\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 163}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=163}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0163}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6992, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.863,10.981) -- (10.494,10.973) -- (10.125,10.955) -- (9.756,10.929) -- (9.388,10.894) -- (9.022,10.851) -- (8.656,10.799) -- (8.291,10.738) -- (7.928,10.669) -- (7.567,10.591) -- (7.207,10.505) -- (6.85,10.411) -- (6.495,10.308) -- (6.143,10.197) -- (5.794,10.077) -- (5.571,9.994) -- (5.346,9.917) -- (5.119,9.844) -- (4.89,9.777) -- (4.66,9.716) -- (4.428,9.66) -- (4.195,9.609) -- (3.961,9.564) -- (3.726,9.524) -- (3.49,9.49) -- (3.254,9.461) -- (3.017,9.438) -- (2.779,9.421) -- (2.542,9.409);
\draw[line width=0.5pt] (10.863,10.981) -- (10.946,10.689) -- (11.022,10.394) -- (11.091,10.098) -- (11.153,9.8) -- (11.208,9.501) -- (11.256,9.2) -- (11.297,8.899) -- (11.331,8.596) -- (11.358,8.293) -- (11.378,7.99) -- (11.39,7.686) -- (11.396,7.381) -- (11.394,7.077) -- (11.385,6.773);
\draw[line width=0.5pt] (10.863,10.981) -- (10.47,10.679) -- (10.085,10.367) -- (9.707,10.046) -- (9.337,9.716) -- (8.975,9.377) -- (8.62,9.03) -- (8.274,8.675) -- (7.937,8.312) -- (7.607,7.941) -- (7.287,7.562) -- (6.976,7.176) -- (6.674,6.783) -- (6.382,6.382) -- (6.099,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (2.542,9.409) -- (2.496,9.164) -- (2.444,8.92) -- (2.386,8.677) -- (2.323,8.436) -- (2.254,8.196) -- (2.179,7.958) -- (2.099,7.722) -- (2.013,7.487) -- (1.921,7.255) -- (1.825,7.025) -- (1.723,6.797) -- (1.615,6.572) -- (1.503,6.349) -- (1.385,6.13);
\draw[line width=0.5pt] (2.542,9.409) -- (2.756,9.127) -- (2.977,8.85) -- (3.205,8.578) -- (3.439,8.311) -- (3.68,8.05) -- (3.926,7.795) -- (4.179,7.546) -- (4.437,7.302) -- (4.701,7.065) -- (4.97,6.834) -- (5.245,6.609) -- (5.524,6.391) -- (5.809,6.18) -- (6.099,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (11.385,6.773) -- (11.019,6.659) -- (10.65,6.553) -- (10.279,6.456) -- (9.906,6.368) -- (9.531,6.289) -- (9.153,6.218) -- (8.775,6.156) -- (8.395,6.104) -- (8.013,6.06) -- (7.631,6.025) -- (7.249,5.999) -- (6.865,5.982) -- (6.482,5.974) -- (6.099,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (11.385,6.773) -- (11.281,6.4) -- (11.186,6.024) -- (11.1,5.645) -- (11.023,5.265) -- (10.955,4.883) -- (10.896,4.499) -- (10.846,4.115) -- (10.805,3.729) -- (10.773,3.342) -- (10.75,2.954) -- (10.737,2.567) -- (10.732,2.179) -- (10.737,1.791) -- (10.751,1.403);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,6.13) -- (1.721,6.17) -- (2.057,6.203) -- (2.395,6.228) -- (2.733,6.245) -- (3.071,6.253) -- (3.41,6.254) -- (3.748,6.247) -- (4.086,6.232) -- (4.424,6.209) -- (4.761,6.178) -- (5.097,6.139) -- (5.433,6.093) -- (5.766,6.038) -- (6.099,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (6.099,5.976) -- (5.759,5.708) -- (5.426,5.433) -- (5.099,5.15) -- (4.779,4.859) -- (4.466,4.56) -- (4.16,4.254) -- (3.861,3.941) -- (3.57,3.621) -- (3.286,3.295) -- (3.01,2.962) -- (2.742,2.622) -- (2.482,2.277) -- (2.23,1.925) -- (1.987,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (6.099,5.976) -- (6.478,5.703) -- (6.852,5.42) -- (7.218,5.13) -- (7.578,4.83) -- (7.93,4.522) -- (8.276,4.206) -- (8.613,3.881) -- (8.943,3.549) -- (9.266,3.21) -- (9.58,2.862) -- (9.885,2.508) -- (10.183,2.147) -- (10.471,1.778) -- (10.751,1.403);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.023,10.981) -- (11.001,11.061) -- (10.943,11.12) -- (10.863,11.141) -- (10.783,11.12) -- (10.724,11.061) -- (10.703,10.981) -- (10.724,10.901) -- (10.783,10.843) -- (10.863,10.821) -- (10.943,10.843) -- (11.001,10.901) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.702,9.409) -- (2.68,9.489) -- (2.622,9.548) -- (2.542,9.569) -- (2.462,9.548) -- (2.403,9.489) -- (2.382,9.409) -- (2.403,9.329) -- (2.462,9.271) -- (2.542,9.249) -- (2.622,9.271) -- (2.68,9.329) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,6.773) -- (11.523,6.853) -- (11.465,6.912) -- (11.385,6.933) -- (11.305,6.912) -- (11.246,6.853) -- (11.225,6.773) -- (11.246,6.693) -- (11.305,6.635) -- (11.385,6.613) -- (11.465,6.635) -- (11.523,6.693) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,6.13) -- (1.523,6.21) -- (1.465,6.268) -- (1.385,6.29) -- (1.305,6.268) -- (1.246,6.21) -- (1.225,6.13) -- (1.246,6.05) -- (1.305,5.991) -- (1.385,5.97) -- (1.465,5.991) -- (1.523,6.05) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.259,5.976) -- (6.237,6.056) -- (6.179,6.114) -- (6.099,6.136) -- (6.019,6.114) -- (5.96,6.056) -- (5.939,5.976) -- (5.96,5.896) -- (6.019,5.837) -- (6.099,5.816) -- (6.179,5.837) -- (6.237,5.896) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.147,1.568) -- (2.125,1.648) -- (2.067,1.706) -- (1.987,1.728) -- (1.907,1.706) -- (1.848,1.648) -- (1.827,1.568) -- (1.848,1.488) -- (1.907,1.429) -- (1.987,1.408) -- (2.067,1.429) -- (2.125,1.488) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.911,1.403) -- (10.889,1.483) -- (10.831,1.542) -- (10.751,1.563) -- (10.671,1.542) -- (10.612,1.483) -- (10.591,1.403) -- (10.612,1.323) -- (10.671,1.265) -- (10.751,1.243) -- (10.831,1.265) -- (10.889,1.323) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.241,9.775) -- (6.195,9.945) -- (6.071,10.07) -- (5.901,10.115) -- (5.731,10.07) -- (5.606,9.945) -- (5.561,9.775) -- (5.606,9.605) -- (5.731,9.481) -- (5.901,9.435) -- (6.071,9.481) -- (6.195,9.605) -- cycle;
\node at (5.901,9.775) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.955,8.938) -- (11.909,9.108) -- (11.785,9.233) -- (11.615,9.278) -- (11.445,9.233) -- (11.32,9.108) -- (11.275,8.938) -- (11.32,8.768) -- (11.445,8.644) -- (11.615,8.598) -- (11.785,8.644) -- (11.909,8.768) -- cycle;
\node at (11.615,8.938) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.846,8.454) -- (8.8,8.624) -- (8.676,8.749) -- (8.506,8.794) -- (8.336,8.749) -- (8.212,8.624) -- (8.166,8.454) -- (8.212,8.284) -- (8.336,8.16) -- (8.506,8.114) -- (8.676,8.16) -- (8.8,8.284) -- cycle;
\node at (8.506,8.454) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.74,7.615) -- (2.695,7.785) -- (2.57,7.91) -- (2.4,7.955) -- (2.23,7.91) -- (2.106,7.785) -- (2.06,7.615) -- (2.106,7.445) -- (2.23,7.321) -- (2.4,7.275) -- (2.57,7.321) -- (2.695,7.445) -- cycle;
