\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 14}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=14}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0014}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6992, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.338,8.486) -- (7.152,8.463) -- (6.966,8.437) -- (6.781,8.405) -- (6.597,8.37) -- (6.414,8.33) -- (6.231,8.286) -- (6.05,8.237) -- (5.87,8.184) -- (5.691,8.128) -- (5.513,8.066) -- (5.337,8.001) -- (5.163,7.932) -- (4.991,7.858) -- (4.82,7.781);
\draw[line width=0.5pt] (7.338,8.486) -- (7.58,8.467) -- (7.822,8.443) -- (8.063,8.413) -- (8.304,8.378) -- (8.543,8.336) -- (8.782,8.29) -- (9.019,8.237) -- (9.256,8.179) -- (9.49,8.116) -- (9.723,8.047) -- (9.955,7.972) -- (10.184,7.892) -- (10.412,7.807) -- (10.637,7.716);
\draw[line width=0.5pt] (7.338,8.486) -- (7.337,8.201) -- (7.342,7.916) -- (7.354,7.63) -- (7.372,7.346) -- (7.398,7.061) -- (7.43,6.778) -- (7.468,6.495) -- (7.514,6.213) -- (7.566,5.932) -- (7.624,5.653) -- (7.689,5.375) -- (7.761,5.099) -- (7.839,4.825) -- (7.923,4.552) -- (7.91,4.339) -- (7.891,4.126) -- (7.867,3.913) -- (7.838,3.701) -- (7.804,3.489) -- (7.765,3.279) -- (7.722,3.069) -- (7.673,2.86) -- (7.62,2.653) -- (7.561,2.447) -- (7.498,2.242) -- (7.43,2.039) -- (7.357,1.838) -- (7.28,1.638);
\draw[line width=0.5pt] (4.82,7.781) -- (4.821,7.617) -- (4.819,7.453) -- (4.813,7.29) -- (4.803,7.126) -- (4.789,6.963) -- (4.771,6.8) -- (4.75,6.637) -- (4.725,6.475) -- (4.696,6.314) -- (4.663,6.153) -- (4.626,5.994) -- (4.586,5.835) -- (4.541,5.677) -- (4.494,5.521);
\draw[line width=0.5pt] (10.637,7.716) -- (10.657,7.492) -- (10.682,7.268) -- (10.712,7.045) -- (10.748,6.823) -- (10.788,6.602) -- (10.834,6.381) -- (10.885,6.162) -- (10.941,5.944) -- (11.003,5.727) -- (11.069,5.512) -- (11.14,5.298) -- (11.217,5.087) -- (11.298,4.877) -- (11.384,4.669);
\draw[line width=0.5pt] (4.494,5.521) -- (4.278,5.456) -- (4.061,5.396) -- (3.842,5.341) -- (3.623,5.292) -- (3.402,5.248) -- (3.18,5.209) -- (2.957,5.175) -- (2.733,5.146) -- (2.509,5.123) -- (2.285,5.105) -- (2.06,5.092) -- (1.835,5.085) -- (1.61,5.083) -- (1.384,5.086);
\draw[line width=0.5pt] (4.494,5.521) -- (4.649,5.215) -- (4.811,4.913) -- (4.98,4.615) -- (5.156,4.321) -- (5.34,4.031) -- (5.53,3.746) -- (5.727,3.465) -- (5.93,3.188) -- (6.139,2.917) -- (6.355,2.65) -- (6.578,2.389) -- (6.806,2.133) -- (7.04,1.883) -- (7.28,1.638);
\draw[line width=0.5pt] (4.494,5.521) -- (4.509,5.23) -- (4.518,4.939) -- (4.52,4.647) -- (4.516,4.356) -- (4.504,4.065) -- (4.485,3.774) -- (4.46,3.483) -- (4.428,3.193) -- (4.389,2.905) -- (4.343,2.617) -- (4.291,2.33) -- (4.232,2.045) -- (4.166,1.761) -- (4.093,1.479);
