\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 134}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=134}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0134}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7011, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.262,8.536) -- (11.056,8.551) -- (10.85,8.561) -- (10.644,8.566) -- (10.437,8.566) -- (10.231,8.562) -- (10.025,8.552) -- (9.819,8.538) -- (9.613,8.519) -- (9.408,8.495) -- (9.204,8.466) -- (9.0,8.433) -- (8.798,8.394) -- (8.596,8.351) -- (8.395,8.303);
\draw[line width=0.5pt] (11.262,8.536) -- (11.312,8.249) -- (11.356,7.962) -- (11.393,7.673) -- (11.423,7.383) -- (11.446,7.093) -- (11.463,6.802) -- (11.472,6.511) -- (11.475,6.219) -- (11.471,5.928) -- (11.46,5.637) -- (11.442,5.346) -- (11.418,5.056) -- (11.386,4.767) -- (11.348,4.478);
\draw[line width=0.5pt] (8.395,8.303) -- (8.147,8.281) -- (7.899,8.253) -- (7.651,8.219) -- (7.405,8.179) -- (7.159,8.133) -- (6.915,8.082) -- (6.672,8.025) -- (6.43,7.962) -- (6.19,7.893) -- (5.952,7.819) -- (5.715,7.74) -- (5.48,7.654) -- (5.248,7.564) -- (5.018,7.468);
\draw[line width=0.5pt] (8.395,8.303) -- (8.411,8.083) -- (8.421,7.863) -- (8.426,7.642) -- (8.426,7.421) -- (8.421,7.2) -- (8.41,6.979) -- (8.395,6.759) -- (8.374,6.539) -- (8.348,6.319) -- (8.316,6.1) -- (8.28,5.882) -- (8.239,5.666) -- (8.192,5.45) -- (8.141,5.235);
\draw[line width=0.5pt] (8.395,8.303) -- (8.174,8.051) -- (7.958,7.794) -- (7.748,7.531) -- (7.545,7.264) -- (7.348,6.992) -- (7.158,6.715) -- (6.973,6.434) -- (6.796,6.149) -- (6.625,5.859) -- (6.462,5.566) -- (6.305,5.269) -- (6.155,4.968) -- (6.013,4.664) -- (5.877,4.357);
\draw[line width=0.5pt] (5.018,7.468) -- (5.113,7.257) -- (5.202,7.043) -- (5.287,6.828) -- (5.367,6.61) -- (5.442,6.391) -- (5.511,6.17) -- (5.576,5.948) -- (5.635,5.724) -- (5.689,5.498) -- (5.737,5.272) -- (5.78,5.044) -- (5.818,4.816) -- (5.85,4.587) -- (5.877,4.357);
\draw[line width=0.5pt] (8.141,5.235) -- (7.971,5.198) -- (7.802,5.156) -- (7.633,5.111) -- (7.466,5.061) -- (7.301,5.008) -- (7.136,4.95) -- (6.973,4.889) -- (6.811,4.824) -- (6.651,4.756) -- (6.492,4.683) -- (6.336,4.607) -- (6.181,4.527) -- (6.028,4.444) -- (5.877,4.357);
\draw[line width=0.5pt] (8.141,5.235) -- (8.23,4.977) -- (8.314,4.717) -- (8.391,4.456) -- (8.463,4.192) -- (8.528,3.927) -- (8.587,3.66) -- (8.639,3.392) -- (8.686,3.123) -- (8.725,2.852) -- (8.759,2.581) -- (8.786,2.31) -- (8.807,2.037) -- (8.821,1.765) -- (8.829,1.492);
\draw[line width=0.5pt] (11.348,4.478) -- (11.137,4.294) -- (10.93,4.105) -- (10.728,3.911) -- (10.53,3.712) -- (10.337,3.509) -- (10.149,3.301) -- (9.965,3.089) -- (9.787,2.873) -- (9.614,2.652) -- (9.446,2.427) -- (9.283,2.199) -- (9.126,1.967) -- (8.975,1.731) -- (8.829,1.492);
\draw[line width=0.5pt] (5.877,4.357) -- (5.586,4.115) -- (5.289,3.88) -- (4.986,3.652) -- (4.678,3.431) -- (4.365,3.218) -- (4.047,3.012) -- (3.724,2.813) -- (3.397,2.622) -- (3.065,2.439) -- (2.729,2.264) -- (2.389,2.096) -- (2.046,1.937) -- (1.698,1.786) -- (1.348,1.643);
\draw[line width=0.5pt] (1.375,4.076) -- (1.347,3.904) -- (1.322,3.731) -- (1.302,3.558) -- (1.285,3.384) -- (1.273,3.21) -- (1.265,3.035) -- (1.261,2.861) -- (1.261,2.686) -- (1.265,2.511) -- (1.274,2.337) -- (1.286,2.163) -- (1.303,1.989) -- (1.323,1.816) -- (1.348,1.643);
