\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 151}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=151}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0151}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6878, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.367,7.4) -- (11.211,7.262) -- (11.058,7.122) -- (10.908,6.977) -- (10.762,6.829) -- (10.619,6.678) -- (10.48,6.523) -- (10.345,6.365) -- (10.213,6.204) -- (10.085,6.04) -- (9.961,5.872) -- (9.841,5.703) -- (9.725,5.53) -- (9.613,5.354) -- (9.505,5.177);
\draw[line width=0.5pt] (11.367,7.4) -- (11.384,6.966) -- (11.389,6.531) -- (11.385,6.097) -- (11.37,5.663) -- (11.346,5.229) -- (11.311,4.795) -- (11.265,4.363) -- (11.21,3.932) -- (11.145,3.502) -- (11.069,3.074) -- (10.983,2.648) -- (10.888,2.224) -- (10.782,1.802) -- (10.667,1.384);
\draw[line width=0.5pt] (6.951,6.938) -- (7.113,6.785) -- (7.278,6.636) -- (7.447,6.491) -- (7.62,6.35) -- (7.795,6.213) -- (7.974,6.081) -- (8.156,5.952) -- (8.341,5.828) -- (8.528,5.708) -- (8.719,5.592) -- (8.912,5.481) -- (9.107,5.375) -- (9.305,5.273) -- (9.505,5.177);
\draw[line width=0.5pt] (6.951,6.938) -- (6.734,6.683) -- (6.51,6.434) -- (6.281,6.19) -- (6.045,5.951) -- (5.804,5.718) -- (5.558,5.49) -- (5.306,5.269) -- (5.049,5.053) -- (4.788,4.843) -- (4.521,4.64) -- (4.25,4.443) -- (3.974,4.253) -- (3.694,4.069) -- (3.41,3.892) -- (3.253,3.838) -- (3.098,3.78) -- (2.944,3.719) -- (2.792,3.654) -- (2.641,3.585) -- (2.492,3.513) -- (2.344,3.438) -- (2.198,3.359) -- (2.055,3.277) -- (1.913,3.191) -- (1.773,3.102) -- (1.636,3.01) -- (1.5,2.914) -- (1.367,2.816);
\draw[line width=0.5pt] (6.951,6.938) -- (6.834,6.624) -- (6.725,6.307) -- (6.622,5.987) -- (6.528,5.665) -- (6.441,5.34) -- (6.361,5.014) -- (6.289,4.686) -- (6.225,4.356) -- (6.169,4.025) -- (6.121,3.693) -- (6.08,3.359) -- (6.047,3.025) -- (6.022,2.69) -- (6.005,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (9.505,5.177) -- (9.288,4.938) -- (9.065,4.705) -- (8.837,4.478) -- (8.603,4.255) -- (8.365,4.038) -- (8.121,3.827) -- (7.872,3.622) -- (7.618,3.422) -- (7.36,3.229) -- (7.097,3.041) -- (6.83,2.86) -- (6.559,2.685) -- (6.284,2.517) -- (6.005,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (1.367,2.816) -- (1.691,2.733) -- (2.017,2.657) -- (2.344,2.589) -- (2.673,2.529) -- (3.003,2.476) -- (3.335,2.431) -- (3.667,2.394) -- (4.001,2.365) -- (4.335,2.344) -- (4.669,2.33) -- (5.003,2.325) -- (5.338,2.327) -- (5.672,2.337) -- (6.005,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (6.005,2.355) -- (6.346,2.338) -- (6.687,2.312) -- (7.027,2.278) -- (7.366,2.236) -- (7.704,2.186) -- (8.041,2.128) -- (8.376,2.062) -- (8.71,1.988) -- (9.042,1.907) -- (9.372,1.818) -- (9.699,1.721) -- (10.025,1.616) -- (10.347,1.504) -- (10.667,1.384);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.527,7.4) -- (11.506,7.48) -- (11.447,7.538) -- (11.367,7.56) -- (11.287,7.538) -- (11.229,7.48) -- (11.207,7.4) -- (11.229,7.32) -- (11.287,7.261) -- (11.367,7.24) -- (11.447,7.261) -- (11.506,7.32) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.111,6.938) -- (7.09,7.018) -- (7.031,7.077) -- (6.951,7.098) -- (6.871,7.077) -- (6.813,7.018) -- (6.791,6.938) -- (6.813,6.858) -- (6.871,6.799) -- (6.951,6.778) -- (7.031,6.799) -- (7.09,6.858) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.665,5.177) -- (9.644,5.257) -- (9.585,5.315) -- (9.505,5.337) -- (9.425,5.315) -- (9.367,5.257) -- (9.345,5.177) -- (9.367,5.097) -- (9.425,5.038) -- (9.505,5.