\draw[line width=0.5pt] (7.28,1.638) -- (7.052,1.662) -- (6.824,1.68) -- (6.596,1.693) -- (6.367,1.7) -- (6.138,1.702) -- (5.909,1.699) -- (5.68,1.69) -- (5.451,1.676) -- (5.223,1.656) -- (4.996,1.632) -- (4.769,1.601) -- (4.542,1.566) -- (4.317,1.525) -- (4.093,1.479);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.498,8.486) -- (7.477,8.566) -- (7.418,8.624) -- (7.338,8.646) -- (7.258,8.624) -- (7.2,8.566) -- (7.178,8.486) -- (7.2,8.406) -- (7.258,8.347) -- (7.338,8.326) -- (7.418,8.347) -- (7.477,8.406) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.98,7.781) -- (4.958,7.861) -- (4.9,7.919) -- (4.82,7.941) -- (4.74,7.919) -- (4.681,7.861) -- (4.66,7.781) -- (4.681,7.701) -- (4.74,7.642) -- (4.82,7.621) -- (4.9,7.642) -- (4.958,7.701) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.797,7.716) -- (10.776,7.796) -- (10.717,7.855) -- (10.637,7.876) -- (10.557,7.855) -- (10.499,7.796) -- (10.477,7.716) -- (10.499,7.636) -- (10.557,7.578) -- (10.637,7.556) -- (10.717,7.578) -- (10.776,7.636) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.654,5.521) -- (4.632,5.601) -- (4.574,5.659) -- (4.494,5.681) -- (4.414,5.659) -- (4.355,5.601) -- (4.334,5.521) -- (4.355,5.441) -- (4.414,5.382) -- (4.494,5.361) -- (4.574,5.382) -- (4.632,5.441) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.544,5.086) -- (1.523,5.166) -- (1.464,5.224) -- (1.384,5.246) -- (1.304,5.224) -- (1.246,5.166) -- (1.224,5.086) -- (1.246,5.006) -- (1.304,4.947) -- (1.384,4.926) -- (1.464,4.947) -- (1.523,5.006) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.544,4.669) -- (11.523,4.749) -- (11.464,4.808) -- (11.384,4.829) -- (11.304,4.808) -- (11.246,4.749) -- (11.224,4.669) -- (11.246,4.589) -- (11.304,4.53) -- (11.384,4.509) -- (11.464,4.53) -- (11.523,4.589) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.44,1.638) -- (7.418,1.718) -- (7.36,1.777) -- (7.28,1.798) -- (7.2,1.777) -- (7.141,1.718) -- (7.12,1.638) -- (7.141,1.558) -- (7.2,1.5) -- (7.28,1.478) -- (7.36,1.5) -- (7.418,1.558) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.253,1.479) -- (4.232,1.559) -- (4.173,1.617) -- (4.093,1.639) -- (4.013,1.617) -- (3.955,1.559) -- (3.933,1.479) -- (3.955,1.399) -- (4.013,1.34) -- (4.093,1.319) -- (4.173,1.34) -- (4.232,1.399) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.476,7.929) -- (6.431,8.099) -- (6.306,8.223) -- (6.136,8.269) -- (5.966,8.223) -- (5.842,8.099) -- (5.796,7.929) -- (5.842,7.759) -- (5.966,7.635) -- (6.136,7.589) -- (6.306,7.635) -- (6.431,7.759) -- cycle;
\node at (6.136,7.929) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.432,8.549) -- (9.387,8.719) -- (9.262,8.843) -- (9.092,8.889) -- (8.922,8.843) -- (8.798,8.719) -- (8.752,8.549) -- (8.798,8.379) -- (8.922,8.254) -- (9.092,8.209) -- (9.262,8.254) -- (9.387,8.379) -- cycle;
\node at (9.092,8.549) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.58,4.599) -- (8.534,4.769) -- (8.41,4.893) -- (8.24,4.939) -- (8.07,4.893) -- (7.945,4.769) -- (7.9,4.599) -- (7.945,4.429) -- (8.07,4.304) -- (8.24,4.259) -- (8.41,4.304) -- (8.534,4.429) -- cycle;
\node at (8.24,4.599) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.407,6.592) -- (5.361,6.762) -- (5.237,6.886) -- (5.067,6.932) -- (4.897,6.886) -- (4.772,6.762) -- (4.727,6.592) -- (4.772,6.422) -- (4.897,6.297) -- (5.067,6.252) -- (5.237,6.297) -- (5.361,6.422) -- cycle;
\node at (5.067,6.592) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.536,6.238) -- (11.49,6.408) -- (11.366,6.532) -- (11.196,6.578) -- (11.026,6.532) -- (10.902,6.408) -- (10.856,6.238) -- (10.902,6.068) -- (11.026,5.944) -- (11.196,5.898) -- (11.366,5.944) -- (11.49,6.068) -- cycle;
