\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 161}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=161}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0161}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.704, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.293,11.126) -- (10.964,11.099) -- (10.636,11.065) -- (10.308,11.022) -- (9.982,10.972) -- (9.657,10.914) -- (9.333,10.848) -- (9.011,10.775) -- (8.691,10.694) -- (8.373,10.606) -- (8.057,10.51) -- (7.743,10.407) -- (7.432,10.297) -- (7.124,10.179) -- (6.818,10.054);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,11.126) -- (10.896,10.725) -- (10.489,10.333) -- (10.073,9.95) -- (9.649,9.577) -- (9.215,9.215) -- (8.773,8.862) -- (8.323,8.52) -- (7.865,8.189) -- (7.399,7.868) -- (6.926,7.559) -- (6.446,7.261) -- (5.959,6.974) -- (5.466,6.699) -- (4.966,6.436);
\draw[line width=0.5pt] (2.205,10.873) -- (2.523,10.764) -- (2.843,10.663) -- (3.166,10.57) -- (3.492,10.484) -- (3.819,10.406) -- (4.147,10.336) -- (4.478,10.273) -- (4.81,10.218) -- (5.143,10.171) -- (5.477,10.132) -- (5.812,10.101) -- (6.147,10.077) -- (6.483,10.062) -- (6.818,10.054);
\draw[line width=0.5pt] (2.205,10.873) -- (2.449,10.589) -- (2.687,10.299) -- (2.917,10.003) -- (3.141,9.702) -- (3.357,9.396) -- (3.567,9.084) -- (3.768,8.768) -- (3.963,8.448) -- (4.15,8.122) -- (4.329,7.793) -- (4.5,7.459) -- (4.664,7.122) -- (4.819,6.781) -- (4.966,6.436);
\draw[line width=0.5pt] (6.818,10.054) -- (6.648,9.818) -- (6.482,9.578) -- (6.323,9.334) -- (6.169,9.086) -- (6.021,8.835) -- (5.879,8.58) -- (5.743,8.322) -- (5.613,8.06) -- (5.489,7.796) -- (5.372,7.529) -- (5.261,7.259) -- (5.156,6.987) -- (5.058,6.713) -- (4.966,6.436);
\draw[line width=0.5pt] (4.966,6.436) -- (4.723,6.381) -- (4.48,6.331) -- (4.234,6.287) -- (3.988,6.249) -- (3.741,6.216) -- (3.494,6.19) -- (3.246,6.169) -- (2.997,6.154) -- (2.748,6.145) -- (2.499,6.142) -- (2.25,6.144) -- (2.001,6.153) -- (1.753,6.167) -- (1.505,6.187);
\draw[line width=0.5pt] (4.966,6.436) -- (5.264,6.031) -- (5.572,5.633) -- (5.89,5.242) -- (6.217,4.859) -- (6.552,4.483) -- (6.897,4.116) -- (7.25,3.756) -- (7.611,3.405) -- (7.981,3.063) -- (8.358,2.729) -- (8.743,2.405) -- (9.135,2.089) -- (9.535,1.783) -- (9.942,1.487);
\draw[line width=0.5pt] (4.966,6.436) -- (4.76,6.042) -- (4.545,5.653) -- (4.321,5.268) -- (4.088,4.89) -- (3.846,4.516) -- (3.595,4.149) -- (3.335,3.787) -- (3.068,3.431) -- (2.791,3.082) -- (2.507,2.74) -- (2.215,2.404) -- (1.915,2.076) -- (1.608,1.754) -- (1.293,1.441);
\draw[line width=0.5pt] (1.505,6.187) -- (1.438,5.853) -- (1.379,5.518) -- (1.327,5.181) -- (1.284,4.842) -- (1.249,4.503) -- (1.222,4.163) -- (1.203,3.823) -- (1.192,3.482) -- (1.188,3.141) -- (1.193,2.8) -- (1.206,2.459) -- (1.227,2.119) -- (1.256,1.779) -- (1.293,1.441);
\draw[line width=0.5pt] (9.942,1.487) -- (9.68,1.495) -- (9.418,1.509) -- (9.157,1.529) -- (8.895,1.555) -- (8.635,1.587) -- (8.376,1.626) -- (8.117,1.67) -- (7.859,1.721) -- (7.603,1.778) -- (7.348,1.84) -- (7.095,1.909) -- (6.844,1.983) -- (6.594,2.064) -- (6.347,2.15) -- (5.981,2.155) -- (5.615,2.152) -- (5.249,2.139) -- (4.883,2.118) -- (4.518,2.089) -- (4.154,2.051) -- (3.79,2.004) -- (3.428,1.949) -- (3.067,1.885) -- (2.708,1.813) -- (2.351,1.732) -- (1.996,1.644) -- (1.643,1.546) -- (1.293,1.441);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.453,11.126) -- (11.431,11.206) -- (11.373,11.265) -- (11