\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 167}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=167}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0167}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7034, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.143,8.955) -- (10.999,8.97) -- (10.854,8.981) -- (10.71,8.989) -- (10.565,8.994) -- (10.42,8.995) -- (10.275,8.992) -- (10.13,8.987) -- (9.985,8.977) -- (9.841,8.965) -- (9.697,8.949) -- (9.553,8.93) -- (9.41,8.907) -- (9.268,8.881) -- (9.126,8.851);
\draw[line width=0.5pt] (11.143,8.955) -- (11.205,8.631) -- (11.259,8.305) -- (11.305,7.977) -- (11.344,7.649) -- (11.375,7.32) -- (11.398,6.99) -- (11.413,6.659) -- (11.421,6.328) -- (11.421,5.998) -- (11.413,5.667) -- (11.397,5.337) -- (11.374,5.007) -- (11.343,4.678) -- (11.303,4.35);
\draw[line width=0.5pt] (9.126,8.851) -- (8.856,8.817) -- (8.586,8.776) -- (8.318,8.729) -- (8.051,8.676) -- (7.785,8.616) -- (7.52,8.55) -- (7.258,8.478) -- (6.997,8.399) -- (6.737,8.315) -- (6.48,8.225) -- (6.225,8.128) -- (5.973,8.026) -- (5.723,7.917) -- (5.476,7.803) -- (5.178,7.778) -- (4.879,7.761) -- (4.579,7.75) -- (4.279,7.747) -- (3.98,7.751) -- (3.68,7.761) -- (3.381,7.779) -- (3.082,7.804) -- (2.784,7.835) -- (2.487,7.874) -- (2.191,7.92) -- (1.896,7.972) -- (1.602,8.032) -- (1.31,8.099);
\draw[line width=0.5pt] (9.126,8.851) -- (9.077,8.573) -- (9.021,8.296) -- (8.959,8.02) -- (8.89,7.746) -- (8.815,7.473) -- (8.733,7.202) -- (8.645,6.933) -- (8.551,6.666) -- (8.45,6.402) -- (8.343,6.14) -- (8.231,5.88) -- (8.112,5.624) -- (7.987,5.37) -- (7.856,5.119);
\draw[line width=0.5pt] (9.126,8.851) -- (9.231,8.508) -- (9.344,8.168) -- (9.465,7.83) -- (9.594,7.496) -- (9.732,7.164) -- (9.876,6.836) -- (10.029,6.511) -- (10.189,6.189) -- (10.357,5.872) -- (10.532,5.559) -- (10.714,5.25) -- (10.903,4.945) -- (11.1,4.645) -- (11.303,4.35);
\draw[line width=0.5pt] (1.31,8.099) -- (1.395,7.877) -- (1.474,7.653) -- (1.547,7.428) -- (1.616,7.2) -- (1.679,6.972) -- (1.737,6.741) -- (1.789,6.51) -- (1.836,6.277) -- (1.877,6.043) -- (1.913,5.809) -- (1.943,5.573) -- (1.968,5.337) -- (1.987,5.101) -- (2.001,4.864);
\draw[line width=0.5pt] (7.856,5.119) -- (7.633,5.134) -- (7.41,5.142) -- (7.187,5.146) -- (6.964,5.144) -- (6.74,5.137) -- (6.517,5.125) -- (6.295,5.107) -- (6.072,5.084) -- (5.851,5.057) -- (5.63,5.023) -- (5.41,4.985) -- (5.191,4.942) -- (4.973,4.893) -- (4.756,4.839);
\draw[line width=0.5pt] (7.856,5.119) -- (8.109,5.103) -- (8.361,5.08) -- (8.613,5.051) -- (8.864,5.016) -- (9.114,4.976) -- (9.363,4.929) -- (9.612,4.877) -- (9.858,4.819) -- (10.104,4.755) -- (10.347,4.685) -- (10.589,4.61) -- (10.83,4.529) -- (11.068,4.442) -- (11.303,4.35);
\draw[line width=0.5pt] (7.856,5.119) -- (7.848,4.895) -- (7.844,4.67) -- (7.846,4.446) -- (7.854,4.221) -- (7.866,3.996) -- (7.884,3.772) -- (7.907,3.548) -- (7.936,3.325) -- (7.969,3.103) -- (8.008,2.882) -- (8.052,2.661) -- (8.101,2.442) -- (8.156,2.224) -- (8.215,2.007);
