\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 164}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=164}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0164}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7896, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.884,11.566) -- (2.206,11.436) -- (2.532,11.314) -- (2.86,11.199) -- (3.19,11.093) -- (3.523,10.994) -- (3.859,10.903) -- (4.196,10.82) -- (4.536,10.745) -- (4.877,10.677) -- (5.219,10.618) -- (5.563,10.567) -- (5.907,10.524) -- (6.253,10.489) -- (6.599,10.463) -- (6.805,10.477) -- (7.012,10.487) -- (7.219,10.492) -- (7.427,10.492) -- (7.634,10.487) -- (7.841,10.477) -- (8.047,10.462) -- (8.254,10.442) -- (8.46,10.418) -- (8.665,10.389) -- (8.869,10.355) -- (9.072,10.316) -- (9.275,10.272) -- (9.476,10.224);
\draw[line width=0.5pt] (1.884,11.566) -- (2.218,11.3) -- (2.546,11.027) -- (2.867,10.746) -- (3.181,10.458) -- (3.489,10.162) -- (3.789,9.859) -- (4.083,9.549) -- (4.369,9.232) -- (4.647,8.908) -- (4.918,8.578) -- (5.181,8.242) -- (5.436,7.9) -- (5.682,7.552) -- (5.921,7.199);
\draw[line width=0.5pt] (1.884,11.566) -- (1.8,11.169) -- (1.725,10.77) -- (1.66,10.37) -- (1.604,9.968) -- (1.557,9.564) -- (1.52,9.16) -- (1.493,8.755) -- (1.474,8.349) -- (1.466,7.944) -- (1.467,7.538) -- (1.477,7.132) -- (1.498,6.727) -- (1.527,6.322) -- (1.566,5.918);
\draw[line width=0.5pt] (9.476,10.224) -- (9.257,9.97) -- (9.032,9.722) -- (8.802,9.48) -- (8.565,9.242) -- (8.323,9.011) -- (8.076,8.785) -- (7.823,8.565) -- (7.565,8.35) -- (7.303,8.142) -- (7.035,7.941) -- (6.763,7.745) -- (6.487,7.556) -- (6.206,7.374) -- (5.921,7.199);
\draw[line width=0.5pt] (5.921,7.199) -- (5.598,7.156) -- (5.276,7.105) -- (4.956,7.046) -- (4.637,6.981) -- (4.32,6.907) -- (4.004,6.826) -- (3.691,6.738) -- (3.379,6.643) -- (3.07,6.54) -- (2.764,6.43) -- (2.46,6.312) -- (2.159,6.188) -- (1.861,6.057) -- (1.566,5.918);
\draw[line width=0.5pt] (5.921,7.199) -- (6.244,6.941) -- (6.561,6.675) -- (6.872,6.402) -- (7.177,6.121) -- (7.475,5.833) -- (7.766,5.539) -- (8.05,5.237) -- (8.327,4.929) -- (8.596,4.615) -- (8.858,4.294) -- (9.113,3.968) -- (9.359,3.635) -- (9.598,3.297) -- (9.829,2.954);
\draw[line width=0.5pt] (5.921,7.199) -- (5.534,6.852) -- (5.157,6.496) -- (4.787,6.132) -- (4.426,5.758) -- (4.074,5.376) -- (3.731,4.986) -- (3.397,4.588) -- (3.073,4.183) -- (2.758,3.77) -- (2.453,3.349) -- (2.159,2.922) -- (1.874,2.488) -- (1.6,2.047) -- (1.336,1.6);
\draw[line width=0.5pt] (5.921,7.199) -- (5.96,6.796) -- (5.989,6.392) -- (6.009,5.988) -- (6.019,5.583) -- (6.02,5.178) -- (6.012,4.774) -- (5.994,4.369) -- (5.966,3.965) -- (5.929,3.562) -- (5.882,3.159) -- (5.826,2.758) -- (5.761,2.359) -- (5.686,1.961) -- (5.602,1.566);
\draw[line width=0.5pt] (1.566,5.918) -- (1.503,5.615) -- (1.447,5.31) -- (1.397,5.003) -- (1.355,4.696) -- (1.321,4.388) -- (1.293,4.078) -- (1.273,3.769) -- (1.26,3.458) -- (1.255,3.148) -- (1.256,2.838) -- (1.265,2.528) -- (1.282,2.218) -- (1.305,1.909) -- (1.336,1.6);
