\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 162}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=162}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0162}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.708, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.933,11.126) -- (6.291,11.06) -- (6.65,11.002) -- (7.011,10.953) -- (7.373,10.913) -- (7.735,10.881) -- (8.099,10.857) -- (8.463,10.843) -- (8.827,10.836) -- (9.191,10.838) -- (9.555,10.849) -- (9.918,10.868) -- (10.281,10.896) -- (10.643,10.933) -- (11.004,10.978);
\draw[line width=0.5pt] (5.933,11.126) -- (6.052,10.797) -- (6.162,10.466) -- (6.265,10.132) -- (6.36,9.795) -- (6.447,9.456) -- (6.526,9.116) -- (6.598,8.773) -- (6.661,8.429) -- (6.716,8.084) -- (6.762,7.737) -- (6.801,7.389) -- (6.831,7.041) -- (6.854,6.692) -- (6.868,6.343);
\draw[line width=0.5pt] (11.004,10.978) -- (10.66,10.695) -- (10.323,10.403) -- (9.993,10.104) -- (9.67,9.797) -- (9.354,9.482) -- (9.046,9.16) -- (8.745,8.831) -- (8.452,8.495) -- (8.167,8.152) -- (7.89,7.803) -- (7.621,7.447) -- (7.361,7.085) -- (7.11,6.717) -- (6.868,6.343);
\draw[line width=0.5pt] (1.718,6.756) -- (2.088,6.783) -- (2.458,6.802) -- (2.828,6.811) -- (3.199,6.812) -- (3.57,6.804) -- (3.94,6.787) -- (4.31,6.762) -- (4.679,6.728) -- (5.048,6.686) -- (5.415,6.634) -- (5.781,6.574) -- (6.145,6.506) -- (6.507,6.429) -- (6.868,6.343);
\draw[line width=0.5pt] (6.868,6.343) -- (7.121,6.265) -- (7.377,6.192) -- (7.635,6.126) -- (7.894,6.065) -- (8.154,6.011) -- (8.416,5.963) -- (8.679,5.921) -- (8.942,5.885) -- (9.207,5.856) -- (9.472,5.832) -- (9.737,5.815) -- (10.003,5.804) -- (10.269,5.8) -- (10.535,5.802);
\draw[line width=0.5pt] (6.868,6.343) -- (6.52,5.954) -- (6.163,5.573) -- (5.797,5.201) -- (5.422,4.837) -- (5.039,4.482) -- (4.648,4.136) -- (4.248,3.799) -- (3.841,3.472) -- (3.426,3.155) -- (3.004,2.847) -- (2.575,2.55) -- (2.139,2.262) -- (1.696,1.986) -- (1.247,1.719);
\draw[line width=0.5pt] (6.868,6.343) -- (7.116,5.948) -- (7.373,5.558) -- (7.64,5.174) -- (7.916,4.797) -- (8.2,4.427) -- (8.494,4.063) -- (8.795,3.706) -- (9.106,3.356) -- (9.424,3.013) -- (9.75,2.679) -- (10.084,2.352) -- (10.425,2.033) -- (10.774,1.722) -- (11.13,1.42);
\draw[line width=0.5pt] (10.535,5.802) -- (10.625,5.498) -- (10.708,5.192) -- (10.783,4.883) -- (10.852,4.574) -- (10.913,4.262) -- (10.967,3.949) -- (11.013,3.635) -- (11.052,3.32) -- (11.084,3.004) -- (11.108,2.688) -- (11.124,2.371) -- (11.134,2.054) -- (11.135,1.737) -- (11.13,1.42);
\draw[line width=0.5pt] (1.247,1.719) -- (1.611,1.62) -- (1.976,1.53) -- (2.344,1.448) -- (2.714,1.375) -- (3.086,1.31) -- (3.459,1.254) -- (3.833,1.207) -- (4.208,1.169) -- (4.584,1.14) -- (4.96,1.119) -- (5.337,1.107) -- (5.714,1.105) -- (6.091,1.111) -- (6.467,1.126) -- (6.795,1.198) -- (7.123,1.262) -- (7.454,1.318) -- (7.786,1.367) -- (8.118,1.407) -- (8.452,1.44) -- (8.786,1.465) -- (9.121,1.482) -- (9.456,1.492) -- (9.792,1.493) -- (10.127,1.487) -- (10.462,1.472) -- (10.796,1.45) -- (11.13,1.42);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.093,11.126) -- (6.072,11.206) -- (6.013,11.264) -- (5.933,11.286) -- (5.853,11.264) -- (5.794,11.206) -- (5.773,11.126) -- (5.794,11.046) -- (5.853,10.987) -- (5.933,10.966) -- (6.013,10.987) -- (6.072,11.046) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.164,10.978) -- (11.143,11.058) -- (11.084,11.116) -- (11.004,11.138) -- (10.924,11.116) -- (10.866,11.058) -- (10.844,10.978) -- (10.866,10.898) -- (10.924,10.839) -- (11.004,10.818) -- (11.084,10.839) -- (11.143,10.898) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.878,6.756) -- (1.857,6.836) -- (1.798,6.895) -- (1.718,6.916) -- (1.638,6.895) -- (1.58,6.836) -- (1.558,6.756) -- (1.58,6.676) -- (1.638,6.618) -- (1.718,6.596) -- (1.798,6.618) -- (1.857,6.676) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.028,6.343) -- (7.006,6.423) -- (6.948,6.482) -- (6.868,6.503) -- (6.788,6.482) -- (6.729,6.423) -- (6.708,6.343) -- (6.729,6.263) -- (6.788,6.205) -- (6.868,6.183) -- (6.948,6.205) -- (7.006,6.263) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.695,5.802) -- (10.673,5.882) -- (10.615,5.94) -- (10.535,5.962) -- (10.455,5.94) -- (10.396,5.882) -- (10.375,5.802) -- (10.396,5.722) -- (10.455,5.663) -- (10.535,5.642) -- (10.615,5.663) -- (10.673,5.722) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.407,1.719) -- (1.386,1.799) -- (1.327,1.858) -- (1.247,1.879) -- (1.167,1.858) -- (1.109,1.799) -- (1.087,1.719) -- (1.109,1.639) -- (1.167,1.581) -- (1.247,1.559) -- (1.327,1.581) -- (1.386,1.639) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.29,1.42) -- (11.268,1.5) -- (11.21,1.558) -- (11.13,1.58) -- (11.05,1.558) -- (10.991,1.5) -- (10.97,1.42) -- (10.991,1.34) -- (11.05,1.281) -- (11.13,1.26) -- (11.21,1.281) -- (11.268,1.34) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.812,11.162) -- (8.766,11.332) -- (8.642,11.457) -- (8.472,11.502) -- (8.302,11.457) -- (8.177,11.332) -- (8.132,11.162) -- (8.177,10.992) -- (8.302,10.868) -- (8.472,10.822) -- (8.642,10.868) -- (8.766,10.992) -- cycle;
\node at (8.472,11.162) {\scalebox{1.412}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.252,8.834) -- (7.206,9.004) -- (7.082,9.129) -- (6.912,9.174) -- (6.742,9.129) -- (6.617,9.004) -- (6.572,8.834) -- (6.617,8.664) -- (6.742,8.54) -- (6.912,8.494) -- (7.082,8.54) -- (7.206,8.664) -- cycle;
\node at (6.912,8.834) {\scalebox{1.412}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.323,8.618) -- (9.278,8.788) -- (9.153,8.912) -- (8.983,8.958) -- (8.813,8.912) -- (8.689,8.788) -- (8.643,8.618) -- (8.689,8.448) -- (8.813,8.324) -- (8.983,8.278) -- (9.153,8.324) -- (9.278,8.448) -- cycle;
\node at (8.983,8.618) {\scalebox{1.412}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.676,7.081) -- (4.63,7.251) -- (4.506,7.376) -- (4.336,7.421) -- (4.166,7.376) -- (4.041,7.251) -- (3.996,7.081) -- (4.041,6.911) -- (4.166,6.787) -- (4.336,6.741) -- (4.506,6.787) -- (4.63,6.911) -- cycle;
\node at (4.336,7.081) {\scalebox{1.412}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.066,6.238) -- (9.02,6.408) -- (8.896,6.532) -- (8.726,6.578) -- (8.556,6.532) -- (8.431,6.408) -- (8.386,6.238) -- (8.431,6.068) -- (8.556,5.943) -- (8.726,5.898) -- (8.896,5.943) -- (9.02,6.068) -- cycle;
