\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 169}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=169}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0169}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7293, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.808,8.317) -- (1.973,8.242) -- (2.139,8.172) -- (2.307,8.105) -- (2.477,8.042) -- (2.648,7.983) -- (2.821,7.928) -- (2.994,7.878) -- (3.169,7.831) -- (3.345,7.788) -- (3.522,7.75) -- (3.699,7.716) -- (3.878,7.686) -- (4.057,7.66) -- (4.236,7.639);
\draw[line width=0.5pt] (1.808,8.317) -- (2.041,8.123) -- (2.269,7.924) -- (2.492,7.719) -- (2.71,7.509) -- (2.924,7.294) -- (3.132,7.074) -- (3.335,6.849) -- (3.533,6.62) -- (3.725,6.386) -- (3.912,6.147) -- (4.093,5.904) -- (4.268,5.657) -- (4.437,5.406) -- (4.6,5.152);
\draw[line width=0.5pt] (1.808,8.317) -- (1.705,8.113) -- (1.607,7.906) -- (1.514,7.697) -- (1.426,7.486) -- (1.342,7.272) -- (1.264,7.057) -- (1.19,6.84) -- (1.122,6.622) -- (1.059,6.401) -- (1.001,6.18) -- (0.949,5.957) -- (0.902,5.733) -- (0.86,5.508) -- (0.823,5.282) -- (0.895,5.021) -- (0.961,4.759) -- (1.021,4.495) -- (1.075,4.23) -- (1.122,3.963) -- (1.163,3.695) -- (1.198,3.427) -- (1.227,3.157) -- (1.249,2.887) -- (1.265,2.617) -- (1.274,2.346) -- (1.277,2.076) -- (1.274,1.805) -- (1.264,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (7.409,8.168) -- (7.19,8.095) -- (6.969,8.028) -- (6.747,7.967) -- (6.523,7.91) -- (6.298,7.859) -- (6.072,7.813) -- (5.844,7.772) -- (5.616,7.737) -- (5.387,7.707) -- (5.158,7.682) -- (4.928,7.663) -- (4.697,7.65) -- (4.467,7.641) -- (4.236,7.639);
\draw[line width=0.5pt] (7.409,8.168) -- (7.62,7.933) -- (7.837,7.702) -- (8.06,7.478) -- (8.287,7.258) -- (8.52,7.044) -- (8.758,6.835) -- (9.001,6.632) -- (9.248,6.434) -- (9.5,6.243) -- (9.757,6.057) -- (10.017,5.878) -- (10.282,5.705) -- (10.55,5.538) -- (10.823,5.377);
\draw[line width=0.5pt] (7.409,8.168) -- (7.243,7.923) -- (7.071,7.683) -- (6.893,7.446) -- (6.71,7.214) -- (6.522,6.986) -- (6.328,6.763) -- (6.129,6.544) -- (5.925,6.33) -- (5.716,6.12) -- (5.502,5.916) -- (5.283,5.717) -- (5.06,5.523) -- (4.832,5.335) -- (4.6,5.152);
\draw[line width=0.5pt] (4.236,7.639) -- (4.235,7.458) -- (4.238,7.278) -- (4.245,7.098) -- (4.256,6.918) -- (4.272,6.738) -- (4.292,6.559) -- (4.316,6.38) -- (4.344,6.202) -- (4.376,6.024) -- (4.413,5.848) -- (4.453,5.672) -- (4.498,5.497) -- (4.547,5.324) -- (4.6,5.152);
\draw[line width=0.5pt] (10.823,5.377) -- (10.629,5.305) -- (10.433,5.238) -- (10.236,5.175) -- (10.037,5.116) -- (9.837,5.063) -- (9.636,5.014) -- (9.434,4.97) -- (9.23,4.93) -- (9.026,4.896) -- (8.821,4.866) -- (8.616,4.841) -- (8.41,4.821) -- (8.203,4.806) -- (7.997,4.795) -- (7.76,4.858) -- (7.522,4.915) -- (7.282,4.966) -- (7.041,5.011) -- (6.799,5.051) -- (6.557,5.085) -- (6.313,5.114) -- (6.069,5.136) -- (5.824,5.153) -- (5.58,5.165) -- (5.335,5.17) -- (5.09,5.17) -- (4.845,5.164) -- (4.6,5.152);