\draw[line width=0.5pt] (1.348,1.643) -- (1.666,1.686) -- (1.984,1.721) -- (2.304,1.749) -- (2.624,1.769) -- (2.945,1.781) -- (3.266,1.787) -- (3.587,1.784) -- (3.907,1.774) -- (4.228,1.757) -- (4.548,1.731) -- (4.867,1.699) -- (5.185,1.659) -- (5.502,1.611) -- (5.818,1.556) -- (6.031,1.519) -- (6.244,1.486) -- (6.459,1.459) -- (6.674,1.437) -- (6.889,1.419) -- (7.105,1.407) -- (7.321,1.4) -- (7.537,1.398) -- (7.753,1.401) -- (7.969,1.409) -- (8.185,1.422) -- (8.4,1.44) -- (8.615,1.464) -- (8.829,1.492);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.422,8.536) -- (11.4,8.616) -- (11.342,8.674) -- (11.262,8.696) -- (11.182,8.674) -- (11.123,8.616) -- (11.102,8.536) -- (11.123,8.456) -- (11.182,8.397) -- (11.262,8.376) -- (11.342,8.397) -- (11.4,8.456) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.555,8.303) -- (8.534,8.383) -- (8.475,8.442) -- (8.395,8.463) -- (8.315,8.442) -- (8.257,8.383) -- (8.235,8.303) -- (8.257,8.223) -- (8.315,8.165) -- (8.395,8.143) -- (8.475,8.165) -- (8.534,8.223) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.178,7.468) -- (5.156,7.548) -- (5.098,7.606) -- (5.018,7.628) -- (4.938,7.606) -- (4.879,7.548) -- (4.858,7.468) -- (4.879,7.388) -- (4.938,7.329) -- (5.018,7.308) -- (5.098,7.329) -- (5.156,7.388) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.301,5.235) -- (8.279,5.315) -- (8.221,5.374) -- (8.141,5.395) -- (8.061,5.374) -- (8.002,5.315) -- (7.981,5.235) -- (8.002,5.155) -- (8.061,5.096) -- (8.141,5.075) -- (8.221,5.096) -- (8.279,5.155) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.508,4.478) -- (11.486,4.558) -- (11.428,4.617) -- (11.348,4.638) -- (11.268,4.617) -- (11.209,4.558) -- (11.188,4.478) -- (11.209,4.398) -- (11.268,4.34) -- (11.348,4.318) -- (11.428,4.34) -- (11.486,4.398) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.037,4.357) -- (6.016,4.437) -- (5.957,4.495) -- (5.877,4.517) -- (5.797,4.495) -- (5.739,4.437) -- (5.717,4.357) -- (5.739,4.277) -- (5.797,4.218) -- (5.877,4.197) -- (5.957,4.218) -- (6.016,4.277) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.535,4.076) -- (1.514,4.156) -- (1.455,4.214) -- (1.375,4.236) -- (1.295,4.214) -- (1.237,4.156) -- (1.215,4.076) -- (1.237,3.996) -- (1.295,3.937) -- (1.375,3.916) -- (1.455,3.937) -- (1.514,3.996) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.508,1.643) -- (1.486,1.723) -- (1.428,1.782) -- (1.348,1.803) -- (1.268,1.782) -- (1.209,1.723) -- (1.188,1.643) -- (1.209,1.563) -- (1.268,1.505) -- (1.348,1.483) -- (1.428,1.505) -- (1.486,1.563) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.989,1.492) -- (8.968,1.572) -- (8.909,1.631) -- (8.829,1.652) -- (8.749,1.631) -- (8.691,1.572) -- (8.669,1.492) -- (8.691,1.412) -- (8.749,1.353) -- (8.829,1.332) -- (8.909,1.353) -- (8.968,1.412) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.185,8.219) -- (10.139,8.389) -- (10.015,8.513) -- (9.845,8.559) -- (9.675,8.513) -- (9.55,8.389) -- (9.505,8.219) -- (9.55,8.049) -- (9.675,7.924) -- (9.845,7.879) -- (10.015,7.924) -- (10.139,8.049) -- cycle;
