\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 165}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=165}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0165}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.703, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.617,8.402) -- (7.819,8.293) -- (8.024,8.188) -- (8.231,8.088) -- (8.441,7.993) -- (8.652,7.902) -- (8.866,7.817) -- (9.082,7.737) -- (9.3,7.662) -- (9.519,7.592) -- (9.74,7.527) -- (9.962,7.468) -- (10.186,7.413) -- (10.41,7.364) -- (10.636,7.321);
\draw[line width=0.5pt] (7.617,8.402) -- (7.689,8.129) -- (7.754,7.854) -- (7.813,7.578) -- (7.866,7.3) -- (7.911,7.021) -- (7.951,6.741) -- (7.983,6.46) -- (8.01,6.178) -- (8.029,5.896) -- (8.042,5.614) -- (8.048,5.331) -- (8.047,5.048) -- (8.04,4.766) -- (8.026,4.484);
\draw[line width=0.5pt] (7.617,8.402) -- (7.395,8.141) -- (7.179,7.874) -- (6.97,7.603) -- (6.767,7.326) -- (6.571,7.045) -- (6.381,6.759) -- (6.198,6.468) -- (6.022,6.174) -- (5.852,5.875) -- (5.69,5.573) -- (5.535,5.267) -- (5.388,4.957) -- (5.247,4.644) -- (5.115,4.328);
\draw[line width=0.5pt] (7.617,8.402) -- (7.925,8.141) -- (8.228,7.872) -- (8.523,7.596) -- (8.813,7.313) -- (9.095,7.024) -- (9.371,6.727) -- (9.639,6.425) -- (9.901,6.116) -- (10.155,5.801) -- (10.402,5.48) -- (10.641,5.154) -- (10.872,4.822) -- (11.095,4.484) -- (11.31,4.142);
\draw[line width=0.5pt] (10.636,7.321) -- (10.649,7.088) -- (10.668,6.856) -- (10.692,6.624) -- (10.721,6.393) -- (10.756,6.162) -- (10.796,5.932) -- (10.842,5.704) -- (10.893,5.476) -- (10.949,5.25) -- (11.011,5.025) -- (11.078,4.801) -- (11.15,4.58) -- (11.228,4.36) -- (11.31,4.142);
\draw[line width=0.5pt] (8.026,4.484) -- (7.822,4.441) -- (7.616,4.403) -- (7.41,4.37) -- (7.202,4.341) -- (6.994,4.318) -- (6.786,4.299) -- (6.577,4.286) -- (6.368,4.277) -- (6.158,4.273) -- (5.949,4.274) -- (5.74,4.28) -- (5.531,4.291) -- (5.323,4.307) -- (5.115,4.328);
\draw[line width=0.5pt] (8.026,4.484) -- (8.255,4.424) -- (8.486,4.369) -- (8.717,4.32) -- (8.95,4.276) -- (9.184,4.238) -- (9.419,4.205) -- (9.654,4.177) -- (9.89,4.156) -- (10.127,4.14) -- (10.363,4.129) -- (10.6,4.124) -- (10.837,4.124) -- (11.074,4.13) -- (11.31,4.142);
\draw[line width=0.5pt] (8.026,4.484) -- (8.036,4.295) -- (8.042,4.106) -- (8.042,3.917) -- (8.039,3.728) -- (8.031,3.54) -- (8.018,3.351) -- (8.001,3.163) -- (7.98,2.975) -- (7.954,2.787) -- (7.924,2.601) -- (7.889,2.415) -- (7.851,2.23) -- (7.807,2.046) -- (7.76,1.863);
\draw[line width=0.5pt] (5.115,4.328) -- (5.275,4.124) -- (5.44,3.924) -- (5.61,3.729) -- (5.785,3.537) -- (5.964,3.349) -- (6.148,3.166) -- (6.335,2.986) -- (6.527,2.812) -- (6.723,2.642) -- (6.923,2.476) -- (7.127,2.316) -- (7.334,2.16) -- (7.545,2.009) -- (7.76,1.863);
\draw[line width=0.5pt] (5.115,4.328) -- (4.879,4.068) -- (4.637,3.813) -- (4.389,3.564) -- (4.135,3.322) -- (3.875,3.085) -- (3.61,2.854) -- (3.34,2.63) -- (3.064,2.412) -- (2.783,2.2) -- (2.498,1.995) -- (2.207,1.797) -- (1.913,1.606) -- (1.614,1.422) -- (1.31,1.245);