\node at (2.4,7.615) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.741,7.776) -- (4.695,7.946) -- (4.571,8.07) -- (4.401,8.116) -- (4.231,8.07) -- (4.106,7.946) -- (4.061,7.776) -- (4.106,7.606) -- (4.231,7.481) -- (4.401,7.436) -- (4.571,7.481) -- (4.695,7.606) -- cycle;
\node at (4.401,7.776) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.162,5.84) -- (9.117,6.01) -- (8.992,6.135) -- (8.822,6.18) -- (8.652,6.135) -- (8.528,6.01) -- (8.482,5.84) -- (8.528,5.67) -- (8.652,5.546) -- (8.822,5.5) -- (8.992,5.546) -- (9.117,5.67) -- cycle;
\node at (8.822,5.84) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.504,4.077) -- (11.458,4.247) -- (11.334,4.371) -- (11.164,4.417) -- (10.994,4.371) -- (10.87,4.247) -- (10.824,4.077) -- (10.87,3.907) -- (10.994,3.783) -- (11.164,3.737) -- (11.334,3.783) -- (11.458,3.907) -- cycle;
\node at (11.164,4.077) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.099,6.567) -- (4.053,6.737) -- (3.929,6.861) -- (3.759,6.907) -- (3.589,6.861) -- (3.464,6.737) -- (3.419,6.567) -- (3.464,6.397) -- (3.589,6.273) -- (3.759,6.227) -- (3.929,6.273) -- (4.053,6.397) -- cycle;
\node at (3.759,6.567) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.435,3.723) -- (4.389,3.893) -- (4.265,4.017) -- (4.095,4.063) -- (3.925,4.017) -- (3.801,3.893) -- (3.755,3.723) -- (3.801,3.553) -- (3.925,3.429) -- (4.095,3.383) -- (4.265,3.429) -- (4.389,3.553) -- cycle;
\node at (4.095,3.723) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.178,4.11) -- (9.132,4.28) -- (9.008,4.404) -- (8.838,4.45) -- (8.668,4.404) -- (8.543,4.28) -- (8.498,4.11) -- (8.543,3.94) -- (8.668,3.815) -- (8.838,3.77) -- (9.008,3.815) -- (9.132,3.94) -- cycle;
\node at (8.838,4.11) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.799,5.676) -- (6.399,5.676) -- (6.399,6.276) -- (5.799,6.276) -- cycle;
\node at (6.099,5.976) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.147,8.777) -- (9.747,8.777) -- (9.747,9.377) -- (9.147,9.377) -- cycle;
\node at (9.447,9.077) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (3.49,8.427) -- (4.09,8.427) -- (4.09,9.027) -- (3.49,9.027) -- cycle;
\node at (3.79,8.727) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\node at (11.276,11.443) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (2.073,9.815) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (11.998,6.865) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (0.765,6.141) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (5.488,5.868) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (1.55,1.128) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (11.174,0.95) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.685,10.031) -- (12.685,11.131);
\draw[line width=0.5pt] (12.454,10.746) -- (12.685,11.131) -- (12.916,10.746);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,10.581) -- (12.987,10.581);
\node at (12.685,11.516) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Tilleuls & ⑥ boulevard du Parc & Ⓐ Carrefour du Moulin & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Pasteur & ⑦ rue du Stade & Ⓑ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{b} l'église \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑧ rue de la Mairie & Ⓒ Rond-point du Stade & \textbf{c} l'école \\ \hline
