) -- (7.63,7.529) -- (7.71,7.288) -- (7.785,7.045) -- (7.854,6.801) -- (7.918,6.555) -- (7.975,6.307) -- (8.027,6.058) -- (8.073,5.808) -- (8.113,5.557) -- (8.147,5.306) -- (8.175,5.053) -- (8.197,4.8) -- (8.213,4.547) -- (8.223,4.293) -- (8.183,4.095) -- (8.146,3.896) -- (8.115,3.696) -- (8.088,3.495) -- (8.066,3.294) -- (8.049,3.092) -- (8.037,2.89) -- (8.029,2.687) -- (8.026,2.485) -- (8.028,2.282) -- (8.034,2.08) -- (8.046,1.877) -- (8.062,1.676) -- (8.083,1.474);
\draw[line width=0.5pt] (5.2,4.86) -- (5.178,4.664) -- (5.162,4.468) -- (5.149,4.272) -- (5.142,4.075) -- (5.139,3.879) -- (5.14,3.682) -- (5.147,3.485) -- (5.158,3.289) -- (5.173,3.092) -- (5.193,2.897) -- (5.218,2.701) -- (5.247,2.507) -- (5.281,2.313) -- (5.319,2.12);
\draw[line width=0.5pt] (5.2,4.86) -- (4.959,4.599) -- (4.712,4.345) -- (4.459,4.097) -- (4.201,3.854) -- (3.936,3.617) -- (3.666,3.387) -- (3.391,3.163) -- (3.11,2.946) -- (2.825,2.735) -- (2.535,2.532) -- (2.24,2.335) -- (1.94,2.145) -- (1.636,1.962) -- (1.328,1.787);
\draw[line width=0.5pt] (5.2,4.86) -- (5.367,4.588) -- (5.541,4.321) -- (5.721,4.057) -- (5.907,3.798) -- (6.099,3.544) -- (6.298,3.293) -- (6.502,3.048) -- (6.711,2.808) -- (6.927,2.572) -- (7.148,2.342) -- (7.374,2.116) -- (7.605,1.897) -- (7.841,1.683) -- (8.083,1.474);
\draw[line width=0.5pt] (10.948,4.289) -- (10.995,4.161) -- (11.039,4.032) -- (11.081,3.901) -- (11.119,3.77) -- (11.154,3.637) -- (11.186,3.504) -- (11.215,3.37) -- (11.241,3.236) -- (11.263,3.101) -- (11.283,2.965) -- (11.299,2.829) -- (11.312,2.693) -- (11.322,2.556) -- (11.328,2.42);
\draw[line width=0.5pt] (10.948,4.289) -- (10.714,4.121) -- (10.484,3.948) -- (10.258,3.768) -- (10.037,3.584) -- (9.82,3.394) -- (9.607,3.2) -- (9.399,3.0) -- (9.196,2.796) -- (8.997,2.586) -- (8.804,2.373) -- (8.616,2.154) -- (8.433,1.932) -- (8.255,1.705) -- (8.083,1.474);
\draw[line width=0.5pt] (5.319,2.12) -- (5.04,2.053) -- (4.759,1.992) -- (4.477,1.938) -- (4.194,1.891) -- (3.909,1.85) -- (3.624,1.816) -- (3.338,1.789) -- (3.051,1.768) -- (2.764,1.754) -- (2.476,1.747) -- (2.189,1.747) -- (1.902,1.753) -- (1.615,1.767) -- (1.328,1.787);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.703,8.267) -- (1.682,8.347) -- (1.623,8.405) -- (1.543,8.427) -- (1.463,8.405) -- (1.405,8.347) -- (1.383,8.267) -- (1.405,8.187) -- (1.463,8.128) -- (1.543,8.107) -- (1.623,8.128) -- (1.682,8.187) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.704,7.767) -- (7.682,7.847) -- (7.624,7.906) -- (7.544,7.927) -- (7.464,7.906) -- (7.405,7.847) -- (7.384,7.767) -- (7.405,7.687) -- (7.464,7.629) -- (7.544,7.607) -- (7.624,7.629) -- (7.682,7.687) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.36,4.86) -- (5.339,4.94) -- (5.28,4.998) -- (5.2,5.02) -- (5.12,4.998) -- (5.061,4.94) -- (5.04,4.86) -- (5.061,4.78) -- (5.12,4.721) -- (5.2,4.7) -- (5.28,4.721) -- (5.339,4.78) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.108,4.289) -- (11.086,4.369) -- (11.028,4.428) -- (10.948,4.449) -- (10.868,4.428) -- (10.809,4.369) -- (10.788,4.289) -- (10.809,4.209) -- (10.868,4.151) -- (10.948,4.129) -- (11.028,4.151) -- (11.086,4.209) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.488,2.42) -- (11.467,2.5) -- (11