\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 152}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=152}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0152}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7023, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.324,8.056) -- (1.664,7.903) -- (2.007,7.757) -- (2.353,7.62) -- (2.703,7.49) -- (3.056,7.37) -- (3.411,7.257) -- (3.769,7.153) -- (4.13,7.057) -- (4.492,6.969) -- (4.857,6.891) -- (5.223,6.82) -- (5.59,6.759) -- (5.959,6.706) -- (6.329,6.662);
\draw[line width=0.5pt] (1.324,8.056) -- (1.432,7.875) -- (1.535,7.692) -- (1.634,7.506) -- (1.728,7.318) -- (1.819,7.127) -- (1.904,6.935) -- (1.985,6.74) -- (2.062,6.544) -- (2.133,6.346) -- (2.2,6.146) -- (2.263,5.945) -- (2.32,5.742) -- (2.373,5.539) -- (2.421,5.334);
\draw[line width=0.5pt] (10.02,7.028) -- (9.755,7.042) -- (9.489,7.05) -- (9.223,7.052) -- (8.957,7.048) -- (8.691,7.037) -- (8.425,7.02) -- (8.16,6.997) -- (7.895,6.968) -- (7.631,6.932) -- (7.368,6.891) -- (7.106,6.843) -- (6.846,6.789) -- (6.587,6.728) -- (6.329,6.662);
\draw[line width=0.5pt] (10.02,7.028) -- (10.175,6.64) -- (10.32,6.249) -- (10.456,5.854) -- (10.583,5.456) -- (10.7,5.055) -- (10.808,4.651) -- (10.906,4.245) -- (10.995,3.836) -- (11.074,3.426) -- (11.144,3.014) -- (11.204,2.601) -- (11.254,2.186) -- (11.294,1.77) -- (11.324,1.354);
\draw[line width=0.5pt] (6.329,6.662) -- (6.038,6.611) -- (5.747,6.552) -- (5.459,6.487) -- (5.171,6.415) -- (4.886,6.337) -- (4.602,6.251) -- (4.32,6.159) -- (4.041,6.06) -- (3.764,5.955) -- (3.49,5.844) -- (3.218,5.726) -- (2.949,5.601) -- (2.684,5.471) -- (2.421,5.334);
\draw[line width=0.5pt] (6.329,6.662) -- (6.397,6.598) -- (6.464,6.532) -- (6.53,6.465) -- (6.593,6.396) -- (6.655,6.326) -- (6.716,6.254) -- (6.775,6.181) -- (6.832,6.106) -- (6.887,6.031) -- (6.94,5.953) -- (6.992,5.875) -- (7.041,5.796) -- (7.089,5.715) -- (7.135,5.633) -- (7.385,5.284) -- (7.643,4.941) -- (7.91,4.604) -- (8.184,4.273) -- (8.466,3.949) -- (8.756,3.632) -- (9.053,3.321) -- (9.358,3.017) -- (9.669,2.721) -- (9.987,2.432) -- (10.312,2.151) -- (10.643,1.877) -- (10.981,1.612) -- (11.324,1.354);
\draw[line width=0.5pt] (2.421,5.334) -- (2.69,5.127) -- (2.963,4.926) -- (3.241,4.731) -- (3.524,4.544) -- (3.811,4.362) -- (4.102,4.188) -- (4.398,4.021) -- (4.697,3.86) -- (5.0,3.707) -- (5.306,3.56) -- (5.616,3.421) -- (5.928,3.29) -- (6.244,3.166) -- (6.563,3.049) -- (6.919,2.981) -- (7.273,2.905) -- (7.625,2.82) -- (7.976,2.727) -- (8.324,2.625) -- (8.67,2.516) -- (9.013,2.398) -- (9.354,2.272) -- (9.691,2.139) -- (10.025,1.997) -- (10.356,1.848) -- (10.683,1.691) -- (11.006,1.526) -- (11.324,1.354);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.484,8.056) -- (1.463,8.136) -- (1.404,8.195) -- (1.324,8.216) -- (1.244,8.195) -- (1.186,8.136) -- (1.164,8.056) -- (1.186,7.976) -- (1.244,7.917) -- (1.324,7.896) -- (1.404,7.917) -- (1.463,7.976) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.18,7.028) -- (10.159,7.108) -- (10.1,7.166) -- (10.02,7.188) -- (9.94,7.166) -- (9.882,7.108) -- (9.86,7.028) -- (9.882,6.948) -- (9.94,6.889) -- (10