\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 154}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=154}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0154}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7028, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.652,6.977) -- (2.972,6.911) -- (3.294,6.853) -- (3.618,6.803) -- (3.942,6.76) -- (4.268,6.724) -- (4.594,6.697) -- (4.921,6.677) -- (5.249,6.665) -- (5.576,6.66) -- (5.904,6.663) -- (6.231,6.674) -- (6.558,6.692) -- (6.884,6.719) -- (7.209,6.753);
\draw[line width=0.5pt] (2.652,6.977) -- (2.612,6.605) -- (2.564,6.235) -- (2.507,5.865) -- (2.441,5.497) -- (2.366,5.13) -- (2.283,4.766) -- (2.191,4.403) -- (2.091,4.042) -- (1.983,3.684) -- (1.866,3.329) -- (1.74,2.977) -- (1.607,2.627) -- (1.465,2.281) -- (1.315,1.939);
\draw[line width=0.5pt] (2.652,6.977) -- (2.774,6.767) -- (2.902,6.559) -- (3.034,6.355) -- (3.171,6.154) -- (3.313,5.956) -- (3.46,5.761) -- (3.611,5.57) -- (3.766,5.383) -- (3.926,5.199) -- (4.09,5.019) -- (4.258,4.843) -- (4.43,4.671) -- (4.607,4.503) -- (4.787,4.34) -- (4.906,4.157) -- (5.021,3.972) -- (5.132,3.783) -- (5.239,3.592) -- (5.34,3.399) -- (5.438,3.203) -- (5.53,3.006) -- (5.618,2.805) -- (5.702,2.603) -- (5.78,2.4) -- (5.854,2.194) -- (5.922,1.987) -- (5.986,1.778) -- (6.045,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (7.209,6.753) -- (7.397,6.536) -- (7.579,6.316) -- (7.756,6.091) -- (7.927,5.862) -- (8.093,5.629) -- (8.254,5.392) -- (8.409,5.151) -- (8.559,4.907) -- (8.702,4.659) -- (8.84,4.408) -- (8.972,4.154) -- (9.098,3.897) -- (9.217,3.637) -- (9.331,3.375);
\draw[line width=0.5pt] (7.209,6.753) -- (7.07,6.398) -- (6.939,6.04) -- (6.817,5.679) -- (6.703,5.315) -- (6.598,4.948) -- (6.501,4.579) -- (6.413,4.208) -- (6.334,3.835) -- (6.264,3.46) -- (6.202,3.084) -- (6.149,2.706) -- (6.106,2.327) -- (6.071,1.948) -- (6.045,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (11.315,6.562) -- (11.21,6.315) -- (11.098,6.069) -- (10.981,5.827) -- (10.857,5.587) -- (10.729,5.351) -- (10.594,5.117) -- (10.454,4.886) -- (10.309,4.659) -- (10.159,4.436) -- (10.003,4.216) -- (9.843,3.999) -- (9.677,3.787) -- (9.506,3.579) -- (9.331,3.375);
\draw[line width=0.5pt] (9.331,3.375) -- (9.078,3.282) -- (8.828,3.184) -- (8.579,3.08) -- (8.334,2.97) -- (8.091,2.855) -- (7.851,2.733) -- (7.613,2.607) -- (7.379,2.474) -- (7.148,2.336) -- (6.92,2.193) -- (6.696,2.044) -- (6.475,1.89) -- (6.258,1.732) -- (6.045,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (1.315,1.939) -- (1.655,1.964) -- (1.994,1.982) -- (2.335,1.991) -- (2.675,1.992) -- (3.016,1.986) -- (3.356,1.971) -- (3.696,1.948) -- (4.035,1.918) -- (4.373,1.879) -- (4.71,1.833) -- (5.046,1.778) -- (5.381,1.716) -- (5.714,1.646) -- (6.045,1.568);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.812,6.977) -- (2.79,7.057) -- (2.732,7.116) -- (2.652,7.137) -- (2.572,7.116) -- (2.513,7.057) -- (2.492,6.977) -- (2.513,6.897) -- (2.572,6.838) -- (2.652,6.817) -- (2.732,6.838) -- (2.79,6.897) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.369,6.753) -- (7.348,6.833) -- (7.289,6.891) -- (7.209,6.913) -- (7.129,6.891) -- (7.071,6.833) -- (7.049,6.753) -- (7.071,6.673) -- (7.129,6.614) -- (7.209,6.593) -- (7.289,6.614) -- (7.348,6.673) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.475,6.562) -- (11.454,6.642) -- (11.395,6.701) -- (11.315,6.722) -- (11.235,6.701) -- (11.177,6.642) -- (11.155,6.562) -- (11.177,6.482) -- (11.235,6.424) -- (11.315,6.402) -- (11.395,6.424) -- (11.454,6.482) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.491,3.375) -- (9.469,3.455) -- (9.411,3.513) -- (9.331,3.535) -- (9.251,3.513) -- (9.192,3.455) -- (9.171,3.375) -- (9.192,3.295) -- (9.251,3.236) -- (9.331,3.215) -- (9.411,3.236) -- (9.469,3.295) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.475,1.939) -- (1.454,2.019) -- (1.395,2.077) -- (1.315,2.099) -- (1.235,2.077) -- (1.177,2.019) -- (1.155,1.939) -- (1.177,1.859) -- (1.235,1.8) -- (1.315,1.779) -- (1.395,1.8) -- (1.454,1.859) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.205,1.568) -- (6.184,1.648) -- (6.125,1.706) -- (6.045,1.728) -- (5.965,1.706) -- (5.907,1.648) -- (5.885,1.568) -- (5.907,1.488) -- (5.965,1.429) -- (6.045,1.408) -- (6.125,1.429) -- (6.184,1.488) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.277,6.996) -- (5.232,7.166) -- (5.107,7.291) -- (4.937,7.336) -- (4.767,7.291) -- (4.643,7.166) -- (4.597,6.996) -- (4.643,6.826) -- (4.767,6.702) -- (4.937,6.656) -- (5.107,6.702) -- (5.232,6.826) -- cycle;
\node at (4.937,6.996) {\scalebox{1.423}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.841,4.321) -- (2.795,4.491) -- (2.671,4.615) -- (2.501,4.661) -- (2.331,4.615) -- (2.206,4.491) -- (2.161,4.321) -- (2.206,4.151) -- (2.331,4.026) -- (2.501,3.981) -- (2.671,4.026) -- (2.795,4.151) -- cycle;
\node at (2.501,4.321) {\scalebox{1.423}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.369,4.549) -- (5.323,4.719) -- (5.199,4.844) -- (5.029,4.889) -- (4.859,4.844) -- (4.734,4.719) -- (4.689,4.549) -- (4.734,4.379) -- (4.859,4.255) -- (5.029,4.209) -- (5.199,4.255) -- (5.323,4.379) -- cycle;
\node at (5.029,4.549) {\scalebox{1.423}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.02,5.321) -- (8.975,5.491) -- (8.85,5.616) -- (8.68,5.661) -- (8.51,5.616) -- (8.386,5.491) -- (8.34,5.321) -- (8.386,5.151) -- (8.51,5.027) -- (8.68,4.981) -- (8.85,5.027) -- (8.975,5.151) -- cycle;
\node at (8.68,5.321) {\scalebox{1.423}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.066,4.138) -- (7.02,4.308) -- (6.896,4.432) -- (6.726,4.478) -- (6.556,4.432) -- (6.431,4.308) -- (6.386,4.138) -- (6.431,3.968) -- (6.556,3.844) -- (6.726,3.798) -- (6.896,3.844) -- (7.02,3.968) -- cycle;
\node at (6.726,4.138) {\scalebox{1.423}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.066,4.717) -- (11.021,4.887) -- (10.896,5.012) -- (10.726,5.057) -- (10.556,5.012) -- (10.432,4.887) -- (10.386,4.717) -- (10.432,4.547) -- (10.556,4.423) -- (10.726,4.377) -- (10.896,4.423) -- (11.021,4.547) -- cycle;
\node at (10.726,4.717) {\scalebox{1.423}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.108,2.326) -- (8.062,2.496) -- (7.938,2.621) -- (7.768,2.666) -- (7.598,2.621) -- (7.473,2.496) -- (7.428,2.326) -- (7.473,2.156) -- (7.598,2.032) -- (7.768,1.986) -- (7.938,2.032) -- (8.062,2.156) -- cycle;
\node at (7.768,2.326) {\scalebox{1.423}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.061,2.267) -- (4.015,2.437) -- (3.891,2.562) -- (3.721,2.607) -- (3.551,2.562) -- (3.426,2.437) -- (3.381,2.267) -- (3.426,2.097) -- (3.551,1.973) -- (3.721,1.927) -- (3.891,1.973) -- (4.015,2.097) -- cycle;