.293,11.286) -- (11.213,11.265) -- (11.154,11.206) -- (11.133,11.126) -- (11.154,11.046) -- (11.213,10.988) -- (11.293,10.966) -- (11.373,10.988) -- (11.431,11.046) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.365,10.873) -- (2.344,10.953) -- (2.285,11.011) -- (2.205,11.033) -- (2.125,11.011) -- (2.066,10.953) -- (2.045,10.873) -- (2.066,10.793) -- (2.125,10.734) -- (2.205,10.713) -- (2.285,10.734) -- (2.344,10.793) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.978,10.054) -- (6.957,10.134) -- (6.898,10.193) -- (6.818,10.214) -- (6.738,10.193) -- (6.68,10.134) -- (6.658,10.054) -- (6.68,9.974) -- (6.738,9.916) -- (6.818,9.894) -- (6.898,9.916) -- (6.957,9.974) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.126,6.436) -- (5.105,6.516) -- (5.046,6.575) -- (4.966,6.596) -- (4.886,6.575) -- (4.827,6.516) -- (4.806,6.436) -- (4.827,6.356) -- (4.886,6.298) -- (4.966,6.276) -- (5.046,6.298) -- (5.105,6.356) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.665,6.187) -- (1.643,6.267) -- (1.585,6.326) -- (1.505,6.347) -- (1.425,6.326) -- (1.366,6.267) -- (1.345,6.187) -- (1.366,6.107) -- (1.425,6.049) -- (1.505,6.027) -- (1.585,6.049) -- (1.643,6.107) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.102,1.487) -- (10.08,1.567) -- (10.022,1.626) -- (9.942,1.647) -- (9.862,1.626) -- (9.803,1.567) -- (9.782,1.487) -- (9.803,1.407) -- (9.862,1.349) -- (9.942,1.327) -- (10.022,1.349) -- (10.08,1.407) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.453,1.441) -- (1.431,1.521) -- (1.373,1.579) -- (1.293,1.601) -- (1.213,1.579) -- (1.154,1.521) -- (1.133,1.441) -- (1.154,1.361) -- (1.213,1.302) -- (1.293,1.281) -- (1.373,1.302) -- (1.431,1.361) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.426,10.464) -- (9.38,10.634) -- (9.256,10.758) -- (9.086,10.804) -- (8.916,10.758) -- (8.791,10.634) -- (8.746,10.464) -- (8.791,10.294) -- (8.916,10.169) -- (9.086,10.124) -- (9.256,10.169) -- (9.38,10.294) -- cycle;
\node at (9.086,10.464) {\scalebox{1.42}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.853,8.263) -- (8.808,8.433) -- (8.683,8.558) -- (8.513,8.603) -- (8.343,8.558) -- (8.219,8.433) -- (8.173,8.263) -- (8.219,8.093) -- (8.343,7.969) -- (8.513,7.923) -- (8.683,7.969) -- (8.808,8.093) -- cycle;
\node at (8.513,8.263) {\scalebox{1.42}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.874,10.588) -- (4.828,10.758) -- (4.704,10.883) -- (4.534,10.928) -- (4.364,10.883) -- (4.239,10.758) -- (4.194,10.588) -- (4.239,10.418) -- (4.364,10.294) -- (4.534,10.248) -- (4.704,10.294) -- (4.828,10.418) -- cycle;
\node at (4.534,10.588) {\scalebox{1.42}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.38,8.937) -- (4.335,9.107) -- (4.21,9.232) -- (4.04,9.277) -- (3.87,9.232) -- (3.746,9.107) -- (3.7,8.937) -- (3.746,8.767) -- (3.87,8.643) -- (4.04,8.597) -- (4.21,8.643) -- (4.335,8.767) -- cycle;
\node at (4.04,8.937) {\scalebox{1.42}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.368,8.176) -- (6.322,8.346) -- (6.198,8.47) -- (6.028,8.516) -- (5.858,8.47) -- (5.733,8.346) -- (5.688,8.176) -- (5.733,8.006) -- (5.858,7.881) -- (6.028,7.836) -- (6.198,7.881) -- (6.322,8.006) -- cycle;
\node at (6.028,8.176) {\scalebox{1.42}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.608,5.85) -- (3.563,6.02) -- (3.438,6.144) -- (3.268,6.19) -- (3.098,6.144) -- (2.974,6.02) -- (2.928,5.85) -- (2.974,5.68) -- (3.098,5.555) -- (3.268,5.51) -- (3.438,5.555) -- (3.563,5.68) -- cycle;
