\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 153}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=153}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0153}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7003, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.668,6.142) -- (9.5,5.964) -- (9.337,5.782) -- (9.177,5.595) -- (9.022,5.406) -- (8.872,5.212) -- (8.726,5.015) -- (8.584,4.815) -- (8.448,4.611) -- (8.316,4.404) -- (8.189,4.194) -- (8.068,3.982) -- (7.951,3.766) -- (7.839,3.548) -- (7.733,3.327);
\draw[line width=0.5pt] (9.668,6.142) -- (9.839,5.833) -- (10.002,5.52) -- (10.158,5.204) -- (10.307,4.883) -- (10.448,4.559) -- (10.581,4.232) -- (10.707,3.902) -- (10.824,3.569) -- (10.934,3.233) -- (11.036,2.895) -- (11.13,2.555) -- (11.216,2.212) -- (11.294,1.868) -- (11.363,1.522);
\draw[line width=0.5pt] (5.972,5.64) -- (6.072,5.457) -- (6.176,5.276) -- (6.284,5.098) -- (6.396,4.922) -- (6.512,4.749) -- (6.633,4.579) -- (6.757,4.411) -- (6.886,4.247) -- (7.018,4.085) -- (7.154,3.927) -- (7.293,3.772) -- (7.436,3.62) -- (7.583,3.472) -- (7.733,3.327);
\draw[line width=0.5pt] (5.972,5.64) -- (5.78,5.488) -- (5.584,5.341) -- (5.384,5.198) -- (5.181,5.06) -- (4.975,4.926) -- (4.766,4.798) -- (4.553,4.674) -- (4.338,4.556) -- (4.121,4.443) -- (3.9,4.334) -- (3.677,4.231) -- (3.452,4.134) -- (3.225,4.041) -- (2.995,3.955) -- (2.856,3.818) -- (2.72,3.679) -- (2.587,3.536) -- (2.457,3.391) -- (2.331,3.242) -- (2.209,3.09) -- (2.09,2.936) -- (1.974,2.778) -- (1.863,2.618) -- (1.755,2.456) -- (1.651,2.291) -- (1.551,2.124) -- (1.455,1.954) -- (1.363,1.782);
\draw[line width=0.5pt] (5.972,5.64) -- (5.94,5.345) -- (5.915,5.05) -- (5.897,4.753) -- (5.886,4.457) -- (5.881,4.16) -- (5.884,3.863) -- (5.894,3.566) -- (5.91,3.269) -- (5.934,2.973) -- (5.965,2.678) -- (6.002,2.384) -- (6.047,2.09) -- (6.098,1.798) -- (6.156,1.507);
\draw[line width=0.5pt] (7.733,3.327) -- (8.01,3.239) -- (8.285,3.144) -- (8.557,3.043) -- (8.828,2.935) -- (9.095,2.821) -- (9.36,2.701) -- (9.623,2.574) -- (9.882,2.442) -- (10.138,2.303) -- (10.39,2.159) -- (10.639,2.008) -- (10.884,1.852) -- (11.126,1.69) -- (11.363,1.522);
\draw[line width=0.5pt] (7.733,3.327) -- (7.601,3.216) -- (7.472,3.101) -- (7.346,2.983) -- (7.222,2.862) -- (7.102,2.738) -- (6.984,2.612) -- (6.869,2.482) -- (6.758,2.35) -- (6.649,2.216) -- (6.544,2.079) -- (6.442,1.939) -- (6.343,1.797) -- (6.248,1.653) -- (6.156,1.507);
\draw[line width=0.5pt] (11.363,1.522) -- (10.995,1.464) -- (10.624,1.415) -- (10.253,1.374) -- (9.881,1.342) -- (9.508,1.319) -- (9.134,1.305) -- (8.76,1.3) -- (8.387,1.303) -- (8.013,1.315) -- (7.64,1.336) -- (7.267,1.366) -- (6.896,1.404) -- (6.525,1.451) -- (6.156,1.507);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.828,6.142) -- (9.807,6.222) -- (9.748,6.281) -- (9.668,6.302) -- (9.588,6.281) -- (9.53,6.222) -- (9.508,6.142) -- (9.53,6.062) -- (9.588,6.004) -- (9.668,5.982) -- (9.748,6.004) -- (9.807,6.062) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.132,5.64) -- (6.111,5.72) -- (6.052,5.779) -- (5.972,5.8) -- (5.892,5.779) -- (5.834,5.72) -- (5.812,5.64) -- (5.834,5.56) -- (5.892,5.501) -- (5.972,5.48) -- (6.052,5.501) -- (6.111,5.56) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.893,3.327) -- (7.871,3.407) -- (7.813,3.466) -- (7.733,3.487) -- (7.653,3.466) -- (7.594,3.407) -- (7.573,3.327) -- (7.594,3.247) -- (7.653,3.189) -- (7.733,3.167) -- (7.813,3.189) -- (7.871,3.