\node at (3.721,2.267) {\scalebox{1.423}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.745,1.268) -- (6.345,1.268) -- (6.345,1.868) -- (5.745,1.868) -- cycle;
\node at (6.045,1.568) {\scalebox{1.423}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.611,5.513) -- (10.211,5.513) -- (10.211,6.113) -- (9.611,6.113) -- cycle;
\node at (9.911,5.813) {\scalebox{1.423}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.326,3.88) -- (1.926,3.88) -- (1.926,4.48) -- (1.326,4.48) -- cycle;
\node at (1.626,4.18) {\scalebox{1.423}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (2.575,1.515) -- (3.175,1.515) -- (3.175,2.115) -- (2.575,2.115) -- cycle;
\node at (2.875,1.815) {\scalebox{1.423}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.179,0.903) -- (8.779,0.903) -- (8.779,1.503) -- (8.179,1.503) -- cycle;
\node at (8.479,1.203) {\scalebox{1.423}{\small e}};
\node at (2.137,7.322) {\scalebox{1.423}{\small A}};
\node at (7.441,7.327) {\scalebox{1.423}{\small B}};
\node at (11.89,6.796) {\scalebox{1.423}{\small C}};
\node at (9.91,3.153) {\scalebox{1.423}{\small D}};
\node at (0.765,1.654) {\scalebox{1.423}{\small E}};
\node at (5.99,0.95) {\scalebox{1.423}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.615,6.027) -- (12.615,7.127);
\draw[line width=0.5pt] (12.384,6.742) -- (12.615,7.127) -- (12.846,6.742);
\draw[line width=0.5pt] (12.313,6.577) -- (12.918,6.577);
\node at (12.615,7.512) {\scalebox{1.423}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin de Ronde & ⑤ boulevard du Parc & Ⓐ Rond-point de la Poste & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Puits & ⑥ impasse du Puits & Ⓑ Carrefour du Lavoir & \textbf{b} la salle des fêtes \\ \hline
③ chemin du Lavoir & ⑦ sentier des Prés & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ quai aux Fleurs & ⑧ rue des Écoles & Ⓓ Carrefour des Tilleuls & \textbf{d} l'école \\ \hline
 &  & Ⓔ Place du Vieux-Puits & \textbf{e} le stade \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point du Pont &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6288, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.652,6.977) -- (2.972,6.911) -- (3.294,6.853) -- (3.618,6.803) -- (3.942,6.76) -- (4.268,6.724) -- (4.594,6.697) -- (4.921,6.677) -- (5.249,6.665) -- (5.576,6.66) -- (5.904,6.663) -- (6.231,6.674) -- (6.558,6.692) -- (6.884,6.719) -- (7.209,6.753);
\draw[line width=0.5pt] (2.652,6.977) -- (2.612,6.605) -- (2.564,6.235) -- (2.507,5.865) -- (2.441,5.497) -- (2.366,5.13) -- (2.283,4.766) -- (2.191,4.403) -- (2.091,4.042) -- (1.983,3.684) -- (1.866,3.329) -- (1.74,2.977) -- (1.607,2.627) -- (1.465,2.281) -- (1.315,1.939);
\draw[line width=0.5pt] (2.652,6.977) -- (2.774,6.767) -- (2.902,6.559) -- (3.034,6.355) -- (3.171,6.154) -- (3.313,5.956) -- (3.46,5.761) -- (3.611,5.57) -- (3.766,5.383) -- (3.926,5.199) -- (4.09,5.019) -- (4.258,4.843) -- (4.43,4.671) -- (4.607,4.503) -- (4.787,4.34) -- (4.906,4.157) -- (5.021,3.972) -- (5.132,3.783) -- (5.239,3.592) -- (5.34,3.399) -- (5.438,3.203) -- (5.53,3.006) -- (5.618,2.805) -- (5.702,2.603) -- (5.78,2.4) -- (5.854,2.194) -- (5.922,1.987) -- (5.986,1.778) -- (6.045,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (7.209,6.753) -- (7.397,6.536) -- (7.579,6.316) -- (7.756,6.091) -- (7.927,5.862) -- (8.093,5.629) -- (8.254,5.392) -- (8.409,5.151) -- (8.559,4.907) -- (8.702,4.659) -- (8.84,4.408) -- (8.972,4.154) -- (9.098,3.897) -- (9.217,3.637) -- (9.331,3.375);