.02,6.868) -- (10.1,6.889) -- (10.159,6.948) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.489,6.662) -- (6.468,6.742) -- (6.409,6.801) -- (6.329,6.822) -- (6.249,6.801) -- (6.191,6.742) -- (6.169,6.662) -- (6.191,6.582) -- (6.249,6.523) -- (6.329,6.502) -- (6.409,6.523) -- (6.468,6.582) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.581,5.334) -- (2.56,5.414) -- (2.501,5.472) -- (2.421,5.494) -- (2.341,5.472) -- (2.283,5.414) -- (2.261,5.334) -- (2.283,5.254) -- (2.341,5.195) -- (2.421,5.174) -- (2.501,5.195) -- (2.56,5.254) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.484,1.354) -- (11.463,1.434) -- (11.404,1.493) -- (11.324,1.514) -- (11.244,1.493) -- (11.186,1.434) -- (11.164,1.354) -- (11.186,1.274) -- (11.244,1.216) -- (11.324,1.194) -- (11.404,1.216) -- (11.463,1.274) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.195,7.461) -- (4.15,7.631) -- (4.025,7.755) -- (3.855,7.801) -- (3.685,7.755) -- (3.561,7.631) -- (3.515,7.461) -- (3.561,7.291) -- (3.685,7.166) -- (3.855,7.121) -- (4.025,7.166) -- (4.15,7.291) -- cycle;
\node at (3.855,7.461) {\scalebox{1.424}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.622,6.86) -- (2.576,7.03) -- (2.452,7.154) -- (2.282,7.2) -- (2.112,7.154) -- (1.987,7.03) -- (1.942,6.86) -- (1.987,6.69) -- (2.112,6.565) -- (2.282,6.52) -- (2.452,6.565) -- (2.576,6.69) -- cycle;
\node at (2.282,6.86) {\scalebox{1.424}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.531,6.679) -- (8.486,6.849) -- (8.361,6.973) -- (8.191,7.019) -- (8.021,6.973) -- (7.897,6.849) -- (7.851,6.679) -- (7.897,6.509) -- (8.021,6.384) -- (8.191,6.339) -- (8.361,6.384) -- (8.486,6.509) -- cycle;
\node at (8.191,6.679) {\scalebox{1.424}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.558,4.316) -- (11.513,4.486) -- (11.388,4.611) -- (11.218,4.656) -- (11.048,4.611) -- (10.924,4.486) -- (10.878,4.316) -- (10.924,4.146) -- (11.048,4.022) -- (11.218,3.976) -- (11.388,4.022) -- (11.513,4.146) -- cycle;
\node at (11.218,4.316) {\scalebox{1.424}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.763,5.856) -- (4.718,6.026) -- (4.593,6.151) -- (4.423,6.196) -- (4.253,6.151) -- (4.129,6.026) -- (4.083,5.856) -- (4.129,5.686) -- (4.253,5.562) -- (4.423,5.516) -- (4.593,5.562) -- (4.718,5.686) -- cycle;
\node at (4.423,5.856) {\scalebox{1.424}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.739,5.814) -- (7.693,5.984) -- (7.569,6.109) -- (7.399,6.154) -- (7.229,6.109) -- (7.104,5.984) -- (7.059,5.814) -- (7.104,5.644) -- (7.229,5.52) -- (7.399,5.474) -- (7.569,5.52) -- (7.693,5.644) -- cycle;
\node at (7.399,5.814) {\scalebox{1.424}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.987,3.358) -- (6.941,3.528) -- (6.817,3.652) -- (6.647,3.698) -- (6.477,3.652) -- (6.353,3.528) -- (6.307,3.358) -- (6.353,3.188) -- (6.477,3.063) -- (6.647,3.018) -- (6.817,3.063) -- (6.941,3.188) -- cycle;
\node at (6.647,3.358) {\scalebox{1.424}{\small 7}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (2.121,5.034) -- (2.721,5.034) -- (2.721,5.634) -- (2.121,5.634) -- cycle;
