\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 155}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=155}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0155}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7394, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.716,11.557) -- (4.778,11.213) -- (4.849,10.87) -- (4.928,10.529) -- (5.015,10.19) -- (5.109,9.853) -- (5.212,9.518) -- (5.323,9.185) -- (5.441,8.856) -- (5.567,8.529) -- (5.7,8.205) -- (5.842,7.885) -- (5.99,7.568) -- (6.146,7.255) -- (6.31,6.945);
\draw[line width=0.5pt] (4.716,11.557) -- (4.653,11.311) -- (4.584,11.067) -- (4.51,10.824) -- (4.429,10.583) -- (4.344,10.344) -- (4.252,10.108) -- (4.155,9.873) -- (4.052,9.64) -- (3.945,9.411) -- (3.831,9.183) -- (3.713,8.959) -- (3.589,8.737) -- (3.46,8.519) -- (3.326,8.303) -- (3.161,8.149) -- (3.0,7.99) -- (2.843,7.828) -- (2.689,7.662) -- (2.54,7.492) -- (2.394,7.319) -- (2.253,7.142) -- (2.116,6.963) -- (1.983,6.78) -- (1.854,6.594) -- (1.73,6.405) -- (1.61,6.213) -- (1.495,6.019) -- (1.385,5.822);
\draw[line width=0.5pt] (8.037,7.786) -- (7.905,7.745) -- (7.774,7.702) -- (7.645,7.655) -- (7.516,7.605) -- (7.389,7.552) -- (7.263,7.496) -- (7.138,7.437) -- (7.015,7.375) -- (6.893,7.31) -- (6.773,7.243) -- (6.655,7.173) -- (6.538,7.1) -- (6.423,7.024) -- (6.31,6.945);
\draw[line width=0.5pt] (8.037,7.786) -- (8.231,7.752) -- (8.425,7.714) -- (8.618,7.671) -- (8.81,7.624) -- (9.0,7.572) -- (9.19,7.516) -- (9.378,7.455) -- (9.564,7.39) -- (9.749,7.32) -- (9.933,7.246) -- (10.114,7.168) -- (10.294,7.086) -- (10.471,6.999) -- (10.647,6.908);
\draw[line width=0.5pt] (6.31,6.945) -- (6.617,6.895) -- (6.925,6.852) -- (7.234,6.817) -- (7.544,6.789) -- (7.854,6.768) -- (8.165,6.754) -- (8.477,6.748) -- (8.788,6.749) -- (9.099,6.757) -- (9.41,6.773) -- (9.72,6.796) -- (10.03,6.826) -- (10.339,6.864) -- (10.647,6.908);
\draw[line width=0.5pt] (6.31,6.945) -- (6.146,6.728) -- (5.978,6.515) -- (5.805,6.306) -- (5.626,6.101) -- (5.443,5.9) -- (5.255,5.704) -- (5.063,5.512) -- (4.866,5.325) -- (4.665,5.142) -- (4.459,4.964) -- (4.25,4.791) -- (4.036,4.623) -- (3.819,4.46) -- (3.598,4.302);
\draw[line width=0.5pt] (6.31,6.945) -- (6.415,6.696) -- (6.526,6.448) -- (6.643,6.204) -- (6.765,5.962) -- (6.894,5.723) -- (7.028,5.487) -- (7.167,5.255) -- (7.312,5.025) -- (7.462,4.8) -- (7.617,4.577) -- (7.778,4.359) -- (7.944,4.144) -- (8.114,3.934) -- (8.29,3.727);
\draw[line width=0.5pt] (6.31,6.945) -- (6.317,6.556) -- (6.315,6.166) -- (6.304,5.776) -- (6.284,5.386) -- (6.254,4.997) -- (6.216,4.609) -- (6.168,4.221) -- (6.112,3.835) -- (6.046,3.45) -- (5.971,3.067) -- (5.887,2.686) -- (5.794,2.307) -- (5.693,1.931) -- (5.582,1.557);
\draw[line width=0.5pt] (10.647,6.908) -- (10.445,6.709) -- (10.248,6.504) -- (10.055,6.295) -- (9.868,6.082) -- (9.686,5.864) -- (9.509,5.642) -- (9.337,5.415) -- (9.17,5.185) -- (9.009,4.951) -- (8.854,4.713) -- (8.704,4.471) -- (8.56,4.227) -- (8.422,3.979) -- (8.29,3.727);