④ rue Verte & ⑨ impasse des Cerisiers & Ⓓ Place de la Fontaine &  \\ \hline
⑤ rue Neuve & ⑩ rue du Four & Ⓔ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place des Tanneurs &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6256, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.863,10.981) -- (10.494,10.973) -- (10.125,10.955) -- (9.756,10.929) -- (9.388,10.894) -- (9.022,10.851) -- (8.656,10.799) -- (8.291,10.738) -- (7.928,10.669) -- (7.567,10.591) -- (7.207,10.505) -- (6.85,10.411) -- (6.495,10.308) -- (6.143,10.197) -- (5.794,10.077) -- (5.571,9.994) -- (5.346,9.917) -- (5.119,9.844) -- (4.89,9.777) -- (4.66,9.716) -- (4.428,9.66) -- (4.195,9.609) -- (3.961,9.564) -- (3.726,9.524) -- (3.49,9.49) -- (3.254,9.461) -- (3.017,9.438) -- (2.779,9.421) -- (2.542,9.409);
\draw[line width=0.5pt] (10.863,10.981) -- (10.946,10.689) -- (11.022,10.394) -- (11.091,10.098) -- (11.153,9.8) -- (11.208,9.501) -- (11.256,9.2) -- (11.297,8.899) -- (11.331,8.596) -- (11.358,8.293) -- (11.378,7.99) -- (11.39,7.686) -- (11.396,7.381) -- (11.394,7.077) -- (11.385,6.773);
\draw[line width=0.5pt] (10.863,10.981) -- (10.47,10.679) -- (10.085,10.367) -- (9.707,10.046) -- (9.337,9.716) -- (8.975,9.377) -- (8.62,9.03) -- (8.274,8.675) -- (7.937,8.312) -- (7.607,7.941) -- (7.287,7.562) -- (6.976,7.176) -- (6.674,6.783) -- (6.382,6.382) -- (6.099,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (2.542,9.409) -- (2.496,9.164) -- (2.444,8.92) -- (2.386,8.677) -- (2.323,8.436) -- (2.254,8.196) -- (2.179,7.958) -- (2.099,7.722) -- (2.013,7.487) -- (1.921,7.255) -- (1.825,7.025) -- (1.723,6.797) -- (1.615,6.572) -- (1.503,6.349) -- (1.385,6.13);
\draw[line width=0.5pt] (2.542,9.409) -- (2.756,9.127) -- (2.977,8.85) -- (3.205,8.578) -- (3.439,8.311) -- (3.68,8.05) -- (3.926,7.795) -- (4.179,7.546) -- (4.437,7.302) -- (4.701,7.065) -- (4.97,6.834) -- (5.245,6.609) -- (5.524,6.391) -- (5.809,6.18) -- (6.099,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (11.385,6.773) -- (11.019,6.659) -- (10.65,6.553) -- (10.279,6.456) -- (9.906,6.368) -- (9.531,6.289) -- (9.153,6.218) -- (8.775,6.156) -- (8.395,6.104) -- (8.013,6.06) -- (7.631,6.025) -- (7.249,5.999) -- (6.865,5.982) -- (6.482,5.974) -- (6.099,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (11.385,6.773) -- (11.281,6.4) -- (11.186,6.024) -- (11.1,5.645) -- (11.023,5.265) -- (10.955,4.883) -- (10.896,4.499) -- (10.846,4.115) -- (10.805,3.729) -- (10.773,3.342) -- (10.75,2.954) -- (10.737,2.567) -- (10.732,2.179) -- (10.737,1.791) -- (10.751,1.403);
\draw[line width=0.5pt] (1.385,6.13) -- (1.721,6.17) -- (2.057,6.203) -- (2.395,6.228) -- (2.733,6.245) -- (3.071,6.253) -- (3.41,6.254) -- (3.748,6.247) -- (4.086,6.232) -- (4.424,6.209) -- (4.761,6.178) -- (5.097,6.139) -- (5.433,6.093) -- (5.766,6.038) -- (6.099,5.976);
\draw[line width=0.5pt] (6.099,5.976) -- (5.759,5.708) -- (5.426,5.433) -- (5.099,5.15) -- (4.779,4.859) -- (4.466,4.56) -- (4.16,4.254) -- (3.861,3.941) -- (3.57,3.621) -- (3.286,3.295) -- (3.01,2.962) -- (2.742,2.622) -- (2.482,2.277) -- (2.23,1.925) -- (1.987,1.568);