\node at (2.421,5.334) {\scalebox{1.424}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (6.625,2.201) -- (7.225,2.201) -- (7.225,2.801) -- (6.625,2.801) -- cycle;
\node at (6.925,2.501) {\scalebox{1.424}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.151,6.993) -- (1.751,6.993) -- (1.751,7.593) -- (1.151,7.593) -- cycle;
\node at (1.451,7.293) {\scalebox{1.424}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.208,3.796) -- (12.808,3.796) -- (12.808,4.396) -- (12.208,4.396) -- cycle;
\node at (12.508,4.096) {\scalebox{1.424}{\small d}};
\node at (0.765,8.323) {\scalebox{1.424}{\small A}};
\node at (10.604,7.237) {\scalebox{1.424}{\small B}};
\node at (6.358,7.281) {\scalebox{1.424}{\small C}};
\node at (1.804,5.277) {\scalebox{1.424}{\small D}};
\node at (11.795,0.95) {\scalebox{1.424}{\small E}};
\draw[line width=0.5pt] (12.624,7.106) -- (12.624,8.206);
\draw[line width=0.5pt] (12.393,7.821) -- (12.624,8.206) -- (12.855,7.821);
\draw[line width=0.5pt] (12.322,7.656) -- (12.927,7.656);
\node at (12.624,8.591) {\scalebox{1.424}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Pont & ⑤ rue Haute & Ⓐ Place du Marché & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Peupliers & ⑥ rue de la Mairie & Ⓑ Fontaine Notre-Dame & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ rue Neuve & ⑦ boulevard du Parc & Ⓒ Carrefour de la Mairie & \textbf{c} le stade \\ \hline
④ rue du Stade &  & Ⓓ Carrefour du Lavoir & \textbf{d} le lavoir \\ \hline
 &  & Ⓔ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6284, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.324,8.056) -- (1.664,7.903) -- (2.007,7.757) -- (2.353,7.62) -- (2.703,7.49) -- (3.056,7.37) -- (3.411,7.257) -- (3.769,7.153) -- (4.13,7.057) -- (4.492,6.969) -- (4.857,6.891) -- (5.223,6.82) -- (5.59,6.759) -- (5.959,6.706) -- (6.329,6.662);
\draw[line width=0.5pt] (1.324,8.056) -- (1.432,7.875) -- (1.535,7.692) -- (1.634,7.506) -- (1.728,7.318) -- (1.819,7.127) -- (1.904,6.935) -- (1.985,6.74) -- (2.062,6.544) -- (2.133,6.346) -- (2.2,6.146) -- (2.263,5.945) -- (2.32,5.742) -- (2.373,5.539) -- (2.421,5.334);
\draw[line width=0.5pt] (10.02,7.028) -- (9.755,7.042) -- (9.489,7.05) -- (9.223,7.052) -- (8.957,7.048) -- (8.691,7.037) -- (8.425,7.02) -- (8.16,6.997) -- (7.895,6.968) -- (7.631,6.932) -- (7.368,6.891) -- (7.106,6.843) -- (6.846,6.789) -- (6.587,6.728) -- (6.329,6.662);
\draw[line width=0.5pt] (10.02,7.028) -- (10.175,6.64) -- (10.32,6.249) -- (10.456,5.854) -- (10.583,5.456) -- (10.7,5.055) -- (10.808,4.651) -- (10.906,4.245) -- (10.995,3.836) -- (11.074,3.426) -- (11.144,3.014) -- (11.204,2.601) -- (11.254,2.186) -- (11.294,1.77) -- (11.324,1.354);
\draw[line width=0.5pt] (6.329,6.662) -- (6.038,6.611) -- (5.747,6.552) -- (5.459,6.487) -- (5.171,6.415) -- (4.886,6.337) -- (4.602,6.251) -- (4.32,6.159) -- (4.041,6.06) -- (3.764,5.955) -- (3.49,5.844) -- (3.218,5.726) -- (2.949,5.601) -- (2.684,5.471) -- (2.421,5.334);