\draw[line width=0.5pt] (1.336,1.6) -- (1.639,1.644) -- (1.943,1.681) -- (2.247,1.711) -- (2.552,1.734) -- (2.858,1.749) -- (3.164,1.758) -- (3.47,1.759) -- (3.777,1.753) -- (4.082,1.739) -- (4.388,1.719) -- (4.693,1.691) -- (4.997,1.657) -- (5.3,1.615) -- (5.602,1.566);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.044,11.566) -- (2.023,11.646) -- (1.964,11.704) -- (1.884,11.726) -- (1.804,11.704) -- (1.746,11.646) -- (1.724,11.566) -- (1.746,11.486) -- (1.804,11.427) -- (1.884,11.406) -- (1.964,11.427) -- (2.023,11.486) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.636,10.224) -- (9.615,10.304) -- (9.556,10.362) -- (9.476,10.384) -- (9.396,10.362) -- (9.338,10.304) -- (9.316,10.224) -- (9.338,10.144) -- (9.396,10.085) -- (9.476,10.064) -- (9.556,10.085) -- (9.615,10.144) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.081,7.199) -- (6.059,7.279) -- (6.001,7.337) -- (5.921,7.359) -- (5.841,7.337) -- (5.782,7.279) -- (5.761,7.199) -- (5.782,7.119) -- (5.841,7.06) -- (5.921,7.039) -- (6.001,7.06) -- (6.059,7.119) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.726,5.918) -- (1.705,5.998) -- (1.646,6.057) -- (1.566,6.078) -- (1.486,6.057) -- (1.428,5.998) -- (1.406,5.918) -- (1.428,5.838) -- (1.486,5.78) -- (1.566,5.758) -- (1.646,5.78) -- (1.705,5.838) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.989,2.954) -- (9.967,3.034) -- (9.909,3.092) -- (9.829,3.114) -- (9.749,3.092) -- (9.69,3.034) -- (9.669,2.954) -- (9.69,2.874) -- (9.749,2.815) -- (9.829,2.794) -- (9.909,2.815) -- (9.967,2.874) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.496,1.6) -- (1.475,1.68) -- (1.416,1.739) -- (1.336,1.76) -- (1.256,1.739) -- (1.198,1.68) -- (1.176,1.6) -- (1.198,1.52) -- (1.256,1.461) -- (1.336,1.44) -- (1.416,1.461) -- (1.475,1.52) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.762,1.566) -- (5.74,1.646) -- (5.682,1.704) -- (5.602,1.726) -- (5.522,1.704) -- (5.463,1.646) -- (5.442,1.566) -- (5.463,1.486) -- (5.522,1.427) -- (5.602,1.406) -- (5.682,1.427) -- (5.74,1.486) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.946,10.783) -- (6.9,10.953) -- (6.776,11.077) -- (6.606,11.123) -- (6.436,11.077) -- (6.311,10.953) -- (6.266,10.783) -- (6.311,10.613) -- (6.436,10.488) -- (6.606,10.443) -- (6.776,10.488) -- (6.9,10.613) -- cycle;
\node at (6.606,10.783) {\scalebox{1.266}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.658,9.766) -- (4.612,9.936) -- (4.488,10.06) -- (4.318,10.106) -- (4.148,10.06) -- (4.023,9.936) -- (3.978,9.766) -- (4.023,9.596) -- (4.148,9.471) -- (4.318,9.426) -- (4.488,9.471) -- (4.612,9.596) -- cycle;
\node at (4.318,9.766) {\scalebox{1.266}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.152,8.737) -- (2.106,8.907) -- (1.982,9.032) -- (1.812,9.077) -- (1.642,9.032) -- (1.518,8.907) -- (1.472,8.737) -- (1.518,8.567) -- (1.642,8.443) -- (1.812,8.397) -- (1.982,8.443) -- (2.106,8.567) -- cycle;
\node at (1.812,8.737) {\scalebox{1.266}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.371,8.321) -- (8.325,8.491) -- (8.201,8.615) -- (8.031,8.661) -- (7.861,8.615) -- (7.736,8.491) -- (7.691,8.321) -- (7.736,8.151) -- (7.861,8.026) -- (8.031,7.981) -- (8.201,8.026) -- (8.325,8.151) -- cycle;
\node at (8.031,8.321) {\scalebox{1.266}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.121,6.431) -- (4.075,6.601) -- (3.951,6.726) -- (3.781,6.771) -- (3.611,6.726) -- (3.487,6.601) -- (3.441,6.431) -- (3.487,6.261) -- (3.611,6.137) -- (3.781,6.091) -- (3.951,6.137) -- (4.075,6.261) -- cycle;