\draw[line width=0.5pt] (10.647,6.908) -- (10.605,6.584) -- (10.555,6.26) -- (10.498,5.937) -- (10.433,5.616) -- (10.361,5.296) -- (10.281,4.978) -- (10.194,4.662) -- (10.1,4.348) -- (9.998,4.037) -- (9.888,3.728) -- (9.772,3.422) -- (9.648,3.118) -- (9.518,2.818) -- (9.38,2.521);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,5.822) -- (1.525,5.69) -- (1.668,5.561) -- (1.815,5.436) -- (1.964,5.314) -- (2.116,5.196) -- (2.271,5.082) -- (2.429,4.971) -- (2.589,4.864) -- (2.752,4.76) -- (2.916,4.661) -- (3.084,4.565) -- (3.253,4.473) -- (3.425,4.386) -- (3.598,4.302);
\draw[line width=0.5pt] (8.29,3.727) -- (8.38,3.654) -- (8.469,3.578) -- (8.556,3.5) -- (8.641,3.42) -- (8.724,3.339) -- (8.805,3.255) -- (8.885,3.169) -- (8.962,3.082) -- (9.037,2.992) -- (9.11,2.901) -- (9.181,2.808) -- (9.249,2.714) -- (9.316,2.618) -- (9.38,2.521);
\draw[line width=0.5pt] (8.29,3.727) -- (8.074,3.603) -- (7.861,3.474) -- (7.652,3.34) -- (7.445,3.2) -- (7.242,3.056) -- (7.043,2.907) -- (6.847,2.754) -- (6.654,2.596) -- (6.465,2.433) -- (6.28,2.266) -- (6.1,2.095) -- (5.923,1.92) -- (5.75,1.74) -- (5.582,1.557);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.876,11.557) -- (4.854,11.637) -- (4.796,11.696) -- (4.716,11.717) -- (4.636,11.696) -- (4.577,11.637) -- (4.556,11.557) -- (4.577,11.477) -- (4.636,11.419) -- (4.716,11.397) -- (4.796,11.419) -- (4.854,11.477) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.197,7.786) -- (8.175,7.866) -- (8.117,7.925) -- (8.037,7.946) -- (7.957,7.925) -- (7.898,7.866) -- (7.877,7.786) -- (7.898,7.706) -- (7.957,7.648) -- (8.037,7.626) -- (8.117,7.648) -- (8.175,7.706) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.47,6.945) -- (6.448,7.025) -- (6.39,7.084) -- (6.31,7.105) -- (6.23,7.084) -- (6.171,7.025) -- (6.15,6.945) -- (6.171,6.865) -- (6.23,6.807) -- (6.31,6.785) -- (6.39,6.807) -- (6.448,6.865) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.807,6.908) -- (10.785,6.988) -- (10.727,7.047) -- (10.647,7.068) -- (10.567,7.047) -- (10.508,6.988) -- (10.487,6.908) -- (10.508,6.828) -- (10.567,6.77) -- (10.647,6.748) -- (10.727,6.77) -- (10.785,6.828) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,5.822) -- (1.523,5.902) -- (1.465,5.96) -- (1.385,5.982) -- (1.305,5.96) -- (1.246,5.902) -- (1.225,5.822) -- (1.246,5.742) -- (1.305,5.683) -- (1.385,5.662) -- (1.465,5.683) -- (1.523,5.742) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.758,4.302) -- (3.737,4.382) -- (3.678,4.441) -- (3.598,4.462) -- (3.518,4.441) -- (3.46,4.382) -- (3.438,4.302) -- (3.46,4.222) -- (3.518,4.164) -- (3.598,4.142) -- (3.678,4.164) -- (3.737,4.222) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.45,3.727) -- (8.428,3.807) -- (8.37,3.866) -- (8.29,3.887) -- (8.21,3.866) -- (8.151,3.807) -- (8.13,3.727) -- (8.151,3.647) -- (8.21,3.589) -- (8.29,3.567) -- (8.37,3.589) -- (8.428,3.647) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.54,2.521) -- (9.518,2.601) -- (9.46,2.659) -- (9.38,2.681) -- (9.3,2.659) -- (9.241,2.601) -- (9.22,2.521) -- (9.241,2.441) -- (9.3,2.382) -- (9.38,2.361) -- (9.46,2.382) -- (9.518,2.441) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.742,1.557) -- (5.721,1.637) -- (5.662,1.696) -- (5.582,1.717) -- (5.502,1.696) -- (5.444,1.637) -- (5.422,1.557) -- (5.444,1.477) -- (5.502,1.419) -- (5.582,1.397) -- (5.662,1.419) -- (5.721,1.477) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.965,9.29) -- (5.919,9.46) -- (5.795,9.584) -- (5.625,9.63) -- (5.455,9.584) -- (5.331,9.46) -- (5.285,9.29) -- (5.331,9.12) -- (5.455,8.996) -- (5.625,8.95) -- (5.795,8.996) -- (5.919,9.12) -- cycle;