\node at (3.268,5.85) {\scalebox{1.42}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.815,3.983) -- (7.77,4.153) -- (7.645,4.278) -- (7.475,4.323) -- (7.305,4.278) -- (7.181,4.153) -- (7.135,3.983) -- (7.181,3.813) -- (7.305,3.689) -- (7.475,3.643) -- (7.645,3.689) -- (7.77,3.813) -- cycle;
\node at (7.475,3.983) {\scalebox{1.42}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.933,3.597) -- (3.888,3.767) -- (3.763,3.892) -- (3.593,3.937) -- (3.423,3.892) -- (3.299,3.767) -- (3.253,3.597) -- (3.299,3.427) -- (3.423,3.303) -- (3.593,3.257) -- (3.763,3.303) -- (3.888,3.427) -- cycle;
\node at (3.593,3.597) {\scalebox{1.42}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.862,3.809) -- (1.817,3.979) -- (1.692,4.103) -- (1.522,4.149) -- (1.352,4.103) -- (1.228,3.979) -- (1.182,3.809) -- (1.228,3.639) -- (1.352,3.514) -- (1.522,3.469) -- (1.692,3.514) -- (1.817,3.639) -- cycle;
\node at (1.522,3.809) {\scalebox{1.42}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.639,1.834) -- (6.594,2.004) -- (6.469,2.128) -- (6.299,2.174) -- (6.129,2.128) -- (6.005,2.004) -- (5.959,1.834) -- (6.005,1.664) -- (6.129,1.539) -- (6.299,1.494) -- (6.469,1.539) -- (6.594,1.664) -- cycle;
\node at (6.299,1.834) {\scalebox{1.42}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.666,6.136) -- (5.266,6.136) -- (5.266,6.736) -- (4.666,6.736) -- cycle;
\node at (4.966,6.436) {\scalebox{1.42}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.646,10.688) -- (10.246,10.688) -- (10.246,11.288) -- (9.646,11.288) -- cycle;
\node at (9.946,10.988) {\scalebox{1.42}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,2.803) -- (1.2,2.803) -- (1.2,3.403) -- (0.6,3.403) -- cycle;
\node at (0.9,3.103) {\scalebox{1.42}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.041,3.0) -- (8.641,3.0) -- (8.641,3.6) -- (8.041,3.6) -- cycle;
\node at (8.341,3.3) {\scalebox{1.42}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.044,11.59) -- (4.644,11.59) -- (4.644,12.19) -- (4.044,12.19) -- cycle;
\node at (4.344,11.89) {\scalebox{1.42}{\small e}};
\node at (11.792,11.495) {\scalebox{1.42}{\small A}};
\node at (1.82,11.359) {\scalebox{1.42}{\small B}};
\node at (7.062,10.625) {\scalebox{1.42}{\small C}};
\node at (4.478,6.054) {\scalebox{1.42}{\small D}};
\node at (0.892,6.092) {\scalebox{1.42}{\small E}};
\node at (10.343,1.014) {\scalebox{1.42}{\small F}};
\node at (0.914,0.95) {\scalebox{1.42}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.593,10.176) -- (12.593,11.276);
\draw[line width=0.5pt] (12.362,10.891) -- (12.593,11.276) -- (12.824,10.891);
\draw[line width=0.5pt] (12.29,10.726) -- (12.895,10.726);
\node at (12.593,11.661) {\scalebox{1.42}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Écoles & ⑥ chemin des Vignes & Ⓐ Place aux Herbes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Jardins & ⑦ avenue de la Gare & Ⓑ Placette des Ormes & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue Neuve & ⑧ rue des Lilas & Ⓒ Rond-point du Pont & \textbf{c} la boulangerie \\ \hline
④ rue du Puits & ⑨ rue Pasteur & Ⓓ Rond-point des Vaches & \textbf{d} la mairie \\ \hline
⑤ rue du Pont & ⑩ rue de la Poste & Ⓔ Place de l'Église & \textbf{e} le gymnase \\ \hline