\node at (3.781,6.431) {\scalebox{1.266}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.625,5.454) -- (8.58,5.624) -- (8.455,5.749) -- (8.285,5.794) -- (8.115,5.749) -- (7.991,5.624) -- (7.945,5.454) -- (7.991,5.284) -- (8.115,5.16) -- (8.285,5.114) -- (8.455,5.16) -- (8.58,5.284) -- cycle;
\node at (8.285,5.454) {\scalebox{1.266}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.985,4.386) -- (3.939,4.556) -- (3.815,4.68) -- (3.645,4.726) -- (3.475,4.68) -- (3.351,4.556) -- (3.305,4.386) -- (3.351,4.216) -- (3.475,4.091) -- (3.645,4.046) -- (3.815,4.091) -- (3.939,4.216) -- cycle;
\node at (3.645,4.386) {\scalebox{1.266}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.653,4.351) -- (6.608,4.521) -- (6.483,4.645) -- (6.313,4.691) -- (6.143,4.645) -- (6.019,4.521) -- (5.973,4.351) -- (6.019,4.181) -- (6.143,4.056) -- (6.313,4.011) -- (6.483,4.056) -- (6.608,4.181) -- cycle;
\node at (6.313,4.351) {\scalebox{1.266}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.933,3.752) -- (1.887,3.922) -- (1.763,4.046) -- (1.593,4.092) -- (1.423,4.046) -- (1.298,3.922) -- (1.253,3.752) -- (1.298,3.582) -- (1.423,3.457) -- (1.593,3.412) -- (1.763,3.457) -- (1.887,3.582) -- cycle;
\node at (1.593,3.752) {\scalebox{1.266}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.813,2.079) -- (3.767,2.249) -- (3.643,2.373) -- (3.473,2.419) -- (3.303,2.373) -- (3.179,2.249) -- (3.133,2.079) -- (3.179,1.909) -- (3.303,1.784) -- (3.473,1.739) -- (3.643,1.784) -- (3.767,1.909) -- cycle;
\node at (3.473,2.079) {\scalebox{1.266}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.036,1.3) -- (1.636,1.3) -- (1.636,1.9) -- (1.036,1.9) -- cycle;
\node at (1.336,1.6) {\scalebox{1.266}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,2.84) -- (1.2,2.84) -- (1.2,3.44) -- (0.6,3.44) -- cycle;
\node at (0.9,3.14) {\scalebox{1.266}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.764,8.499) -- (9.364,8.499) -- (9.364,9.099) -- (8.764,9.099) -- cycle;
\node at (9.064,8.799) {\scalebox{1.266}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.003,3.243) -- (7.603,3.243) -- (7.603,3.843) -- (7.003,3.843) -- cycle;
\node at (7.303,3.543) {\scalebox{1.266}{\small d}};
\node at (1.581,12.106) {\scalebox{1.266}{\small A}};
\node at (9.916,10.661) {\scalebox{1.266}{\small B}};
\node at (6.248,7.725) {\scalebox{1.266}{\small C}};
\node at (0.947,5.928) {\scalebox{1.266}{\small D}};
\node at (10.357,2.63) {\scalebox{1.266}{\small E}};
\node at (0.926,1.135) {\scalebox{1.266}{\small F}};
\node at (5.676,0.95) {\scalebox{1.266}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.129,10.616) -- (11.129,11.716);
\draw[line width=0.5pt] (10.898,11.331) -- (11.129,11.716) -- (11.36,11.331);
\draw[line width=0.5pt] (10.826,11.166) -- (11.431,11.166);
\node at (11.129,12.101) {\scalebox{1.266}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin de Ronde & ⑥ impasse du Puits & Ⓐ Rond-point du Stade & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Peupliers & ⑦ chemin Creux & Ⓑ Place des Tanneurs & \textbf{b} le lavoir \\ \hline