\node at (11.196,6.238) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.341,4.858) -- (3.296,5.028) -- (3.171,5.152) -- (3.001,5.198) -- (2.831,5.152) -- (2.707,5.028) -- (2.661,4.858) -- (2.707,4.688) -- (2.831,4.564) -- (3.001,4.518) -- (3.171,4.564) -- (3.296,4.688) -- cycle;
\node at (3.001,4.858) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.327,3.651) -- (6.281,3.821) -- (6.157,3.946) -- (5.987,3.991) -- (5.817,3.946) -- (5.692,3.821) -- (5.647,3.651) -- (5.692,3.481) -- (5.817,3.357) -- (5.987,3.311) -- (6.157,3.357) -- (6.281,3.481) -- cycle;
\node at (5.987,3.651) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.119,3.452) -- (5.073,3.622) -- (4.949,3.746) -- (4.779,3.792) -- (4.609,3.746) -- (4.484,3.622) -- (4.439,3.452) -- (4.484,3.282) -- (4.609,3.157) -- (4.779,3.112) -- (4.949,3.157) -- (5.073,3.282) -- cycle;
\node at (4.779,3.452) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.036,1.37) -- (5.99,1.54) -- (5.866,1.665) -- (5.696,1.71) -- (5.526,1.665) -- (5.401,1.54) -- (5.356,1.37) -- (5.401,1.2) -- (5.526,1.076) -- (5.696,1.03) -- (5.866,1.076) -- (5.99,1.2) -- cycle;
\node at (5.696,1.37) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.038,8.186) -- (7.638,8.186) -- (7.638,8.786) -- (7.038,8.786) -- cycle;
\node at (7.338,8.486) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.259,7.077) -- (4.859,7.077) -- (4.859,7.677) -- (4.259,7.677) -- cycle;
\node at (4.559,7.377) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.69,2.401) -- (6.29,2.401) -- (6.29,3.001) -- (5.69,3.001) -- cycle;
\node at (5.99,2.701) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.198,6.208) -- (12.798,6.208) -- (12.798,6.808) -- (12.198,6.808) -- cycle;
\node at (12.498,6.508) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.654,4.118) -- (2.254,4.118) -- (2.254,4.718) -- (1.654,4.718) -- cycle;
\node at (1.954,4.418) {\scalebox{1.43}{\small e}};
\node at (7.508,9.082) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (4.483,8.301) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (11.175,8.025) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (3.878,5.592) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (0.765,5.06) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (12.0,4.591) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (7.42,1.035) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\node at (3.77,0.95) {\scalebox{1.43}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.684,7.536) -- (12.684,8.636);
\draw[line width=0.5pt] (12.453,8.251) -- (12.684,8.636) -- (12.915,8.251);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,8.086) -- (12.987,8.086);
\node at (12.684,9.021) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Neuve & ⑥ impasse Sainte-Anne & Ⓐ Carrefour Saint-Roch & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin de Ronde & ⑦ rue de l'Église & Ⓑ Place du Vieux-Puits & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ rue Pasteur & ⑧ sentier des Prés & Ⓒ Place de la Fontaine & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ rue des Jardins & ⑨ rue de la Mairie & Ⓓ Rond-point des Vaches & \textbf{d} la mairie \\ \hline