\node at (9.845,8.219) {\scalebox{1.426}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.132,6.517) -- (12.087,6.687) -- (11.962,6.812) -- (11.792,6.857) -- (11.622,6.812) -- (11.498,6.687) -- (11.452,6.517) -- (11.498,6.347) -- (11.622,6.223) -- (11.792,6.177) -- (11.962,6.223) -- (12.087,6.347) -- cycle;
\node at (11.792,6.517) {\scalebox{1.426}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.089,7.714) -- (7.043,7.884) -- (6.919,8.009) -- (6.749,8.054) -- (6.579,8.009) -- (6.454,7.884) -- (6.409,7.714) -- (6.454,7.544) -- (6.579,7.42) -- (6.749,7.374) -- (6.919,7.42) -- (7.043,7.544) -- cycle;
\node at (6.749,7.714) {\scalebox{1.426}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.053,6.732) -- (9.008,6.902) -- (8.883,7.027) -- (8.713,7.072) -- (8.543,7.027) -- (8.419,6.902) -- (8.373,6.732) -- (8.419,6.562) -- (8.543,6.438) -- (8.713,6.392) -- (8.883,6.438) -- (9.008,6.562) -- cycle;
\node at (8.713,6.732) {\scalebox{1.426}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.583,6.262) -- (7.538,6.432) -- (7.413,6.556) -- (7.243,6.602) -- (7.073,6.556) -- (6.949,6.432) -- (6.903,6.262) -- (6.949,6.092) -- (7.073,5.967) -- (7.243,5.922) -- (7.413,5.967) -- (7.538,6.092) -- cycle;
\node at (7.243,6.262) {\scalebox{1.426}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.224,6.033) -- (6.179,6.203) -- (6.054,6.327) -- (5.884,6.373) -- (5.714,6.327) -- (5.59,6.203) -- (5.544,6.033) -- (5.59,5.863) -- (5.714,5.738) -- (5.884,5.693) -- (6.054,5.738) -- (6.179,5.863) -- cycle;
\node at (5.884,6.033) {\scalebox{1.426}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.429,4.591) -- (7.383,4.761) -- (7.259,4.885) -- (7.089,4.931) -- (6.919,4.885) -- (6.794,4.761) -- (6.749,4.591) -- (6.794,4.421) -- (6.919,4.296) -- (7.089,4.251) -- (7.259,4.296) -- (7.383,4.421) -- cycle;
\node at (7.089,4.591) {\scalebox{1.426}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.294,3.45) -- (9.248,3.62) -- (9.124,3.744) -- (8.954,3.79) -- (8.784,3.744) -- (8.66,3.62) -- (8.614,3.45) -- (8.66,3.28) -- (8.784,3.155) -- (8.954,3.11) -- (9.124,3.155) -- (9.248,3.28) -- cycle;
\node at (8.954,3.45) {\scalebox{1.426}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.55,2.883) -- (10.504,3.053) -- (10.38,3.177) -- (10.21,3.223) -- (10.04,3.177) -- (9.915,3.053) -- (9.87,2.883) -- (9.915,2.713) -- (10.04,2.588) -- (10.21,2.543) -- (10.38,2.588) -- (10.504,2.713) -- cycle;
\node at (10.21,2.883) {\scalebox{1.426}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.229,2.539) -- (4.183,2.709) -- (4.059,2.833) -- (3.889,2.879) -- (3.719,2.833) -- (3.594,2.709) -- (3.549,2.539) -- (3.594,2.369) -- (3.719,2.244) -- (3.889,2.199) -- (4.059,2.244) -- (4.183,2.369) -- cycle;
\node at (3.889,2.539) {\scalebox{1.426}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.921,2.857) -- (1.876,3.027) -- (1.751,3.151) -- (1.581,3.197) -- (1.411,3.151) -- (1.287,3.027) -- (1.241,2.857) -- (1.287,2.687) -- (1.411,2.563) -- (1.581,2.517) -- (1.751,2.563) -- (1.876,2.687) -- cycle;
\node at (1.581,2.857) {\scalebox{1.426}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.213,1.871) -- (6.168,2.041) -- (6.043,2.166) -- (5.873,2.211) -- (5.703,2.166) -- (5.579,2.041) -- (5.533,1.871) -- (5.579,1.701) -- (5.703,1.577) -- (5.873,1.531) -- (6.043,1.577) -- (6.168,1.701) -- cycle;