③ rue des Jardins & ⑧ rue des Écoles & Ⓒ Rond-point de la Poste & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ rue du Pont & ⑨ rue Pasteur & Ⓓ Carrefour de la Mairie & \textbf{d} l'église \\ \hline
⑤ rue Haute & ⑩ rue de la Poste & Ⓔ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7065, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.884,11.566) -- (2.206,11.436) -- (2.532,11.314) -- (2.86,11.199) -- (3.19,11.093) -- (3.523,10.994) -- (3.859,10.903) -- (4.196,10.82) -- (4.536,10.745) -- (4.877,10.677) -- (5.219,10.618) -- (5.563,10.567) -- (5.907,10.524) -- (6.253,10.489) -- (6.599,10.463) -- (6.805,10.477) -- (7.012,10.487) -- (7.219,10.492) -- (7.427,10.492) -- (7.634,10.487) -- (7.841,10.477) -- (8.047,10.462) -- (8.254,10.442) -- (8.46,10.418) -- (8.665,10.389) -- (8.869,10.355) -- (9.072,10.316) -- (9.275,10.272) -- (9.476,10.224);
\draw[line width=0.5pt] (1.884,11.566) -- (2.218,11.3) -- (2.546,11.027) -- (2.867,10.746) -- (3.181,10.458) -- (3.489,10.162) -- (3.789,9.859) -- (4.083,9.549) -- (4.369,9.232) -- (4.647,8.908) -- (4.918,8.578) -- (5.181,8.242) -- (5.436,7.9) -- (5.682,7.552) -- (5.921,7.199);
\draw[line width=0.5pt] (1.884,11.566) -- (1.8,11.169) -- (1.725,10.77) -- (1.66,10.37) -- (1.604,9.968) -- (1.557,9.564) -- (1.52,9.16) -- (1.493,8.755) -- (1.474,8.349) -- (1.466,7.944) -- (1.467,7.538) -- (1.477,7.132) -- (1.498,6.727) -- (1.527,6.322) -- (1.566,5.918);
\draw[line width=0.5pt] (9.476,10.224) -- (9.257,9.97) -- (9.032,9.722) -- (8.802,9.48) -- (8.565,9.242) -- (8.323,9.011) -- (8.076,8.785) -- (7.823,8.565) -- (7.565,8.35) -- (7.303,8.142) -- (7.035,7.941) -- (6.763,7.745) -- (6.487,7.556) -- (6.206,7.374) -- (5.921,7.199);
\draw[line width=0.5pt] (5.921,7.199) -- (5.598,7.156) -- (5.276,7.105) -- (4.956,7.046) -- (4.637,6.981) -- (4.32,6.907) -- (4.004,6.826) -- (3.691,6.738) -- (3.379,6.643) -- (3.07,6.54) -- (2.764,6.43) -- (2.46,6.312) -- (2.159,6.188) -- (1.861,6.057) -- (1.566,5.918);
\draw[line width=0.5pt] (5.921,7.199) -- (6.244,6.941) -- (6.561,6.675) -- (6.872,6.402) -- (7.177,6.121) -- (7.475,5.833) -- (7.766,5.539) -- (8.05,5.237) -- (8.327,4.929) -- (8.596,4.615) -- (8.858,4.294) -- (9.113,3.968) -- (9.359,3.635) -- (9.598,3.297) -- (9.829,2.954);
\draw[line width=0.5pt] (5.921,7.199) -- (5.534,6.852) -- (5.157,6.496) -- (4.787,6.132) -- (4.426,5.758) -- (4.074,5.376) -- (3.731,4.986) -- (3.397,4.588) -- (3.073,4.183) -- (2.758,3.77) -- (2.453,3.349) -- (2.159,2.922) -- (1.874,2.488) -- (1.6,2.047) -- (1.336,1.6);
\draw[line width=0.5pt] (5.921,7.199) -- (5.96,6.796) -- (5.989,6.392) -- (6.009,5.988) -- (6.019,5.583) -- (6.02,5.178) -- (6.012,4.774) -- (5.994,4.369) -- (5.966,3.965) -- (5.929,3.562) -- (5.882,3.159) -- (5.826,2.758) -- (5.761,2.359) -- (5.686,1.961) -- (5.602,1.566);
\draw[line width=0.5pt] (1.566,5.918) -- (1.503,5.615) -- (1.447,5.31) -- (1.397,5.003) -- (1.355,4.696) -- (1.321,4.388) -- (1.293,4.078) -- (1.273,3.769) -- (1.26,3.458) -- (1.255,3.148) -- (1.256,2.838) -- (1.265,2.528) -- (1.282,2.218) -- (1.305,1.909) -- (1.336,1.6);