\node at (8.726,6.238) {\scalebox{1.412}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.791,3.552) -- (4.746,3.722) -- (4.621,3.847) -- (4.451,3.892) -- (4.281,3.847) -- (4.157,3.722) -- (4.111,3.552) -- (4.157,3.382) -- (4.281,3.258) -- (4.451,3.212) -- (4.621,3.258) -- (4.746,3.382) -- cycle;
\node at (4.451,3.552) {\scalebox{1.412}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.377,3.915) -- (9.332,4.085) -- (9.207,4.21) -- (9.037,4.255) -- (8.867,4.21) -- (8.743,4.085) -- (8.697,3.915) -- (8.743,3.745) -- (8.867,3.621) -- (9.037,3.575) -- (9.207,3.621) -- (9.332,3.745) -- cycle;
\node at (9.037,3.915) {\scalebox{1.412}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.67,3.678) -- (11.624,3.848) -- (11.5,3.973) -- (11.33,4.018) -- (11.16,3.973) -- (11.036,3.848) -- (10.99,3.678) -- (11.036,3.508) -- (11.16,3.384) -- (11.33,3.338) -- (11.5,3.384) -- (11.624,3.508) -- cycle;
\node at (11.33,3.678) {\scalebox{1.412}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.768,1.443) -- (6.723,1.613) -- (6.598,1.738) -- (6.428,1.783) -- (6.258,1.738) -- (6.134,1.613) -- (6.088,1.443) -- (6.134,1.273) -- (6.258,1.149) -- (6.428,1.103) -- (6.598,1.149) -- (6.723,1.273) -- cycle;
\node at (6.428,1.443) {\scalebox{1.412}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.568,6.043) -- (7.168,6.043) -- (7.168,6.643) -- (6.568,6.643) -- cycle;
\node at (6.868,6.343) {\scalebox{1.412}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.615,2.212) -- (4.215,2.212) -- (4.215,2.812) -- (3.615,2.812) -- cycle;
\node at (3.915,2.512) {\scalebox{1.412}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.93,9.675) -- (7.53,9.675) -- (7.53,10.275) -- (6.93,10.275) -- cycle;
\node at (7.23,9.975) {\scalebox{1.412}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.218,2.872) -- (12.818,2.872) -- (12.818,3.472) -- (12.218,3.472) -- cycle;
\node at (12.518,3.172) {\scalebox{1.412}{\small d}};
\node at (5.809,11.733) {\scalebox{1.412}{\small A}};
\node at (11.412,11.444) {\scalebox{1.412}{\small B}};
\node at (1.101,6.81) {\scalebox{1.412}{\small C}};
\node at (6.363,6.704) {\scalebox{1.412}{\small D}};
\node at (11.149,5.716) {\scalebox{1.412}{\small E}};
\node at (0.765,1.33) {\scalebox{1.412}{\small F}};
\node at (11.534,0.95) {\scalebox{1.412}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.43,10.176) -- (12.43,11.276);
\draw[line width=0.5pt] (12.199,10.891) -- (12.43,11.276) -- (12.661,10.891);
\draw[line width=0.5pt] (12.127,10.726) -- (12.732,10.726);
\node at (12.43,11.661) {\scalebox{1.412}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Peupliers & ⑥ rue Verte & Ⓐ Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de la Mairie & ⑦ rue du Stade & Ⓑ Fontaine Notre-Dame & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue Neuve & ⑧ rue du Moulin & Ⓒ Place des Tanneurs & \textbf{c} la pharmacie \\ \hline
④ impasse du Vieux-Four & ⑨ rue du Pont & Ⓓ Rond-point du Pont & \textbf{d} le marché couvert \\ \hline
⑤ rue de l'Église &  & Ⓔ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6335, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.933,11.126) -- (6.291,11.06) -- (6.65,11.002) -- (7.011,10.953) -- (7.373,10.913) -- (7.735,10.881) -- (8.099,10.857) -- (8.463,10.843) -- (8.827,10.836) -- (9.191,10.838) -- (9.555,10.849) -- (9.918,10.868) -- (10.281,10.896) -- (10.643,10.933) -- (11.004,10.978);