\draw[line width=0.5pt] (11.31,4.142) -- (11.034,4.02) -- (10.76,3.89) -- (10.489,3.755) -- (10.222,3.613) -- (9.958,3.464) -- (9.698,3.31) -- (9.441,3.149) -- (9.188,2.983) -- (8.939,2.81) -- (8.694,2.632) -- (8.454,2.448) -- (8.218,2.259) -- (7.986,2.064) -- (7.76,1.863);
\draw[line width=0.5pt] (7.76,1.863) -- (7.516,1.853) -- (7.272,1.849) -- (7.027,1.851) -- (6.783,1.858) -- (6.539,1.871) -- (6.296,1.89) -- (6.052,1.914) -- (5.81,1.944) -- (5.568,1.98) -- (5.327,2.021) -- (5.088,2.069) -- (4.849,2.121) -- (4.612,2.18) -- (4.376,2.244) -- (4.148,2.206) -- (3.921,2.164) -- (3.695,2.116) -- (3.469,2.063) -- (3.246,2.004) -- (3.023,1.94) -- (2.802,1.871) -- (2.583,1.797) -- (2.365,1.717) -- (2.15,1.633) -- (1.937,1.543) -- (1.725,1.449) -- (1.517,1.35) -- (1.31,1.245);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.777,8.402) -- (7.756,8.482) -- (7.697,8.541) -- (7.617,8.562) -- (7.537,8.541) -- (7.479,8.482) -- (7.457,8.402) -- (7.479,8.322) -- (7.537,8.264) -- (7.617,8.242) -- (7.697,8.264) -- (7.756,8.322) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.796,7.321) -- (10.775,7.401) -- (10.716,7.459) -- (10.636,7.481) -- (10.556,7.459) -- (10.497,7.401) -- (10.476,7.321) -- (10.497,7.241) -- (10.556,7.182) -- (10.636,7.161) -- (10.716,7.182) -- (10.775,7.241) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.186,4.484) -- (8.165,4.564) -- (8.106,4.622) -- (8.026,4.644) -- (7.946,4.622) -- (7.888,4.564) -- (7.866,4.484) -- (7.888,4.404) -- (7.946,4.345) -- (8.026,4.324) -- (8.106,4.345) -- (8.165,4.404) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.275,4.328) -- (5.253,4.408) -- (5.195,4.466) -- (5.115,4.488) -- (5.035,4.466) -- (4.976,4.408) -- (4.955,4.328) -- (4.976,4.248) -- (5.035,4.189) -- (5.115,4.168) -- (5.195,4.189) -- (5.253,4.248) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.47,4.142) -- (11.449,4.222) -- (11.39,4.281) -- (11.31,4.302) -- (11.23,4.281) -- (11.172,4.222) -- (11.15,4.142) -- (11.172,4.062) -- (11.23,4.004) -- (11.31,3.982) -- (11.39,4.004) -- (11.449,4.062) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.92,1.863) -- (7.898,1.943) -- (7.84,2.002) -- (7.76,2.023) -- (7.68,2.002) -- (7.621,1.943) -- (7.6,1.863) -- (7.621,1.783) -- (7.68,1.725) -- (7.76,1.703) -- (7.84,1.725) -- (7.898,1.783) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.47,1.245) -- (1.449,1.325) -- (1.39,1.384) -- (1.31,1.405) -- (1.23,1.384) -- (1.172,1.325) -- (1.15,1.245) -- (1.172,1.165) -- (1.23,1.107) -- (1.31,1.085) -- (1.39,1.107) -- (1.449,1.165) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.53,8.038) -- (9.484,8.208) -- (9.36,8.333) -- (9.19,8.378) -- (9.02,8.333) -- (8.895,8.208) -- (8.85,8.038) -- (8.895,7.868) -- (9.02,7.744) -- (9.19,7.698) -- (9.36,7.744) -- (9.484,7.868) -- cycle;
\node at (9.19,8.038) {\scalebox{1.422}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.642,6.493) -- (8.596,6.663) -- (8.472,6.788) -- (8.302,6.833) -- (8.132,6.788) -- (8.007,6.663) -- (7.962,6.493) -- (8.007,6.323) -- (8.132,6.199) -- (8.302,6.153) -- (8.472,6.199) -- (8.596,6.323) -- cycle;
\node at (8.302,6.493) {\scalebox{1.422}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.81,6.301) -- (6.765,6.471) -- (6.64,6.595) -- (6.47,6.641) -- (6.3,6.595) -- (6.176,6.471) -- (6.13,6.301) -- (6.176,6.131) -- (6.3,6.006) -- (6.47,5.961) -- (6.64,6.006) -- (6.765,6.131) -- cycle;