\draw[line width=0.5pt] (7.209,6.753) -- (7.07,6.398) -- (6.939,6.04) -- (6.817,5.679) -- (6.703,5.315) -- (6.598,4.948) -- (6.501,4.579) -- (6.413,4.208) -- (6.334,3.835) -- (6.264,3.46) -- (6.202,3.084) -- (6.149,2.706) -- (6.106,2.327) -- (6.071,1.948) -- (6.045,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (11.315,6.562) -- (11.21,6.315) -- (11.098,6.069) -- (10.981,5.827) -- (10.857,5.587) -- (10.729,5.351) -- (10.594,5.117) -- (10.454,4.886) -- (10.309,4.659) -- (10.159,4.436) -- (10.003,4.216) -- (9.843,3.999) -- (9.677,3.787) -- (9.506,3.579) -- (9.331,3.375);
\draw[line width=0.5pt] (9.331,3.375) -- (9.078,3.282) -- (8.828,3.184) -- (8.579,3.08) -- (8.334,2.97) -- (8.091,2.855) -- (7.851,2.733) -- (7.613,2.607) -- (7.379,2.474) -- (7.148,2.336) -- (6.92,2.193) -- (6.696,2.044) -- (6.475,1.89) -- (6.258,1.732) -- (6.045,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (1.315,1.939) -- (1.655,1.964) -- (1.994,1.982) -- (2.335,1.991) -- (2.675,1.992) -- (3.016,1.986) -- (3.356,1.971) -- (3.696,1.948) -- (4.035,1.918) -- (4.373,1.879) -- (4.71,1.833) -- (5.046,1.778) -- (5.381,1.716) -- (5.714,1.646) -- (6.045,1.568);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.812,6.977) -- (2.79,7.057) -- (2.732,7.116) -- (2.652,7.137) -- (2.572,7.116) -- (2.513,7.057) -- (2.492,6.977) -- (2.513,6.897) -- (2.572,6.838) -- (2.652,6.817) -- (2.732,6.838) -- (2.79,6.897) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.369,6.753) -- (7.348,6.833) -- (7.289,6.891) -- (7.209,6.913) -- (7.129,6.891) -- (7.071,6.833) -- (7.049,6.753) -- (7.071,6.673) -- (7.129,6.614) -- (7.209,6.593) -- (7.289,6.614) -- (7.348,6.673) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.475,6.562) -- (11.454,6.642) -- (11.395,6.701) -- (11.315,6.722) -- (11.235,6.701) -- (11.177,6.642) -- (11.155,6.562) -- (11.177,6.482) -- (11.235,6.424) -- (11.315,6.402) -- (11.395,6.424) -- (11.454,6.482) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.491,3.375) -- (9.469,3.455) -- (9.411,3.513) -- (9.331,3.535) -- (9.251,3.513) -- (9.192,3.455) -- (9.171,3.375) -- (9.192,3.295) -- (9.251,3.236) -- (9.331,3.215) -- (9.411,3.236) -- (9.469,3.295) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.475,1.939) -- (1.454,2.019) -- (1.395,2.077) -- (1.315,2.099) -- (1.235,2.077) -- (1.177,2.019) -- (1.155,1.939) -- (1.177,1.859) -- (1.235,1.8) -- (1.315,1.779) -- (1.395,1.8) -- (1.454,1.859) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.205,1.568) -- (6.184,1.648) -- (6.125,1.706) -- (6.045,1.728) -- (5.965,1.706) -- (5.907,1.648) -- (5.885,1.568) -- (5.907,1.488) -- (5.965,1.429) -- (6.045,1.408) -- (6.125,1.429) -- (6.184,1.488) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.277,6.996) -- (5.232,7.166) -- (5.107,7.291) -- (4.937,7.336) -- (4.767,7.291) -- (4.643,7.166) -- (4.597,6.996) -- (4.643,6.826) -- (4.767,6.702) -- (4.937,6.656) -- (5.107,6.702) -- (5.232,6.826) -- cycle;
\node at (4.937,6.996) {\scalebox{1.59}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.841,4.321) -- (2.795,4.491) -- (2.671,4.615) -- (2.501,4.661) -- (2.331,4.615) -- (2.206,4.491) -- (2.161,4.321) -- (2.206,4.151) -- (2.331,4.026) -- (2.501,3.981) -- (2.671,4.026) -- (2.795,4.151) -- cycle;