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.523,1.782) -- (1.502,1.862) -- (1.443,1.921) -- (1.363,1.942) -- (1.283,1.921) -- (1.225,1.862) -- (1.203,1.782) -- (1.225,1.702) -- (1.283,1.644) -- (1.363,1.622) -- (1.443,1.644) -- (1.502,1.702) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.523,1.522) -- (11.502,1.602) -- (11.443,1.661) -- (11.363,1.682) -- (11.283,1.661) -- (11.225,1.602) -- (11.203,1.522) -- (11.225,1.442) -- (11.283,1.384) -- (11.363,1.362) -- (11.443,1.384) -- (11.502,1.442) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.316,1.507) -- (6.295,1.587) -- (6.236,1.646) -- (6.156,1.667) -- (6.076,1.646) -- (6.018,1.587) -- (5.996,1.507) -- (6.018,1.427) -- (6.076,1.368) -- (6.156,1.347) -- (6.236,1.368) -- (6.295,1.427) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.188,4.633) -- (9.143,4.803) -- (9.018,4.928) -- (8.848,4.973) -- (8.678,4.928) -- (8.554,4.803) -- (8.508,4.633) -- (8.554,4.463) -- (8.678,4.339) -- (8.848,4.293) -- (9.018,4.339) -- (9.143,4.463) -- cycle;
\node at (8.848,4.633) {\scalebox{1.428}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.347,4.012) -- (11.301,4.182) -- (11.177,4.307) -- (11.007,4.352) -- (10.837,4.307) -- (10.712,4.182) -- (10.667,4.012) -- (10.712,3.842) -- (10.837,3.718) -- (11.007,3.672) -- (11.177,3.718) -- (11.301,3.842) -- cycle;
\node at (11.007,4.012) {\scalebox{1.428}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.352,4.605) -- (7.306,4.775) -- (7.182,4.899) -- (7.012,4.945) -- (6.842,4.899) -- (6.717,4.775) -- (6.672,4.605) -- (6.717,4.435) -- (6.842,4.31) -- (7.012,4.265) -- (7.182,4.31) -- (7.306,4.435) -- cycle;
\node at (7.012,4.605) {\scalebox{1.428}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.501,3.681) -- (3.455,3.851) -- (3.331,3.975) -- (3.161,4.021) -- (2.991,3.975) -- (2.866,3.851) -- (2.821,3.681) -- (2.866,3.511) -- (2.991,3.386) -- (3.161,3.341) -- (3.331,3.386) -- (3.455,3.511) -- cycle;
\node at (3.161,3.681) {\scalebox{1.428}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.554,3.58) -- (6.508,3.75) -- (6.384,3.875) -- (6.214,3.92) -- (6.044,3.875) -- (5.919,3.75) -- (5.874,3.58) -- (5.919,3.41) -- (6.044,3.286) -- (6.214,3.24) -- (6.384,3.286) -- (6.508,3.41) -- cycle;
\node at (6.214,3.58) {\scalebox{1.428}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.105,2.861) -- (10.059,3.031) -- (9.935,3.155) -- (9.765,3.201) -- (9.595,3.155) -- (9.471,3.031) -- (9.425,2.861) -- (9.471,2.691) -- (9.595,2.567) -- (9.765,2.521) -- (9.935,2.567) -- (10.059,2.691) -- cycle;
\node at (9.765,2.861) {\scalebox{1.428}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.451,2.273) -- (7.406,2.443) -- (7.281,2.567) -- (7.111,2.613) -- (6.941,2.567) -- (6.817,2.443) -- (6.771,2.273) -- (6.817,2.103) -- (6.941,1.978) -- (7.111,1.933) -- (7.281,1.978) -- (7.406,2.103) -- cycle;