\node at (6.47,6.301) {\scalebox{1.422}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.221,6.634) -- (10.176,6.804) -- (10.051,6.929) -- (9.881,6.974) -- (9.711,6.929) -- (9.587,6.804) -- (9.541,6.634) -- (9.587,6.464) -- (9.711,6.34) -- (9.881,6.294) -- (10.051,6.34) -- (10.176,6.464) -- cycle;
\node at (9.881,6.634) {\scalebox{1.422}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.495,5.77) -- (11.449,5.94) -- (11.325,6.064) -- (11.155,6.11) -- (10.985,6.064) -- (10.861,5.94) -- (10.815,5.77) -- (10.861,5.6) -- (10.985,5.476) -- (11.155,5.43) -- (11.325,5.476) -- (11.449,5.6) -- cycle;
\node at (11.155,5.77) {\scalebox{1.422}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.934,3.966) -- (6.888,4.136) -- (6.764,4.261) -- (6.594,4.306) -- (6.424,4.261) -- (6.3,4.136) -- (6.254,3.966) -- (6.3,3.796) -- (6.424,3.672) -- (6.594,3.626) -- (6.764,3.672) -- (6.888,3.796) -- cycle;
\node at (6.594,3.966) {\scalebox{1.422}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.027,4.496) -- (9.982,4.666) -- (9.857,4.79) -- (9.687,4.836) -- (9.517,4.79) -- (9.393,4.666) -- (9.347,4.496) -- (9.393,4.326) -- (9.517,4.201) -- (9.687,4.156) -- (9.857,4.201) -- (9.982,4.326) -- cycle;
\node at (9.687,4.496) {\scalebox{1.422}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.66,3.13) -- (8.614,3.3) -- (8.49,3.425) -- (8.32,3.47) -- (8.15,3.425) -- (8.025,3.3) -- (7.98,3.13) -- (8.025,2.96) -- (8.15,2.836) -- (8.32,2.79) -- (8.49,2.836) -- (8.614,2.96) -- cycle;
\node at (8.32,3.13) {\scalebox{1.422}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.894,3.221) -- (6.848,3.391) -- (6.724,3.515) -- (6.554,3.561) -- (6.384,3.515) -- (6.259,3.391) -- (6.214,3.221) -- (6.259,3.051) -- (6.384,2.926) -- (6.554,2.881) -- (6.724,2.926) -- (6.848,3.051) -- cycle;
\node at (6.554,3.221) {\scalebox{1.422}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.881,2.381) -- (3.835,2.551) -- (3.711,2.675) -- (3.541,2.721) -- (3.371,2.675) -- (3.247,2.551) -- (3.201,2.381) -- (3.247,2.211) -- (3.371,2.086) -- (3.541,2.041) -- (3.711,2.086) -- (3.835,2.211) -- cycle;
\node at (3.541,2.381) {\scalebox{1.422}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.954,2.88) -- (9.908,3.05) -- (9.784,3.174) -- (9.614,3.22) -- (9.444,3.174) -- (9.319,3.05) -- (9.274,2.88) -- (9.319,2.71) -- (9.444,2.585) -- (9.614,2.54) -- (9.784,2.585) -- (9.908,2.71) -- cycle;
\node at (9.614,2.88) {\scalebox{1.422}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.698,1.924) -- (4.652,2.094) -- (4.528,2.219) -- (4.358,2.264) -- (4.188,2.219) -- (4.064,2.094) -- (4.018,1.924) -- (4.064,1.754) -- (4.188,1.63) -- (4.358,1.584) -- (4.528,1.63) -- (4.652,1.754) -- cycle;
\node at (4.358,1.924) {\scalebox{1.422}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.726,4.184) -- (8.326,4.184) -- (8.326,4.784) -- (7.726,4.784) -- cycle;
\node at (8.026,4.484) {\scalebox{1.422}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.23,6.217) -- (8.83,6.217) -- (8.83,6.817) -- (8.23,6.817) -- cycle;