.408,2.558) -- (11.328,2.58) -- (11.248,2.558) -- (11.19,2.5) -- (11.168,2.42) -- (11.19,2.34) -- (11.248,2.281) -- (11.328,2.26) -- (11.408,2.281) -- (11.467,2.34) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.479,2.12) -- (5.458,2.2) -- (5.399,2.259) -- (5.319,2.28) -- (5.239,2.259) -- (5.181,2.2) -- (5.159,2.12) -- (5.181,2.04) -- (5.239,1.982) -- (5.319,1.96) -- (5.399,1.982) -- (5.458,2.04) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.488,1.787) -- (1.467,1.867) -- (1.408,1.925) -- (1.328,1.947) -- (1.248,1.925) -- (1.19,1.867) -- (1.168,1.787) -- (1.19,1.707) -- (1.248,1.648) -- (1.328,1.627) -- (1.408,1.648) -- (1.467,1.707) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.243,1.474) -- (8.221,1.554) -- (8.163,1.613) -- (8.083,1.634) -- (8.003,1.613) -- (7.944,1.554) -- (7.923,1.474) -- (7.944,1.394) -- (8.003,1.336) -- (8.083,1.314) -- (8.163,1.336) -- (8.221,1.394) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.716,7.847) -- (4.671,8.017) -- (4.546,8.142) -- (4.376,8.187) -- (4.206,8.142) -- (4.082,8.017) -- (4.036,7.847) -- (4.082,7.677) -- (4.206,7.553) -- (4.376,7.507) -- (4.546,7.553) -- (4.671,7.677) -- cycle;
\node at (4.376,7.847) {\scalebox{1.447}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.081,6.016) -- (7.035,6.186) -- (6.911,6.31) -- (6.741,6.356) -- (6.571,6.31) -- (6.446,6.186) -- (6.401,6.016) -- (6.446,5.846) -- (6.571,5.722) -- (6.741,5.676) -- (6.911,5.722) -- (7.035,5.846) -- cycle;
\node at (6.741,6.016) {\scalebox{1.447}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.671,6.112) -- (9.625,6.282) -- (9.501,6.406) -- (9.331,6.452) -- (9.161,6.406) -- (9.036,6.282) -- (8.991,6.112) -- (9.036,5.942) -- (9.161,5.817) -- (9.331,5.772) -- (9.501,5.817) -- (9.625,5.942) -- cycle;
\node at (9.331,6.112) {\scalebox{1.447}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.883,4.271) -- (8.837,4.441) -- (8.713,4.566) -- (8.543,4.611) -- (8.373,4.566) -- (8.248,4.441) -- (8.203,4.271) -- (8.248,4.101) -- (8.373,3.977) -- (8.543,3.931) -- (8.713,3.977) -- (8.837,4.101) -- cycle;
\node at (8.543,4.271) {\scalebox{1.447}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.806,3.499) -- (5.761,3.669) -- (5.636,3.793) -- (5.466,3.839) -- (5.296,3.793) -- (5.172,3.669) -- (5.126,3.499) -- (5.172,3.329) -- (5.296,3.205) -- (5.466,3.159) -- (5.636,3.205) -- (5.761,3.329) -- cycle;
\node at (5.466,3.499) {\scalebox{1.447}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.93,2.913) -- (3.884,3.083) -- (3.76,3.207) -- (3.59,3.253) -- (3.42,3.207) -- (3.295,3.083) -- (3.25,2.913) -- (3.295,2.743) -- (3.42,2.618) -- (3.59,2.573) -- (3.76,2.618) -- (3.884,2.743) -- cycle;
\node at (3.59,2.913) {\scalebox{1.447}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.085,3.256) -- (7.04,3.426) -- (6.915,3.55) -- (6.745,3.596) -- (6.575,3.55) -- (6.451,3.426) -- (6.405,3.256) -- (6.451,3.086) -- (6.575,2.961) -- (6.745,2.916) -- (6.915,2.961) -- (7.04,3.086) -- cycle;
\node at (6.745,3.256) {\scalebox{1.447}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.869,3.434) -- (11.823,3.604) -- (11.699,3.729) -- (11.529,3.774) -- (11.359,3.729) -- (11.234,3.604) -- (11.189,3.434) -- (11.234,3.264) -- (11.359,3.14) -- (11.529,3.094) -- (11.699,3.14) -- (11.823,3.264) -- cycle;