\node at (5.625,9.29) {\scalebox{1.352}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.915,8.102) -- (3.869,8.272) -- (3.745,8.397) -- (3.575,8.442) -- (3.405,8.397) -- (3.28,8.272) -- (3.235,8.102) -- (3.28,7.932) -- (3.405,7.808) -- (3.575,7.762) -- (3.745,7.808) -- (3.869,7.932) -- cycle;
\node at (3.575,8.102) {\scalebox{1.352}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.618,7.149) -- (7.573,7.319) -- (7.448,7.444) -- (7.278,7.489) -- (7.108,7.444) -- (6.984,7.319) -- (6.938,7.149) -- (6.984,6.979) -- (7.108,6.855) -- (7.278,6.809) -- (7.448,6.855) -- (7.573,6.979) -- cycle;
\node at (7.278,7.149) {\scalebox{1.352}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.82,7.758) -- (9.774,7.928) -- (9.65,8.053) -- (9.48,8.098) -- (9.31,8.053) -- (9.185,7.928) -- (9.14,7.758) -- (9.185,7.588) -- (9.31,7.464) -- (9.48,7.418) -- (9.65,7.464) -- (9.774,7.588) -- cycle;
\node at (9.48,7.758) {\scalebox{1.352}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.819,7.068) -- (8.774,7.238) -- (8.649,7.362) -- (8.479,7.408) -- (8.309,7.362) -- (8.185,7.238) -- (8.139,7.068) -- (8.185,6.898) -- (8.309,6.774) -- (8.479,6.728) -- (8.649,6.774) -- (8.774,6.898) -- cycle;
\node at (8.479,7.068) {\scalebox{1.352}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.626,5.283) -- (5.581,5.453) -- (5.456,5.577) -- (5.286,5.623) -- (5.116,5.577) -- (4.992,5.453) -- (4.946,5.283) -- (4.992,5.113) -- (5.116,4.988) -- (5.286,4.943) -- (5.456,4.988) -- (5.581,5.113) -- cycle;
\node at (5.286,5.283) {\scalebox{1.352}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.779,5.422) -- (7.734,5.592) -- (7.609,5.717) -- (7.439,5.762) -- (7.269,5.717) -- (7.145,5.592) -- (7.099,5.422) -- (7.145,5.252) -- (7.269,5.128) -- (7.439,5.082) -- (7.609,5.128) -- (7.734,5.252) -- cycle;
\node at (7.439,5.422) {\scalebox{1.352}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.825,4.178) -- (6.78,4.348) -- (6.655,4.473) -- (6.485,4.518) -- (6.315,4.473) -- (6.191,4.348) -- (6.145,4.178) -- (6.191,4.008) -- (6.315,3.884) -- (6.485,3.838) -- (6.655,3.884) -- (6.78,4.008) -- cycle;
\node at (6.485,4.178) {\scalebox{1.352}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.934,5.225) -- (9.889,5.395) -- (9.764,5.519) -- (9.594,5.565) -- (9.424,5.519) -- (9.3,5.395) -- (9.254,5.225) -- (9.3,5.055) -- (9.424,4.93) -- (9.594,4.885) -- (9.764,4.93) -- (9.889,5.055) -- cycle;
\node at (9.594,5.225) {\scalebox{1.352}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.842,4.574) -- (10.796,4.744) -- (10.672,4.868) -- (10.502,4.914) -- (10.332,4.868) -- (10.207,4.744) -- (10.162,4.574) -- (10.207,4.404) -- (10.332,4.279) -- (10.502,4.234) -- (10.672,4.279) -- (10.796,4.404) -- cycle;