\node at (8.53,6.517) {\scalebox{1.422}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.462,8.937) -- (10.062,8.937) -- (10.062,9.537) -- (9.462,9.537) -- cycle;
\node at (9.762,9.237) {\scalebox{1.422}{\small c}};
\node at (7.653,9.021) {\scalebox{1.422}{\small A}};
\node at (11.107,7.724) {\scalebox{1.422}{\small B}};
\node at (8.644,4.428) {\scalebox{1.422}{\small C}};
\node at (4.497,4.27) {\scalebox{1.422}{\small D}};
\node at (11.927,4.079) {\scalebox{1.422}{\small E}};
\node at (7.843,1.249) {\scalebox{1.422}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.422}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.61,7.452) -- (12.61,8.552);
\draw[line width=0.5pt] (12.379,8.167) -- (12.61,8.552) -- (12.841,8.167);
\draw[line width=0.5pt] (12.308,8.002) -- (12.913,8.002);
\node at (12.61,8.937) {\scalebox{1.422}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① passage du Marché & ⑦ chemin Creux & Ⓐ Rond-point du Stade & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Neuve & ⑧ rue du Puits & Ⓑ Place de l'Église & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ rue Haute & ⑨ allée des Peupliers & Ⓒ Rond-point des Vaches & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ rue des Écoles & ⑩ rue du Moulin & Ⓓ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
⑤ allée des Tilleuls & ⑪ rue Basse & Ⓔ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
⑥ rue du Pont & ⑫ rue des Jardins & Ⓕ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.629, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.617,8.402) -- (7.819,8.293) -- (8.024,8.188) -- (8.231,8.088) -- (8.441,7.993) -- (8.652,7.902) -- (8.866,7.817) -- (9.082,7.737) -- (9.3,7.662) -- (9.519,7.592) -- (9.74,7.527) -- (9.962,7.468) -- (10.186,7.413) -- (10.41,7.364) -- (10.636,7.321);
\draw[line width=0.5pt] (7.617,8.402) -- (7.689,8.129) -- (7.754,7.854) -- (7.813,7.578) -- (7.866,7.3) -- (7.911,7.021) -- (7.951,6.741) -- (7.983,6.46) -- (8.01,6.178) -- (8.029,5.896) -- (8.042,5.614) -- (8.048,5.331) -- (8.047,5.048) -- (8.04,4.766) -- (8.026,4.484);
\draw[line width=0.5pt] (7.617,8.402) -- (7.395,8.141) -- (7.179,7.874) -- (6.97,7.603) -- (6.767,7.326) -- (6.571,7.045) -- (6.381,6.759) -- (6.198,6.468) -- (6.022,6.174) -- (5.852,5.875) -- (5.69,5.573) -- (5.535,5.267) -- (5.388,4.957) -- (5.247,4.644) -- (5.115,4.328);
\draw[line width=0.5pt] (7.617,8.402) -- (7.925,8.141) -- (8.228,7.872) -- (8.523,7.596) -- (8.813,7.313) -- (9.095,7.024) -- (9.371,6.727) -- (9.639,6.425) -- (9.901,6.116) -- (10.155,5.801) -- (10.402,5.48) -- (10.641,5.154) -- (10.872,4.822) -- (11.095,4.484) -- (11.31,4.142);
\draw[line width=0.5pt] (10.636,7.321) -- (10.649,7.088) -- (10.668,6.856) -- (10.692,6.624) -- (10.721,6.393) -- (10.756,6.162) -- (10.796,5.932) -- (10.842,5.704) -- (10.893,5.476) -- (10.949,5.25) -- (11.011,5.025) -- (11.078,4.801) -- (11.15,4.58) -- (11.228,4.36) -- (11.31,4.142);
\draw[line width=0.5pt] (8.026,4.484) -- (7.822,4.441) -- (7.616,4.403) -- (7.41,4.37) -- (7.202,4.341) -- (6.994,4.318) -- (6.786,4.299) -- (6.577,4.286) -- (6.368,4.277) -- (6.158,4.273) -- (5.949,4.274) -- (5.74,4.28) -- (5.531,4.291) -- (5.323,4.307) -- (5.115,4.328);