\draw[line width=0.5pt] (2.001,4.864) -- (2.196,4.892) -- (2.393,4.916) -- (2.589,4.935) -- (2.786,4.95) -- (2.984,4.96) -- (3.182,4.965) -- (3.379,4.965) -- (3.577,4.961) -- (3.775,4.952) -- (3.972,4.939) -- (4.169,4.921) -- (4.365,4.898) -- (4.561,4.871) -- (4.756,4.839);
\draw[line width=0.5pt] (4.756,4.839) -- (4.97,4.601) -- (5.19,4.367) -- (5.415,4.139) -- (5.646,3.916) -- (5.882,3.699) -- (6.123,3.487) -- (6.369,3.28) -- (6.619,3.08) -- (6.875,2.886) -- (7.134,2.697) -- (7.398,2.515) -- (7.667,2.339) -- (7.939,2.17) -- (8.215,2.007);
\draw[line width=0.5pt] (4.756,4.839) -- (4.55,4.553) -- (4.337,4.272) -- (4.117,3.996) -- (3.89,3.726) -- (3.658,3.46) -- (3.419,3.201) -- (3.174,2.946) -- (2.923,2.698) -- (2.667,2.456) -- (2.405,2.219) -- (2.137,1.989) -- (1.864,1.766) -- (1.586,1.549) -- (1.303,1.338);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.303,8.955) -- (11.282,9.035) -- (11.223,9.094) -- (11.143,9.115) -- (11.063,9.094) -- (11.004,9.035) -- (10.983,8.955) -- (11.004,8.875) -- (11.063,8.817) -- (11.143,8.795) -- (11.223,8.817) -- (11.282,8.875) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.286,8.851) -- (9.264,8.931) -- (9.206,8.99) -- (9.126,9.011) -- (9.046,8.99) -- (8.987,8.931) -- (8.966,8.851) -- (8.987,8.771) -- (9.046,8.713) -- (9.126,8.691) -- (9.206,8.713) -- (9.264,8.771) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.47,8.099) -- (1.449,8.179) -- (1.39,8.237) -- (1.31,8.259) -- (1.23,8.237) -- (1.172,8.179) -- (1.15,8.099) -- (1.172,8.019) -- (1.23,7.96) -- (1.31,7.939) -- (1.39,7.96) -- (1.449,8.019) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.016,5.119) -- (7.995,5.199) -- (7.936,5.258) -- (7.856,5.279) -- (7.776,5.258) -- (7.718,5.199) -- (7.696,5.119) -- (7.718,5.039) -- (7.776,4.981) -- (7.856,4.959) -- (7.936,4.981) -- (7.995,5.039) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.161,4.864) -- (2.139,4.944) -- (2.081,5.003) -- (2.001,5.024) -- (1.921,5.003) -- (1.862,4.944) -- (1.841,4.864) -- (1.862,4.784) -- (1.921,4.725) -- (2.001,4.704) -- (2.081,4.725) -- (2.139,4.784) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.916,4.839) -- (4.895,4.919) -- (4.836,4.978) -- (4.756,4.999) -- (4.676,4.978) -- (4.617,4.919) -- (4.596,4.839) -- (4.617,4.759) -- (4.676,4.701) -- (4.756,4.679) -- (4.836,4.701) -- (4.895,4.759) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.463,4.35) -- (11.442,4.43) -- (11.383,4.488) -- (11.303,4.51) -- (11.223,4.488) -- (11.165,4.43) -- (11.143,4.35) -- (11.165,4.27) -- (11.223,4.211) -- (11.303,4.19) -- (11.383,4.211) -- (11.442,4.27) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.375,2.007) -- (8.354,2.087) -- (8.295,2.146) -- (8.215,2.167) -- (8.135,2.146) -- (8.076,2.087) -- (8.055,2.007) -- (8.076,1.927) -- (8.135,1.868) -- (8.215,1.847) -- (8.295,1.868) -- (8.354,1.927) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.463,1.338) -- (1.442,1.418) -- (1.383,1.477) -- (1.303,1.498) -- (1.223,1.477) -- (1.165,1.418) -- (1.143,1.338) -- (1.165,1.258) -- (1.223,1.2) -- (1.303,1.178) -- (1.383,1.2) -- (1.442,1.258) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.487,8.667) -- (10.441,8.837) -- (10.317,8.961) -- (10.147,9.007) -- (9.977,8.961) -- (9.852,8.837) -- (9.807,8.667) -- (9.852,8.497) -- (9.977,8.372) -- (10.147,8.327) -- (10.317,8.372) -- (10.441,8.497) -- cycle;