⑤ impasse des Roses &  & Ⓔ Coin du Lavoir & \textbf{e} le gymnase \\ \hline
 &  & Ⓕ Placette des Ormes &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6256, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.338,8.486) -- (7.152,8.463) -- (6.966,8.437) -- (6.781,8.405) -- (6.597,8.37) -- (6.414,8.33) -- (6.231,8.286) -- (6.05,8.237) -- (5.87,8.184) -- (5.691,8.128) -- (5.513,8.066) -- (5.337,8.001) -- (5.163,7.932) -- (4.991,7.858) -- (4.82,7.781);
\draw[line width=0.5pt] (7.338,8.486) -- (7.58,8.467) -- (7.822,8.443) -- (8.063,8.413) -- (8.304,8.378) -- (8.543,8.336) -- (8.782,8.29) -- (9.019,8.237) -- (9.256,8.179) -- (9.49,8.116) -- (9.723,8.047) -- (9.955,7.972) -- (10.184,7.892) -- (10.412,7.807) -- (10.637,7.716);
\draw[line width=0.5pt] (7.338,8.486) -- (7.337,8.201) -- (7.342,7.916) -- (7.354,7.63) -- (7.372,7.346) -- (7.398,7.061) -- (7.43,6.778) -- (7.468,6.495) -- (7.514,6.213) -- (7.566,5.932) -- (7.624,5.653) -- (7.689,5.375) -- (7.761,5.099) -- (7.839,4.825) -- (7.923,4.552) -- (7.91,4.339) -- (7.891,4.126) -- (7.867,3.913) -- (7.838,3.701) -- (7.804,3.489) -- (7.765,3.279) -- (7.722,3.069) -- (7.673,2.86) -- (7.62,2.653) -- (7.561,2.447) -- (7.498,2.242) -- (7.43,2.039) -- (7.357,1.838) -- (7.28,1.638);
\draw[line width=0.5pt] (4.82,7.781) -- (4.821,7.617) -- (4.819,7.453) -- (4.813,7.29) -- (4.803,7.126) -- (4.789,6.963) -- (4.771,6.8) -- (4.75,6.637) -- (4.725,6.475) -- (4.696,6.314) -- (4.663,6.153) -- (4.626,5.994) -- (4.586,5.835) -- (4.541,5.677) -- (4.494,5.521);
\draw[line width=0.5pt] (10.637,7.716) -- (10.657,7.492) -- (10.682,7.268) -- (10.712,7.045) -- (10.748,6.823) -- (10.788,6.602) -- (10.834,6.381) -- (10.885,6.162) -- (10.941,5.944) -- (11.003,5.727) -- (11.069,5.512) -- (11.14,5.298) -- (11.217,5.087) -- (11.298,4.877) -- (11.384,4.669);
\draw[line width=0.5pt] (4.494,5.521) -- (4.278,5.456) -- (4.061,5.396) -- (3.842,5.341) -- (3.623,5.292) -- (3.402,5.248) -- (3.18,5.209) -- (2.957,5.175) -- (2.733,5.146) -- (2.509,5.123) -- (2.285,5.105) -- (2.06,5.092) -- (1.835,5.085) -- (1.61,5.083) -- (1.384,5.086);
\draw[line width=0.5pt] (4.494,5.521) -- (4.649,5.215) -- (4.811,4.913) -- (4.98,4.615) -- (5.156,4.321) -- (5.34,4.031) -- (5.53,3.746) -- (5.727,3.465) -- (5.93,3.188) -- (6.139,2.917) -- (6.355,2.65) -- (6.578,2.389) -- (6.806,2.133) -- (7.04,1.883) -- (7.28,1.638);
\draw[line width=0.5pt] (4.494,5.521) -- (4.509,5.23) -- (4.518,4.939) -- (4.52,4.647) -- (4.516,4.356) -- (4.504,4.065) -- (4.485,3.774) -- (4.46,3.483) -- (4.428,3.193) -- (4.389,2.905) -- (4.343,2.617) -- (4.291,2.33) -- (4.232,2.045) -- (4.166,1.761) -- (4.093,1.479);