\node at (5.873,1.871) {\scalebox{1.426}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.529,1.192) -- (9.129,1.192) -- (9.129,1.792) -- (8.529,1.792) -- cycle;
\node at (8.829,1.492) {\scalebox{1.426}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.486,8.291) -- (7.086,8.291) -- (7.086,8.891) -- (6.486,8.891) -- cycle;
\node at (6.786,8.591) {\scalebox{1.426}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.345,3.083) -- (7.945,3.083) -- (7.945,3.683) -- (7.345,3.683) -- cycle;
\node at (7.645,3.383) {\scalebox{1.426}{\small c}};
\node at (11.749,8.919) {\scalebox{1.426}{\small A}};
\node at (8.663,8.862) {\scalebox{1.426}{\small B}};
\node at (4.642,7.961) {\scalebox{1.426}{\small C}};
\node at (8.755,5.315) {\scalebox{1.426}{\small D}};
\node at (11.963,4.398) {\scalebox{1.426}{\small E}};
\node at (5.377,3.99) {\scalebox{1.426}{\small F}};
\node at (0.765,3.966) {\scalebox{1.426}{\small G}};
\node at (0.821,1.315) {\scalebox{1.426}{\small H}};
\node at (9.13,0.95) {\scalebox{1.426}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.648,7.586) -- (12.648,8.686);
\draw[line width=0.5pt] (12.417,8.301) -- (12.648,8.686) -- (12.879,8.301);
\draw[line width=0.5pt] (12.345,8.136) -- (12.95,8.136);
\node at (12.648,9.071) {\scalebox{1.426}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Puits & ⑦ rue Neuve & Ⓐ Place de l'Église & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin de Ronde & ⑧ rue du Four & Ⓑ Carrefour du Moulin & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑨ venelle du Chat & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ rue de la Mairie & ⑩ boulevard du Parc & Ⓓ Rond-point du Stade &  \\ \hline
⑤ avenue de la Gare & ⑪ impasse des Roses & Ⓔ Place du Marché &  \\ \hline
⑥ rue Basse & ⑫ sentier des Prés & Ⓕ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6273, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.262,8.536) -- (11.056,8.551) -- (10.85,8.561) -- (10.644,8.566) -- (10.437,8.566) -- (10.231,8.562) -- (10.025,8.552) -- (9.819,8.538) -- (9.613,8.519) -- (9.408,8.495) -- (9.204,8.466) -- (9.0,8.433) -- (8.798,8.394) -- (8.596,8.351) -- (8.395,8.303);
\draw[line width=0.5pt] (11.262,8.536) -- (11.312,8.249) -- (11.356,7.962) -- (11.393,7.673) -- (11.423,7.383) -- (11.446,7.093) -- (11.463,6.802) -- (11.472,6.511) -- (11.475,6.219) -- (11.471,5.928) -- (11.46,5.637) -- (11.442,5.346) -- (11.418,5.056) -- (11.386,4.767) -- (11.348,4.478);
\draw[line width=0.5pt] (8.395,8.303) -- (8.147,8.281) -- (7.899,8.253) -- (7.651,8.219) -- (7.405,8.179) -- (7.159,8.133) -- (6.915,8.082) -- (6.672,8.025) -- (6.43,7.962) -- (6.19,7.893) -- (5.952,7.819) -- (5.715,7.74) -- (5.48,7.654) -- (5.248,7.564) -- (5.018,7.468);
\draw[line width=0.5pt] (8.395,8.303) -- (8.411,8.083) -- (8.421,7.863) -- (8.426,7.642) -- (8.426,7.421) -- (8.421,7.2) -- (8.41,6.979) -- (8.395,6.759) -- (8.374,6.539) -- (8.348,6.319) -- (8.316,6.1) -- (8.28,5.882) -- (8.239,5.666) -- (8.192,5.45) -- (8.141,5.235);
\draw[line width=0.5pt] (8.395,8.303) -- (8.174,8.051) -- (7.958,7.794) -- (7.748,7.531) -- (7.545,7.264) -- (7.348,6.992) -- (7.158,6.715) -- (6.973,6.434) -- (6.796,6.149) -- (6.625,5.859) -- (6.462,5.566) -- (6.305,5.269) -- (6.155,4.968) -- (6.013,4.664) -- (5.877,4.357);