\draw[line width=0.5pt] (1.336,1.6) -- (1.639,1.644) -- (1.943,1.681) -- (2.247,1.711) -- (2.552,1.734) -- (2.858,1.749) -- (3.164,1.758) -- (3.47,1.759) -- (3.777,1.753) -- (4.082,1.739) -- (4.388,1.719) -- (4.693,1.691) -- (4.997,1.657) -- (5.3,1.615) -- (5.602,1.566);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.044,11.566) -- (2.023,11.646) -- (1.964,11.704) -- (1.884,11.726) -- (1.804,11.704) -- (1.746,11.646) -- (1.724,11.566) -- (1.746,11.486) -- (1.804,11.427) -- (1.884,11.406) -- (1.964,11.427) -- (2.023,11.486) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.636,10.224) -- (9.615,10.304) -- (9.556,10.362) -- (9.476,10.384) -- (9.396,10.362) -- (9.338,10.304) -- (9.316,10.224) -- (9.338,10.144) -- (9.396,10.085) -- (9.476,10.064) -- (9.556,10.085) -- (9.615,10.144) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.081,7.199) -- (6.059,7.279) -- (6.001,7.337) -- (5.921,7.359) -- (5.841,7.337) -- (5.782,7.279) -- (5.761,7.199) -- (5.782,7.119) -- (5.841,7.06) -- (5.921,7.039) -- (6.001,7.06) -- (6.059,7.119) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.726,5.918) -- (1.705,5.998) -- (1.646,6.057) -- (1.566,6.078) -- (1.486,6.057) -- (1.428,5.998) -- (1.406,5.918) -- (1.428,5.838) -- (1.486,5.78) -- (1.566,5.758) -- (1.646,5.78) -- (1.705,5.838) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.989,2.954) -- (9.967,3.034) -- (9.909,3.092) -- (9.829,3.114) -- (9.749,3.092) -- (9.69,3.034) -- (9.669,2.954) -- (9.69,2.874) -- (9.749,2.815) -- (9.829,2.794) -- (9.909,2.815) -- (9.967,2.874) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.496,1.6) -- (1.475,1.68) -- (1.416,1.739) -- (1.336,1.76) -- (1.256,1.739) -- (1.198,1.68) -- (1.176,1.6) -- (1.198,1.52) -- (1.256,1.461) -- (1.336,1.44) -- (1.416,1.461) -- (1.475,1.52) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.762,1.566) -- (5.74,1.646) -- (5.682,1.704) -- (5.602,1.726) -- (5.522,1.704) -- (5.463,1.646) -- (5.442,1.566) -- (5.463,1.486) -- (5.522,1.427) -- (5.602,1.406) -- (5.682,1.427) -- (5.74,1.486) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.946,10.783) -- (6.9,10.953) -- (6.776,11.077) -- (6.606,11.123) -- (6.436,11.077) -- (6.311,10.953) -- (6.266,10.783) -- (6.311,10.613) -- (6.436,10.488) -- (6.606,10.443) -- (6.776,10.488) -- (6.9,10.613) -- cycle;
\node at (6.606,10.783) {\scalebox{1.415}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.658,9.766) -- (4.612,9.936) -- (4.488,10.06) -- (4.318,10.106) -- (4.148,10.06) -- (4.023,9.936) -- (3.978,9.766) -- (4.023,9.596) -- (4.148,9.471) -- (4.318,9.426) -- (4.488,9.471) -- (4.612,9.596) -- cycle;
\node at (4.318,9.766) {\scalebox{1.415}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.152,8.737) -- (2.106,8.907) -- (1.982,9.032) -- (1.812,9.077) -- (1.642,9.032) -- (1.518,8.907) -- (1.472,8.737) -- (1.518,8.567) -- (1.642,8.443) -- (1.812,8.397) -- (1.982,8.443) -- (2.106,8.567) -- cycle;
\node at (1.812,8.737) {\scalebox{1.415}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.371,8.321) -- (8.325,8.491) -- (8.201,8.615) -- (8.031,8.661) -- (7.861,8.615) -- (7.736,8.491) -- (7.691,8.321) -- (7.736,8.151) -- (7.861,8.026) -- (8.031,7.981) -- (8.201,8.026) -- (8.325,8.151) -- cycle;
\node at (8.031,8.321) {\scalebox{1.415}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.121,6.431) -- (4.075,6.601) -- (3.951,6.726) -- (3.781,6.771) -- (3.611,6.726) -- (3.487,6.601) -- (3.441,6.431) -- (3.487,6.261) -- (3.611,6.137) -- (3.781,6.091) -- (3.951,6.137) -- (4.075,6.261) -- cycle;