\draw[line width=0.5pt] (5.933,11.126) -- (6.052,10.797) -- (6.162,10.466) -- (6.265,10.132) -- (6.36,9.795) -- (6.447,9.456) -- (6.526,9.116) -- (6.598,8.773) -- (6.661,8.429) -- (6.716,8.084) -- (6.762,7.737) -- (6.801,7.389) -- (6.831,7.041) -- (6.854,6.692) -- (6.868,6.343);
\draw[line width=0.5pt] (11.004,10.978) -- (10.66,10.695) -- (10.323,10.403) -- (9.993,10.104) -- (9.67,9.797) -- (9.354,9.482) -- (9.046,9.16) -- (8.745,8.831) -- (8.452,8.495) -- (8.167,8.152) -- (7.89,7.803) -- (7.621,7.447) -- (7.361,7.085) -- (7.11,6.717) -- (6.868,6.343);
\draw[line width=0.5pt] (1.718,6.756) -- (2.088,6.783) -- (2.458,6.802) -- (2.828,6.811) -- (3.199,6.812) -- (3.57,6.804) -- (3.94,6.787) -- (4.31,6.762) -- (4.679,6.728) -- (5.048,6.686) -- (5.415,6.634) -- (5.781,6.574) -- (6.145,6.506) -- (6.507,6.429) -- (6.868,6.343);
\draw[line width=0.5pt] (6.868,6.343) -- (7.121,6.265) -- (7.377,6.192) -- (7.635,6.126) -- (7.894,6.065) -- (8.154,6.011) -- (8.416,5.963) -- (8.679,5.921) -- (8.942,5.885) -- (9.207,5.856) -- (9.472,5.832) -- (9.737,5.815) -- (10.003,5.804) -- (10.269,5.8) -- (10.535,5.802);
\draw[line width=0.5pt] (6.868,6.343) -- (6.52,5.954) -- (6.163,5.573) -- (5.797,5.201) -- (5.422,4.837) -- (5.039,4.482) -- (4.648,4.136) -- (4.248,3.799) -- (3.841,3.472) -- (3.426,3.155) -- (3.004,2.847) -- (2.575,2.55) -- (2.139,2.262) -- (1.696,1.986) -- (1.247,1.719);
\draw[line width=0.5pt] (6.868,6.343) -- (7.116,5.948) -- (7.373,5.558) -- (7.64,5.174) -- (7.916,4.797) -- (8.2,4.427) -- (8.494,4.063) -- (8.795,3.706) -- (9.106,3.356) -- (9.424,3.013) -- (9.75,2.679) -- (10.084,2.352) -- (10.425,2.033) -- (10.774,1.722) -- (11.13,1.42);
\draw[line width=0.5pt] (10.535,5.802) -- (10.625,5.498) -- (10.708,5.192) -- (10.783,4.883) -- (10.852,4.574) -- (10.913,4.262) -- (10.967,3.949) -- (11.013,3.635) -- (11.052,3.32) -- (11.084,3.004) -- (11.108,2.688) -- (11.124,2.371) -- (11.134,2.054) -- (11.135,1.737) -- (11.13,1.42);
\draw[line width=0.5pt] (1.247,1.719) -- (1.611,1.62) -- (1.976,1.53) -- (2.344,1.448) -- (2.714,1.375) -- (3.086,1.31) -- (3.459,1.254) -- (3.833,1.207) -- (4.208,1.169) -- (4.584,1.14) -- (4.96,1.119) -- (5.337,1.107) -- (5.714,1.105) -- (6.091,1.111) -- (6.467,1.126) -- (6.795,1.198) -- (7.123,1.262) -- (7.454,1.318) -- (7.786,1.367) -- (8.118,1.407) -- (8.452,1.44) -- (8.786,1.465) -- (9.121,1.482) -- (9.456,1.492) -- (9.792,1.493) -- (10.127,1.487) -- (10.462,1.472) -- (10.796,1.45) -- (11.13,1.42);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.093,11.126) -- (6.072,11.206) -- (6.013,11.264) -- (5.933,11.286) -- (5.853,11.264) -- (5.794,11.206) -- (5.773,11.126) -- (5.794,11.046) -- (5.853,10.987) -- (5.933,10.966) -- (6.013,10.987) -- (6.072,11.046) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.164,10.978) -- (11.143,11.058) -- (11.084,11.116) -- (11.004,11.138) -- (10.924,11.116) -- (10.866,11.058) -- (10.844,10.978) -- (10.866,10.898) -- (10.924,10.839) -- (11.004,10.818) -- (11.084,10.839) -- (11.143,10.898) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.878,6.756) -- (1.857,6.836) -- (1.798,6.895) -- (1.718,6.916) -- (1.638,6.895) -- (1.58,6.836) -- (1.558,6.756) -- (1.58,6.676) -- (1.638,6.618) -- (1.718,6.596) -- (1.798,6.618) -- (1.857,6.676) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.028,6.343) -- (7.006,6.423) -- (6.948,6.482) -- (6.868,6.503) -- (6.788,6.482) -- (6.729,6.423) -- (6.708,6.343) -- (6.729,6.263) -- (6.788,6.205) -- (6.868,6.183) -- (6.948,6.205) -- (7.006,6.263) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.695,5.802) -- (10.673,5.882) -- (10.615,5.94) -- (10.535,5.962) -- (10.455,5.94) -- (10.396,5.882) -- (10.375,5.802) -- (10.396,5.722) -- (10.455,5.663) -- (10.535,5.642) -- (10.615,5.663) -- (10.673,5.722) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.407,1.719) -- (1.386,1.799) -- (1.327,1.858) -- (1.247,1.879) -- (1.167,1.858) -- (1.109,1.799) -- (1.087,1.719) -- (1.109,1.639) -- (1.167,1.581) -- (1.247,1.559) -- (1.327,1.581) -- (1.386,1.639) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.29,1.42) -- (11.268,1.5) -- (11.21,1.558) -- (11.13,1.58) -- (11.05,1.558) -- (10.991,1.5) -- (10.97,1.42) -- (10.991,1.34) -- (11.05,1.281) -- (11.13,1.26) -- (11.21,1.281) -- (11.268,1.34) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.812,11.162) -- (8.766,11.332) -- (8.642,11.457) -- (8.472,11.502) -- (8.302,11.457) -- (8.177,11.332) -- (8.132,11.162) -- (8.177,10.992) -- (8.302,10.868) -- (8.472,10.822) -- (8.642,10.868) -- (8.766,10.992) -- cycle;
\node at (8.472,11.162) {\scalebox{1.579}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.252,8.834) -- (7.206,9.004) -- (7.082,9.129) -- (6.912,9.174) -- (6.742,9.129) -- (6.617,9.004) -- (6.572,8.834) -- (6.617,8.664) -- (6.742,8.54) -- (6.912,8.494) -- (7.082,8.54) -- (7.206,8.664) -- cycle;
\node at (6.912,8.834) {\scalebox{1.579}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.323,8.618) -- (9.278,8.788) -- (9.153,8.912) -- (8.983,8.958) -- (8.813,8.912) -- (8.689,8.788) -- (8.643,8.618) -- (8.689,8.448) -- (8.813,8.324) -- (8.983,8.278) -- (9.153,8.324) -- (9.278,8.448) -- cycle;
\node at (8.983,8.618) {\scalebox{1.579}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.676,7.081) -- (4.63,7.251) -- (4.506,7.376) -- (4.336,7.421) -- (4.166,7.376) -- (4.041,7.251) -- (3.996,7.081) -- (4.041,6.911) -- (4.166,6.787) -- (4.336,6.741) -- (4.506,6.787) -- (4.63,6.911) -- cycle;
\node at (4.336,7.081) {\scalebox{1.579}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.066,6.238) -- (9.02,6.408) -- (8.896,6.532) -- (8.726,6.578) -- (8.556,6.532) -- (8.431,6.408) -- (8.386,6.238) -- (8.431,6.068) -- (8.556,5.943) -- (8.726,5.898) -- (8.896,5.943) -- (9.02,6.068) -- cycle;
\node at (8.726,6.238) {\scalebox{1.579}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.791,3.552) -- (4.746,3.722) -- (4.621,3.847) -- (4.451,3.892) -- (4.281,3.847) -- (4.157,3.722) -- (4.111,3.552) -- (4.157,3.382) -- (4.281,3.258) -- (4.451,3.212) -- (4.621,3.258) -- (4.746,3.382) -- cycle;