\node at (2.501,4.321) {\scalebox{1.59}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.369,4.549) -- (5.323,4.719) -- (5.199,4.844) -- (5.029,4.889) -- (4.859,4.844) -- (4.734,4.719) -- (4.689,4.549) -- (4.734,4.379) -- (4.859,4.255) -- (5.029,4.209) -- (5.199,4.255) -- (5.323,4.379) -- cycle;
\node at (5.029,4.549) {\scalebox{1.59}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.02,5.321) -- (8.975,5.491) -- (8.85,5.616) -- (8.68,5.661) -- (8.51,5.616) -- (8.386,5.491) -- (8.34,5.321) -- (8.386,5.151) -- (8.51,5.027) -- (8.68,4.981) -- (8.85,5.027) -- (8.975,5.151) -- cycle;
\node at (8.68,5.321) {\scalebox{1.59}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.066,4.138) -- (7.02,4.308) -- (6.896,4.432) -- (6.726,4.478) -- (6.556,4.432) -- (6.431,4.308) -- (6.386,4.138) -- (6.431,3.968) -- (6.556,3.844) -- (6.726,3.798) -- (6.896,3.844) -- (7.02,3.968) -- cycle;
\node at (6.726,4.138) {\scalebox{1.59}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.066,4.717) -- (11.021,4.887) -- (10.896,5.012) -- (10.726,5.057) -- (10.556,5.012) -- (10.432,4.887) -- (10.386,4.717) -- (10.432,4.547) -- (10.556,4.423) -- (10.726,4.377) -- (10.896,4.423) -- (11.021,4.547) -- cycle;
\node at (10.726,4.717) {\scalebox{1.59}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.108,2.326) -- (8.062,2.496) -- (7.938,2.621) -- (7.768,2.666) -- (7.598,2.621) -- (7.473,2.496) -- (7.428,2.326) -- (7.473,2.156) -- (7.598,2.032) -- (7.768,1.986) -- (7.938,2.032) -- (8.062,2.156) -- cycle;
\node at (7.768,2.326) {\scalebox{1.59}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.061,2.267) -- (4.015,2.437) -- (3.891,2.562) -- (3.721,2.607) -- (3.551,2.562) -- (3.426,2.437) -- (3.381,2.267) -- (3.426,2.097) -- (3.551,1.973) -- (3.721,1.927) -- (3.891,1.973) -- (4.015,2.097) -- cycle;
\node at (3.721,2.267) {\scalebox{1.59}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.745,1.268) -- (6.345,1.268) -- (6.345,1.868) -- (5.745,1.868) -- cycle;
\node at (6.045,1.568) {\scalebox{1.59}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.611,5.513) -- (10.211,5.513) -- (10.211,6.113) -- (9.611,6.113) -- cycle;
\node at (9.911,5.813) {\scalebox{1.59}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (1.326,3.88) -- (1.926,3.88) -- (1.926,4.48) -- (1.326,4.48) -- cycle;
\node at (1.626,4.18) {\scalebox{1.59}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (2.575,1.515) -- (3.175,1.515) -- (3.175,2.115) -- (2.575,2.115) -- cycle;
\node at (2.875,1.815) {\scalebox{1.59}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.179,0.903) -- (8.779,0.903) -- (8.779,1.503) -- (8.179,1.503) -- cycle;
\node at (8.479,1.203) {\scalebox{1.59}{\small e}};
\node at (2.137,7.322) {\scalebox{1.59}{\small A}};
\node at (7.441,7.327) {\scalebox{1.59}{\small B}};
\node at (11.89,6.796) {\scalebox{1.59}{\small C}};
\node at (9.91,3.153) {\scalebox{1.59}{\small D}};
\node at (0.765,1.654) {\scalebox{1.59}{\small E}};
\node at (5.99,0.95) {\scalebox{1.59}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.615,6.027) -- (12.615,7.127);
\draw[line width=0.5pt] (12.384,6.742) -- (12.615,7.127) -- (12.846,6.742);
\draw[line width=0.5pt] (12.313,6.577) -- (12.918,6.577);
\node at (12.615,7.512) {\scalebox{1.59}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 1 & 3 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, C, D).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