\draw[line width=0.5pt] (4.6,5.152) -- (4.742,4.915) -- (4.889,4.682) -- (5.042,4.452) -- (5.2,4.226) -- (5.363,4.004) -- (5.532,3.785) -- (5.705,3.571) -- (5.884,3.36) -- (6.068,3.154) -- (6.256,2.953) -- (6.449,2.755) -- (6.646,2.563) -- (6.848,2.375) -- (7.055,2.192);
\draw[line width=0.5pt] (4.6,5.152) -- (4.403,4.859) -- (4.2,4.571) -- (3.989,4.287) -- (3.772,4.009) -- (3.548,3.736) -- (3.318,3.468) -- (3.081,3.206) -- (2.839,2.949) -- (2.591,2.698) -- (2.336,2.453) -- (2.076,2.214) -- (1.811,1.981) -- (1.54,1.754) -- (1.264,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (7.055,2.192) -- (7.269,2.098) -- (7.486,2.009) -- (7.705,1.925) -- (7.926,1.846) -- (8.148,1.772) -- (8.373,1.704) -- (8.598,1.641) -- (8.826,1.583) -- (9.054,1.531) -- (9.284,1.483) -- (9.515,1.442) -- (9.747,1.406) -- (9.979,1.375) -- (10.212,1.35);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.968,8.317) -- (1.947,8.397) -- (1.888,8.456) -- (1.808,8.477) -- (1.728,8.456) -- (1.67,8.397) -- (1.648,8.317) -- (1.67,8.237) -- (1.728,8.178) -- (1.808,8.157) -- (1.888,8.178) -- (1.947,8.237) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.569,8.168) -- (7.547,8.248) -- (7.489,8.306) -- (7.409,8.328) -- (7.329,8.306) -- (7.27,8.248) -- (7.249,8.168) -- (7.27,8.088) -- (7.329,8.029) -- (7.409,8.008) -- (7.489,8.029) -- (7.547,8.088) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.396,7.639) -- (4.375,7.719) -- (4.316,7.777) -- (4.236,7.799) -- (4.156,7.777) -- (4.098,7.719) -- (4.076,7.639) -- (4.098,7.559) -- (4.156,7.5) -- (4.236,7.479) -- (4.316,7.5) -- (4.375,7.559) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.983,5.377) -- (10.962,5.457) -- (10.903,5.516) -- (10.823,5.537) -- (10.743,5.516) -- (10.684,5.457) -- (10.663,5.377) -- (10.684,5.297) -- (10.743,5.239) -- (10.823,5.217) -- (10.903,5.239) -- (10.962,5.297) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.76,5.152) -- (4.739,5.232) -- (4.68,5.29) -- (4.6,5.312) -- (4.52,5.29) -- (4.462,5.232) -- (4.44,5.152) -- (4.462,5.072) -- (4.52,5.013) -- (4.6,4.992) -- (4.68,5.013) -- (4.739,5.072) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.215,2.192) -- (7.193,2.272) -- (7.135,2.331) -- (7.055,2.352) -- (6.975,2.331) -- (6.916,2.272) -- (6.895,2.192) -- (6.916,2.112) -- (6.975,2.054) -- (7.055,2.032) -- (7.135,2.054) -- (7.193,2.112) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.424,1.535) -- (1.403,1.615) -- (1.344,1.673) -- (1.264,1.695) -- (1.184,1.673) -- (1.126,1.615) -- (1.104,1.535) -- (1.126,1.455) -- (1.184,1.396) -- (1.264,1.375) -- (1.344,1.396) -- (1.403,1.455) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.372,1.35) -- (10.35,1.43) -- (10.292,1.488) -- (10.212,1.51) -- (10.132,1.488) -- (10.073,1.43) -- (10.052,1.35) -- (10.073,1.27) -- (10.132,1.211) -- (10.212,1.19) -- (10.292,1.211) -- (10.35,1.27) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.42,8.186) -- (3.375,8.356) -- (3.25,8.48) -- (3.08,8.526) -- (2.91,8.48) -- (2.786,8.356) -- (2.74,8.186) -- (2.786,8.016) -- (2.91,7.891) -- (3.08,7.846) -- (3.25,7.891) -- (3.375,8.016) -- cycle;