\draw[line width=0.5pt] (6.329,6.662) -- (6.397,6.598) -- (6.464,6.532) -- (6.53,6.465) -- (6.593,6.396) -- (6.655,6.326) -- (6.716,6.254) -- (6.775,6.181) -- (6.832,6.106) -- (6.887,6.031) -- (6.94,5.953) -- (6.992,5.875) -- (7.041,5.796) -- (7.089,5.715) -- (7.135,5.633) -- (7.385,5.284) -- (7.643,4.941) -- (7.91,4.604) -- (8.184,4.273) -- (8.466,3.949) -- (8.756,3.632) -- (9.053,3.321) -- (9.358,3.017) -- (9.669,2.721) -- (9.987,2.432) -- (10.312,2.151) -- (10.643,1.877) -- (10.981,1.612) -- (11.324,1.354);
\draw[line width=0.5pt] (2.421,5.334) -- (2.69,5.127) -- (2.963,4.926) -- (3.241,4.731) -- (3.524,4.544) -- (3.811,4.362) -- (4.102,4.188) -- (4.398,4.021) -- (4.697,3.86) -- (5.0,3.707) -- (5.306,3.56) -- (5.616,3.421) -- (5.928,3.29) -- (6.244,3.166) -- (6.563,3.049) -- (6.919,2.981) -- (7.273,2.905) -- (7.625,2.82) -- (7.976,2.727) -- (8.324,2.625) -- (8.67,2.516) -- (9.013,2.398) -- (9.354,2.272) -- (9.691,2.139) -- (10.025,1.997) -- (10.356,1.848) -- (10.683,1.691) -- (11.006,1.526) -- (11.324,1.354);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.484,8.056) -- (1.463,8.136) -- (1.404,8.195) -- (1.324,8.216) -- (1.244,8.195) -- (1.186,8.136) -- (1.164,8.056) -- (1.186,7.976) -- (1.244,7.917) -- (1.324,7.896) -- (1.404,7.917) -- (1.463,7.976) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.18,7.028) -- (10.159,7.108) -- (10.1,7.166) -- (10.02,7.188) -- (9.94,7.166) -- (9.882,7.108) -- (9.86,7.028) -- (9.882,6.948) -- (9.94,6.889) -- (10.02,6.868) -- (10.1,6.889) -- (10.159,6.948) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.489,6.662) -- (6.468,6.742) -- (6.409,6.801) -- (6.329,6.822) -- (6.249,6.801) -- (6.191,6.742) -- (6.169,6.662) -- (6.191,6.582) -- (6.249,6.523) -- (6.329,6.502) -- (6.409,6.523) -- (6.468,6.582) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.581,5.334) -- (2.56,5.414) -- (2.501,5.472) -- (2.421,5.494) -- (2.341,5.472) -- (2.283,5.414) -- (2.261,5.334) -- (2.283,5.254) -- (2.341,5.195) -- (2.421,5.174) -- (2.501,5.195) -- (2.56,5.254) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.484,1.354) -- (11.463,1.434) -- (11.404,1.493) -- (11.324,1.514) -- (11.244,1.493) -- (11.186,1.434) -- (11.164,1.354) -- (11.186,1.274) -- (11.244,1.216) -- (11.324,1.194) -- (11.404,1.216) -- (11.463,1.274) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.195,7.461) -- (4.15,7.631) -- (4.025,7.755) -- (3.855,7.801) -- (3.685,7.755) -- (3.561,7.631) -- (3.515,7.461) -- (3.561,7.291) -- (3.685,7.166) -- (3.855,7.121) -- (4.025,7.166) -- (4.15,7.291) -- cycle;
\node at (3.855,7.461) {\scalebox{1.591}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.622,6.86) -- (2.576,7.03) -- (2.452,7.154) -- (2.282,7.2) -- (2.112,7.154) -- (1.987,7.03) -- (1.942,6.86) -- (1.987,6.69) -- (2.112,6.565) -- (2.282,6.52) -- (2.452,6.565) -- (2.576,6.69) -- cycle;
\node at (2.282,6.86) {\scalebox{1.591}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.531,6.679) -- (8.486,6.849) -- (8.361,6.973) -- (8.191,7.019) -- (8.021,6.973) -- (7.897,6.849) -- (7.851,6.679) -- (7.897,6.509) -- (8.021,6.384) -- (8.191,6.339) -- (8.361,6.384) -- (8.486,6.509) -- cycle;
\node at (8.191,6.679) {\scalebox{1.591}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.558,4.316) -- (11.513,4.486) -- (11.388,4.611) -- (11.218,4.656) -- (11.048,4.611) -- (10.924,4.486) -- (10.878,4.316) -- (10.924,4.146) -- (11.048,4.022) -- (11.218,3.976) -- (11.388,4.022) -- (11.513,4.146) -- cycle;