\draw[line width=0.5pt] (7.28,1.638) -- (7.052,1.662) -- (6.824,1.68) -- (6.596,1.693) -- (6.367,1.7) -- (6.138,1.702) -- (5.909,1.699) -- (5.68,1.69) -- (5.451,1.676) -- (5.223,1.656) -- (4.996,1.632) -- (4.769,1.601) -- (4.542,1.566) -- (4.317,1.525) -- (4.093,1.479);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.498,8.486) -- (7.477,8.566) -- (7.418,8.624) -- (7.338,8.646) -- (7.258,8.624) -- (7.2,8.566) -- (7.178,8.486) -- (7.2,8.406) -- (7.258,8.347) -- (7.338,8.326) -- (7.418,8.347) -- (7.477,8.406) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.98,7.781) -- (4.958,7.861) -- (4.9,7.919) -- (4.82,7.941) -- (4.74,7.919) -- (4.681,7.861) -- (4.66,7.781) -- (4.681,7.701) -- (4.74,7.642) -- (4.82,7.621) -- (4.9,7.642) -- (4.958,7.701) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.797,7.716) -- (10.776,7.796) -- (10.717,7.855) -- (10.637,7.876) -- (10.557,7.855) -- (10.499,7.796) -- (10.477,7.716) -- (10.499,7.636) -- (10.557,7.578) -- (10.637,7.556) -- (10.717,7.578) -- (10.776,7.636) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.654,5.521) -- (4.632,5.601) -- (4.574,5.659) -- (4.494,5.681) -- (4.414,5.659) -- (4.355,5.601) -- (4.334,5.521) -- (4.355,5.441) -- (4.414,5.382) -- (4.494,5.361) -- (4.574,5.382) -- (4.632,5.441) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.544,5.086) -- (1.523,5.166) -- (1.464,5.224) -- (1.384,5.246) -- (1.304,5.224) -- (1.246,5.166) -- (1.224,5.086) -- (1.246,5.006) -- (1.304,4.947) -- (1.384,4.926) -- (1.464,4.947) -- (1.523,5.006) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.544,4.669) -- (11.523,4.749) -- (11.464,4.808) -- (11.384,4.829) -- (11.304,4.808) -- (11.246,4.749) -- (11.224,4.669) -- (11.246,4.589) -- (11.304,4.53) -- (11.384,4.509) -- (11.464,4.53) -- (11.523,4.589) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.44,1.638) -- (7.418,1.718) -- (7.36,1.777) -- (7.28,1.798) -- (7.2,1.777) -- (7.141,1.718) -- (7.12,1.638) -- (7.141,1.558) -- (7.2,1.5) -- (7.28,1.478) -- (7.36,1.5) -- (7.418,1.558) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.253,1.479) -- (4.232,1.559) -- (4.173,1.617) -- (4.093,1.639) -- (4.013,1.617) -- (3.955,1.559) -- (3.933,1.479) -- (3.955,1.399) -- (4.013,1.34) -- (4.093,1.319) -- (4.173,1.34) -- (4.232,1.399) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.476,7.929) -- (6.431,8.099) -- (6.306,8.223) -- (6.136,8.269) -- (5.966,8.223) -- (5.842,8.099) -- (5.796,7.929) -- (5.842,7.759) -- (5.966,7.635) -- (6.136,7.589) -- (6.306,7.635) -- (6.431,7.759) -- cycle;
\node at (6.136,7.929) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.432,8.549) -- (9.387,8.719) -- (9.262,8.843) -- (9.092,8.889) -- (8.922,8.843) -- (8.798,8.719) -- (8.752,8.549) -- (8.798,8.379) -- (8.922,8.254) -- (9.092,8.209) -- (9.262,8.254) -- (9.387,8.379) -- cycle;
\node at (9.092,8.549) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.58,4.599) -- (8.534,4.769) -- (8.41,4.893) -- (8.24,4.939) -- (8.07,4.893) -- (7.945,4.769) -- (7.9,4.599) -- (7.945,4.429) -- (8.07,4.304) -- (8.24,4.259) -- (8.41,4.304) -- (8.534,4.429) -- cycle;
\node at (8.24,4.599) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.407,6.592) -- (5.361,6.762) -- (5.237,6.886) -- (5.067,6.932) -- (4.897,6.886) -- (4.772,6.762) -- (4.727,6.592) -- (4.772,6.422) -- (4.897,6.297) -- (5.067,6.252) -- (5.237,6.297) -- (5.361,6.422) -- cycle;
\node at (5.067,6.592) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.536,6.238) -- (11.49,6.408) -- (11.366,6.532) -- (11.196,6.578) -- (11.026,6.532) -- (10.902,6.408) -- (10.856,6.238) -- (10.902,6.068) -- (11.026,5.944) -- (11.196,5.898) -- (11.366,5.944) -- (11.49,6.068) -- cycle;