 &  & Ⓕ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour de la Mairie &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6299, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.293,11.126) -- (10.964,11.099) -- (10.636,11.065) -- (10.308,11.022) -- (9.982,10.972) -- (9.657,10.914) -- (9.333,10.848) -- (9.011,10.775) -- (8.691,10.694) -- (8.373,10.606) -- (8.057,10.51) -- (7.743,10.407) -- (7.432,10.297) -- (7.124,10.179) -- (6.818,10.054);
\draw[line width=0.5pt] (11.293,11.126) -- (10.896,10.725) -- (10.489,10.333) -- (10.073,9.95) -- (9.649,9.577) -- (9.215,9.215) -- (8.773,8.862) -- (8.323,8.52) -- (7.865,8.189) -- (7.399,7.868) -- (6.926,7.559) -- (6.446,7.261) -- (5.959,6.974) -- (5.466,6.699) -- (4.966,6.436);
\draw[line width=0.5pt] (2.205,10.873) -- (2.523,10.764) -- (2.843,10.663) -- (3.166,10.57) -- (3.492,10.484) -- (3.819,10.406) -- (4.147,10.336) -- (4.478,10.273) -- (4.81,10.218) -- (5.143,10.171) -- (5.477,10.132) -- (5.812,10.101) -- (6.147,10.077) -- (6.483,10.062) -- (6.818,10.054);
\draw[line width=0.5pt] (2.205,10.873) -- (2.449,10.589) -- (2.687,10.299) -- (2.917,10.003) -- (3.141,9.702) -- (3.357,9.396) -- (3.567,9.084) -- (3.768,8.768) -- (3.963,8.448) -- (4.15,8.122) -- (4.329,7.793) -- (4.5,7.459) -- (4.664,7.122) -- (4.819,6.781) -- (4.966,6.436);
\draw[line width=0.5pt] (6.818,10.054) -- (6.648,9.818) -- (6.482,9.578) -- (6.323,9.334) -- (6.169,9.086) -- (6.021,8.835) -- (5.879,8.58) -- (5.743,8.322) -- (5.613,8.06) -- (5.489,7.796) -- (5.372,7.529) -- (5.261,7.259) -- (5.156,6.987) -- (5.058,6.713) -- (4.966,6.436);
\draw[line width=0.5pt] (4.966,6.436) -- (4.723,6.381) -- (4.48,6.331) -- (4.234,6.287) -- (3.988,6.249) -- (3.741,6.216) -- (3.494,6.19) -- (3.246,6.169) -- (2.997,6.154) -- (2.748,6.145) -- (2.499,6.142) -- (2.25,6.144) -- (2.001,6.153) -- (1.753,6.167) -- (1.505,6.187);
\draw[line width=0.5pt] (4.966,6.436) -- (5.264,6.031) -- (5.572,5.633) -- (5.89,5.242) -- (6.217,4.859) -- (6.552,4.483) -- (6.897,4.116) -- (7.25,3.756) -- (7.611,3.405) -- (7.981,3.063) -- (8.358,2.729) -- (8.743,2.405) -- (9.135,2.089) -- (9.535,1.783) -- (9.942,1.487);
\draw[line width=0.5pt] (4.966,6.436) -- (4.76,6.042) -- (4.545,5.653) -- (4.321,5.268) -- (4.088,4.89) -- (3.846,4.516) -- (3.595,4.149) -- (3.335,3.787) -- (3.068,3.431) -- (2.791,3.082) -- (2.507,2.74) -- (2.215,2.404) -- (1.915,2.076) -- (1.608,1.754) -- (1.293,1.441);
\draw[line width=0.5pt] (1.505,6.187) -- (1.438,5.853) -- (1.379,5.518) -- (1.327,5.181) -- (1.284,4.842) -- (1.249,4.503) -- (1.222,4.163) -- (1.203,3.823) -- (1.192,3.482) -- (1.188,3.141) -- (1.193,2.8) -- (1.206,2.459) -- (1.227,2.119) -- (1.256,1.779) -- (1.293,1.441);
\draw[line width=0.5pt] (9.942,1.487) -- (9.68,1.495) -- (9.418,1.509) -- (9.157,1.529) -- (8.895,1.555) -- (8.635,1.587) -- (8.376,1.626) -- (8.117,1.67) -- (7.859,1.721) -- (7.603,1.778) -- (7.348,1.84) -- (7.095,1.909) -- (6.844,1.983) -- (6.594,2.064) -- (6.347,2.15) -- (5.981,2.155) -- (5.615,2.152) -- (5.249,2.139) -- (4.883,2.118) -- (4.518,2.089) -- (4.154,2.051) -- (3.79,2.004) -- (3.428,1.949) -- (3.067,1.885) -- (2.708,1.813) -- (2.351,1.732) -- (1.996,1.644) -- (1.643,1.546) -- (1.293,1.441);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.453,11.126) -- (11.431,11.206) -- (11.373,11.265) -- (11.293,11.286) -- (11.213,11.265) -- (11.154,11.206) -- (11.133,11.126) -- (11.154,11.046) -- (11.213,10.988) -- (11.293,10.966) -- (11.373,10.988) -- (11.431,11.046) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.365,10.873) -- (2.344,10.953) -- (2.285,11.011) -- (2.205,11