\node at (10.502,4.574) {\scalebox{1.352}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.95,5.235) -- (2.904,5.405) -- (2.78,5.529) -- (2.61,5.575) -- (2.44,5.529) -- (2.315,5.405) -- (2.27,5.235) -- (2.315,5.065) -- (2.44,4.94) -- (2.61,4.895) -- (2.78,4.94) -- (2.904,5.065) -- cycle;
\node at (2.61,5.235) {\scalebox{1.352}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.462,3.384) -- (9.416,3.554) -- (9.292,3.678) -- (9.122,3.724) -- (8.952,3.678) -- (8.828,3.554) -- (8.782,3.384) -- (8.828,3.214) -- (8.952,3.089) -- (9.122,3.044) -- (9.292,3.089) -- (9.416,3.214) -- cycle;
\node at (9.122,3.384) {\scalebox{1.352}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.387,2.504) -- (7.341,2.674) -- (7.217,2.799) -- (7.047,2.844) -- (6.877,2.799) -- (6.752,2.674) -- (6.707,2.504) -- (6.752,2.334) -- (6.877,2.21) -- (7.047,2.164) -- (7.217,2.21) -- (7.341,2.334) -- cycle;
\node at (7.047,2.504) {\scalebox{1.352}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.01,6.645) -- (6.61,6.645) -- (6.61,7.245) -- (6.01,7.245) -- cycle;
\node at (6.31,6.945) {\scalebox{1.352}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.484,3.92) -- (12.084,3.92) -- (12.084,4.52) -- (11.484,4.52) -- cycle;
\node at (11.784,4.22) {\scalebox{1.352}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.139,8.329) -- (10.739,8.329) -- (10.739,8.929) -- (10.139,8.929) -- cycle;
\node at (10.439,8.629) {\scalebox{1.352}{\small c}};
\node at (4.541,12.152) {\scalebox{1.352}{\small A}};
\node at (8.411,8.28) {\scalebox{1.352}{\small B}};
\node at (6.247,7.562) {\scalebox{1.352}{\small C}};
\node at (11.242,7.082) {\scalebox{1.352}{\small D}};
\node at (0.765,5.839) {\scalebox{1.352}{\small E}};
\node at (3.04,4.032) {\scalebox{1.352}{\small F}};
\node at (8.716,3.277) {\scalebox{1.352}{\small G}};
\node at (9.802,2.067) {\scalebox{1.352}{\small H}};
\node at (5.456,0.95) {\scalebox{1.352}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (11.947,10.607) -- (11.947,11.707);
\draw[line width=0.5pt] (11.716,11.322) -- (11.947,11.707) -- (12.178,11.322);
\draw[line width=0.5pt] (11.644,11.157) -- (12.249,11.157);
\node at (11.947,12.092) {\scalebox{1.352}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Écoles & ⑧ quai aux Fleurs & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑨ venelle du Chat & Ⓑ Place aux Herbes & \textbf{b} le gymnase \\ \hline
③ rue de la Poste & ⑩ rue du Stade & Ⓒ Rond-point de la Gare & \textbf{c} la salle des fêtes \\ \hline
④ rue des Lilas & ⑪ rue de l'Église & Ⓓ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
⑤ boulevard du Parc & ⑫ chemin de Ronde & Ⓔ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
⑥ rue Pasteur & ⑬ rue Haute & Ⓕ Place de l'Église &  \\ \hline
⑦ rue des Jardins &  & Ⓖ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place de la Fontaine &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6615, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.716,11.557) -- (4.778,11.213) -- (4.849,10.87) -- (4.928,10.529) -- (5.015,10.19) -- (5.109,9.853) -- (5.212,9.518) -- (5.323,9.185) -- (5.441,8.856) -- (5.567,8.529) -- (5.7,8.205) -- (5.842,7.885) -- (5.99,7.568) -- (6.146,7.255) -- (6.31,6.945);