\node at (7.111,2.273) {\scalebox{1.428}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.101,0.98) -- (9.056,1.15) -- (8.931,1.274) -- (8.761,1.32) -- (8.591,1.274) -- (8.467,1.15) -- (8.421,0.98) -- (8.467,0.81) -- (8.591,0.685) -- (8.761,0.64) -- (8.931,0.685) -- (9.056,0.81) -- cycle;
\node at (8.761,0.98) {\scalebox{1.428}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.856,1.207) -- (6.456,1.207) -- (6.456,1.807) -- (5.856,1.807) -- cycle;
\node at (6.156,1.507) {\scalebox{1.428}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.005,3.991) -- (12.605,3.991) -- (12.605,4.591) -- (12.005,4.591) -- cycle;
\node at (12.305,4.291) {\scalebox{1.428}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.684,4.764) -- (10.284,4.764) -- (10.284,5.364) -- (9.684,5.364) -- cycle;
\node at (9.984,5.064) {\scalebox{1.428}{\small c}};
\node at (10.091,6.596) {\scalebox{1.428}{\small A}};
\node at (5.713,6.203) {\scalebox{1.428}{\small B}};
\node at (8.353,3.334) {\scalebox{1.428}{\small C}};
\node at (0.765,1.62) {\scalebox{1.428}{\small D}};
\node at (11.936,1.284) {\scalebox{1.428}{\small E}};
\node at (5.884,0.95) {\scalebox{1.428}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.663,5.192) -- (12.663,6.292);
\draw[line width=0.5pt] (12.432,5.907) -- (12.663,6.292) -- (12.894,5.907);
\draw[line width=0.5pt] (12.361,5.742) -- (12.966,5.742);
\node at (12.663,6.677) {\scalebox{1.428}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin des Vignes & ⑤ rue Verte & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Basse & ⑥ allée des Tilleuls & Ⓑ Carrefour du Moulin & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ rue du Puits & ⑦ rue du Stade & Ⓒ Rond-point des Vaches & \textbf{c} la mairie \\ \hline
④ impasse du Puits & ⑧ rue Neuve & Ⓓ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓔ Rond-point du Pont &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6266, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.668,6.142) -- (9.5,5.964) -- (9.337,5.782) -- (9.177,5.595) -- (9.022,5.406) -- (8.872,5.212) -- (8.726,5.015) -- (8.584,4.815) -- (8.448,4.611) -- (8.316,4.404) -- (8.189,4.194) -- (8.068,3.982) -- (7.951,3.766) -- (7.839,3.548) -- (7.733,3.327);
\draw[line width=0.5pt] (9.668,6.142) -- (9.839,5.833) -- (10.002,5.52) -- (10.158,5.204) -- (10.307,4.883) -- (10.448,4.559) -- (10.581,4.232) -- (10.707,3.902) -- (10.824,3.569) -- (10.934,3.233) -- (11.036,2.895) -- (11.13,2.555) -- (11.216,2.212) -- (11.294,1.868) -- (11.363,1.522);
\draw[line width=0.5pt] (5.972,5.64) -- (6.072,5.457) -- (6.176,5.276) -- (6.284,5.098) -- (6.396,4.922) -- (6.512,4.749) -- (6.633,4.579) -- (6.757,4.411) -- (6.886,4.247) -- (7.018,4.085) -- (7.154,3.927) -- (7.293,3.772) -- (7.436,3.62) -- (7.583,3.472) -- (7.733,3.327);
\draw[line width=0.5pt] (5.972,5.64) -- (5.78,5.488) -- (5.584,5.341) -- (5.384,5.198) -- (5.181,5.06) -- (4.975,4.926) -- (4.766,4.798) -- (4.553,4.674) -- (4.338,4.556) -- (4.121,4.443) -- (3.9,4.334) -- (3.677,4.231) -- (3.452,4.134) -- (3.225,4.041) -- (2.995,3.955) -- (2.856,3.818) -- (2.72,3.679) -- (2.587,3.536) -- (2.457,3.391) -- (2.331,3.242) -- (2.209,3.09) -- (2.09,2.936) -- (1.974,2.778) -- (1.863,2.618) -- (1.755,2.456) -- (1.651,2.291) -- (1.551,2.124) -- (1.455,1.954) -- (1.363,1.782);