.033) -- (2.125,11.011) -- (2.066,10.953) -- (2.045,10.873) -- (2.066,10.793) -- (2.125,10.734) -- (2.205,10.713) -- (2.285,10.734) -- (2.344,10.793) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.978,10.054) -- (6.957,10.134) -- (6.898,10.193) -- (6.818,10.214) -- (6.738,10.193) -- (6.68,10.134) -- (6.658,10.054) -- (6.68,9.974) -- (6.738,9.916) -- (6.818,9.894) -- (6.898,9.916) -- (6.957,9.974) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.126,6.436) -- (5.105,6.516) -- (5.046,6.575) -- (4.966,6.596) -- (4.886,6.575) -- (4.827,6.516) -- (4.806,6.436) -- (4.827,6.356) -- (4.886,6.298) -- (4.966,6.276) -- (5.046,6.298) -- (5.105,6.356) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.665,6.187) -- (1.643,6.267) -- (1.585,6.326) -- (1.505,6.347) -- (1.425,6.326) -- (1.366,6.267) -- (1.345,6.187) -- (1.366,6.107) -- (1.425,6.049) -- (1.505,6.027) -- (1.585,6.049) -- (1.643,6.107) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.102,1.487) -- (10.08,1.567) -- (10.022,1.626) -- (9.942,1.647) -- (9.862,1.626) -- (9.803,1.567) -- (9.782,1.487) -- (9.803,1.407) -- (9.862,1.349) -- (9.942,1.327) -- (10.022,1.349) -- (10.08,1.407) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.453,1.441) -- (1.431,1.521) -- (1.373,1.579) -- (1.293,1.601) -- (1.213,1.579) -- (1.154,1.521) -- (1.133,1.441) -- (1.154,1.361) -- (1.213,1.302) -- (1.293,1.281) -- (1.373,1.302) -- (1.431,1.361) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.426,10.464) -- (9.38,10.634) -- (9.256,10.758) -- (9.086,10.804) -- (8.916,10.758) -- (8.791,10.634) -- (8.746,10.464) -- (8.791,10.294) -- (8.916,10.169) -- (9.086,10.124) -- (9.256,10.169) -- (9.38,10.294) -- cycle;
\node at (9.086,10.464) {\scalebox{1.588}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.853,8.263) -- (8.808,8.433) -- (8.683,8.558) -- (8.513,8.603) -- (8.343,8.558) -- (8.219,8.433) -- (8.173,8.263) -- (8.219,8.093) -- (8.343,7.969) -- (8.513,7.923) -- (8.683,7.969) -- (8.808,8.093) -- cycle;
\node at (8.513,8.263) {\scalebox{1.588}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.874,10.588) -- (4.828,10.758) -- (4.704,10.883) -- (4.534,10.928) -- (4.364,10.883) -- (4.239,10.758) -- (4.194,10.588) -- (4.239,10.418) -- (4.364,10.294) -- (4.534,10.248) -- (4.704,10.294) -- (4.828,10.418) -- cycle;
\node at (4.534,10.588) {\scalebox{1.588}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.38,8.937) -- (4.335,9.107) -- (4.21,9.232) -- (4.04,9.277) -- (3.87,9.232) -- (3.746,9.107) -- (3.7,8.937) -- (3.746,8.767) -- (3.87,8.643) -- (4.04,8.597) -- (4.21,8.643) -- (4.335,8.767) -- cycle;
\node at (4.04,8.937) {\scalebox{1.588}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.368,8.176) -- (6.322,8.346) -- (6.198,8.47) -- (6.028,8.516) -- (5.858,8.47) -- (5.733,8.346) -- (5.688,8.176) -- (5.733,8.006) -- (5.858,7.881) -- (6.028,7.836) -- (6.198,7.881) -- (6.322,8.006) -- cycle;
\node at (6.028,8.176) {\scalebox{1.588}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.608,5.85) -- (3.563,6.02) -- (3.438,6.144) -- (3.268,6.19) -- (3.098,6.144) -- (2.974,6.02) -- (2.928,5.85) -- (2.974,5.68) -- (3.098,5.555) -- (3.268,5.51) -- (3.438,5.555) -- (3.563,5.68) -- cycle;
\node at (3.268,5.85) {\scalebox{1.588}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.815,3.983) -- (7.77,4.153) -- (7.645,4.278) -- (7.475,4.323) -- (7.305,4.278) -- (7.181,4.153) -- (7.135,3.983) -- (7.181,3.813) -- (7.305,3.689) -- (7.475,3.643) -- (7.645,3.689) -- (7.77,3.813) -- cycle;
