\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 160}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=160}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0160}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7187, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.889,11.45) -- (2.075,11.087) -- (2.268,10.727) -- (2.471,10.373) -- (2.682,10.023) -- (2.9,9.678) -- (3.127,9.338) -- (3.362,9.004) -- (3.605,8.675) -- (3.855,8.352) -- (4.113,8.035) -- (4.378,7.724) -- (4.651,7.42) -- (4.93,7.122) -- (5.216,6.832);
\draw[line width=0.5pt] (1.889,11.45) -- (1.925,11.043) -- (1.95,10.634) -- (1.966,10.225) -- (1.972,9.816) -- (1.969,9.406) -- (1.956,8.997) -- (1.933,8.588) -- (1.901,8.179) -- (1.859,7.772) -- (1.807,7.365) -- (1.746,6.96) -- (1.676,6.557) -- (1.596,6.156) -- (1.506,5.756);
\draw[line width=0.5pt] (5.328,11.148) -- (5.7,11.056) -- (6.073,10.972) -- (6.449,10.897) -- (6.826,10.832) -- (7.205,10.775) -- (7.585,10.727) -- (7.966,10.687) -- (8.348,10.657) -- (8.73,10.636) -- (9.113,10.624) -- (9.496,10.621) -- (9.879,10.626) -- (10.262,10.641) -- (10.644,10.665);
\draw[line width=0.5pt] (5.328,11.148) -- (5.368,10.841) -- (5.4,10.533) -- (5.424,10.224) -- (5.442,9.915) -- (5.452,9.605) -- (5.455,9.295) -- (5.45,8.985) -- (5.439,8.675) -- (5.42,8.366) -- (5.394,8.057) -- (5.36,7.749) -- (5.319,7.442) -- (5.271,7.136) -- (5.216,6.832);
\draw[line width=0.5pt] (10.644,10.665) -- (10.217,10.453) -- (9.795,10.231) -- (9.379,9.998) -- (8.969,9.756) -- (8.564,9.504) -- (8.165,9.243) -- (7.772,8.972) -- (7.385,8.693) -- (7.006,8.404) -- (6.633,8.106) -- (6.268,7.8) -- (5.909,7.486) -- (5.559,7.163) -- (5.216,6.832);
\draw[line width=0.5pt] (5.216,6.832) -- (4.965,6.715) -- (4.711,6.604) -- (4.455,6.499) -- (4.196,6.4) -- (3.935,6.308) -- (3.671,6.221) -- (3.406,6.141) -- (3.139,6.067) -- (2.87,5.999) -- (2.599,5.938) -- (2.328,5.883) -- (2.055,5.834) -- (1.781,5.792) -- (1.506,5.756);
\draw[line width=0.5pt] (5.216,6.832) -- (5.577,6.444) -- (5.947,6.065) -- (6.326,5.694) -- (6.714,5.333) -- (7.111,4.981) -- (7.515,4.638) -- (7.927,4.304) -- (8.348,3.981) -- (8.775,3.667) -- (9.21,3.364) -- (9.652,3.071) -- (10.1,2.788) -- (10.555,2.516) -- (11.016,2.256);
\draw[line width=0.5pt] (5.216,6.832) -- (4.986,6.406) -- (4.745,5.985) -- (4.494,5.57) -- (4.234,5.161) -- (3.964,4.758) -- (3.684,4.362) -- (3.396,3.972) -- (3.098,3.59) -- (2.791,3.214) -- (2.476,2.846) -- (2.152,2.485) -- (1.82,2.132) -- (1.479,1.787) -- (1.131,1.45);
\draw[line width=0.5pt] (11.016,2.256) -- (10.605,2.308) -- (10.193,2.35) -- (9.779,2.383) -- (9.365,2.406) -- (8.95,2.42) -- (8.535,2.423) -- (8.12,2.417) -- (7.706,2.401) -- (7.291,2.375) -- (6.878,2.34) -- (6.466,2.295) -- (6.054,2.24) -- (5.645,2.175) -- (5.237,2.101) -- (4.953,2.01) -- (4.667,1.926) -- (4.379,1.848) -- (4.089,1.778) -- (3.798,1.714) -- (3.505,1.657) -- (3.211,1.607) -- (2.916,1.563) -- (2.619,1.527) -- (2.322,1.498) -- (2.025,1.475) -- (1.727,1.46) -- (1.429,1.452) -- (1.131,1.45);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.049,11.45) -- (2.028,11.53) -- (1.969,11.589) -- (1.889,11.61) -- (1.809,11.589) -- (1.751,11.53) -- (1.729,11.45) -- (1.751