\node at (11.529,3.434) {\scalebox{1.447}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.963,2.772) -- (9.918,2.942) -- (9.793,3.066) -- (9.623,3.112) -- (9.453,3.066) -- (9.329,2.942) -- (9.283,2.772) -- (9.329,2.602) -- (9.453,2.477) -- (9.623,2.432) -- (9.793,2.477) -- (9.918,2.602) -- cycle;
\node at (9.623,2.772) {\scalebox{1.447}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.704,1.47) -- (3.659,1.64) -- (3.534,1.764) -- (3.364,1.81) -- (3.194,1.764) -- (3.07,1.64) -- (3.024,1.47) -- (3.07,1.3) -- (3.194,1.176) -- (3.364,1.13) -- (3.534,1.176) -- (3.659,1.3) -- cycle;
\node at (3.364,1.47) {\scalebox{1.447}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.9,4.56) -- (5.5,4.56) -- (5.5,5.16) -- (4.9,5.16) -- cycle;
\node at (5.2,4.86) {\scalebox{1.447}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.457,1.926) -- (3.057,1.926) -- (3.057,2.526) -- (2.457,2.526) -- cycle;
\node at (2.757,2.226) {\scalebox{1.447}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.546,3.049) -- (13.146,3.049) -- (13.146,3.649) -- (12.546,3.649) -- cycle;
\node at (12.846,3.349) {\scalebox{1.447}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.256,2.207) -- (7.856,2.207) -- (7.856,2.807) -- (7.256,2.807) -- cycle;
\node at (7.556,2.507) {\scalebox{1.447}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.098,6.602) -- (10.698,6.602) -- (10.698,7.202) -- (10.098,7.202) -- cycle;
\node at (10.398,6.902) {\scalebox{1.447}{\small e}};
\node at (1.071,8.669) {\scalebox{1.447}{\small A}};
\node at (7.727,8.36) {\scalebox{1.447}{\small B}};
\node at (4.67,5.182) {\scalebox{1.447}{\small C}};
\node at (11.567,4.312) {\scalebox{1.447}{\small D}};
\node at (11.914,2.217) {\scalebox{1.447}{\small E}};
\node at (5.023,1.576) {\scalebox{1.447}{\small F}};
\node at (0.765,1.528) {\scalebox{1.447}{\small G}};
\node at (8.413,0.95) {\scalebox{1.447}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.628,7.317) -- (12.628,8.417);
\draw[line width=0.5pt] (12.397,8.032) -- (12.628,8.417) -- (12.859,8.032);
\draw[line width=0.5pt] (12.326,7.867) -- (12.931,7.867);
\node at (12.628,8.802) {\scalebox{1.447}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① impasse des Roses & ⑥ allée des Peupliers & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② sentier des Prés & ⑦ rue du Puits & Ⓑ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{b} le gymnase \\ \hline
③ rue de la Mairie & ⑧ impasse Sainte-Anne & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ rue des Jardins & ⑨ allée des Tilleuls & Ⓓ Carrefour des Tilleuls & \textbf{d} le stade \\ \hline
⑤ rue Haute & ⑩ chemin du Lavoir & Ⓔ Place de l'Église & \textbf{e} la boulangerie \\ \hline
 &  & Ⓕ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6184, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.543,8.267) -- (1.737,8.183) -- (1.934,8.104) -- (2.132,8.03) -- (2.332,7.96) -- (2.533,7.895) -- (2.736,7.835) -- (2.94,7.78) -- (3.146,7.729) -- (3.353,7.683) -- (3.561,7.642) -- (3.769,7.606) -- (3.978,7.575) -- (4.188,7.549) -- (4.399,7.528) -- (4.619,7.58) -- (4.84,7.626) -- (5.063,7.667) -- (5.287,7.702) -- (5.511,7.733) -- (5.736,7.758) -- (5.961,7.778) -- (6.187,7.792) -- (6.413,7.801) -- (6.64,7.805) -- (6.866,7.804) -- (7.092,7.797) -- (7.318,7.785) -- (7.544,7.767);