\draw[line width=0.5pt] (4.716,11.557) -- (4.653,11.311) -- (4.584,11.067) -- (4.51,10.824) -- (4.429,10.583) -- (4.344,10.344) -- (4.252,10.108) -- (4.155,9.873) -- (4.052,9.64) -- (3.945,9.411) -- (3.831,9.183) -- (3.713,8.959) -- (3.589,8.737) -- (3.46,8.519) -- (3.326,8.303) -- (3.161,8.149) -- (3.0,7.99) -- (2.843,7.828) -- (2.689,7.662) -- (2.54,7.492) -- (2.394,7.319) -- (2.253,7.142) -- (2.116,6.963) -- (1.983,6.78) -- (1.854,6.594) -- (1.73,6.405) -- (1.61,6.213) -- (1.495,6.019) -- (1.385,5.822);
\draw[line width=0.5pt] (8.037,7.786) -- (7.905,7.745) -- (7.774,7.702) -- (7.645,7.655) -- (7.516,7.605) -- (7.389,7.552) -- (7.263,7.496) -- (7.138,7.437) -- (7.015,7.375) -- (6.893,7.31) -- (6.773,7.243) -- (6.655,7.173) -- (6.538,7.1) -- (6.423,7.024) -- (6.31,6.945);
\draw[line width=0.5pt] (8.037,7.786) -- (8.231,7.752) -- (8.425,7.714) -- (8.618,7.671) -- (8.81,7.624) -- (9.0,7.572) -- (9.19,7.516) -- (9.378,7.455) -- (9.564,7.39) -- (9.749,7.32) -- (9.933,7.246) -- (10.114,7.168) -- (10.294,7.086) -- (10.471,6.999) -- (10.647,6.908);
\draw[line width=0.5pt] (6.31,6.945) -- (6.617,6.895) -- (6.925,6.852) -- (7.234,6.817) -- (7.544,6.789) -- (7.854,6.768) -- (8.165,6.754) -- (8.477,6.748) -- (8.788,6.749) -- (9.099,6.757) -- (9.41,6.773) -- (9.72,6.796) -- (10.03,6.826) -- (10.339,6.864) -- (10.647,6.908);
\draw[line width=0.5pt] (6.31,6.945) -- (6.146,6.728) -- (5.978,6.515) -- (5.805,6.306) -- (5.626,6.101) -- (5.443,5.9) -- (5.255,5.704) -- (5.063,5.512) -- (4.866,5.325) -- (4.665,5.142) -- (4.459,4.964) -- (4.25,4.791) -- (4.036,4.623) -- (3.819,4.46) -- (3.598,4.302);
\draw[line width=0.5pt] (6.31,6.945) -- (6.415,6.696) -- (6.526,6.448) -- (6.643,6.204) -- (6.765,5.962) -- (6.894,5.723) -- (7.028,5.487) -- (7.167,5.255) -- (7.312,5.025) -- (7.462,4.8) -- (7.617,4.577) -- (7.778,4.359) -- (7.944,4.144) -- (8.114,3.934) -- (8.29,3.727);
\draw[line width=0.5pt] (6.31,6.945) -- (6.317,6.556) -- (6.315,6.166) -- (6.304,5.776) -- (6.284,5.386) -- (6.254,4.997) -- (6.216,4.609) -- (6.168,4.221) -- (6.112,3.835) -- (6.046,3.45) -- (5.971,3.067) -- (5.887,2.686) -- (5.794,2.307) -- (5.693,1.931) -- (5.582,1.557);
\draw[line width=0.5pt] (10.647,6.908) -- (10.445,6.709) -- (10.248,6.504) -- (10.055,6.295) -- (9.868,6.082) -- (9.686,5.864) -- (9.509,5.642) -- (9.337,5.415) -- (9.17,5.185) -- (9.009,4.951) -- (8.854,4.713) -- (8.704,4.471) -- (8.56,4.227) -- (8.422,3.979) -- (8.29,3.727);
\draw[line width=0.5pt] (10.647,6.908) -- (10.605,6.584) -- (10.555,6.26) -- (10.498,5.937) -- (10.433,5.616) -- (10.361,5.296) -- (10.281,4.978) -- (10.194,4.662) -- (10.1,4.348) -- (9.998,4.037) -- (9.888,3.728) -- (9.772,3.422) -- (9.648,3.118) -- (9.518,2.818) -- (9.38,2.521);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,5.822) -- (1.525,5.69) -- (1.668,5.561) -- (1.815,5.436) -- (1.964,5.314) -- (2.116,5.196) -- (2.271,5.082) -- (2.429,4.971) -- (2.589,4.864) -- (2.752,4.76) -- (2.916,4.661) -- (3.084,4.565) -- (3.253,4.473) -- (3.425,4.386) -- (3.598,4.302);