\draw[line width=0.5pt] (6.099,5.976) -- (6.478,5.703) -- (6.852,5.42) -- (7.218,5.13) -- (7.578,4.83) -- (7.93,4.522) -- (8.276,4.206) -- (8.613,3.881) -- (8.943,3.549) -- (9.266,3.21) -- (9.58,2.862) -- (9.885,2.508) -- (10.183,2.147) -- (10.471,1.778) -- (10.751,1.403);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.023,10.981) -- (11.001,11.061) -- (10.943,11.12) -- (10.863,11.141) -- (10.783,11.12) -- (10.724,11.061) -- (10.703,10.981) -- (10.724,10.901) -- (10.783,10.843) -- (10.863,10.821) -- (10.943,10.843) -- (11.001,10.901) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.702,9.409) -- (2.68,9.489) -- (2.622,9.548) -- (2.542,9.569) -- (2.462,9.548) -- (2.403,9.489) -- (2.382,9.409) -- (2.403,9.329) -- (2.462,9.271) -- (2.542,9.249) -- (2.622,9.271) -- (2.68,9.329) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,6.773) -- (11.523,6.853) -- (11.465,6.912) -- (11.385,6.933) -- (11.305,6.912) -- (11.246,6.853) -- (11.225,6.773) -- (11.246,6.693) -- (11.305,6.635) -- (11.385,6.613) -- (11.465,6.635) -- (11.523,6.693) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.545,6.13) -- (1.523,6.21) -- (1.465,6.268) -- (1.385,6.29) -- (1.305,6.268) -- (1.246,6.21) -- (1.225,6.13) -- (1.246,6.05) -- (1.305,5.991) -- (1.385,5.97) -- (1.465,5.991) -- (1.523,6.05) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.259,5.976) -- (6.237,6.056) -- (6.179,6.114) -- (6.099,6.136) -- (6.019,6.114) -- (5.96,6.056) -- (5.939,5.976) -- (5.96,5.896) -- (6.019,5.837) -- (6.099,5.816) -- (6.179,5.837) -- (6.237,5.896) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.147,1.568) -- (2.125,1.648) -- (2.067,1.706) -- (1.987,1.728) -- (1.907,1.706) -- (1.848,1.648) -- (1.827,1.568) -- (1.848,1.488) -- (1.907,1.429) -- (1.987,1.408) -- (2.067,1.429) -- (2.125,1.488) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.911,1.403) -- (10.889,1.483) -- (10.831,1.542) -- (10.751,1.563) -- (10.671,1.542) -- (10.612,1.483) -- (10.591,1.403) -- (10.612,1.323) -- (10.671,1.265) -- (10.751,1.243) -- (10.831,1.265) -- (10.889,1.323) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.241,9.775) -- (6.195,9.945) -- (6.071,10.07) -- (5.901,10.115) -- (5.731,10.07) -- (5.606,9.945) -- (5.561,9.775) -- (5.606,9.605) -- (5.731,9.481) -- (5.901,9.435) -- (6.071,9.481) -- (6.195,9.605) -- cycle;
\node at (5.901,9.775) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.955,8.938) -- (11.909,9.108) -- (11.785,9.233) -- (11.615,9.278) -- (11.445,9.233) -- (11.32,9.108) -- (11.275,8.938) -- (11.32,8.768) -- (11.445,8.644) -- (11.615,8.598) -- (11.785,8.644) -- (11.909,8.768) -- cycle;
\node at (11.615,8.938) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.846,8.454) -- (8.8,8.624) -- (8.676,8.749) -- (8.506,8.794) -- (8.336,8.749) -- (8.212,8.624) -- (8.166,8.454) -- (8.212,8.284) -- (8.336,8.16) -- (8.506,8.114) -- (8.676,8.16) -- (8.8,8.284) -- cycle;
\node at (8.506,8.454) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.74,7.615) -- (2.695,7.785) -- (2.57,7.91) -- (2.4,7.955) -- (2.23,7.91) -- (2.106,7.785) -- (2.06,7.615) -- (2.106,7.445) -- (2.23,7.321) -- (2.4,7.275) -- (2.57,7.321) -- (2.695,7.445) -- cycle;