\node at (10.147,8.667) {\scalebox{1.422}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.073,6.67) -- (12.027,6.84) -- (11.903,6.965) -- (11.733,7.01) -- (11.563,6.965) -- (11.439,6.84) -- (11.393,6.67) -- (11.439,6.5) -- (11.563,6.376) -- (11.733,6.33) -- (11.903,6.376) -- (12.027,6.5) -- cycle;
\node at (11.733,6.67) {\scalebox{1.422}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.895,7.493) -- (5.849,7.663) -- (5.725,7.787) -- (5.555,7.833) -- (5.385,7.787) -- (5.26,7.663) -- (5.215,7.493) -- (5.26,7.323) -- (5.385,7.199) -- (5.555,7.153) -- (5.725,7.199) -- (5.849,7.323) -- cycle;
\node at (5.555,7.493) {\scalebox{1.422}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.288,6.83) -- (9.242,7.0) -- (9.118,7.124) -- (8.948,7.17) -- (8.778,7.124) -- (8.653,7.0) -- (8.608,6.83) -- (8.653,6.66) -- (8.778,6.535) -- (8.948,6.49) -- (9.118,6.535) -- (9.242,6.66) -- cycle;
\node at (8.948,6.83) {\scalebox{1.422}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.657,6.65) -- (10.611,6.82) -- (10.487,6.945) -- (10.317,6.99) -- (10.147,6.945) -- (10.023,6.82) -- (9.977,6.65) -- (10.023,6.48) -- (10.147,6.356) -- (10.317,6.31) -- (10.487,6.356) -- (10.611,6.48) -- cycle;
\node at (10.317,6.65) {\scalebox{1.422}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.442,6.577) -- (2.396,6.747) -- (2.272,6.871) -- (2.102,6.917) -- (1.932,6.871) -- (1.807,6.747) -- (1.762,6.577) -- (1.807,6.407) -- (1.932,6.282) -- (2.102,6.237) -- (2.272,6.282) -- (2.396,6.407) -- cycle;
\node at (2.102,6.577) {\scalebox{1.422}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.663,4.789) -- (6.618,4.959) -- (6.493,5.083) -- (6.323,5.129) -- (6.153,5.083) -- (6.029,4.959) -- (5.983,4.789) -- (6.029,4.619) -- (6.153,4.494) -- (6.323,4.449) -- (6.493,4.494) -- (6.618,4.619) -- cycle;
\node at (6.323,4.789) {\scalebox{1.422}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.021,5.189) -- (9.976,5.359) -- (9.851,5.484) -- (9.681,5.529) -- (9.511,5.484) -- (9.387,5.359) -- (9.341,5.189) -- (9.387,5.019) -- (9.511,4.895) -- (9.681,4.849) -- (9.851,4.895) -- (9.976,5.019) -- cycle;
\node at (9.681,5.189) {\scalebox{1.422}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.565,3.585) -- (8.52,3.755) -- (8.395,3.88) -- (8.225,3.925) -- (8.055,3.88) -- (7.931,3.755) -- (7.885,3.585) -- (7.931,3.415) -- (8.055,3.291) -- (8.225,3.245) -- (8.395,3.291) -- (8.52,3.415) -- cycle;
\node at (8.225,3.585) {\scalebox{1.422}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.722,5.285) -- (3.677,5.455) -- (3.552,5.58) -- (3.382,5.625) -- (3.212,5.58) -- (3.088,5.455) -- (3.042,5.285) -- (3.088,5.115) -- (3.212,4.991) -- (3.382,4.945) -- (3.552,4.991) -- (3.677,5.115) -- cycle;