\draw[line width=0.5pt] (7.544,7.767) -- (7.409,7.536) -- (7.27,7.307) -- (7.124,7.082) -- (6.974,6.86) -- (6.818,6.642) -- (6.658,6.428) -- (6.492,6.217) -- (6.321,6.01) -- (6.146,5.807) -- (5.965,5.609) -- (5.781,5.415) -- (5.592,5.225) -- (5.398,5.04) -- (5.2,4.86);
\draw[line width=0.5pt] (7.544,7.767) -- (7.747,7.484) -- (7.957,7.205) -- (8.173,6.931) -- (8.396,6.662) -- (8.625,6.399) -- (8.861,6.14) -- (9.102,5.888) -- (9.349,5.641) -- (9.602,5.4) -- (9.861,5.165) -- (10.125,4.937) -- (10.394,4.714) -- (10.668,4.499) -- (10.948,4.289);
\draw[line width=0.5pt] (7.544,7.767) -- (7.63,7.529) -- (7.71,7.288) -- (7.785,7.045) -- (7.854,6.801) -- (7.918,6.555) -- (7.975,6.307) -- (8.027,6.058) -- (8.073,5.808) -- (8.113,5.557) -- (8.147,5.306) -- (8.175,5.053) -- (8.197,4.8) -- (8.213,4.547) -- (8.223,4.293) -- (8.183,4.095) -- (8.146,3.896) -- (8.115,3.696) -- (8.088,3.495) -- (8.066,3.294) -- (8.049,3.092) -- (8.037,2.89) -- (8.029,2.687) -- (8.026,2.485) -- (8.028,2.282) -- (8.034,2.08) -- (8.046,1.877) -- (8.062,1.676) -- (8.083,1.474);
\draw[line width=0.5pt] (5.2,4.86) -- (5.178,4.664) -- (5.162,4.468) -- (5.149,4.272) -- (5.142,4.075) -- (5.139,3.879) -- (5.14,3.682) -- (5.147,3.485) -- (5.158,3.289) -- (5.173,3.092) -- (5.193,2.897) -- (5.218,2.701) -- (5.247,2.507) -- (5.281,2.313) -- (5.319,2.12);
\draw[line width=0.5pt] (5.2,4.86) -- (4.959,4.599) -- (4.712,4.345) -- (4.459,4.097) -- (4.201,3.854) -- (3.936,3.617) -- (3.666,3.387) -- (3.391,3.163) -- (3.11,2.946) -- (2.825,2.735) -- (2.535,2.532) -- (2.24,2.335) -- (1.94,2.145) -- (1.636,1.962) -- (1.328,1.787);
\draw[line width=0.5pt] (5.2,4.86) -- (5.367,4.588) -- (5.541,4.321) -- (5.721,4.057) -- (5.907,3.798) -- (6.099,3.544) -- (6.298,3.293) -- (6.502,3.048) -- (6.711,2.808) -- (6.927,2.572) -- (7.148,2.342) -- (7.374,2.116) -- (7.605,1.897) -- (7.841,1.683) -- (8.083,1.474);
\draw[line width=0.5pt] (10.948,4.289) -- (10.995,4.161) -- (11.039,4.032) -- (11.081,3.901) -- (11.119,3.77) -- (11.154,3.637) -- (11.186,3.504) -- (11.215,3.37) -- (11.241,3.236) -- (11.263,3.101) -- (11.283,2.965) -- (11.299,2.829) -- (11.312,2.693) -- (11.322,2.556) -- (11.328,2.42);
\draw[line width=0.5pt] (10.948,4.289) -- (10.714,4.121) -- (10.484,3.948) -- (10.258,3.768) -- (10.037,3.584) -- (9.82,3.394) -- (9.607,3.2) -- (9.399,3.0) -- (9.196,2.796) -- (8.997,2.586) -- (8.804,2.373) -- (8.616,2.154) -- (8.433,1.932) -- (8.255,1.705) -- (8.083,1.474);
\draw[line width=0.5pt] (5.319,2.12) -- (5.04,2.053) -- (4.759,1.992) -- (4.477,1.938) -- (4.194,1.891) -- (3.909,1.85) -- (3.624,1.816) -- (3.338,1.789) -- (3.051,1.768) -- (2.764,1.754) -- (2.476,1.747) -- (2.189,1.747) -- (1.902,1.753) -- (1.615,1.767) -- (1.328,1.787);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.703,8.267) -- (1.682,8.347) -- (1.623,8.405) -- (1.543,8.427) -- (1.463,8.405) -- (1.405,8.347) -- (1.383,8.267) -- (1.405,8.187) -- (1.463,8.128) -- (1.543,8.107) -- (1.623,8.128) -- (1.682,8.187) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.704,7.767) -- (7.682,7.847) -- (7.624,7.906