,11.37) -- (1.809,11.312) -- (1.889,11.29) -- (1.969,11.312) -- (2.028,11.37) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.488,11.148) -- (5.467,11.228) -- (5.408,11.287) -- (5.328,11.308) -- (5.248,11.287) -- (5.19,11.228) -- (5.168,11.148) -- (5.19,11.068) -- (5.248,11.009) -- (5.328,10.988) -- (5.408,11.009) -- (5.467,11.068) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.804,10.665) -- (10.782,10.745) -- (10.724,10.804) -- (10.644,10.825) -- (10.564,10.804) -- (10.505,10.745) -- (10.484,10.665) -- (10.505,10.585) -- (10.564,10.527) -- (10.644,10.505) -- (10.724,10.527) -- (10.782,10.585) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.376,6.832) -- (5.355,6.912) -- (5.296,6.97) -- (5.216,6.992) -- (5.136,6.97) -- (5.078,6.912) -- (5.056,6.832) -- (5.078,6.752) -- (5.136,6.693) -- (5.216,6.672) -- (5.296,6.693) -- (5.355,6.752) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.666,5.756) -- (1.645,5.836) -- (1.586,5.895) -- (1.506,5.916) -- (1.426,5.895) -- (1.368,5.836) -- (1.346,5.756) -- (1.368,5.676) -- (1.426,5.618) -- (1.506,5.596) -- (1.586,5.618) -- (1.645,5.676) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.176,2.256) -- (11.155,2.336) -- (11.096,2.394) -- (11.016,2.416) -- (10.936,2.394) -- (10.878,2.336) -- (10.856,2.256) -- (10.878,2.176) -- (10.936,2.117) -- (11.016,2.096) -- (11.096,2.117) -- (11.155,2.176) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.291,1.45) -- (1.27,1.53) -- (1.211,1.589) -- (1.131,1.61) -- (1.051,1.589) -- (0.992,1.53) -- (0.971,1.45) -- (0.992,1.37) -- (1.051,1.312) -- (1.131,1.29) -- (1.211,1.312) -- (1.27,1.37) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.962,9.191) -- (3.916,9.361) -- (3.792,9.485) -- (3.622,9.531) -- (3.452,9.485) -- (3.328,9.361) -- (3.282,9.191) -- (3.328,9.021) -- (3.452,8.896) -- (3.622,8.851) -- (3.792,8.896) -- (3.916,9.021) -- cycle;
\node at (3.622,9.191) {\scalebox{1.391}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.592,8.566) -- (2.547,8.736) -- (2.422,8.861) -- (2.252,8.906) -- (2.082,8.861) -- (1.958,8.736) -- (1.912,8.566) -- (1.958,8.396) -- (2.082,8.272) -- (2.252,8.226) -- (2.422,8.272) -- (2.547,8.396) -- cycle;
\node at (2.252,8.566) {\scalebox{1.391}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.335,11.006) -- (8.289,11.176) -- (8.165,11.301) -- (7.995,11.346) -- (7.825,11.301) -- (7.701,11.176) -- (7.655,11.006) -- (7.701,10.836) -- (7.825,10.712) -- (7.995,10.666) -- (8.165,10.712) -- (8.289,10.836) -- cycle;
\node at (7.995,11.006) {\scalebox{1.391}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.11,8.977) -- (6.065,9.147) -- (5.94,9.271) -- (5.77,9.317) -- (5.6,9.271) -- (5.476,9.147) -- (5.43,8.977) -- (5.476,8.807) -- (5.6,8.682) -- (5.77,8.637) -- (5.94,8.682) -- (6.065,8.807) -- cycle;
\node at (5.77,8.977) {\scalebox{1.391}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.296,8.711) -- (8.251,8.881) -- (8.126,9.005) -- (7.956,9.051) -- (7.786,9.005) -- (7.662,8.881) -- (7.616,8.711) -- (7.662,8.541) -- (7.786,8.416) -- (7.956,8.371) -- (8.126,8.416) -- (8.251,8.541) -- cycle;