\draw[line width=0.5pt] (8.026,4.484) -- (8.255,4.424) -- (8.486,4.369) -- (8.717,4.32) -- (8.95,4.276) -- (9.184,4.238) -- (9.419,4.205) -- (9.654,4.177) -- (9.89,4.156) -- (10.127,4.14) -- (10.363,4.129) -- (10.6,4.124) -- (10.837,4.124) -- (11.074,4.13) -- (11.31,4.142);
\draw[line width=0.5pt] (8.026,4.484) -- (8.036,4.295) -- (8.042,4.106) -- (8.042,3.917) -- (8.039,3.728) -- (8.031,3.54) -- (8.018,3.351) -- (8.001,3.163) -- (7.98,2.975) -- (7.954,2.787) -- (7.924,2.601) -- (7.889,2.415) -- (7.851,2.23) -- (7.807,2.046) -- (7.76,1.863);
\draw[line width=0.5pt] (5.115,4.328) -- (5.275,4.124) -- (5.44,3.924) -- (5.61,3.729) -- (5.785,3.537) -- (5.964,3.349) -- (6.148,3.166) -- (6.335,2.986) -- (6.527,2.812) -- (6.723,2.642) -- (6.923,2.476) -- (7.127,2.316) -- (7.334,2.16) -- (7.545,2.009) -- (7.76,1.863);
\draw[line width=0.5pt] (5.115,4.328) -- (4.879,4.068) -- (4.637,3.813) -- (4.389,3.564) -- (4.135,3.322) -- (3.875,3.085) -- (3.61,2.854) -- (3.34,2.63) -- (3.064,2.412) -- (2.783,2.2) -- (2.498,1.995) -- (2.207,1.797) -- (1.913,1.606) -- (1.614,1.422) -- (1.31,1.245);
\draw[line width=0.5pt] (11.31,4.142) -- (11.034,4.02) -- (10.76,3.89) -- (10.489,3.755) -- (10.222,3.613) -- (9.958,3.464) -- (9.698,3.31) -- (9.441,3.149) -- (9.188,2.983) -- (8.939,2.81) -- (8.694,2.632) -- (8.454,2.448) -- (8.218,2.259) -- (7.986,2.064) -- (7.76,1.863);
\draw[line width=0.5pt] (7.76,1.863) -- (7.516,1.853) -- (7.272,1.849) -- (7.027,1.851) -- (6.783,1.858) -- (6.539,1.871) -- (6.296,1.89) -- (6.052,1.914) -- (5.81,1.944) -- (5.568,1.98) -- (5.327,2.021) -- (5.088,2.069) -- (4.849,2.121) -- (4.612,2.18) -- (4.376,2.244) -- (4.148,2.206) -- (3.921,2.164) -- (3.695,2.116) -- (3.469,2.063) -- (3.246,2.004) -- (3.023,1.94) -- (2.802,1.871) -- (2.583,1.797) -- (2.365,1.717) -- (2.15,1.633) -- (1.937,1.543) -- (1.725,1.449) -- (1.517,1.35) -- (1.31,1.245);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.777,8.402) -- (7.756,8.482) -- (7.697,8.541) -- (7.617,8.562) -- (7.537,8.541) -- (7.479,8.482) -- (7.457,8.402) -- (7.479,8.322) -- (7.537,8.264) -- (7.617,8.242) -- (7.697,8.264) -- (7.756,8.322) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.796,7.321) -- (10.775,7.401) -- (10.716,7.459) -- (10.636,7.481) -- (10.556,7.459) -- (10.497,7.401) -- (10.476,7.321) -- (10.497,7.241) -- (10.556,7.182) -- (10.636,7.161) -- (10.716,7.182) -- (10.775,7.241) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.186,4.484) -- (8.165,4.564) -- (8.106,4.622) -- (8.026,4.644) -- (7.946,4.622) -- (7.888,4.564) -- (7.866,4.484) -- (7.888,4.404) -- (7.946,4.345) -- (8.026,4.324) -- (8.106,4.345) -- (8.165,4.404) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.275,4.328) -- (5.253,4.408) -- (5.195,4.466) -- (5.115,4.488) -- (5.035,4.466) -- (4.976,4.408) -- (4.955,4.328) -- (4.976,4.248) -- (5.035,4.189) -- (5.115,4.168) -- (5.195,4.189) -- (5.253,4.248) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.47,4.142) -- (11.449,4.222) -- (11.39,4.281) -- (11.31,4.302) -- (11.23,4.281) -- (11.172,4.222) -- (11.15,4.142) -- (11.172