) -- (7.544,7.927) -- (7.464,7.906) -- (7.405,7.847) -- (7.384,7.767) -- (7.405,7.687) -- (7.464,7.629) -- (7.544,7.607) -- (7.624,7.629) -- (7.682,7.687) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.36,4.86) -- (5.339,4.94) -- (5.28,4.998) -- (5.2,5.02) -- (5.12,4.998) -- (5.061,4.94) -- (5.04,4.86) -- (5.061,4.78) -- (5.12,4.721) -- (5.2,4.7) -- (5.28,4.721) -- (5.339,4.78) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.108,4.289) -- (11.086,4.369) -- (11.028,4.428) -- (10.948,4.449) -- (10.868,4.428) -- (10.809,4.369) -- (10.788,4.289) -- (10.809,4.209) -- (10.868,4.151) -- (10.948,4.129) -- (11.028,4.151) -- (11.086,4.209) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.488,2.42) -- (11.467,2.5) -- (11.408,2.558) -- (11.328,2.58) -- (11.248,2.558) -- (11.19,2.5) -- (11.168,2.42) -- (11.19,2.34) -- (11.248,2.281) -- (11.328,2.26) -- (11.408,2.281) -- (11.467,2.34) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.479,2.12) -- (5.458,2.2) -- (5.399,2.259) -- (5.319,2.28) -- (5.239,2.259) -- (5.181,2.2) -- (5.159,2.12) -- (5.181,2.04) -- (5.239,1.982) -- (5.319,1.96) -- (5.399,1.982) -- (5.458,2.04) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.488,1.787) -- (1.467,1.867) -- (1.408,1.925) -- (1.328,1.947) -- (1.248,1.925) -- (1.19,1.867) -- (1.168,1.787) -- (1.19,1.707) -- (1.248,1.648) -- (1.328,1.627) -- (1.408,1.648) -- (1.467,1.707) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.243,1.474) -- (8.221,1.554) -- (8.163,1.613) -- (8.083,1.634) -- (8.003,1.613) -- (7.944,1.554) -- (7.923,1.474) -- (7.944,1.394) -- (8.003,1.336) -- (8.083,1.314) -- (8.163,1.336) -- (8.221,1.394) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.716,7.847) -- (4.671,8.017) -- (4.546,8.142) -- (4.376,8.187) -- (4.206,8.142) -- (4.082,8.017) -- (4.036,7.847) -- (4.082,7.677) -- (4.206,7.553) -- (4.376,7.507) -- (4.546,7.553) -- (4.671,7.677) -- cycle;
\node at (4.376,7.847) {\scalebox{1.617}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.081,6.016) -- (7.035,6.186) -- (6.911,6.31) -- (6.741,6.356) -- (6.571,6.31) -- (6.446,6.186) -- (6.401,6.016) -- (6.446,5.846) -- (6.571,5.722) -- (6.741,5.676) -- (6.911,5.722) -- (7.035,5.846) -- cycle;
\node at (6.741,6.016) {\scalebox{1.617}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.671,6.112) -- (9.625,6.282) -- (9.501,6.406) -- (9.331,6.452) -- (9.161,6.406) -- (9.036,6.282) -- (8.991,6.112) -- (9.036,5.942) -- (9.161,5.817) -- (9.331,5.772) -- (9.501,5.817) -- (9.625,5.942) -- cycle;
\node at (9.331,6.112) {\scalebox{1.617}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.883,4.271) -- (8.837,4.441) -- (8.713,4.566) -- (8.543,4.611) -- (8.373,4.566) -- (8.248,4.441) -- (8.203,4.271) -- (8.248,4.101) -- (8.373,3.977) -- (8.543,3.931) -- (8.713,3.977) -- (8.837,4.101) -- cycle;
\node at (8.543,4.271) {\scalebox{1.617}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.806,3.499) -- (5.761,3.669) -- (5.636,3.793) -- (5.466,3.839) -- (5.296,3.793) -- (5.172,3.669) -- (5.126,3.499) -- (5.172,3.329) -- (5.296,3.205) -- (5.466,3.159) -- (5.636,3.205) -- (5.761,3.329) -- cycle;