\node at (3.08,8.186) {\scalebox{1.371}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.915,7.061) -- (3.869,7.231) -- (3.745,7.356) -- (3.575,7.401) -- (3.405,7.356) -- (3.28,7.231) -- (3.235,7.061) -- (3.28,6.891) -- (3.405,6.767) -- (3.575,6.721) -- (3.745,6.767) -- (3.869,6.891) -- cycle;
\node at (3.575,7.061) {\scalebox{1.371}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.482,5.305) -- (1.437,5.475) -- (1.312,5.6) -- (1.142,5.645) -- (0.972,5.6) -- (0.848,5.475) -- (0.802,5.305) -- (0.848,5.135) -- (0.972,5.011) -- (1.142,4.965) -- (1.312,5.011) -- (1.437,5.135) -- cycle;
\node at (1.142,5.305) {\scalebox{1.371}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.237,7.457) -- (6.191,7.627) -- (6.067,7.751) -- (5.897,7.797) -- (5.727,7.751) -- (5.602,7.627) -- (5.557,7.457) -- (5.602,7.287) -- (5.727,7.162) -- (5.897,7.117) -- (6.067,7.162) -- (6.191,7.287) -- cycle;
\node at (5.897,7.457) {\scalebox{1.371}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.543,6.879) -- (9.498,7.049) -- (9.373,7.174) -- (9.203,7.219) -- (9.033,7.174) -- (8.909,7.049) -- (8.863,6.879) -- (8.909,6.709) -- (9.033,6.585) -- (9.203,6.539) -- (9.373,6.585) -- (9.498,6.709) -- cycle;
\node at (9.203,6.879) {\scalebox{1.371}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.703,6.326) -- (6.658,6.496) -- (6.533,6.62) -- (6.363,6.666) -- (6.193,6.62) -- (6.069,6.496) -- (6.023,6.326) -- (6.069,6.156) -- (6.193,6.031) -- (6.363,5.986) -- (6.533,6.031) -- (6.658,6.156) -- cycle;
\node at (6.363,6.326) {\scalebox{1.371}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.972,6.426) -- (4.927,6.596) -- (4.802,6.721) -- (4.632,6.766) -- (4.462,6.721) -- (4.338,6.596) -- (4.292,6.426) -- (4.338,6.256) -- (4.462,6.132) -- (4.632,6.086) -- (4.802,6.132) -- (4.927,6.256) -- cycle;
\node at (4.632,6.426) {\scalebox{1.371}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.299,4.478) -- (8.254,4.648) -- (8.129,4.772) -- (7.959,4.818) -- (7.789,4.772) -- (7.665,4.648) -- (7.619,4.478) -- (7.665,4.308) -- (7.789,4.183) -- (7.959,4.138) -- (8.129,4.183) -- (8.254,4.308) -- cycle;
\node at (7.959,4.478) {\scalebox{1.371}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.292,3.775) -- (6.246,3.945) -- (6.122,4.069) -- (5.952,4.115) -- (5.782,4.069) -- (5.657,3.945) -- (5.612,3.775) -- (5.657,3.605) -- (5.782,3.481) -- (5.952,3.435) -- (6.122,3.481) -- (6.246,3.605) -- cycle;
\node at (5.952,3.775) {\scalebox{1.371}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.657,2.989) -- (3.611,3.159) -- (3.487,3.283) -- (3.317,3.329) -- (3.147,3.283) -- (3.022,3.159) -- (2.977,2.989) -- (3.022,2.819) -- (3.147,2.694) -- (3.317,2.649) -- (3.487,2.694) -- (3.611,2.819) -- cycle;
\node at (3.317,2.989) {\scalebox{1.371}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.021,1.95) -- (8.975,2.12) -- (8.851,2.244) -- (8.681,2.29) -- (8.511,2.244) -- (8.387,2.12) -- (8.341,1.95) -- (8.387,1.78) -- (8.511,1.656) -- (8.681,1.61) -- (8.851,1.656) -- (8.975,1.78) -- cycle;