\node at (3.382,5.285) {\scalebox{1.422}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.911,3.528) -- (6.866,3.698) -- (6.741,3.822) -- (6.571,3.868) -- (6.401,3.822) -- (6.277,3.698) -- (6.231,3.528) -- (6.277,3.358) -- (6.401,3.234) -- (6.571,3.188) -- (6.741,3.234) -- (6.866,3.358) -- cycle;
\node at (6.571,3.528) {\scalebox{1.422}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.742,2.722) -- (3.696,2.892) -- (3.572,3.016) -- (3.402,3.062) -- (3.232,3.016) -- (3.108,2.892) -- (3.062,2.722) -- (3.108,2.552) -- (3.232,2.427) -- (3.402,2.382) -- (3.572,2.427) -- (3.696,2.552) -- cycle;
\node at (3.402,2.722) {\scalebox{1.422}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.826,8.551) -- (9.426,8.551) -- (9.426,9.151) -- (8.826,9.151) -- cycle;
\node at (9.126,8.851) {\scalebox{1.422}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.662,2.334) -- (7.262,2.334) -- (7.262,2.934) -- (6.662,2.934) -- cycle;
\node at (6.962,2.634) {\scalebox{1.422}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.986,5.265) -- (2.586,5.265) -- (2.586,5.865) -- (1.986,5.865) -- cycle;
\node at (2.286,5.565) {\scalebox{1.422}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.224,6.45) -- (10.824,6.45) -- (10.824,7.05) -- (10.224,7.05) -- cycle;
\node at (10.524,6.75) {\scalebox{1.422}{\small d}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (8.866,6.456) -- (9.466,6.456) -- (9.466,7.056) -- (8.866,7.056) -- cycle;
\node at (9.166,6.756) {\scalebox{1.422}{\small e}};
\node at (11.641,9.325) {\scalebox{1.422}{\small A}};
\node at (9.514,9.334) {\scalebox{1.422}{\small B}};
\node at (0.765,8.394) {\scalebox{1.422}{\small C}};
\node at (8.467,5.015) {\scalebox{1.422}{\small D}};
\node at (1.385,4.791) {\scalebox{1.422}{\small E}};
\node at (4.169,4.638) {\scalebox{1.422}{\small F}};
\node at (11.911,4.224) {\scalebox{1.422}{\small G}};
\node at (8.517,1.465) {\scalebox{1.422}{\small H}};
\node at (0.82,0.95) {\scalebox{1.422}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.603,8.005) -- (12.603,9.105);
\draw[line width=0.5pt] (12.372,8.72) -- (12.603,9.105) -- (12.834,8.72);
\draw[line width=0.5pt] (12.301,8.555) -- (12.906,8.555);
\node at (12.603,9.49) {\scalebox{1.422}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Stade & ⑦ sentier des Prés & Ⓐ Place de la Fontaine & \textbf{a} la poste \\ \hline
② allée des Tilleuls & ⑧ rue de la Mairie & Ⓑ Carrefour des Tilleuls & \textbf{b} la boulangerie \\ \hline
③ chemin des Vignes & ⑨ rue des Jardins & Ⓒ Place de l'Église & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ rue Basse & ⑩ rue du Puits & Ⓓ Rond-point de la Gare & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ rue du Pont & ⑪ rue de la Poste & Ⓔ Fontaine Notre-Dame & \textbf{e} l'école \\ \hline
⑥ allée des Peupliers & ⑫ impasse du Vieux-Four & Ⓕ Carrefour du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour des Quatre-Chemins &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6294, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.143,8.955) -- (10.999,8.97) -- (10.854,8.981) -- (10.71,8.989) -- (10.565,8.994) -- (10.42,8.995) -- (10.275,8.992) -- (10.13,8.987) -- (9.985,8.977) -- (9.841,8.965) -- (9.697,8.949) -- (9.553,8.93) -- (9.41,8.907) -- (9.268,8.881) -- (9.126,8.851);