\draw[line width=0.5pt] (5.018,7.468) -- (5.113,7.257) -- (5.202,7.043) -- (5.287,6.828) -- (5.367,6.61) -- (5.442,6.391) -- (5.511,6.17) -- (5.576,5.948) -- (5.635,5.724) -- (5.689,5.498) -- (5.737,5.272) -- (5.78,5.044) -- (5.818,4.816) -- (5.85,4.587) -- (5.877,4.357);
\draw[line width=0.5pt] (8.141,5.235) -- (7.971,5.198) -- (7.802,5.156) -- (7.633,5.111) -- (7.466,5.061) -- (7.301,5.008) -- (7.136,4.95) -- (6.973,4.889) -- (6.811,4.824) -- (6.651,4.756) -- (6.492,4.683) -- (6.336,4.607) -- (6.181,4.527) -- (6.028,4.444) -- (5.877,4.357);
\draw[line width=0.5pt] (8.141,5.235) -- (8.23,4.977) -- (8.314,4.717) -- (8.391,4.456) -- (8.463,4.192) -- (8.528,3.927) -- (8.587,3.66) -- (8.639,3.392) -- (8.686,3.123) -- (8.725,2.852) -- (8.759,2.581) -- (8.786,2.31) -- (8.807,2.037) -- (8.821,1.765) -- (8.829,1.492);
\draw[line width=0.5pt] (11.348,4.478) -- (11.137,4.294) -- (10.93,4.105) -- (10.728,3.911) -- (10.53,3.712) -- (10.337,3.509) -- (10.149,3.301) -- (9.965,3.089) -- (9.787,2.873) -- (9.614,2.652) -- (9.446,2.427) -- (9.283,2.199) -- (9.126,1.967) -- (8.975,1.731) -- (8.829,1.492);
\draw[line width=0.5pt] (5.877,4.357) -- (5.586,4.115) -- (5.289,3.88) -- (4.986,3.652) -- (4.678,3.431) -- (4.365,3.218) -- (4.047,3.012) -- (3.724,2.813) -- (3.397,2.622) -- (3.065,2.439) -- (2.729,2.264) -- (2.389,2.096) -- (2.046,1.937) -- (1.698,1.786) -- (1.348,1.643);
\draw[line width=0.5pt] (1.375,4.076) -- (1.347,3.904) -- (1.322,3.731) -- (1.302,3.558) -- (1.285,3.384) -- (1.273,3.21) -- (1.265,3.035) -- (1.261,2.861) -- (1.261,2.686) -- (1.265,2.511) -- (1.274,2.337) -- (1.286,2.163) -- (1.303,1.989) -- (1.323,1.816) -- (1.348,1.643);
\draw[line width=0.5pt] (1.348,1.643) -- (1.666,1.686) -- (1.984,1.721) -- (2.304,1.749) -- (2.624,1.769) -- (2.945,1.781) -- (3.266,1.787) -- (3.587,1.784) -- (3.907,1.774) -- (4.228,1.757) -- (4.548,1.731) -- (4.867,1.699) -- (5.185,1.659) -- (5.502,1.611) -- (5.818,1.556) -- (6.031,1.519) -- (6.244,1.486) -- (6.459,1.459) -- (6.674,1.437) -- (6.889,1.419) -- (7.105,1.407) -- (7.321,1.4) -- (7.537,1.398) -- (7.753,1.401) -- (7.969,1.409) -- (8.185,1.422) -- (8.4,1.44) -- (8.615,1.464) -- (8.829,1.492);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.422,8.536) -- (11.4,8.616) -- (11.342,8.674) -- (11.262,8.696) -- (11.182,8.674) -- (11.123,8.616) -- (11.102,8.536) -- (11.123,8.456) -- (11.182,8.397) -- (11.262,8.376) -- (11.342,8.397) -- (11.4,8.456) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.555,8.303) -- (8.534,8.383) -- (8.475,8.442) -- (8.395,8.463) -- (8.315,8.442) -- (8.257,8.383) -- (8.235,8.303) -- (8.257,8.223) -- (8.315,8.165) -- (8.395,8.143) -- (8.475,8.165) -- (8.534,8.223) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.178,7.468) -- (5.156,7.548) -- (5.098,7.606) -- (5.018,7.628) -- (4.938,7.606) -- (4.879,7.548) -- (4.858,7.468) -- (4.879,7.388) -- (4.938,7.329) -- (5.018,7.308) -- (5.098,7.329) -- (5.156,7.388) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.301,5.235) -- (8.279,5.315) -- (8.221,5.374) -- (8.141,5.395) -- (8.061,5.374) -- (8.002,5.315) -- (7.981,5.235) -- (8.002,5.155) -- (8.061,5.096) -- (8.141,5.075) -- (8.221,5.096) -- (8.279,5.155) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.508,4.478) -- (11.486,4.558) -- (11.428,4.617) -- (11.348,4.638) -- (11.268,4.617) -- (11.209,4.558) -- (11.188,4.478) -- (11.209,4.398) -- (11.268,4.34) -- (11.348,4.318) -- (11.428,4.34) -- (11.486,4.398) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.037,4.357) -- (6.016,4.437) -- (5.957,4.495) -- (5.877,4.517) -- (5.797,4.495) -- (5.739,4.437) -- (5.717,4.357) -- (5.739,4.277) -- (5.797,4.218) -- (5.877,4.197) -- (5.957,4.218) -- (6.016,4.277) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.535,4.076) -- (1.514,4.156) -- (1.455,4.214) -- (1.375,4.236) -- (1.295,4.214) -- (1.237,4.156) -- (1.215,4.076) -- (1.237,3.996) -- (1.295,3.937) -- (1.375,3.916) -- (1.455,3.937) -- (1.514,3.996) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.508,1.643) -- (1.486,1.723) -- (1.428,1.782) -- (1.348,1.803) -- (1.268,1.782) -- (1.209,1.723) -- (1.188,1.643) -- (1.209,1.563) -- (1.268,1.505) -- (1.348,1.483) -- (1.428,1.505) -- (1.486,1.563) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.989,1.492) -- (8.968,1.572) -- (8.909,1.631) -- (8.829,1.652) -- (8.749,1.631) -- (8.691,1.572) -- (8.669,1.492) -- (8.691,1.412) -- (8.749,1.353) -- (8.829,1.332) -- (8.909,1.353) -- (8.968,1.412) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.185,8.219) -- (10.139,8.389) -- (10.015,8.513) -- (9.845,8.559) -- (9.675,8.513) -- (9.55,8.389) -- (9.505,8.219) -- (9.55,8.049) -- (9.675,7.924) -- (9.845,7.879) -- (10.015,7.924) -- (10.139,8.049) -- cycle;
\node at (9.845,8.219) {\scalebox{1.594}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.132,6.517) -- (12.087,6.687) -- (11.962,6.812) -- (11.792,6.857) -- (11.622,6.812) -- (11.498,6.687) -- (11.452,6.517) -- (11.498,6.347) -- (11.622,6.223) -- (11.792,6.177) -- (11.962,6.223) -- (12.087,6.347) -- cycle;
\node at (11.792,6.517) {\scalebox{1.594}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.089,7.714) -- (7.043,7.884) -- (6.919,8.009) -- (6.749,8.054) -- (6.579,8.009) -- (6.454,7.884) -- (6.409,7.714) -- (6.454,7.544) -- (6.579,7.42) -- (6.749,7.374) -- (6.919,7.42) -- (7.043,7.544) -- cycle;
\node at (6.749,7.714) {\scalebox{1.594}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.053,6.732) -- (9.008,6.902) -- (8.883,7.027) -- (8.713,7.072) -- (8.543,7.027) -- (8.419,6.902) -- (8.373,6.732) -- (8.419,6.562) -- (8.543,6.438) -- (8.713,6.392) -- (8.883,6.438) -- (9.008,6.562) -- cycle;
\node at (8.713,6.732) {\scalebox{1.594}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.583,6.262) -- (7.538,6.432) -- (7.413,6.556) -- (7.243,6.602) -- (7.073,6.556) -- (6.949,6.432) -- (6.903,6.262) -- (6.949,6.092) -- (7.073,5.967) -- (7.243,5.922) -- (7.413,5.967) -- (7.538,6.092) -- cycle;
\node at (7.243,6.262) {\scalebox{1.594}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.224,6.033) -- (6.179,6.203) -- (6.054,6.327) -- (5.884,6.373) -- (5.714,6.327) -- (5.59,6.203) -- (5.544,6.033) -- (5.59,5.863) -- (5.714,5.738) -- (5.884,5.693) -- (6.054,5.738) -- (6.179,5.863) -- cycle;
\node at (5.884,6.033) {\scalebox{1.594}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.429,4.591) -- (7.383,4.761) -- (7.259,4.885) -- (7.089,4.931) -- (6.919,4.885) -- (6.794,4.761) -- (6.749,4.591) -- (6.794,4.421) -- (6.919,4.296) -- (7.089,4.251) -- (7.259,4.296) -- (7.383,4.421) -- cycle;