\node at (8.681,1.95) {\scalebox{1.371}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.109,7.868) -- (7.709,7.868) -- (7.709,8.468) -- (7.109,8.468) -- cycle;
\node at (7.409,8.168) {\scalebox{1.371}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (3.447,6.913) -- (4.047,6.913) -- (4.047,7.513) -- (3.447,7.513) -- cycle;
\node at (3.747,7.213) {\scalebox{1.371}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.151,8.963) -- (2.751,8.963) -- (2.751,9.563) -- (2.151,9.563) -- cycle;
\node at (2.451,9.263) {\scalebox{1.371}{\small c}};
\node at (1.328,8.708) {\scalebox{1.371}{\small A}};
\node at (7.669,8.73) {\scalebox{1.371}{\small B}};
\node at (3.905,8.163) {\scalebox{1.371}{\small C}};
\node at (11.441,5.429) {\scalebox{1.371}{\small D}};
\node at (3.986,5.238) {\scalebox{1.371}{\small E}};
\node at (7.288,1.618) {\scalebox{1.371}{\small F}};
\node at (0.765,1.167) {\scalebox{1.371}{\small G}};
\node at (10.686,0.95) {\scalebox{1.371}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.123,7.367) -- (12.123,8.467);
\draw[line width=0.5pt] (11.892,8.082) -- (12.123,8.467) -- (12.354,8.082);
\draw[line width=0.5pt] (11.82,7.917) -- (12.425,7.917);
\node at (12.123,8.852) {\scalebox{1.371}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Pasteur & ⑦ rue Haute & Ⓐ Rond-point du Stade & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de la Poste & ⑧ chemin du Lavoir & Ⓑ Rond-point des Vaches & \textbf{b} l'école \\ \hline
③ allée des Tilleuls & ⑨ rue Verte & Ⓒ Carrefour du Lavoir & \textbf{c} le cimetière \\ \hline
④ rue des Lilas & ⑩ allée des Peupliers & Ⓓ Place aux Herbes &  \\ \hline
⑤ rue de la Mairie & ⑪ impasse du Puits & Ⓔ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
⑥ rue du Stade &  & Ⓕ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6526, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (1.808,8.317) -- (1.973,8.242) -- (2.139,8.172) -- (2.307,8.105) -- (2.477,8.042) -- (2.648,7.983) -- (2.821,7.928) -- (2.994,7.878) -- (3.169,7.831) -- (3.345,7.788) -- (3.522,7.75) -- (3.699,7.716) -- (3.878,7.686) -- (4.057,7.66) -- (4.236,7.639);
\draw[line width=0.5pt] (1.808,8.317) -- (2.041,8.123) -- (2.269,7.924) -- (2.492,7.719) -- (2.71,7.509) -- (2.924,7.294) -- (3.132,7.074) -- (3.335,6.849) -- (3.533,6.62) -- (3.725,6.386) -- (3.912,6.147) -- (4.093,5.904) -- (4.268,5.657) -- (4.437,5.406) -- (4.6,5.152);
\draw[line width=0.5pt] (1.808,8.317) -- (1.705,8.113) -- (1.607,7.906) -- (1.514,7.697) -- (1.426,7.486) -- (1.342,7.272) -- (1.264,7.057) -- (1.19,6.84) -- (1.122,6.622) -- (1.059,6.401) -- (1.001,6.18) -- (0.949,5.957) -- (0.902,5.733) -- (0.86,5.508) -- (0.823,5.282) -- (0.895,5.021) -- (0.961,4.759) -- (1.021,4.495) -- (1.075,4.23) -- (1.122,3.963) -- (1.163,3.695) -- (1.198,3.427) -- (1.227,3.157) -- (1.249,2.887) -- (1.265,2.617) -- (1.274,2.346) -- (1.277,2.076) -- (1.274,1.805) -- (1.264,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (7.409,8.168) -- (7.19,8.095) -- (6.969,8.028) -- (6.747,7.967) -- (6.523,7.91) -- (6.298,7.859) -- (6.072,7.813) -- (5.844,7.772) -- (5.616,7.737) -- (5.387,7.707) -- (5.158,7.682) -- (4.928,7.663) -- (4.697,7.65) -- (4.467,7.641) -- (4.236,7.639);