\node at (7.956,8.711) {\scalebox{1.391}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.835,5.834) -- (3.789,6.004) -- (3.665,6.128) -- (3.495,6.174) -- (3.325,6.128) -- (3.2,6.004) -- (3.155,5.834) -- (3.2,5.664) -- (3.325,5.539) -- (3.495,5.494) -- (3.665,5.539) -- (3.789,5.664) -- cycle;
\node at (3.495,5.834) {\scalebox{1.391}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.466,4.556) -- (8.42,4.726) -- (8.296,4.85) -- (8.126,4.896) -- (7.956,4.85) -- (7.831,4.726) -- (7.786,4.556) -- (7.831,4.386) -- (7.956,4.261) -- (8.126,4.216) -- (8.296,4.261) -- (8.42,4.386) -- cycle;
\node at (8.126,4.556) {\scalebox{1.391}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.99,3.779) -- (3.945,3.949) -- (3.82,4.073) -- (3.65,4.119) -- (3.48,4.073) -- (3.356,3.949) -- (3.31,3.779) -- (3.356,3.609) -- (3.48,3.485) -- (3.65,3.439) -- (3.82,3.485) -- (3.945,3.609) -- cycle;
\node at (3.65,3.779) {\scalebox{1.391}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.651,1.79) -- (5.606,1.96) -- (5.481,2.085) -- (5.311,2.13) -- (5.141,2.085) -- (5.017,1.96) -- (4.971,1.79) -- (5.017,1.62) -- (5.141,1.496) -- (5.311,1.45) -- (5.481,1.496) -- (5.606,1.62) -- cycle;
\node at (5.311,1.79) {\scalebox{1.391}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.916,6.532) -- (5.516,6.532) -- (5.516,7.132) -- (4.916,7.132) -- cycle;
\node at (5.216,6.832) {\scalebox{1.391}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.428,4.591) -- (3.028,4.591) -- (3.028,5.191) -- (2.428,5.191) -- cycle;
\node at (2.728,4.891) {\scalebox{1.391}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.107,9.693) -- (6.707,9.693) -- (6.707,10.293) -- (6.107,10.293) -- cycle;
\node at (6.407,9.993) {\scalebox{1.391}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.21,8.767) -- (1.81,8.767) -- (1.81,9.367) -- (1.21,9.367) -- cycle;
\node at (1.51,9.067) {\scalebox{1.391}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.915,9.951) -- (3.515,9.951) -- (3.515,10.551) -- (2.915,10.551) -- cycle;
\node at (3.215,10.251) {\scalebox{1.391}{\small e}};
\node at (1.512,11.942) {\scalebox{1.391}{\small A}};
\node at (5.341,11.768) {\scalebox{1.391}{\small B}};
\node at (11.16,11.008) {\scalebox{1.391}{\small C}};
\node at (5.139,6.216) {\scalebox{1.391}{\small D}};
\node at (0.922,5.55) {\scalebox{1.391}{\small E}};
\node at (11.492,1.858) {\scalebox{1.391}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.391}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.316,10.5) -- (12.316,11.6);
\draw[line width=0.5pt] (12.085,11.215) -- (12.316,11.6) -- (12.547,11.215);
\draw[line width=0.5pt] (12.014,11.05) -- (12.619,11.05);
\node at (12.316,11.985) {\scalebox{1.391}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Pasteur & ⑥ rue du Puits & Ⓐ Place Sainte-Croix & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Neuve & ⑦ rue de la Mairie & Ⓑ Place de la Fontaine & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ chemin de Ronde & ⑧ rue Verte & Ⓒ Place du Marché & \textbf{c} la boulangerie \\ \hline