\node at (11.218,4.316) {\scalebox{1.591}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.763,5.856) -- (4.718,6.026) -- (4.593,6.151) -- (4.423,6.196) -- (4.253,6.151) -- (4.129,6.026) -- (4.083,5.856) -- (4.129,5.686) -- (4.253,5.562) -- (4.423,5.516) -- (4.593,5.562) -- (4.718,5.686) -- cycle;
\node at (4.423,5.856) {\scalebox{1.591}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.739,5.814) -- (7.693,5.984) -- (7.569,6.109) -- (7.399,6.154) -- (7.229,6.109) -- (7.104,5.984) -- (7.059,5.814) -- (7.104,5.644) -- (7.229,5.52) -- (7.399,5.474) -- (7.569,5.52) -- (7.693,5.644) -- cycle;
\node at (7.399,5.814) {\scalebox{1.591}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.987,3.358) -- (6.941,3.528) -- (6.817,3.652) -- (6.647,3.698) -- (6.477,3.652) -- (6.353,3.528) -- (6.307,3.358) -- (6.353,3.188) -- (6.477,3.063) -- (6.647,3.018) -- (6.817,3.063) -- (6.941,3.188) -- cycle;
\node at (6.647,3.358) {\scalebox{1.591}{\small 7}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (2.121,5.034) -- (2.721,5.034) -- (2.721,5.634) -- (2.121,5.634) -- cycle;
\node at (2.421,5.334) {\scalebox{1.591}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (6.625,2.201) -- (7.225,2.201) -- (7.225,2.801) -- (6.625,2.801) -- cycle;
\node at (6.925,2.501) {\scalebox{1.591}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.151,6.993) -- (1.751,6.993) -- (1.751,7.593) -- (1.151,7.593) -- cycle;
\node at (1.451,7.293) {\scalebox{1.591}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.208,3.796) -- (12.808,3.796) -- (12.808,4.396) -- (12.208,4.396) -- cycle;
\node at (12.508,4.096) {\scalebox{1.591}{\small d}};
\node at (0.765,8.323) {\scalebox{1.591}{\small A}};
\node at (10.604,7.237) {\scalebox{1.591}{\small B}};
\node at (6.358,7.281) {\scalebox{1.591}{\small C}};
\node at (1.804,5.277) {\scalebox{1.591}{\small D}};
\node at (11.795,0.95) {\scalebox{1.591}{\small E}};
\draw[line width=0.5pt] (12.624,7.106) -- (12.624,8.206);
\draw[line width=0.5pt] (12.393,7.821) -- (12.624,8.206) -- (12.855,7.821);
\draw[line width=0.5pt] (12.322,7.656) -- (12.927,7.656);
\node at (12.624,8.591) {\scalebox{1.591}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 14 = 2 \(\times\) 7, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{E}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{D}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en E}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}, prend l'\textbf{allée des Peupliers ②} vers le nord et atteint Place du Marché \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ①}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Neuve ③}, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ④}, vers le sud, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑥}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑤}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{boulevard du Parc ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{D} ou en \textbf{E} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