\node at (2.4,7.615) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.741,7.776) -- (4.695,7.946) -- (4.571,8.07) -- (4.401,8.116) -- (4.231,8.07) -- (4.106,7.946) -- (4.061,7.776) -- (4.106,7.606) -- (4.231,7.481) -- (4.401,7.436) -- (4.571,7.481) -- (4.695,7.606) -- cycle;
\node at (4.401,7.776) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.162,5.84) -- (9.117,6.01) -- (8.992,6.135) -- (8.822,6.18) -- (8.652,6.135) -- (8.528,6.01) -- (8.482,5.84) -- (8.528,5.67) -- (8.652,5.546) -- (8.822,5.5) -- (8.992,5.546) -- (9.117,5.67) -- cycle;
\node at (8.822,5.84) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.504,4.077) -- (11.458,4.247) -- (11.334,4.371) -- (11.164,4.417) -- (10.994,4.371) -- (10.87,4.247) -- (10.824,4.077) -- (10.87,3.907) -- (10.994,3.783) -- (11.164,3.737) -- (11.334,3.783) -- (11.458,3.907) -- cycle;
\node at (11.164,4.077) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.099,6.567) -- (4.053,6.737) -- (3.929,6.861) -- (3.759,6.907) -- (3.589,6.861) -- (3.464,6.737) -- (3.419,6.567) -- (3.464,6.397) -- (3.589,6.273) -- (3.759,6.227) -- (3.929,6.273) -- (4.053,6.397) -- cycle;
\node at (3.759,6.567) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.435,3.723) -- (4.389,3.893) -- (4.265,4.017) -- (4.095,4.063) -- (3.925,4.017) -- (3.801,3.893) -- (3.755,3.723) -- (3.801,3.553) -- (3.925,3.429) -- (4.095,3.383) -- (4.265,3.429) -- (4.389,3.553) -- cycle;
\node at (4.095,3.723) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.178,4.11) -- (9.132,4.28) -- (9.008,4.404) -- (8.838,4.45) -- (8.668,4.404) -- (8.543,4.28) -- (8.498,4.11) -- (8.543,3.94) -- (8.668,3.815) -- (8.838,3.77) -- (9.008,3.815) -- (9.132,3.94) -- cycle;
\node at (8.838,4.11) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (5.799,5.676) -- (6.399,5.676) -- (6.399,6.276) -- (5.799,6.276) -- cycle;
\node at (6.099,5.976) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.147,8.777) -- (9.747,8.777) -- (9.747,9.377) -- (9.147,9.377) -- cycle;
\node at (9.447,9.077) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (3.49,8.427) -- (4.09,8.427) -- (4.09,9.027) -- (3.49,9.027) -- cycle;
\node at (3.79,8.727) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\node at (11.276,11.443) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (2.073,9.815) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (11.998,6.865) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (0.765,6.141) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (5.488,5.868) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (1.55,1.128) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (11.174,0.95) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.685,10.031) -- (12.685,11.131);
\draw[line width=0.5pt] (12.454,10.746) -- (12.685,11.131) -- (12.916,10.746);
\draw[line width=0.5pt] (12.382,10.581) -- (12.987,10.581);
\node at (12.685,11.516) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 3 & 2 & 6 & 1 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, C, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