\node at (3.781,6.431) {\scalebox{1.415}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.625,5.454) -- (8.58,5.624) -- (8.455,5.749) -- (8.285,5.794) -- (8.115,5.749) -- (7.991,5.624) -- (7.945,5.454) -- (7.991,5.284) -- (8.115,5.16) -- (8.285,5.114) -- (8.455,5.16) -- (8.58,5.284) -- cycle;
\node at (8.285,5.454) {\scalebox{1.415}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.985,4.386) -- (3.939,4.556) -- (3.815,4.68) -- (3.645,4.726) -- (3.475,4.68) -- (3.351,4.556) -- (3.305,4.386) -- (3.351,4.216) -- (3.475,4.091) -- (3.645,4.046) -- (3.815,4.091) -- (3.939,4.216) -- cycle;
\node at (3.645,4.386) {\scalebox{1.415}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.653,4.351) -- (6.608,4.521) -- (6.483,4.645) -- (6.313,4.691) -- (6.143,4.645) -- (6.019,4.521) -- (5.973,4.351) -- (6.019,4.181) -- (6.143,4.056) -- (6.313,4.011) -- (6.483,4.056) -- (6.608,4.181) -- cycle;
\node at (6.313,4.351) {\scalebox{1.415}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.933,3.752) -- (1.887,3.922) -- (1.763,4.046) -- (1.593,4.092) -- (1.423,4.046) -- (1.298,3.922) -- (1.253,3.752) -- (1.298,3.582) -- (1.423,3.457) -- (1.593,3.412) -- (1.763,3.457) -- (1.887,3.582) -- cycle;
\node at (1.593,3.752) {\scalebox{1.415}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.813,2.079) -- (3.767,2.249) -- (3.643,2.373) -- (3.473,2.419) -- (3.303,2.373) -- (3.179,2.249) -- (3.133,2.079) -- (3.179,1.909) -- (3.303,1.784) -- (3.473,1.739) -- (3.643,1.784) -- (3.767,1.909) -- cycle;
\node at (3.473,2.079) {\scalebox{1.415}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (1.036,1.3) -- (1.636,1.3) -- (1.636,1.9) -- (1.036,1.9) -- cycle;
\node at (1.336,1.6) {\scalebox{1.415}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (0.6,2.84) -- (1.2,2.84) -- (1.2,3.44) -- (0.6,3.44) -- cycle;
\node at (0.9,3.14) {\scalebox{1.415}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (8.764,8.499) -- (9.364,8.499) -- (9.364,9.099) -- (8.764,9.099) -- cycle;
\node at (9.064,8.799) {\scalebox{1.415}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.003,3.243) -- (7.603,3.243) -- (7.603,3.843) -- (7.003,3.843) -- cycle;
\node at (7.303,3.543) {\scalebox{1.415}{\small d}};
\node at (1.581,12.106) {\scalebox{1.415}{\small A}};
\node at (9.916,10.661) {\scalebox{1.415}{\small B}};
\node at (6.248,7.725) {\scalebox{1.415}{\small C}};
\node at (0.947,5.928) {\scalebox{1.415}{\small D}};
\node at (10.357,2.63) {\scalebox{1.415}{\small E}};
\node at (0.926,1.135) {\scalebox{1.415}{\small F}};
\node at (5.676,0.95) {\scalebox{1.415}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (11.129,10.616) -- (11.129,11.716);
\draw[line width=0.5pt] (10.898,11.331) -- (11.129,11.716) -- (11.36,11.331);
\draw[line width=0.5pt] (10.826,11.166) -- (11.431,11.166);
\node at (11.129,12.101) {\scalebox{1.415}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 6 & 3 & 1 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D}, \textbf{E}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, D, E, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