017) -- (9.585,5.038) -- (9.644,5.097) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.527,2.816) -- (1.506,2.896) -- (1.447,2.954) -- (1.367,2.976) -- (1.287,2.954) -- (1.229,2.896) -- (1.207,2.816) -- (1.229,2.736) -- (1.287,2.677) -- (1.367,2.656) -- (1.447,2.677) -- (1.506,2.736) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.165,2.355) -- (6.144,2.435) -- (6.085,2.494) -- (6.005,2.515) -- (5.925,2.494) -- (5.867,2.435) -- (5.845,2.355) -- (5.867,2.275) -- (5.925,2.217) -- (6.005,2.195) -- (6.085,2.217) -- (6.144,2.275) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.827,1.384) -- (10.805,1.464) -- (10.747,1.522) -- (10.667,1.544) -- (10.587,1.522) -- (10.528,1.464) -- (10.507,1.384) -- (10.528,1.304) -- (10.587,1.245) -- (10.667,1.224) -- (10.747,1.245) -- (10.805,1.304) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.93,6.159) -- (10.884,6.329) -- (10.76,6.454) -- (10.59,6.499) -- (10.42,6.454) -- (10.296,6.329) -- (10.25,6.159) -- (10.296,5.989) -- (10.42,5.865) -- (10.59,5.819) -- (10.76,5.865) -- (10.884,5.989) -- cycle;
\node at (10.59,6.159) {\scalebox{1.454}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.923,4.326) -- (11.878,4.496) -- (11.753,4.62) -- (11.583,4.666) -- (11.413,4.62) -- (11.289,4.496) -- (11.243,4.326) -- (11.289,4.156) -- (11.413,4.031) -- (11.583,3.986) -- (11.753,4.031) -- (11.878,4.156) -- cycle;
\node at (11.583,4.326) {\scalebox{1.454}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.677,6.215) -- (8.632,6.385) -- (8.507,6.51) -- (8.337,6.555) -- (8.167,6.51) -- (8.043,6.385) -- (7.997,6.215) -- (8.043,6.045) -- (8.167,5.921) -- (8.337,5.875) -- (8.507,5.921) -- (8.632,6.045) -- cycle;
\node at (8.337,6.215) {\scalebox{1.454}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.898,3.608) -- (3.853,3.778) -- (3.728,3.903) -- (3.558,3.948) -- (3.388,3.903) -- (3.264,3.778) -- (3.218,3.608) -- (3.264,3.438) -- (3.388,3.314) -- (3.558,3.268) -- (3.728,3.314) -- (3.853,3.438) -- cycle;
\node at (3.558,3.608) {\scalebox{1.454}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.943,4.621) -- (6.897,4.791) -- (6.773,4.915) -- (6.603,4.961) -- (6.433,4.915) -- (6.308,4.791) -- (6.263,4.621) -- (6.308,4.451) -- (6.433,4.327) -- (6.603,4.281) -- (6.773,4.327) -- (6.897,4.451) -- cycle;
\node at (6.603,4.621) {\scalebox{1.454}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.413,3.372) -- (8.367,3.542) -- (8.243,3.667) -- (8.073,3.712) -- (7.903,3.667) -- (7.778,3.542) -- (7.733,3.372) -- (7.778,3.202) -- (7.903,3.078) -- (8.073,3.032) -- (8.243,3.078) -- (8.367,3.202) -- cycle;
\node at (8.073,3.372) {\scalebox{1.454}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.039,2.713) -- (3.993,2.883) -- (3.869,3.007) -- (3.699,3.053) -- (3.529,3.007) -- (3.405,2.883) -- (3.359,2.713) -- (3.405,2.543) -- (3.529,2.418) -- (3.699,2.373) -- (3.869,2.418) -- (3.993,2.543) -- cycle;
\node at (3.699,2.713) {\scalebox{1.454}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.782,2.375) -- (8.736,2.545) -- (8.612,2.67) -- (8.442,2.715) -- (8.272,2.67) -- (8.147,2.545) -- (8.102,2.375) -- (8.147,2.205) -- (8.272,2.081) -- (8.442,2.035) -- (8.612,2.081) -- (8.736,2.205) -- cycle;
\node at (8.442,2.375) {\scalebox{1.454}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.651,6.638) -- (7.251,6.638) -- (7.251,7.238) -- (6.651,7.238) -- cycle;
\node at (6.951,6.938) {\scalebox{1.454}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.386,2.271) -- (2.986,2.271) -- (2.986,2.871) -- (2.386,2.871) -- cycle;