\draw[line width=0.5pt] (5.972,5.64) -- (5.94,5.345) -- (5.915,5.05) -- (5.897,4.753) -- (5.886,4.457) -- (5.881,4.16) -- (5.884,3.863) -- (5.894,3.566) -- (5.91,3.269) -- (5.934,2.973) -- (5.965,2.678) -- (6.002,2.384) -- (6.047,2.09) -- (6.098,1.798) -- (6.156,1.507);
\draw[line width=0.5pt] (7.733,3.327) -- (8.01,3.239) -- (8.285,3.144) -- (8.557,3.043) -- (8.828,2.935) -- (9.095,2.821) -- (9.36,2.701) -- (9.623,2.574) -- (9.882,2.442) -- (10.138,2.303) -- (10.39,2.159) -- (10.639,2.008) -- (10.884,1.852) -- (11.126,1.69) -- (11.363,1.522);
\draw[line width=0.5pt] (7.733,3.327) -- (7.601,3.216) -- (7.472,3.101) -- (7.346,2.983) -- (7.222,2.862) -- (7.102,2.738) -- (6.984,2.612) -- (6.869,2.482) -- (6.758,2.35) -- (6.649,2.216) -- (6.544,2.079) -- (6.442,1.939) -- (6.343,1.797) -- (6.248,1.653) -- (6.156,1.507);
\draw[line width=0.5pt] (11.363,1.522) -- (10.995,1.464) -- (10.624,1.415) -- (10.253,1.374) -- (9.881,1.342) -- (9.508,1.319) -- (9.134,1.305) -- (8.76,1.3) -- (8.387,1.303) -- (8.013,1.315) -- (7.64,1.336) -- (7.267,1.366) -- (6.896,1.404) -- (6.525,1.451) -- (6.156,1.507);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.828,6.142) -- (9.807,6.222) -- (9.748,6.281) -- (9.668,6.302) -- (9.588,6.281) -- (9.53,6.222) -- (9.508,6.142) -- (9.53,6.062) -- (9.588,6.004) -- (9.668,5.982) -- (9.748,6.004) -- (9.807,6.062) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.132,5.64) -- (6.111,5.72) -- (6.052,5.779) -- (5.972,5.8) -- (5.892,5.779) -- (5.834,5.72) -- (5.812,5.64) -- (5.834,5.56) -- (5.892,5.501) -- (5.972,5.48) -- (6.052,5.501) -- (6.111,5.56) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.893,3.327) -- (7.871,3.407) -- (7.813,3.466) -- (7.733,3.487) -- (7.653,3.466) -- (7.594,3.407) -- (7.573,3.327) -- (7.594,3.247) -- (7.653,3.189) -- (7.733,3.167) -- (7.813,3.189) -- (7.871,3.247) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.523,1.782) -- (1.502,1.862) -- (1.443,1.921) -- (1.363,1.942) -- (1.283,1.921) -- (1.225,1.862) -- (1.203,1.782) -- (1.225,1.702) -- (1.283,1.644) -- (1.363,1.622) -- (1.443,1.644) -- (1.502,1.702) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.523,1.522) -- (11.502,1.602) -- (11.443,1.661) -- (11.363,1.682) -- (11.283,1.661) -- (11.225,1.602) -- (11.203,1.522) -- (11.225,1.442) -- (11.283,1.384) -- (11.363,1.362) -- (11.443,1.384) -- (11.502,1.442) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.316,1.507) -- (6.295,1.587) -- (6.236,1.646) -- (6.156,1.667) -- (6.076,1.646) -- (6.018,1.587) -- (5.996,1.507) -- (6.018,1.427) -- (6.076,1.368) -- (6.156,1.347) -- (6.236,1.368) -- (6.295,1.427) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.188,4.633) -- (9.143,4.803) -- (9.018,4.928) -- (8.848,4.973) -- (8.678,4.928) -- (8.554,4.803) -- (8.508,4.633) -- (8.554,4.463) -- (8.678,4.339) -- (8.848,4.293) -- (9.018,4.339) -- (9.143,4.463) -- cycle;
\node at (8.848,4.633) {\scalebox{1.596}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.347,4.012) -- (11.301,4.182) -- (11.177,4.307) -- (11.007,4.352) -- (10.837,4.307) -- (10.712,4.182) -- (10.667,4.012) -- (10.712,3.842) -- (10.837,3.718) -- (11.007,3.672) -- (11.177,3.718) -- (11.301,3.842) -- cycle;