④ rue Basse & ⑨ rue des Lilas & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ chemin Creux &  & Ⓔ Place du Vieux-Puits & \textbf{e} l'église \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place aux Herbes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.643, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.889,11.45) -- (2.075,11.087) -- (2.268,10.727) -- (2.471,10.373) -- (2.682,10.023) -- (2.9,9.678) -- (3.127,9.338) -- (3.362,9.004) -- (3.605,8.675) -- (3.855,8.352) -- (4.113,8.035) -- (4.378,7.724) -- (4.651,7.42) -- (4.93,7.122) -- (5.216,6.832);
\draw[line width=0.5pt] (1.889,11.45) -- (1.925,11.043) -- (1.95,10.634) -- (1.966,10.225) -- (1.972,9.816) -- (1.969,9.406) -- (1.956,8.997) -- (1.933,8.588) -- (1.901,8.179) -- (1.859,7.772) -- (1.807,7.365) -- (1.746,6.96) -- (1.676,6.557) -- (1.596,6.156) -- (1.506,5.756);
\draw[line width=0.5pt] (5.328,11.148) -- (5.7,11.056) -- (6.073,10.972) -- (6.449,10.897) -- (6.826,10.832) -- (7.205,10.775) -- (7.585,10.727) -- (7.966,10.687) -- (8.348,10.657) -- (8.73,10.636) -- (9.113,10.624) -- (9.496,10.621) -- (9.879,10.626) -- (10.262,10.641) -- (10.644,10.665);
\draw[line width=0.5pt] (5.328,11.148) -- (5.368,10.841) -- (5.4,10.533) -- (5.424,10.224) -- (5.442,9.915) -- (5.452,9.605) -- (5.455,9.295) -- (5.45,8.985) -- (5.439,8.675) -- (5.42,8.366) -- (5.394,8.057) -- (5.36,7.749) -- (5.319,7.442) -- (5.271,7.136) -- (5.216,6.832);
\draw[line width=0.5pt] (10.644,10.665) -- (10.217,10.453) -- (9.795,10.231) -- (9.379,9.998) -- (8.969,9.756) -- (8.564,9.504) -- (8.165,9.243) -- (7.772,8.972) -- (7.385,8.693) -- (7.006,8.404) -- (6.633,8.106) -- (6.268,7.8) -- (5.909,7.486) -- (5.559,7.163) -- (5.216,6.832);
\draw[line width=0.5pt] (5.216,6.832) -- (4.965,6.715) -- (4.711,6.604) -- (4.455,6.499) -- (4.196,6.4) -- (3.935,6.308) -- (3.671,6.221) -- (3.406,6.141) -- (3.139,6.067) -- (2.87,5.999) -- (2.599,5.938) -- (2.328,5.883) -- (2.055,5.834) -- (1.781,5.792) -- (1.506,5.756);
\draw[line width=0.5pt] (5.216,6.832) -- (5.577,6.444) -- (5.947,6.065) -- (6.326,5.694) -- (6.714,5.333) -- (7.111,4.981) -- (7.515,4.638) -- (7.927,4.304) -- (8.348,3.981) -- (8.775,3.667) -- (9.21,3.364) -- (9.652,3.071) -- (10.1,2.788) -- (10.555,2.516) -- (11.016,2.256);
\draw[line width=0.5pt] (5.216,6.832) -- (4.986,6.406) -- (4.745,5.985) -- (4.494,5.57) -- (4.234,5.161) -- (3.964,4.758) -- (3.684,4.362) -- (3.396,3.972) -- (3.098,3.59) -- (2.791,3.214) -- (2.476,2.846) -- (2.152,2.485) -- (1.82,2.132) -- (1.479,1.787) -- (1.131,1.45);
\draw[line width=0.5pt] (11.016,2.256) -- (10.605,2.308) -- (10.193,2.35) -- (9.779,2.383) -- (9.365,2.406) -- (8.95,2.42) -- (8.535,2.423) -- (8.12,2.417) -- (7.706,2.401) -- (7.291,2.375) -- (6.878,2.34) -- (6.466,2.295) -- (6.054,2.24) -- (5.645,2.175) -- (5.237,2.101) -- (4.953,2.01) -- (4.667,1.926) -- (4.379,1.848) -- (4.089,1.778) -- (3.798,1.714) -- (3.505,1.657) -- (3.211,1.607) -- (2.916,1.563) -- (2.619,1.527) -- (2.322,1.498) -- (2.025,1.475) -- (1.727,1.46) -- (1.429,1.452) -- (1.131,1.45);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.049,11.45) -- (2.028,11.53) -- (1.969,11.589) -- (1.889,11.61) -- (1.809,11.589) -- (1.751,11.53) -- (1.729,11.45) -- (1.751,11.37) -- (1.809,11.312) -- (1.889,11.29) -- (1.969,11.312) -- (2.028,11.37) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.488,11.148) -- (5.467,11.228) -- (5.408,11.287