\node at (2.686,2.571) {\scalebox{1.454}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.612,3.987) -- (13.212,3.987) -- (13.212,4.587) -- (12.612,4.587) -- cycle;
\node at (12.912,4.287) {\scalebox{1.454}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.668,1.31) -- (9.268,1.31) -- (9.268,1.91) -- (8.668,1.91) -- cycle;
\node at (8.968,1.61) {\scalebox{1.454}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.469,4.573) -- (6.069,4.573) -- (6.069,5.173) -- (5.469,5.173) -- cycle;
\node at (5.769,4.873) {\scalebox{1.454}{\small e}};
\node at (11.847,7.793) {\scalebox{1.454}{\small A}};
\node at (6.791,7.537) {\scalebox{1.454}{\small B}};
\node at (10.071,5.429) {\scalebox{1.454}{\small C}};
\node at (0.765,2.669) {\scalebox{1.454}{\small D}};
\node at (5.611,1.877) {\scalebox{1.454}{\small E}};
\node at (11.11,0.95) {\scalebox{1.454}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.667,6.45) -- (12.667,7.55);
\draw[line width=0.5pt] (12.436,7.165) -- (12.667,7.55) -- (12.898,7.165);
\draw[line width=0.5pt] (12.365,7.0) -- (12.97,7.0);
\node at (12.667,7.935) {\scalebox{1.454}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Mairie & ⑤ avenue de la Gare & Ⓐ Fontaine Notre-Dame & \textbf{a} la poste \\ \hline
② passage du Marché & ⑥ chemin de Ronde & Ⓑ Rond-point du Pont & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ allée des Tilleuls & ⑦ quai aux Fleurs & Ⓒ Rond-point des Vaches & \textbf{c} la pharmacie \\ \hline
④ rue Basse & ⑧ rue du Stade & Ⓓ Coin du Lavoir & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
 &  & Ⓔ Rond-point du Stade & \textbf{e} la bibliothèque \\ \hline
 &  & Ⓕ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6154, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.367,7.4) -- (11.211,7.262) -- (11.058,7.122) -- (10.908,6.977) -- (10.762,6.829) -- (10.619,6.678) -- (10.48,6.523) -- (10.345,6.365) -- (10.213,6.204) -- (10.085,6.04) -- (9.961,5.872) -- (9.841,5.703) -- (9.725,5.53) -- (9.613,5.354) -- (9.505,5.177);
\draw[line width=0.5pt] (11.367,7.4) -- (11.384,6.966) -- (11.389,6.531) -- (11.385,6.097) -- (11.37,5.663) -- (11.346,5.229) -- (11.311,4.795) -- (11.265,4.363) -- (11.21,3.932) -- (11.145,3.502) -- (11.069,3.074) -- (10.983,2.648) -- (10.888,2.224) -- (10.782,1.802) -- (10.667,1.384);
\draw[line width=0.5pt] (6.951,6.938) -- (7.113,6.785) -- (7.278,6.636) -- (7.447,6.491) -- (7.62,6.35) -- (7.795,6.213) -- (7.974,6.081) -- (8.156,5.952) -- (8.341,5.828) -- (8.528,5.708) -- (8.719,5.592) -- (8.912,5.481) -- (9.107,5.375) -- (9.305,5.273) -- (9.505,5.177);
\draw[line width=0.5pt] (6.951,6.938) -- (6.734,6.683) -- (6.51,6.434) -- (6.281,6.19) -- (6.045,5.951) -- (5.804,5.718) -- (5.558,5.49) -- (5.306,5.269) -- (5.049,5.053) -- (4.788,4.843) -- (4.521,4.64) -- (4.25,4.443) -- (3.974,4.253) -- (3.694,4.069) -- (3.41,3.892) -- (3.253,3.838) -- (3.098,3.78) -- (2.944,3.719) -- (2.792,3.654) -- (2.641,3.585) -- (2.492,3.513) -- (2.344,3.438) -- (2.198,3.359) -- (2.055,3.277) -- (1.913,3.191) -- (1.773,3.102) -- (1.636,3.01) -- (1.5,2.914) -- (1.367,2.816);