\draw[line width=0.5pt] (7.409,8.168) -- (7.62,7.933) -- (7.837,7.702) -- (8.06,7.478) -- (8.287,7.258) -- (8.52,7.044) -- (8.758,6.835) -- (9.001,6.632) -- (9.248,6.434) -- (9.5,6.243) -- (9.757,6.057) -- (10.017,5.878) -- (10.282,5.705) -- (10.55,5.538) -- (10.823,5.377);
\draw[line width=0.5pt] (7.409,8.168) -- (7.243,7.923) -- (7.071,7.683) -- (6.893,7.446) -- (6.71,7.214) -- (6.522,6.986) -- (6.328,6.763) -- (6.129,6.544) -- (5.925,6.33) -- (5.716,6.12) -- (5.502,5.916) -- (5.283,5.717) -- (5.06,5.523) -- (4.832,5.335) -- (4.6,5.152);
\draw[line width=0.5pt] (4.236,7.639) -- (4.235,7.458) -- (4.238,7.278) -- (4.245,7.098) -- (4.256,6.918) -- (4.272,6.738) -- (4.292,6.559) -- (4.316,6.38) -- (4.344,6.202) -- (4.376,6.024) -- (4.413,5.848) -- (4.453,5.672) -- (4.498,5.497) -- (4.547,5.324) -- (4.6,5.152);
\draw[line width=0.5pt] (10.823,5.377) -- (10.629,5.305) -- (10.433,5.238) -- (10.236,5.175) -- (10.037,5.116) -- (9.837,5.063) -- (9.636,5.014) -- (9.434,4.97) -- (9.23,4.93) -- (9.026,4.896) -- (8.821,4.866) -- (8.616,4.841) -- (8.41,4.821) -- (8.203,4.806) -- (7.997,4.795) -- (7.76,4.858) -- (7.522,4.915) -- (7.282,4.966) -- (7.041,5.011) -- (6.799,5.051) -- (6.557,5.085) -- (6.313,5.114) -- (6.069,5.136) -- (5.824,5.153) -- (5.58,5.165) -- (5.335,5.17) -- (5.09,5.17) -- (4.845,5.164) -- (4.6,5.152);
\draw[line width=0.5pt] (4.6,5.152) -- (4.742,4.915) -- (4.889,4.682) -- (5.042,4.452) -- (5.2,4.226) -- (5.363,4.004) -- (5.532,3.785) -- (5.705,3.571) -- (5.884,3.36) -- (6.068,3.154) -- (6.256,2.953) -- (6.449,2.755) -- (6.646,2.563) -- (6.848,2.375) -- (7.055,2.192);
\draw[line width=0.5pt] (4.6,5.152) -- (4.403,4.859) -- (4.2,4.571) -- (3.989,4.287) -- (3.772,4.009) -- (3.548,3.736) -- (3.318,3.468) -- (3.081,3.206) -- (2.839,2.949) -- (2.591,2.698) -- (2.336,2.453) -- (2.076,2.214) -- (1.811,1.981) -- (1.54,1.754) -- (1.264,1.535);
\draw[line width=0.5pt] (7.055,2.192) -- (7.269,2.098) -- (7.486,2.009) -- (7.705,1.925) -- (7.926,1.846) -- (8.148,1.772) -- (8.373,1.704) -- (8.598,1.641) -- (8.826,1.583) -- (9.054,1.531) -- (9.284,1.483) -- (9.515,1.442) -- (9.747,1.406) -- (9.979,1.375) -- (10.212,1.35);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.968,8.317) -- (1.947,8.397) -- (1.888,8.456) -- (1.808,8.477) -- (1.728,8.456) -- (1.67,8.397) -- (1.648,8.317) -- (1.67,8.237) -- (1.728,8.178) -- (1.808,8.157) -- (1.888,8.178) -- (1.947,8.237) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.569,8.168) -- (7.547,8.248) -- (7.489,8.306) -- (7.409,8.328) -- (7.329,8.306) -- (7.27,8.248) -- (7.249,8.168) -- (7.27,8.088) -- (7.329,8.029) -- (7.409,8.008) -- (7.489,8.029) -- (7.547,8.088) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.396,7.639) -- (4.375,7.719) -- (4.316,7.777) -- (4.236,7.799) -- (4.156,7.777) -- (4.098,7.719) -- (4.076,7.639) -- (4.098,7.559) -- (4.156,7.5) -- (