) -- (5.328,11.308) -- (5.248,11.287) -- (5.19,11.228) -- (5.168,11.148) -- (5.19,11.068) -- (5.248,11.009) -- (5.328,10.988) -- (5.408,11.009) -- (5.467,11.068) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.804,10.665) -- (10.782,10.745) -- (10.724,10.804) -- (10.644,10.825) -- (10.564,10.804) -- (10.505,10.745) -- (10.484,10.665) -- (10.505,10.585) -- (10.564,10.527) -- (10.644,10.505) -- (10.724,10.527) -- (10.782,10.585) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.376,6.832) -- (5.355,6.912) -- (5.296,6.97) -- (5.216,6.992) -- (5.136,6.97) -- (5.078,6.912) -- (5.056,6.832) -- (5.078,6.752) -- (5.136,6.693) -- (5.216,6.672) -- (5.296,6.693) -- (5.355,6.752) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.666,5.756) -- (1.645,5.836) -- (1.586,5.895) -- (1.506,5.916) -- (1.426,5.895) -- (1.368,5.836) -- (1.346,5.756) -- (1.368,5.676) -- (1.426,5.618) -- (1.506,5.596) -- (1.586,5.618) -- (1.645,5.676) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.176,2.256) -- (11.155,2.336) -- (11.096,2.394) -- (11.016,2.416) -- (10.936,2.394) -- (10.878,2.336) -- (10.856,2.256) -- (10.878,2.176) -- (10.936,2.117) -- (11.016,2.096) -- (11.096,2.117) -- (11.155,2.176) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.291,1.45) -- (1.27,1.53) -- (1.211,1.589) -- (1.131,1.61) -- (1.051,1.589) -- (0.992,1.53) -- (0.971,1.45) -- (0.992,1.37) -- (1.051,1.312) -- (1.131,1.29) -- (1.211,1.312) -- (1.27,1.37) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.962,9.191) -- (3.916,9.361) -- (3.792,9.485) -- (3.622,9.531) -- (3.452,9.485) -- (3.328,9.361) -- (3.282,9.191) -- (3.328,9.021) -- (3.452,8.896) -- (3.622,8.851) -- (3.792,8.896) -- (3.916,9.021) -- cycle;
\node at (3.622,9.191) {\scalebox{1.555}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.592,8.566) -- (2.547,8.736) -- (2.422,8.861) -- (2.252,8.906) -- (2.082,8.861) -- (1.958,8.736) -- (1.912,8.566) -- (1.958,8.396) -- (2.082,8.272) -- (2.252,8.226) -- (2.422,8.272) -- (2.547,8.396) -- cycle;
\node at (2.252,8.566) {\scalebox{1.555}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.335,11.006) -- (8.289,11.176) -- (8.165,11.301) -- (7.995,11.346) -- (7.825,11.301) -- (7.701,11.176) -- (7.655,11.006) -- (7.701,10.836) -- (7.825,10.712) -- (7.995,10.666) -- (8.165,10.712) -- (8.289,10.836) -- cycle;
\node at (7.995,11.006) {\scalebox{1.555}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.11,8.977) -- (6.065,9.147) -- (5.94,9.271) -- (5.77,9.317) -- (5.6,9.271) -- (5.476,9.147) -- (5.43,8.977) -- (5.476,8.807) -- (5.6,8.682) -- (5.77,8.637) -- (5.94,8.682) -- (6.065,8.807) -- cycle;
\node at (5.77,8.977) {\scalebox{1.555}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.296,8.711) -- (8.251,8.881) -- (8.126,9.005) -- (7.956,9.051) -- (7.786,9.005) -- (7.662,8.881) -- (7.616,8.711) -- (7.662,8.541) -- (7.786,8.416) -- (7.956,8.371) -- (8.126,8.416) -- (8.251,8.541) -- cycle;
\node at (7.956,8.711) {\scalebox{1.555}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.835,5.834) -- (3.789,6.004) -- (3.665,6.128) -- (3.495,6.174) -- (3.325,6.128) -- (3.2,6.004) -- (3.155,5.834) -- (3.2,5.664) -- (3.325,5.539) -- (3.495,5.494) -- (3.665,5.539) -- (3.789,5.664) -- cycle;