\draw[line width=0.5pt] (8.29,3.727) -- (8.38,3.654) -- (8.469,3.578) -- (8.556,3.5) -- (8.641,3.42) -- (8.724,3.339) -- (8.805,3.255) -- (8.885,3.169) -- (8.962,3.082) -- (9.037,2.992) -- (9.11,2.901) -- (9.181,2.808) -- (9.249,2.714) -- (9.316,2.618) -- (9.38,2.521);
\draw[line width=0.5pt] (8.29,3.727) -- (8.074,3.603) -- (7.861,3.474) -- (7.652,3.34) -- (7.445,3.2) -- (7.242,3.056) -- (7.043,2.907) -- (6.847,2.754) -- (6.654,2.596) -- (6.465,2.433) -- (6.28,2.266) -- (6.1,2.095) -- (5.923,1.92) -- (5.75,1.74) -- (5.582,1.557);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.876,11.557) -- (4.854,11.637) -- (4.796,11.696) -- (4.716,11.717) -- (4.636,11.696) -- (4.577,11.637) -- (4.556,11.557) -- (4.577,11.477) -- (4.636,11.419) -- (4.716,11.397) -- (4.796,11.419) -- (4.854,11.477) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.197,7.786) -- (8.175,7.866) -- (8.117,7.925) -- (8.037,7.946) -- (7.957,7.925) -- (7.898,7.866) -- (7.877,7.786) -- (7.898,7.706) -- (7.957,7.648) -- (8.037,7.626) -- (8.117,7.648) -- (8.175,7.706) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.47,6.945) -- (6.448,7.025) -- (6.39,7.084) -- (6.31,7.105) -- (6.23,7.084) -- (6.171,7.025) -- (6.15,6.945) -- (6.171,6.865) -- (6.23,6.807) -- (6.31,6.785) -- (6.39,6.807) -- (6.448,6.865) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.807,6.908) -- (10.785,6.988) -- (10.727,7.047) -- (10.647,7.068) -- (10.567,7.047) -- (10.508,6.988) -- (10.487,6.908) -- (10.508,6.828) -- (10.567,6.77) -- (10.647,6.748) -- (10.727,6.77) -- (10.785,6.828) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,5.822) -- (1.523,5.902) -- (1.465,5.96) -- (1.385,5.982) -- (1.305,5.96) -- (1.246,5.902) -- (1.225,5.822) -- (1.246,5.742) -- (1.305,5.683) -- (1.385,5.662) -- (1.465,5.683) -- (1.523,5.742) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.758,4.302) -- (3.737,4.382) -- (3.678,4.441) -- (3.598,4.462) -- (3.518,4.441) -- (3.46,4.382) -- (3.438,4.302) -- (3.46,4.222) -- (3.518,4.164) -- (3.598,4.142) -- (3.678,4.164) -- (3.737,4.222) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.45,3.727) -- (8.428,3.807) -- (8.37,3.866) -- (8.29,3.887) -- (8.21,3.866) -- (8.151,3.807) -- (8.13,3.727) -- (8.151,3.647) -- (8.21,3.589) -- (8.29,3.567) -- (8.37,3.589) -- (8.428,3.647) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.54,2.521) -- (9.518,2.601) -- (9.46,2.659) -- (9.38,2.681) -- (9.3,2.659) -- (9.241,2.601) -- (9.22,2.521) -- (9.241,2.441) -- (9.3,2.382) -- (9.38,2.361) -- (9.46,2.382) -- (9.518,2.441) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.742,1.557) -- (5.721,1.637) -- (5.662,1.696) -- (5.582,1.717) -- (5.502,1.696) -- (5.444,1.637) -- (5.422,1.557) -- (5.444,1.477) -- (5.502,1.419) -- (5.582,1.397) -- (5.662,1.419) -- (5.721,1.477) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.965,9.29) -- (5.919,9.46) -- (5.795,9.584) -- (5.625,9.63) -- (5.455,9.584) -- (5.331,9.46) -- (5.285,9.29) -- (5.331,9.12) -- (5.455,8.996) -- (5.625,8.95) -- (5.795,8.996) -- (5.919,9.12) -- cycle;