4.236,7.479) -- (4.316,7.5) -- (4.375,7.559) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.983,5.377) -- (10.962,5.457) -- (10.903,5.516) -- (10.823,5.537) -- (10.743,5.516) -- (10.684,5.457) -- (10.663,5.377) -- (10.684,5.297) -- (10.743,5.239) -- (10.823,5.217) -- (10.903,5.239) -- (10.962,5.297) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.76,5.152) -- (4.739,5.232) -- (4.68,5.29) -- (4.6,5.312) -- (4.52,5.29) -- (4.462,5.232) -- (4.44,5.152) -- (4.462,5.072) -- (4.52,5.013) -- (4.6,4.992) -- (4.68,5.013) -- (4.739,5.072) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.215,2.192) -- (7.193,2.272) -- (7.135,2.331) -- (7.055,2.352) -- (6.975,2.331) -- (6.916,2.272) -- (6.895,2.192) -- (6.916,2.112) -- (6.975,2.054) -- (7.055,2.032) -- (7.135,2.054) -- (7.193,2.112) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.424,1.535) -- (1.403,1.615) -- (1.344,1.673) -- (1.264,1.695) -- (1.184,1.673) -- (1.126,1.615) -- (1.104,1.535) -- (1.126,1.455) -- (1.184,1.396) -- (1.264,1.375) -- (1.344,1.396) -- (1.403,1.455) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.372,1.35) -- (10.35,1.43) -- (10.292,1.488) -- (10.212,1.51) -- (10.132,1.488) -- (10.073,1.43) -- (10.052,1.35) -- (10.073,1.27) -- (10.132,1.211) -- (10.212,1.19) -- (10.292,1.211) -- (10.35,1.27) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.42,8.186) -- (3.375,8.356) -- (3.25,8.48) -- (3.08,8.526) -- (2.91,8.48) -- (2.786,8.356) -- (2.74,8.186) -- (2.786,8.016) -- (2.91,7.891) -- (3.08,7.846) -- (3.25,7.891) -- (3.375,8.016) -- cycle;
\node at (3.08,8.186) {\scalebox{1.532}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.915,7.061) -- (3.869,7.231) -- (3.745,7.356) -- (3.575,7.401) -- (3.405,7.356) -- (3.28,7.231) -- (3.235,7.061) -- (3.28,6.891) -- (3.405,6.767) -- (3.575,6.721) -- (3.745,6.767) -- (3.869,6.891) -- cycle;
\node at (3.575,7.061) {\scalebox{1.532}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.482,5.305) -- (1.437,5.475) -- (1.312,5.6) -- (1.142,5.645) -- (0.972,5.6) -- (0.848,5.475) -- (0.802,5.305) -- (0.848,5.135) -- (0.972,5.011) -- (1.142,4.965) -- (1.312,5.011) -- (1.437,5.135) -- cycle;
\node at (1.142,5.305) {\scalebox{1.532}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.237,7.457) -- (6.191,7.627) -- (6.067,7.751) -- (5.897,7.797) -- (5.727,7.751) -- (5.602,7.627) -- (5.557,7.457) -- (5.602,7.287) -- (5.727,7.162) -- (5.897,7.117) -- (6.067,7.162) -- (6.191,7.287) -- cycle;
\node at (5.897,7.457) {\scalebox{1.532}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.543,6.879) -- (9.498,7.049) -- (9.373,7.174) -- (9.203,7.219) -- (9.033,7.174) -- (8.909,7.049) -- (8.863,6.879) -- (8.909,6.709) -- (9.033,6.585) -- (9.203,6.539) -- (9.373,6.585) -- (9.498,6.709) -- cycle;
\node at (9.203,6.879) {\scalebox{1.532}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.703,6.326) -- (6.658,6.496) -- (6.533,6.62) -- (6.363,6.666) -- (6.193,6.62) -- (6.069,6.496) -- (6.023,6.326) -- (6.069,6.156) -- (6.193,6.031) -- (6.363,5.986) -- (6.533,6.031) -- (6.658,6.156) -- cycle;