\draw[line width=0.5pt] (6.951,6.938) -- (6.834,6.624) -- (6.725,6.307) -- (6.622,5.987) -- (6.528,5.665) -- (6.441,5.34) -- (6.361,5.014) -- (6.289,4.686) -- (6.225,4.356) -- (6.169,4.025) -- (6.121,3.693) -- (6.08,3.359) -- (6.047,3.025) -- (6.022,2.69) -- (6.005,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (9.505,5.177) -- (9.288,4.938) -- (9.065,4.705) -- (8.837,4.478) -- (8.603,4.255) -- (8.365,4.038) -- (8.121,3.827) -- (7.872,3.622) -- (7.618,3.422) -- (7.36,3.229) -- (7.097,3.041) -- (6.83,2.86) -- (6.559,2.685) -- (6.284,2.517) -- (6.005,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (1.367,2.816) -- (1.691,2.733) -- (2.017,2.657) -- (2.344,2.589) -- (2.673,2.529) -- (3.003,2.476) -- (3.335,2.431) -- (3.667,2.394) -- (4.001,2.365) -- (4.335,2.344) -- (4.669,2.33) -- (5.003,2.325) -- (5.338,2.327) -- (5.672,2.337) -- (6.005,2.355);
\draw[line width=0.5pt] (6.005,2.355) -- (6.346,2.338) -- (6.687,2.312) -- (7.027,2.278) -- (7.366,2.236) -- (7.704,2.186) -- (8.041,2.128) -- (8.376,2.062) -- (8.71,1.988) -- (9.042,1.907) -- (9.372,1.818) -- (9.699,1.721) -- (10.025,1.616) -- (10.347,1.504) -- (10.667,1.384);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.527,7.4) -- (11.506,7.48) -- (11.447,7.538) -- (11.367,7.56) -- (11.287,7.538) -- (11.229,7.48) -- (11.207,7.4) -- (11.229,7.32) -- (11.287,7.261) -- (11.367,7.24) -- (11.447,7.261) -- (11.506,7.32) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.111,6.938) -- (7.09,7.018) -- (7.031,7.077) -- (6.951,7.098) -- (6.871,7.077) -- (6.813,7.018) -- (6.791,6.938) -- (6.813,6.858) -- (6.871,6.799) -- (6.951,6.778) -- (7.031,6.799) -- (7.09,6.858) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.665,5.177) -- (9.644,5.257) -- (9.585,5.315) -- (9.505,5.337) -- (9.425,5.315) -- (9.367,5.257) -- (9.345,5.177) -- (9.367,5.097) -- (9.425,5.038) -- (9.505,5.017) -- (9.585,5.038) -- (9.644,5.097) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.527,2.816) -- (1.506,2.896) -- (1.447,2.954) -- (1.367,2.976) -- (1.287,2.954) -- (1.229,2.896) -- (1.207,2.816) -- (1.229,2.736) -- (1.287,2.677) -- (1.367,2.656) -- (1.447,2.677) -- (1.506,2.736) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.165,2.355) -- (6.144,2.435) -- (6.085,2.494) -- (6.005,2.515) -- (5.925,2.494) -- (5.867,2.435) -- (5.845,2.355) -- (5.867,2.275) -- (5.925,2.217) -- (6.005,2.195) -- (6.085,2.217) -- (6.144,2.275) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.827,1.384) -- (10.805,1.464) -- (10.747,1.522) -- (10.667,1.544) -- (10.587,1.522) -- (10.528,1.464) -- (10.507,1.384) -- (10.528,1.304) -- (10.587,1.245) -- (10.667,1.224) -- (10.747,1.245) -- (10.805,1.304) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.93,6.159) -- (10.884,6.329) -- (10.76,6.454) -- (10.59,6.499) -- (10.42,6.454) -- (10.296,6.329) -- (10.25,6.159) -- (10.296,5.989) -- (10.42,5.865) -- (10.59,5.819) -- (10.76,5.865) -- (10.884,5.989) -- cycle;
\node at (10.59,6.159) {\scalebox{1.625}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.923,4.326) -- (11.878,4.496) -- (11.753,4.62) -- (11.583,4.666) -- (11.413,4.62) -- (11.289,4.496) -- (11.243,4.326) -- (11.289,4.156) -- (11.413,4.031) -- (11.583,3.986) -- (11.753,4.031) -- (11.878,4.156) -- cycle;
\node at (11.583,4.326) {\scalebox{1.625}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.677,6.215) -- (8.632,6.385) -- (8.507,6.51) -- (8.337,6.555) -- (8.167,6.51) -- (8.043,6.385) -- (7.997,6.215) -- (8.043,6.045) -- (8.167,5.921) -- (8.337,5.875) -- (8.507,5.921) -- (8.632,6.045) -- cycle;
\node at (8.337,6.215) {\scalebox{1.625}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.898,3.608) -- (3.853,3.778) -- (3.728,3.903) -- (3.558,3.948) -- (3.388,3.903) -- (3.264,3.778) -- (3.218,3.608) -- (3.264,3.438) -- (3.388,3.314) -- (3.558,3.268) -- (3.728,3.314) -- (3.853,3.438) -- cycle;