\node at (5.625,9.29) {\scalebox{1.512}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.915,8.102) -- (3.869,8.272) -- (3.745,8.397) -- (3.575,8.442) -- (3.405,8.397) -- (3.28,8.272) -- (3.235,8.102) -- (3.28,7.932) -- (3.405,7.808) -- (3.575,7.762) -- (3.745,7.808) -- (3.869,7.932) -- cycle;
\node at (3.575,8.102) {\scalebox{1.512}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.618,7.149) -- (7.573,7.319) -- (7.448,7.444) -- (7.278,7.489) -- (7.108,7.444) -- (6.984,7.319) -- (6.938,7.149) -- (6.984,6.979) -- (7.108,6.855) -- (7.278,6.809) -- (7.448,6.855) -- (7.573,6.979) -- cycle;
\node at (7.278,7.149) {\scalebox{1.512}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.82,7.758) -- (9.774,7.928) -- (9.65,8.053) -- (9.48,8.098) -- (9.31,8.053) -- (9.185,7.928) -- (9.14,7.758) -- (9.185,7.588) -- (9.31,7.464) -- (9.48,7.418) -- (9.65,7.464) -- (9.774,7.588) -- cycle;
\node at (9.48,7.758) {\scalebox{1.512}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.819,7.068) -- (8.774,7.238) -- (8.649,7.362) -- (8.479,7.408) -- (8.309,7.362) -- (8.185,7.238) -- (8.139,7.068) -- (8.185,6.898) -- (8.309,6.774) -- (8.479,6.728) -- (8.649,6.774) -- (8.774,6.898) -- cycle;
\node at (8.479,7.068) {\scalebox{1.512}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.626,5.283) -- (5.581,5.453) -- (5.456,5.577) -- (5.286,5.623) -- (5.116,5.577) -- (4.992,5.453) -- (4.946,5.283) -- (4.992,5.113) -- (5.116,4.988) -- (5.286,4.943) -- (5.456,4.988) -- (5.581,5.113) -- cycle;
\node at (5.286,5.283) {\scalebox{1.512}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.779,5.422) -- (7.734,5.592) -- (7.609,5.717) -- (7.439,5.762) -- (7.269,5.717) -- (7.145,5.592) -- (7.099,5.422) -- (7.145,5.252) -- (7.269,5.128) -- (7.439,5.082) -- (7.609,5.128) -- (7.734,5.252) -- cycle;
\node at (7.439,5.422) {\scalebox{1.512}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.825,4.178) -- (6.78,4.348) -- (6.655,4.473) -- (6.485,4.518) -- (6.315,4.473) -- (6.191,4.348) -- (6.145,4.178) -- (6.191,4.008) -- (6.315,3.884) -- (6.485,3.838) -- (6.655,3.884) -- (6.78,4.008) -- cycle;
\node at (6.485,4.178) {\scalebox{1.512}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.934,5.225) -- (9.889,5.395) -- (9.764,5.519) -- (9.594,5.565) -- (9.424,5.519) -- (9.3,5.395) -- (9.254,5.225) -- (9.3,5.055) -- (9.424,4.93) -- (9.594,4.885) -- (9.764,4.93) -- (9.889,5.055) -- cycle;
\node at (9.594,5.225) {\scalebox{1.512}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.842,4.574) -- (10.796,4.744) -- (10.672,4.868) -- (10.502,4.914) -- (10.332,4.868) -- (10.207,4.744) -- (10.162,4.574) -- (10.207,4.404) -- (10.332,4.279) -- (10.502,4.234) -- (10.672,4.279) -- (10.796,4.404) -- cycle;
\node at (10.502,4.574) {\scalebox{1.512}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.95,5.235) -- (2.904,5.405) -- (2.78,5.529) -- (2.61,5.575) -- (2.44,5.529) -- (2.315,5.405) -- (2.27,5.235) -- (2.315,5.065) -- (2.44,4.94) -- (2.61,4.895) -- (2.78,4.94) -- (2.904,5.065) -- cycle;