\node at (6.363,6.326) {\scalebox{1.532}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.972,6.426) -- (4.927,6.596) -- (4.802,6.721) -- (4.632,6.766) -- (4.462,6.721) -- (4.338,6.596) -- (4.292,6.426) -- (4.338,6.256) -- (4.462,6.132) -- (4.632,6.086) -- (4.802,6.132) -- (4.927,6.256) -- cycle;
\node at (4.632,6.426) {\scalebox{1.532}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.299,4.478) -- (8.254,4.648) -- (8.129,4.772) -- (7.959,4.818) -- (7.789,4.772) -- (7.665,4.648) -- (7.619,4.478) -- (7.665,4.308) -- (7.789,4.183) -- (7.959,4.138) -- (8.129,4.183) -- (8.254,4.308) -- cycle;
\node at (7.959,4.478) {\scalebox{1.532}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.292,3.775) -- (6.246,3.945) -- (6.122,4.069) -- (5.952,4.115) -- (5.782,4.069) -- (5.657,3.945) -- (5.612,3.775) -- (5.657,3.605) -- (5.782,3.481) -- (5.952,3.435) -- (6.122,3.481) -- (6.246,3.605) -- cycle;
\node at (5.952,3.775) {\scalebox{1.532}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.657,2.989) -- (3.611,3.159) -- (3.487,3.283) -- (3.317,3.329) -- (3.147,3.283) -- (3.022,3.159) -- (2.977,2.989) -- (3.022,2.819) -- (3.147,2.694) -- (3.317,2.649) -- (3.487,2.694) -- (3.611,2.819) -- cycle;
\node at (3.317,2.989) {\scalebox{1.532}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.021,1.95) -- (8.975,2.12) -- (8.851,2.244) -- (8.681,2.29) -- (8.511,2.244) -- (8.387,2.12) -- (8.341,1.95) -- (8.387,1.78) -- (8.511,1.656) -- (8.681,1.61) -- (8.851,1.656) -- (8.975,1.78) -- cycle;
\node at (8.681,1.95) {\scalebox{1.532}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.109,7.868) -- (7.709,7.868) -- (7.709,8.468) -- (7.109,8.468) -- cycle;
\node at (7.409,8.168) {\scalebox{1.532}{\small a}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (3.447,6.913) -- (4.047,6.913) -- (4.047,7.513) -- (3.447,7.513) -- cycle;
\node at (3.747,7.213) {\scalebox{1.532}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.151,8.963) -- (2.751,8.963) -- (2.751,9.563) -- (2.151,9.563) -- cycle;
\node at (2.451,9.263) {\scalebox{1.532}{\small c}};
\node at (1.328,8.708) {\scalebox{1.532}{\small A}};
\node at (7.669,8.73) {\scalebox{1.532}{\small B}};
\node at (3.905,8.163) {\scalebox{1.532}{\small C}};
\node at (11.441,5.429) {\scalebox{1.532}{\small D}};
\node at (3.986,5.238) {\scalebox{1.532}{\small E}};
\node at (7.288,1.618) {\scalebox{1.532}{\small F}};
\node at (0.765,1.167) {\scalebox{1.532}{\small G}};
\node at (10.686,0.95) {\scalebox{1.532}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.123,7.367) -- (12.123,8.467);
\draw[line width=0.5pt] (11.892,8.082) -- (12.123,8.467) -- (12.354,8.082);
\draw[line width=0.5pt] (11.82,7.917) -- (12.425,7.917);
\node at (12.123,8.852) {\scalebox{1.532}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 3 & 2 & 6 & 2 & 2 & 1 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{H} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, C, H).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