\node at (3.495,5.834) {\scalebox{1.555}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.466,4.556) -- (8.42,4.726) -- (8.296,4.85) -- (8.126,4.896) -- (7.956,4.85) -- (7.831,4.726) -- (7.786,4.556) -- (7.831,4.386) -- (7.956,4.261) -- (8.126,4.216) -- (8.296,4.261) -- (8.42,4.386) -- cycle;
\node at (8.126,4.556) {\scalebox{1.555}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.99,3.779) -- (3.945,3.949) -- (3.82,4.073) -- (3.65,4.119) -- (3.48,4.073) -- (3.356,3.949) -- (3.31,3.779) -- (3.356,3.609) -- (3.48,3.485) -- (3.65,3.439) -- (3.82,3.485) -- (3.945,3.609) -- cycle;
\node at (3.65,3.779) {\scalebox{1.555}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.651,1.79) -- (5.606,1.96) -- (5.481,2.085) -- (5.311,2.13) -- (5.141,2.085) -- (5.017,1.96) -- (4.971,1.79) -- (5.017,1.62) -- (5.141,1.496) -- (5.311,1.45) -- (5.481,1.496) -- (5.606,1.62) -- cycle;
\node at (5.311,1.79) {\scalebox{1.555}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.916,6.532) -- (5.516,6.532) -- (5.516,7.132) -- (4.916,7.132) -- cycle;
\node at (5.216,6.832) {\scalebox{1.555}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.428,4.591) -- (3.028,4.591) -- (3.028,5.191) -- (2.428,5.191) -- cycle;
\node at (2.728,4.891) {\scalebox{1.555}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.107,9.693) -- (6.707,9.693) -- (6.707,10.293) -- (6.107,10.293) -- cycle;
\node at (6.407,9.993) {\scalebox{1.555}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.21,8.767) -- (1.81,8.767) -- (1.81,9.367) -- (1.21,9.367) -- cycle;
\node at (1.51,9.067) {\scalebox{1.555}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.915,9.951) -- (3.515,9.951) -- (3.515,10.551) -- (2.915,10.551) -- cycle;
\node at (3.215,10.251) {\scalebox{1.555}{\small e}};
\node at (1.512,11.942) {\scalebox{1.555}{\small A}};
\node at (5.341,11.768) {\scalebox{1.555}{\small B}};
\node at (11.16,11.008) {\scalebox{1.555}{\small C}};
\node at (5.139,6.216) {\scalebox{1.555}{\small D}};
\node at (0.922,5.55) {\scalebox{1.555}{\small E}};
\node at (11.492,1.858) {\scalebox{1.555}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.555}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.316,10.5) -- (12.316,11.6);
\draw[line width=0.5pt] (12.085,11.215) -- (12.316,11.6) -- (12.547,11.215);
\draw[line width=0.5pt] (12.014,11.05) -- (12.619,11.05);
\node at (12.316,11.985) {\scalebox{1.555}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 2 & 6 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(D)}, prend la \textbf{rue Pasteur ①} vers le nord-ouest et atteint Place Sainte-Croix \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Neuve ②}, vers le sud, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑥}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ④}, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ③}, vers l'est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(C)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin Creux ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(F)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Lilas ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