\draw[line width=0.5pt] (11.143,8.955) -- (11.205,8.631) -- (11.259,8.305) -- (11.305,7.977) -- (11.344,7.649) -- (11.375,7.32) -- (11.398,6.99) -- (11.413,6.659) -- (11.421,6.328) -- (11.421,5.998) -- (11.413,5.667) -- (11.397,5.337) -- (11.374,5.007) -- (11.343,4.678) -- (11.303,4.35);
\draw[line width=0.5pt] (9.126,8.851) -- (8.856,8.817) -- (8.586,8.776) -- (8.318,8.729) -- (8.051,8.676) -- (7.785,8.616) -- (7.52,8.55) -- (7.258,8.478) -- (6.997,8.399) -- (6.737,8.315) -- (6.48,8.225) -- (6.225,8.128) -- (5.973,8.026) -- (5.723,7.917) -- (5.476,7.803) -- (5.178,7.778) -- (4.879,7.761) -- (4.579,7.75) -- (4.279,7.747) -- (3.98,7.751) -- (3.68,7.761) -- (3.381,7.779) -- (3.082,7.804) -- (2.784,7.835) -- (2.487,7.874) -- (2.191,7.92) -- (1.896,7.972) -- (1.602,8.032) -- (1.31,8.099);
\draw[line width=0.5pt] (9.126,8.851) -- (9.077,8.573) -- (9.021,8.296) -- (8.959,8.02) -- (8.89,7.746) -- (8.815,7.473) -- (8.733,7.202) -- (8.645,6.933) -- (8.551,6.666) -- (8.45,6.402) -- (8.343,6.14) -- (8.231,5.88) -- (8.112,5.624) -- (7.987,5.37) -- (7.856,5.119);
\draw[line width=0.5pt] (9.126,8.851) -- (9.231,8.508) -- (9.344,8.168) -- (9.465,7.83) -- (9.594,7.496) -- (9.732,7.164) -- (9.876,6.836) -- (10.029,6.511) -- (10.189,6.189) -- (10.357,5.872) -- (10.532,5.559) -- (10.714,5.25) -- (10.903,4.945) -- (11.1,4.645) -- (11.303,4.35);
\draw[line width=0.5pt] (1.31,8.099) -- (1.395,7.877) -- (1.474,7.653) -- (1.547,7.428) -- (1.616,7.2) -- (1.679,6.972) -- (1.737,6.741) -- (1.789,6.51) -- (1.836,6.277) -- (1.877,6.043) -- (1.913,5.809) -- (1.943,5.573) -- (1.968,5.337) -- (1.987,5.101) -- (2.001,4.864);
\draw[line width=0.5pt] (7.856,5.119) -- (7.633,5.134) -- (7.41,5.142) -- (7.187,5.146) -- (6.964,5.144) -- (6.74,5.137) -- (6.517,5.125) -- (6.295,5.107) -- (6.072,5.084) -- (5.851,5.057) -- (5.63,5.023) -- (5.41,4.985) -- (5.191,4.942) -- (4.973,4.893) -- (4.756,4.839);
\draw[line width=0.5pt] (7.856,5.119) -- (8.109,5.103) -- (8.361,5.08) -- (8.613,5.051) -- (8.864,5.016) -- (9.114,4.976) -- (9.363,4.929) -- (9.612,4.877) -- (9.858,4.819) -- (10.104,4.755) -- (10.347,4.685) -- (10.589,4.61) -- (10.83,4.529) -- (11.068,4.442) -- (11.303,4.35);
\draw[line width=0.5pt] (7.856,5.119) -- (7.848,4.895) -- (7.844,4.67) -- (7.846,4.446) -- (7.854,4.221) -- (7.866,3.996) -- (7.884,3.772) -- (7.907,3.548) -- (7.936,3.325) -- (7.969,3.103) -- (8.008,2.882) -- (8.052,2.661) -- (8.101,2.442) -- (8.156,2.224) -- (8.215,2.007);
\draw[line width=0.5pt] (2.001,4.864) -- (2.196,4.892) -- (2.393,4.916) -- (2.589,4.935) -- (2.786,4.95) -- (2.984,4.96) -- (3.182,4.965) -- (3.379,4.965) -- (3.577,4.961) -- (3.775,4.952) -- (3.972,4.939) -- (4.169,4.921) -- (4.365,4.898) -- (4.561,4.871) -- (4.756,4.839);
\draw[line width=0.5pt] (4.756,4.839) -- (4.97,4.601) -- (5.19,4.367) -- (5.415,4.139) -- (5.646,3.916) -- (5.882,3.699) -- (6.123,3.487) -- (6.369,3.28) -- (6.619,3.08) -- (6.875,2.886) -- (7.134,2.697) -- (7.398,2.515) -- (7.667,2.339) -- (7.939,2.17) -- (8.215,2.007);