\node at (11.007,4.012) {\scalebox{1.596}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.352,4.605) -- (7.306,4.775) -- (7.182,4.899) -- (7.012,4.945) -- (6.842,4.899) -- (6.717,4.775) -- (6.672,4.605) -- (6.717,4.435) -- (6.842,4.31) -- (7.012,4.265) -- (7.182,4.31) -- (7.306,4.435) -- cycle;
\node at (7.012,4.605) {\scalebox{1.596}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.501,3.681) -- (3.455,3.851) -- (3.331,3.975) -- (3.161,4.021) -- (2.991,3.975) -- (2.866,3.851) -- (2.821,3.681) -- (2.866,3.511) -- (2.991,3.386) -- (3.161,3.341) -- (3.331,3.386) -- (3.455,3.511) -- cycle;
\node at (3.161,3.681) {\scalebox{1.596}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.554,3.58) -- (6.508,3.75) -- (6.384,3.875) -- (6.214,3.92) -- (6.044,3.875) -- (5.919,3.75) -- (5.874,3.58) -- (5.919,3.41) -- (6.044,3.286) -- (6.214,3.24) -- (6.384,3.286) -- (6.508,3.41) -- cycle;
\node at (6.214,3.58) {\scalebox{1.596}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.105,2.861) -- (10.059,3.031) -- (9.935,3.155) -- (9.765,3.201) -- (9.595,3.155) -- (9.471,3.031) -- (9.425,2.861) -- (9.471,2.691) -- (9.595,2.567) -- (9.765,2.521) -- (9.935,2.567) -- (10.059,2.691) -- cycle;
\node at (9.765,2.861) {\scalebox{1.596}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.451,2.273) -- (7.406,2.443) -- (7.281,2.567) -- (7.111,2.613) -- (6.941,2.567) -- (6.817,2.443) -- (6.771,2.273) -- (6.817,2.103) -- (6.941,1.978) -- (7.111,1.933) -- (7.281,1.978) -- (7.406,2.103) -- cycle;
\node at (7.111,2.273) {\scalebox{1.596}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.101,0.98) -- (9.056,1.15) -- (8.931,1.274) -- (8.761,1.32) -- (8.591,1.274) -- (8.467,1.15) -- (8.421,0.98) -- (8.467,0.81) -- (8.591,0.685) -- (8.761,0.64) -- (8.931,0.685) -- (9.056,0.81) -- cycle;
\node at (8.761,0.98) {\scalebox{1.596}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.856,1.207) -- (6.456,1.207) -- (6.456,1.807) -- (5.856,1.807) -- cycle;
\node at (6.156,1.507) {\scalebox{1.596}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.005,3.991) -- (12.605,3.991) -- (12.605,4.591) -- (12.005,4.591) -- cycle;
\node at (12.305,4.291) {\scalebox{1.596}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.684,4.764) -- (10.284,4.764) -- (10.284,5.364) -- (9.684,5.364) -- cycle;
\node at (9.984,5.064) {\scalebox{1.596}{\small c}};
\node at (10.091,6.596) {\scalebox{1.596}{\small A}};
\node at (5.713,6.203) {\scalebox{1.596}{\small B}};
\node at (8.353,3.334) {\scalebox{1.596}{\small C}};
\node at (0.765,1.62) {\scalebox{1.596}{\small D}};
\node at (11.936,1.284) {\scalebox{1.596}{\small E}};
\node at (5.884,0.95) {\scalebox{1.596}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.663,5.192) -- (12.663,6.292);
\draw[line width=0.5pt] (12.432,5.907) -- (12.663,6.292) -- (12.894,5.907);
\draw[line width=0.5pt] (12.361,5.742) -- (12.966,5.742);
\node at (12.663,6.677) {\scalebox{1.596}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 4 & 1 & 3 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{E}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, D, E, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