\node at (5.466,3.499) {\scalebox{1.617}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.93,2.913) -- (3.884,3.083) -- (3.76,3.207) -- (3.59,3.253) -- (3.42,3.207) -- (3.295,3.083) -- (3.25,2.913) -- (3.295,2.743) -- (3.42,2.618) -- (3.59,2.573) -- (3.76,2.618) -- (3.884,2.743) -- cycle;
\node at (3.59,2.913) {\scalebox{1.617}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.085,3.256) -- (7.04,3.426) -- (6.915,3.55) -- (6.745,3.596) -- (6.575,3.55) -- (6.451,3.426) -- (6.405,3.256) -- (6.451,3.086) -- (6.575,2.961) -- (6.745,2.916) -- (6.915,2.961) -- (7.04,3.086) -- cycle;
\node at (6.745,3.256) {\scalebox{1.617}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.869,3.434) -- (11.823,3.604) -- (11.699,3.729) -- (11.529,3.774) -- (11.359,3.729) -- (11.234,3.604) -- (11.189,3.434) -- (11.234,3.264) -- (11.359,3.14) -- (11.529,3.094) -- (11.699,3.14) -- (11.823,3.264) -- cycle;
\node at (11.529,3.434) {\scalebox{1.617}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.963,2.772) -- (9.918,2.942) -- (9.793,3.066) -- (9.623,3.112) -- (9.453,3.066) -- (9.329,2.942) -- (9.283,2.772) -- (9.329,2.602) -- (9.453,2.477) -- (9.623,2.432) -- (9.793,2.477) -- (9.918,2.602) -- cycle;
\node at (9.623,2.772) {\scalebox{1.617}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.704,1.47) -- (3.659,1.64) -- (3.534,1.764) -- (3.364,1.81) -- (3.194,1.764) -- (3.07,1.64) -- (3.024,1.47) -- (3.07,1.3) -- (3.194,1.176) -- (3.364,1.13) -- (3.534,1.176) -- (3.659,1.3) -- cycle;
\node at (3.364,1.47) {\scalebox{1.617}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.9,4.56) -- (5.5,4.56) -- (5.5,5.16) -- (4.9,5.16) -- cycle;
\node at (5.2,4.86) {\scalebox{1.617}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.457,1.926) -- (3.057,1.926) -- (3.057,2.526) -- (2.457,2.526) -- cycle;
\node at (2.757,2.226) {\scalebox{1.617}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.546,3.049) -- (13.146,3.049) -- (13.146,3.649) -- (12.546,3.649) -- cycle;
\node at (12.846,3.349) {\scalebox{1.617}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.256,2.207) -- (7.856,2.207) -- (7.856,2.807) -- (7.256,2.807) -- cycle;
\node at (7.556,2.507) {\scalebox{1.617}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.098,6.602) -- (10.698,6.602) -- (10.698,7.202) -- (10.098,7.202) -- cycle;
\node at (10.398,6.902) {\scalebox{1.617}{\small e}};
\node at (1.071,8.669) {\scalebox{1.617}{\small A}};
\node at (7.727,8.36) {\scalebox{1.617}{\small B}};
\node at (4.67,5.182) {\scalebox{1.617}{\small C}};
\node at (11.567,4.312) {\scalebox{1.617}{\small D}};
\node at (11.914,2.217) {\scalebox{1.617}{\small E}};
\node at (5.023,1.576) {\scalebox{1.617}{\small F}};
\node at (0.765,1.528) {\scalebox{1.617}{\small G}};
\node at (8.413,0.95) {\scalebox{1.617}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.628,7.317) -- (12.628,8.417);
\draw[line width=0.5pt] (12.397,8.032) -- (12.628,8.417) -- (12.859,8.032);
\draw[line width=0.5pt] (12.326,7.867) -- (12.931,7.867);
\node at (12.628,8.802) {\scalebox{1.617}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 1 & 4 & 4 & 3 & 1 & 2 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D}, \textbf{E}, \textbf{H} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, D, E, H).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