\node at (4.451,3.552) {\scalebox{1.579}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.377,3.915) -- (9.332,4.085) -- (9.207,4.21) -- (9.037,4.255) -- (8.867,4.21) -- (8.743,4.085) -- (8.697,3.915) -- (8.743,3.745) -- (8.867,3.621) -- (9.037,3.575) -- (9.207,3.621) -- (9.332,3.745) -- cycle;
\node at (9.037,3.915) {\scalebox{1.579}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.67,3.678) -- (11.624,3.848) -- (11.5,3.973) -- (11.33,4.018) -- (11.16,3.973) -- (11.036,3.848) -- (10.99,3.678) -- (11.036,3.508) -- (11.16,3.384) -- (11.33,3.338) -- (11.5,3.384) -- (11.624,3.508) -- cycle;
\node at (11.33,3.678) {\scalebox{1.579}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.768,1.443) -- (6.723,1.613) -- (6.598,1.738) -- (6.428,1.783) -- (6.258,1.738) -- (6.134,1.613) -- (6.088,1.443) -- (6.134,1.273) -- (6.258,1.149) -- (6.428,1.103) -- (6.598,1.149) -- (6.723,1.273) -- cycle;
\node at (6.428,1.443) {\scalebox{1.579}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.568,6.043) -- (7.168,6.043) -- (7.168,6.643) -- (6.568,6.643) -- cycle;
\node at (6.868,6.343) {\scalebox{1.579}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.615,2.212) -- (4.215,2.212) -- (4.215,2.812) -- (3.615,2.812) -- cycle;
\node at (3.915,2.512) {\scalebox{1.579}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.93,9.675) -- (7.53,9.675) -- (7.53,10.275) -- (6.93,10.275) -- cycle;
\node at (7.23,9.975) {\scalebox{1.579}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.218,2.872) -- (12.818,2.872) -- (12.818,3.472) -- (12.218,3.472) -- cycle;
\node at (12.518,3.172) {\scalebox{1.579}{\small d}};
\node at (5.809,11.733) {\scalebox{1.579}{\small A}};
\node at (11.412,11.444) {\scalebox{1.579}{\small B}};
\node at (1.101,6.81) {\scalebox{1.579}{\small C}};
\node at (6.363,6.704) {\scalebox{1.579}{\small D}};
\node at (11.149,5.716) {\scalebox{1.579}{\small E}};
\node at (0.765,1.33) {\scalebox{1.579}{\small F}};
\node at (11.534,0.95) {\scalebox{1.579}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.43,10.176) -- (12.43,11.276);
\draw[line width=0.5pt] (12.199,10.891) -- (12.43,11.276) -- (12.661,10.891);
\draw[line width=0.5pt] (12.127,10.726) -- (12.732,10.726);
\node at (12.43,11.661) {\scalebox{1.579}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 1 & 6 & 2 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{C}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{C} et \textbf{G} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{D}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{C} à \textbf{G}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de C :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place des Tanneurs \textbf{(C)}, prend l'\textbf{impasse du Vieux-Four ④} vers l'est et atteint Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ②}, vers le nord, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ①}, vers l'est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Neuve ③}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ⑤}, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Moulin ⑧}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Stade ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ⑨}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(G)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