,4.062) -- (11.23,4.004) -- (11.31,3.982) -- (11.39,4.004) -- (11.449,4.062) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.92,1.863) -- (7.898,1.943) -- (7.84,2.002) -- (7.76,2.023) -- (7.68,2.002) -- (7.621,1.943) -- (7.6,1.863) -- (7.621,1.783) -- (7.68,1.725) -- (7.76,1.703) -- (7.84,1.725) -- (7.898,1.783) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.47,1.245) -- (1.449,1.325) -- (1.39,1.384) -- (1.31,1.405) -- (1.23,1.384) -- (1.172,1.325) -- (1.15,1.245) -- (1.172,1.165) -- (1.23,1.107) -- (1.31,1.085) -- (1.39,1.107) -- (1.449,1.165) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.53,8.038) -- (9.484,8.208) -- (9.36,8.333) -- (9.19,8.378) -- (9.02,8.333) -- (8.895,8.208) -- (8.85,8.038) -- (8.895,7.868) -- (9.02,7.744) -- (9.19,7.698) -- (9.36,7.744) -- (9.484,7.868) -- cycle;
\node at (9.19,8.038) {\scalebox{1.59}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.642,6.493) -- (8.596,6.663) -- (8.472,6.788) -- (8.302,6.833) -- (8.132,6.788) -- (8.007,6.663) -- (7.962,6.493) -- (8.007,6.323) -- (8.132,6.199) -- (8.302,6.153) -- (8.472,6.199) -- (8.596,6.323) -- cycle;
\node at (8.302,6.493) {\scalebox{1.59}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.81,6.301) -- (6.765,6.471) -- (6.64,6.595) -- (6.47,6.641) -- (6.3,6.595) -- (6.176,6.471) -- (6.13,6.301) -- (6.176,6.131) -- (6.3,6.006) -- (6.47,5.961) -- (6.64,6.006) -- (6.765,6.131) -- cycle;
\node at (6.47,6.301) {\scalebox{1.59}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.221,6.634) -- (10.176,6.804) -- (10.051,6.929) -- (9.881,6.974) -- (9.711,6.929) -- (9.587,6.804) -- (9.541,6.634) -- (9.587,6.464) -- (9.711,6.34) -- (9.881,6.294) -- (10.051,6.34) -- (10.176,6.464) -- cycle;
\node at (9.881,6.634) {\scalebox{1.59}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.495,5.77) -- (11.449,5.94) -- (11.325,6.064) -- (11.155,6.11) -- (10.985,6.064) -- (10.861,5.94) -- (10.815,5.77) -- (10.861,5.6) -- (10.985,5.476) -- (11.155,5.43) -- (11.325,5.476) -- (11.449,5.6) -- cycle;
\node at (11.155,5.77) {\scalebox{1.59}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.934,3.966) -- (6.888,4.136) -- (6.764,4.261) -- (6.594,4.306) -- (6.424,4.261) -- (6.3,4.136) -- (6.254,3.966) -- (6.3,3.796) -- (6.424,3.672) -- (6.594,3.626) -- (6.764,3.672) -- (6.888,3.796) -- cycle;
\node at (6.594,3.966) {\scalebox{1.59}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.027,4.496) -- (9.982,4.666) -- (9.857,4.79) -- (9.687,4.836) -- (9.517,4.79) -- (9.393,4.666) -- (9.347,4.496) -- (9.393,4.326) -- (9.517,4.201) -- (9.687,4.156) -- (9.857,4.201) -- (9.982,4.326) -- cycle;
\node at (9.687,4.496) {\scalebox{1.59}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.66,3.13) -- (8.614,3.3) -- (8.49,3.425) -- (8.32,3.47) -- (8.15,3.425) -- (8.025,3.3) -- (7.98,3.13) -- (8.025,2.96) -- (8.15,2.836) -- (8.32,2.79) -- (8.49,2.836) -- (8.614,2.96) -- cycle;
\node at (8.32,3.13) {\scalebox{1.59}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.894,3.221) -- (6.848,3.391) -- (6.724,3.515) -- (6.554,3.561) -- (6.384,3.515) -- (6.259,3.391) -- (6.214,3.221) -- (6.259,3.051) -- (6.384,2.926) -- (6.554,2.881) -- (6.724,2.926) -- (6.848,3.051) -- cycle;