\node at (2.61,5.235) {\scalebox{1.512}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.462,3.384) -- (9.416,3.554) -- (9.292,3.678) -- (9.122,3.724) -- (8.952,3.678) -- (8.828,3.554) -- (8.782,3.384) -- (8.828,3.214) -- (8.952,3.089) -- (9.122,3.044) -- (9.292,3.089) -- (9.416,3.214) -- cycle;
\node at (9.122,3.384) {\scalebox{1.512}{\small 12}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.387,2.504) -- (7.341,2.674) -- (7.217,2.799) -- (7.047,2.844) -- (6.877,2.799) -- (6.752,2.674) -- (6.707,2.504) -- (6.752,2.334) -- (6.877,2.21) -- (7.047,2.164) -- (7.217,2.21) -- (7.341,2.334) -- cycle;
\node at (7.047,2.504) {\scalebox{1.512}{\small 13}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.01,6.645) -- (6.61,6.645) -- (6.61,7.245) -- (6.01,7.245) -- cycle;
\node at (6.31,6.945) {\scalebox{1.512}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (11.484,3.92) -- (12.084,3.92) -- (12.084,4.52) -- (11.484,4.52) -- cycle;
\node at (11.784,4.22) {\scalebox{1.512}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.139,8.329) -- (10.739,8.329) -- (10.739,8.929) -- (10.139,8.929) -- cycle;
\node at (10.439,8.629) {\scalebox{1.512}{\small c}};
\node at (4.541,12.152) {\scalebox{1.512}{\small A}};
\node at (8.411,8.28) {\scalebox{1.512}{\small B}};
\node at (6.247,7.562) {\scalebox{1.512}{\small C}};
\node at (11.242,7.082) {\scalebox{1.512}{\small D}};
\node at (0.765,5.839) {\scalebox{1.512}{\small E}};
\node at (3.04,4.032) {\scalebox{1.512}{\small F}};
\node at (8.716,3.277) {\scalebox{1.512}{\small G}};
\node at (9.802,2.067) {\scalebox{1.512}{\small H}};
\node at (5.456,0.95) {\scalebox{1.512}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (11.947,10.607) -- (11.947,11.707);
\draw[line width=0.5pt] (11.716,11.322) -- (11.947,11.707) -- (12.178,11.322);
\draw[line width=0.5pt] (11.644,11.157) -- (12.249,11.157);
\node at (11.947,12.092) {\scalebox{1.512}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 6 & 4 & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 26 = 2 \(\times\) 13, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Gare \textbf{(C)}, prend la \textbf{rue des Écoles ①} vers le nord et atteint Placette des Ormes \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Verte ②}, vers le sud-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ⑪}, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ⑥}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue de la Poste ③}, vers le nord-est, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(B)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue des Lilas ④}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑤}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ⑨}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ⑩}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ⑫}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ⑬}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(I)}.
  \item Il prend dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑧}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