\draw[line width=0.5pt] (4.756,4.839) -- (4.55,4.553) -- (4.337,4.272) -- (4.117,3.996) -- (3.89,3.726) -- (3.658,3.46) -- (3.419,3.201) -- (3.174,2.946) -- (2.923,2.698) -- (2.667,2.456) -- (2.405,2.219) -- (2.137,1.989) -- (1.864,1.766) -- (1.586,1.549) -- (1.303,1.338);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.303,8.955) -- (11.282,9.035) -- (11.223,9.094) -- (11.143,9.115) -- (11.063,9.094) -- (11.004,9.035) -- (10.983,8.955) -- (11.004,8.875) -- (11.063,8.817) -- (11.143,8.795) -- (11.223,8.817) -- (11.282,8.875) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.286,8.851) -- (9.264,8.931) -- (9.206,8.99) -- (9.126,9.011) -- (9.046,8.99) -- (8.987,8.931) -- (8.966,8.851) -- (8.987,8.771) -- (9.046,8.713) -- (9.126,8.691) -- (9.206,8.713) -- (9.264,8.771) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.47,8.099) -- (1.449,8.179) -- (1.39,8.237) -- (1.31,8.259) -- (1.23,8.237) -- (1.172,8.179) -- (1.15,8.099) -- (1.172,8.019) -- (1.23,7.96) -- (1.31,7.939) -- (1.39,7.96) -- (1.449,8.019) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.016,5.119) -- (7.995,5.199) -- (7.936,5.258) -- (7.856,5.279) -- (7.776,5.258) -- (7.718,5.199) -- (7.696,5.119) -- (7.718,5.039) -- (7.776,4.981) -- (7.856,4.959) -- (7.936,4.981) -- (7.995,5.039) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.161,4.864) -- (2.139,4.944) -- (2.081,5.003) -- (2.001,5.024) -- (1.921,5.003) -- (1.862,4.944) -- (1.841,4.864) -- (1.862,4.784) -- (1.921,4.725) -- (2.001,4.704) -- (2.081,4.725) -- (2.139,4.784) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.916,4.839) -- (4.895,4.919) -- (4.836,4.978) -- (4.756,4.999) -- (4.676,4.978) -- (4.617,4.919) -- (4.596,4.839) -- (4.617,4.759) -- (4.676,4.701) -- (4.756,4.679) -- (4.836,4.701) -- (4.895,4.759) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.463,4.35) -- (11.442,4.43) -- (11.383,4.488) -- (11.303,4.51) -- (11.223,4.488) -- (11.165,4.43) -- (11.143,4.35) -- (11.165,4.27) -- (11.223,4.211) -- (11.303,4.19) -- (11.383,4.211) -- (11.442,4.27) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.375,2.007) -- (8.354,2.087) -- (8.295,2.146) -- (8.215,2.167) -- (8.135,2.146) -- (8.076,2.087) -- (8.055,2.007) -- (8.076,1.927) -- (8.135,1.868) -- (8.215,1.847) -- (8.295,1.868) -- (8.354,1.927) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.463,1.338) -- (1.442,1.418) -- (1.383,1.477) -- (1.303,1.498) -- (1.223,1.477) -- (1.165,1.418) -- (1.143,1.338) -- (1.165,1.258) -- (1.223,1.2) -- (1.303,1.178) -- (1.383,1.2) -- (1.442,1.258) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.487,8.667) -- (10.441,8.837) -- (10.317,8.961) -- (10.147,9.007) -- (9.977,8.961) -- (9.852,8.837) -- (9.807,8.667) -- (9.852,8.497) -- (9.977,8.372) -- (10.147,8.327) -- (10.317,8.372) -- (10.441,8.497) -- cycle;