\node at (6.554,3.221) {\scalebox{1.59}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.881,2.381) -- (3.835,2.551) -- (3.711,2.675) -- (3.541,2.721) -- (3.371,2.675) -- (3.247,2.551) -- (3.201,2.381) -- (3.247,2.211) -- (3.371,2.086) -- (3.541,2.041) -- (3.711,2.086) -- (3.835,2.211) -- cycle;
\node at (3.541,2.381) {\scalebox{1.59}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.954,2.88) -- (9.908,3.05) -- (9.784,3.174) -- (9.614,3.22) -- (9.444,3.174) -- (9.319,3.05) -- (9.274,2.88) -- (9.319,2.71) -- (9.444,2.585) -- (9.614,2.54) -- (9.784,2.585) -- (9.908,2.71) -- cycle;
\node at (9.614,2.88) {\scalebox{1.59}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.698,1.924) -- (4.652,2.094) -- (4.528,2.219) -- (4.358,2.264) -- (4.188,2.219) -- (4.064,2.094) -- (4.018,1.924) -- (4.064,1.754) -- (4.188,1.63) -- (4.358,1.584) -- (4.528,1.63) -- (4.652,1.754) -- cycle;
\node at (4.358,1.924) {\scalebox{1.59}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.726,4.184) -- (8.326,4.184) -- (8.326,4.784) -- (7.726,4.784) -- cycle;
\node at (8.026,4.484) {\scalebox{1.59}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.23,6.217) -- (8.83,6.217) -- (8.83,6.817) -- (8.23,6.817) -- cycle;
\node at (8.53,6.517) {\scalebox{1.59}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.462,8.937) -- (10.062,8.937) -- (10.062,9.537) -- (9.462,9.537) -- cycle;
\node at (9.762,9.237) {\scalebox{1.59}{\small c}};
\node at (7.653,9.021) {\scalebox{1.59}{\small A}};
\node at (11.107,7.724) {\scalebox{1.59}{\small B}};
\node at (8.644,4.428) {\scalebox{1.59}{\small C}};
\node at (4.497,4.27) {\scalebox{1.59}{\small D}};
\node at (11.927,4.079) {\scalebox{1.59}{\small E}};
\node at (7.843,1.249) {\scalebox{1.59}{\small F}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.59}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.61,7.452) -- (12.61,8.552);
\draw[line width=0.5pt] (12.379,8.167) -- (12.61,8.552) -- (12.841,8.167);
\draw[line width=0.5pt] (12.308,8.002) -- (12.913,8.002);
\node at (12.61,8.937) {\scalebox{1.59}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 2 & 4 & 4 & 4 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point des Vaches \textbf{(C)}, prend la \textbf{rue Neuve ②} vers le nord et atteint Rond-point du Stade \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ①}, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑤}, vers le sud, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Écoles ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Haute ③}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ⑥}, vers l'est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin Creux ⑦}, vers l'est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Basse ⑪}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑨}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ⑩}, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(G)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Jardins ⑫}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑧}, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