\node at (7.475,3.983) {\scalebox{1.588}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.933,3.597) -- (3.888,3.767) -- (3.763,3.892) -- (3.593,3.937) -- (3.423,3.892) -- (3.299,3.767) -- (3.253,3.597) -- (3.299,3.427) -- (3.423,3.303) -- (3.593,3.257) -- (3.763,3.303) -- (3.888,3.427) -- cycle;
\node at (3.593,3.597) {\scalebox{1.588}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.862,3.809) -- (1.817,3.979) -- (1.692,4.103) -- (1.522,4.149) -- (1.352,4.103) -- (1.228,3.979) -- (1.182,3.809) -- (1.228,3.639) -- (1.352,3.514) -- (1.522,3.469) -- (1.692,3.514) -- (1.817,3.639) -- cycle;
\node at (1.522,3.809) {\scalebox{1.588}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.639,1.834) -- (6.594,2.004) -- (6.469,2.128) -- (6.299,2.174) -- (6.129,2.128) -- (6.005,2.004) -- (5.959,1.834) -- (6.005,1.664) -- (6.129,1.539) -- (6.299,1.494) -- (6.469,1.539) -- (6.594,1.664) -- cycle;
\node at (6.299,1.834) {\scalebox{1.588}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.666,6.136) -- (5.266,6.136) -- (5.266,6.736) -- (4.666,6.736) -- cycle;
\node at (4.966,6.436) {\scalebox{1.588}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.646,10.688) -- (10.246,10.688) -- (10.246,11.288) -- (9.646,11.288) -- cycle;
\node at (9.946,10.988) {\scalebox{1.588}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,2.803) -- (1.2,2.803) -- (1.2,3.403) -- (0.6,3.403) -- cycle;
\node at (0.9,3.103) {\scalebox{1.588}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.041,3.0) -- (8.641,3.0) -- (8.641,3.6) -- (8.041,3.6) -- cycle;
\node at (8.341,3.3) {\scalebox{1.588}{\small d}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.044,11.59) -- (4.644,11.59) -- (4.644,12.19) -- (4.044,12.19) -- cycle;
\node at (4.344,11.89) {\scalebox{1.588}{\small e}};
\node at (11.792,11.495) {\scalebox{1.588}{\small A}};
\node at (1.82,11.359) {\scalebox{1.588}{\small B}};
\node at (7.062,10.625) {\scalebox{1.588}{\small C}};
\node at (4.478,6.054) {\scalebox{1.588}{\small D}};
\node at (0.892,6.092) {\scalebox{1.588}{\small E}};
\node at (10.343,1.014) {\scalebox{1.588}{\small F}};
\node at (0.914,0.95) {\scalebox{1.588}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.593,10.176) -- (12.593,11.276);
\draw[line width=0.5pt] (12.362,10.891) -- (12.593,11.276) -- (12.824,10.891);
\draw[line width=0.5pt] (12.29,10.726) -- (12.895,10.726);
\node at (12.593,11.661) {\scalebox{1.588}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 3 & 6 & 2 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{G} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{D}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{C} à \textbf{G}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de C :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Pont \textbf{(C)}, prend la \textbf{rue des Écoles ①} vers l'est et atteint Place aux Herbes \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ②}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Puits ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ③}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ⑤}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ⑥}, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Pasteur ⑨}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑦}, vers le sud-est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\end{document}