\node at (10.147,8.667) {\scalebox{1.589}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (12.073,6.67) -- (12.027,6.84) -- (11.903,6.965) -- (11.733,7.01) -- (11.563,6.965) -- (11.439,6.84) -- (11.393,6.67) -- (11.439,6.5) -- (11.563,6.376) -- (11.733,6.33) -- (11.903,6.376) -- (12.027,6.5) -- cycle;
\node at (11.733,6.67) {\scalebox{1.589}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.895,7.493) -- (5.849,7.663) -- (5.725,7.787) -- (5.555,7.833) -- (5.385,7.787) -- (5.26,7.663) -- (5.215,7.493) -- (5.26,7.323) -- (5.385,7.199) -- (5.555,7.153) -- (5.725,7.199) -- (5.849,7.323) -- cycle;
\node at (5.555,7.493) {\scalebox{1.589}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.288,6.83) -- (9.242,7.0) -- (9.118,7.124) -- (8.948,7.17) -- (8.778,7.124) -- (8.653,7.0) -- (8.608,6.83) -- (8.653,6.66) -- (8.778,6.535) -- (8.948,6.49) -- (9.118,6.535) -- (9.242,6.66) -- cycle;
\node at (8.948,6.83) {\scalebox{1.589}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.657,6.65) -- (10.611,6.82) -- (10.487,6.945) -- (10.317,6.99) -- (10.147,6.945) -- (10.023,6.82) -- (9.977,6.65) -- (10.023,6.48) -- (10.147,6.356) -- (10.317,6.31) -- (10.487,6.356) -- (10.611,6.48) -- cycle;
\node at (10.317,6.65) {\scalebox{1.589}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.442,6.577) -- (2.396,6.747) -- (2.272,6.871) -- (2.102,6.917) -- (1.932,6.871) -- (1.807,6.747) -- (1.762,6.577) -- (1.807,6.407) -- (1.932,6.282) -- (2.102,6.237) -- (2.272,6.282) -- (2.396,6.407) -- cycle;
\node at (2.102,6.577) {\scalebox{1.589}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.663,4.789) -- (6.618,4.959) -- (6.493,5.083) -- (6.323,5.129) -- (6.153,5.083) -- (6.029,4.959) -- (5.983,4.789) -- (6.029,4.619) -- (6.153,4.494) -- (6.323,4.449) -- (6.493,4.494) -- (6.618,4.619) -- cycle;
\node at (6.323,4.789) {\scalebox{1.589}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.021,5.189) -- (9.976,5.359) -- (9.851,5.484) -- (9.681,5.529) -- (9.511,5.484) -- (9.387,5.359) -- (9.341,5.189) -- (9.387,5.019) -- (9.511,4.895) -- (9.681,4.849) -- (9.851,4.895) -- (9.976,5.019) -- cycle;
\node at (9.681,5.189) {\scalebox{1.589}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.565,3.585) -- (8.52,3.755) -- (8.395,3.88) -- (8.225,3.925) -- (8.055,3.88) -- (7.931,3.755) -- (7.885,3.585) -- (7.931,3.415) -- (8.055,3.291) -- (8.225,3.245) -- (8.395,3.291) -- (8.52,3.415) -- cycle;
\node at (8.225,3.585) {\scalebox{1.589}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.722,5.285) -- (3.677,5.455) -- (3.552,5.58) -- (3.382,5.625) -- (3.212,5.58) -- (3.088,5.455) -- (3.042,5.285) -- (3.088,5.115) -- (3.212,4.991) -- (3.382,4.945) -- (3.552,4.991) -- (3.677,5.115) -- cycle;
\node at (3.382,5.285) {\scalebox{1.589}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.911,3.528) -- (6.866,3.698) -- (6.741,3.822) -- (6.571,3.868) -- (6.401,3.822) -- (6.277,3.698) -- (6.231,3.528) -- (6.277,3.358) -- (6.401,3.234) -- (6.571,3.188) -- (6.741,3.234) -- (6.866,3.358) -- cycle;
\node at (6.571,3.528) {\scalebox{1.589}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.742,2.722) -- (3.696,2.892) -- (3.572,3.016) -- (3.402,3.062) -- (3.232,3.016) -- (3.108,2.892) -- (3.062,2.722) -- (3.108,2.552) -- (3.232,2.427) -- (3.402,2.382) -- (3.572,2.427) -- (3.696,2.552) -- cycle;