\node at (7.089,4.591) {\scalebox{1.594}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.294,3.45) -- (9.248,3.62) -- (9.124,3.744) -- (8.954,3.79) -- (8.784,3.744) -- (8.66,3.62) -- (8.614,3.45) -- (8.66,3.28) -- (8.784,3.155) -- (8.954,3.11) -- (9.124,3.155) -- (9.248,3.28) -- cycle;
\node at (8.954,3.45) {\scalebox{1.594}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.55,2.883) -- (10.504,3.053) -- (10.38,3.177) -- (10.21,3.223) -- (10.04,3.177) -- (9.915,3.053) -- (9.87,2.883) -- (9.915,2.713) -- (10.04,2.588) -- (10.21,2.543) -- (10.38,2.588) -- (10.504,2.713) -- cycle;
\node at (10.21,2.883) {\scalebox{1.594}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.229,2.539) -- (4.183,2.709) -- (4.059,2.833) -- (3.889,2.879) -- (3.719,2.833) -- (3.594,2.709) -- (3.549,2.539) -- (3.594,2.369) -- (3.719,2.244) -- (3.889,2.199) -- (4.059,2.244) -- (4.183,2.369) -- cycle;
\node at (3.889,2.539) {\scalebox{1.594}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.921,2.857) -- (1.876,3.027) -- (1.751,3.151) -- (1.581,3.197) -- (1.411,3.151) -- (1.287,3.027) -- (1.241,2.857) -- (1.287,2.687) -- (1.411,2.563) -- (1.581,2.517) -- (1.751,2.563) -- (1.876,2.687) -- cycle;
\node at (1.581,2.857) {\scalebox{1.594}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.213,1.871) -- (6.168,2.041) -- (6.043,2.166) -- (5.873,2.211) -- (5.703,2.166) -- (5.579,2.041) -- (5.533,1.871) -- (5.579,1.701) -- (5.703,1.577) -- (5.873,1.531) -- (6.043,1.577) -- (6.168,1.701) -- cycle;
\node at (5.873,1.871) {\scalebox{1.594}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.529,1.192) -- (9.129,1.192) -- (9.129,1.792) -- (8.529,1.792) -- cycle;
\node at (8.829,1.492) {\scalebox{1.594}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.486,8.291) -- (7.086,8.291) -- (7.086,8.891) -- (6.486,8.891) -- cycle;
\node at (6.786,8.591) {\scalebox{1.594}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.345,3.083) -- (7.945,3.083) -- (7.945,3.683) -- (7.345,3.683) -- cycle;
\node at (7.645,3.383) {\scalebox{1.594}{\small c}};
\node at (11.749,8.919) {\scalebox{1.594}{\small A}};
\node at (8.663,8.862) {\scalebox{1.594}{\small B}};
\node at (4.642,7.961) {\scalebox{1.594}{\small C}};
\node at (8.755,5.315) {\scalebox{1.594}{\small D}};
\node at (11.963,4.398) {\scalebox{1.594}{\small E}};
\node at (5.377,3.99) {\scalebox{1.594}{\small F}};
\node at (0.765,3.966) {\scalebox{1.594}{\small G}};
\node at (0.821,1.315) {\scalebox{1.594}{\small H}};
\node at (9.13,0.95) {\scalebox{1.594}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.648,7.586) -- (12.648,8.686);
\draw[line width=0.5pt] (12.417,8.301) -- (12.648,8.686) -- (12.879,8.301);
\draw[line width=0.5pt] (12.345,8.136) -- (12.95,8.136);
\node at (12.648,9.071) {\scalebox{1.594}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 2 & 3 & 2 & 4 & 1 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{G}, \textbf{H}, \textbf{I} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{I}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (D, G, H, I).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