\node at (11.196,6.238) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.341,4.858) -- (3.296,5.028) -- (3.171,5.152) -- (3.001,5.198) -- (2.831,5.152) -- (2.707,5.028) -- (2.661,4.858) -- (2.707,4.688) -- (2.831,4.564) -- (3.001,4.518) -- (3.171,4.564) -- (3.296,4.688) -- cycle;
\node at (3.001,4.858) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.327,3.651) -- (6.281,3.821) -- (6.157,3.946) -- (5.987,3.991) -- (5.817,3.946) -- (5.692,3.821) -- (5.647,3.651) -- (5.692,3.481) -- (5.817,3.357) -- (5.987,3.311) -- (6.157,3.357) -- (6.281,3.481) -- cycle;
\node at (5.987,3.651) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.119,3.452) -- (5.073,3.622) -- (4.949,3.746) -- (4.779,3.792) -- (4.609,3.746) -- (4.484,3.622) -- (4.439,3.452) -- (4.484,3.282) -- (4.609,3.157) -- (4.779,3.112) -- (4.949,3.157) -- (5.073,3.282) -- cycle;
\node at (4.779,3.452) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.036,1.37) -- (5.99,1.54) -- (5.866,1.665) -- (5.696,1.71) -- (5.526,1.665) -- (5.401,1.54) -- (5.356,1.37) -- (5.401,1.2) -- (5.526,1.076) -- (5.696,1.03) -- (5.866,1.076) -- (5.99,1.2) -- cycle;
\node at (5.696,1.37) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.038,8.186) -- (7.638,8.186) -- (7.638,8.786) -- (7.038,8.786) -- cycle;
\node at (7.338,8.486) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.259,7.077) -- (4.859,7.077) -- (4.859,7.677) -- (4.259,7.677) -- cycle;
\node at (4.559,7.377) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.69,2.401) -- (6.29,2.401) -- (6.29,3.001) -- (5.69,3.001) -- cycle;
\node at (5.99,2.701) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.198,6.208) -- (12.798,6.208) -- (12.798,6.808) -- (12.198,6.808) -- cycle;
\node at (12.498,6.508) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.654,4.118) -- (2.254,4.118) -- (2.254,4.718) -- (1.654,4.718) -- cycle;
\node at (1.954,4.418) {\scalebox{1.598}{\small e}};
\node at (7.508,9.082) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (4.483,8.301) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (11.175,8.025) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (3.878,5.592) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (0.765,5.06) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (12.0,4.591) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (7.42,1.035) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\node at (3.77,0.95) {\scalebox{1.598}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.684,7.536) -- (12.684,8.636);
\draw[line width=0.5pt] (12.453,8.251) -- (12.684,8.636) -- (12.915,8.251);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,8.086) -- (12.987,8.086);
\node at (12.684,9.021) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 2 & 4 & 1 & 1 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{E}, \textbf{F}, \textbf{G} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{A}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, E, F, G).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