\node at (3.402,2.722) {\scalebox{1.589}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (8.826,8.551) -- (9.426,8.551) -- (9.426,9.151) -- (8.826,9.151) -- cycle;
\node at (9.126,8.851) {\scalebox{1.589}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.662,2.334) -- (7.262,2.334) -- (7.262,2.934) -- (6.662,2.934) -- cycle;
\node at (6.962,2.634) {\scalebox{1.589}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.986,5.265) -- (2.586,5.265) -- (2.586,5.865) -- (1.986,5.865) -- cycle;
\node at (2.286,5.565) {\scalebox{1.589}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (10.224,6.45) -- (10.824,6.45) -- (10.824,7.05) -- (10.224,7.05) -- cycle;
\node at (10.524,6.75) {\scalebox{1.589}{\small d}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (8.866,6.456) -- (9.466,6.456) -- (9.466,7.056) -- (8.866,7.056) -- cycle;
\node at (9.166,6.756) {\scalebox{1.589}{\small e}};
\node at (11.641,9.325) {\scalebox{1.589}{\small A}};
\node at (9.514,9.334) {\scalebox{1.589}{\small B}};
\node at (0.765,8.394) {\scalebox{1.589}{\small C}};
\node at (8.467,5.015) {\scalebox{1.589}{\small D}};
\node at (1.385,4.791) {\scalebox{1.589}{\small E}};
\node at (4.169,4.638) {\scalebox{1.589}{\small F}};
\node at (11.911,4.224) {\scalebox{1.589}{\small G}};
\node at (8.517,1.465) {\scalebox{1.589}{\small H}};
\node at (0.82,0.95) {\scalebox{1.589}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.603,8.005) -- (12.603,9.105);
\draw[line width=0.5pt] (12.372,8.72) -- (12.603,9.105) -- (12.834,8.72);
\draw[line width=0.5pt] (12.301,8.555) -- (12.906,8.555);
\node at (12.603,9.49) {\scalebox{1.589}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{G}, \textbf{I} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{G} et \textbf{I} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{B}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{G} à \textbf{I}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de G :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(G)}, prend l'\textbf{allée des Tilleuls ②} vers le nord et atteint Place de la Fontaine \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Stade ①}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(B)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin des Vignes ③}, vers l'ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Peupliers ⑥}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑩}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{sentier des Prés ⑦}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ④}, vers le nord, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Pont ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑨}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑪}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse du Vieux-Four ⑫}, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(I)}.
\end{enumerate}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