\node at (3.558,3.608) {\scalebox{1.625}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.943,4.621) -- (6.897,4.791) -- (6.773,4.915) -- (6.603,4.961) -- (6.433,4.915) -- (6.308,4.791) -- (6.263,4.621) -- (6.308,4.451) -- (6.433,4.327) -- (6.603,4.281) -- (6.773,4.327) -- (6.897,4.451) -- cycle;
\node at (6.603,4.621) {\scalebox{1.625}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.413,3.372) -- (8.367,3.542) -- (8.243,3.667) -- (8.073,3.712) -- (7.903,3.667) -- (7.778,3.542) -- (7.733,3.372) -- (7.778,3.202) -- (7.903,3.078) -- (8.073,3.032) -- (8.243,3.078) -- (8.367,3.202) -- cycle;
\node at (8.073,3.372) {\scalebox{1.625}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.039,2.713) -- (3.993,2.883) -- (3.869,3.007) -- (3.699,3.053) -- (3.529,3.007) -- (3.405,2.883) -- (3.359,2.713) -- (3.405,2.543) -- (3.529,2.418) -- (3.699,2.373) -- (3.869,2.418) -- (3.993,2.543) -- cycle;
\node at (3.699,2.713) {\scalebox{1.625}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.782,2.375) -- (8.736,2.545) -- (8.612,2.67) -- (8.442,2.715) -- (8.272,2.67) -- (8.147,2.545) -- (8.102,2.375) -- (8.147,2.205) -- (8.272,2.081) -- (8.442,2.035) -- (8.612,2.081) -- (8.736,2.205) -- cycle;
\node at (8.442,2.375) {\scalebox{1.625}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.651,6.638) -- (7.251,6.638) -- (7.251,7.238) -- (6.651,7.238) -- cycle;
\node at (6.951,6.938) {\scalebox{1.625}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.386,2.271) -- (2.986,2.271) -- (2.986,2.871) -- (2.386,2.871) -- cycle;
\node at (2.686,2.571) {\scalebox{1.625}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.612,3.987) -- (13.212,3.987) -- (13.212,4.587) -- (12.612,4.587) -- cycle;
\node at (12.912,4.287) {\scalebox{1.625}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.668,1.31) -- (9.268,1.31) -- (9.268,1.91) -- (8.668,1.91) -- cycle;
\node at (8.968,1.61) {\scalebox{1.625}{\small d}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.469,4.573) -- (6.069,4.573) -- (6.069,5.173) -- (5.469,5.173) -- cycle;
\node at (5.769,4.873) {\scalebox{1.625}{\small e}};
\node at (11.847,7.793) {\scalebox{1.625}{\small A}};
\node at (6.791,7.537) {\scalebox{1.625}{\small B}};
\node at (10.071,5.429) {\scalebox{1.625}{\small C}};
\node at (0.765,2.669) {\scalebox{1.625}{\small D}};
\node at (5.611,1.877) {\scalebox{1.625}{\small E}};
\node at (11.11,0.95) {\scalebox{1.625}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.667,6.45) -- (12.667,7.55);
\draw[line width=0.5pt] (12.436,7.165) -- (12.667,7.55) -- (12.898,7.165);
\draw[line width=0.5pt] (12.365,7.0) -- (12.97,7.0);
\node at (12.667,7.935) {\scalebox{1.625}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 3 & 2 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{C}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{B}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en C}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Pont \textbf{(B)}, prend l'\textbf{allée des Tilleuls ③} vers le sud-est et atteint Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ①}, vers le nord-est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ②}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑤}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Basse ④}, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑦}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin de Ronde ⑥}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{B} ou en \textbf{C} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
