\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 170}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=170}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0170}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7014, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.022,8.026) -- (6.848,7.861) -- (6.678,7.692) -- (6.512,7.519) -- (6.35,7.341) -- (6.193,7.16) -- (6.039,6.976) -- (5.89,6.788) -- (5.746,6.596) -- (5.606,6.401) -- (5.471,6.203) -- (5.34,6.001) -- (5.214,5.797) -- (5.093,5.59) -- (4.978,5.38);
\draw[line width=0.5pt] (7.022,8.026) -- (7.126,7.838) -- (7.226,7.647) -- (7.321,7.454) -- (7.412,7.258) -- (7.498,7.061) -- (7.579,6.861) -- (7.656,6.659) -- (7.728,6.456) -- (7.795,6.251) -- (7.857,6.045) -- (7.915,5.837) -- (7.967,5.628) -- (8.015,5.418) -- (8.057,5.207);
\draw[line width=0.5pt] (4.978,5.38) -- (5.194,5.334) -- (5.411,5.293) -- (5.63,5.258) -- (5.849,5.227) -- (6.069,5.202) -- (6.289,5.182) -- (6.51,5.167) -- (6.731,5.157) -- (6.953,5.152) -- (7.174,5.153) -- (7.395,5.159) -- (7.616,5.169) -- (7.837,5.186) -- (8.057,5.207);
\draw[line width=0.5pt] (4.978,5.38) -- (4.762,5.256) -- (4.544,5.137) -- (4.323,5.024) -- (4.1,4.915) -- (3.873,4.812) -- (3.645,4.714) -- (3.414,4.622) -- (3.181,4.535) -- (2.946,4.453) -- (2.71,4.377) -- (2.471,4.307) -- (2.231,4.242) -- (1.99,4.183) -- (1.747,4.13);
\draw[line width=0.5pt] (4.978,5.38) -- (5.161,5.107) -- (5.352,4.837) -- (5.549,4.573) -- (5.751,4.312) -- (5.961,4.057) -- (6.176,3.807) -- (6.396,3.562) -- (6.623,3.322) -- (6.855,3.087) -- (7.093,2.858) -- (7.335,2.635) -- (7.583,2.417) -- (7.836,2.206) -- (8.094,2.0);
\draw[line width=0.5pt] (10.514,4.519) -- (10.371,4.314) -- (10.222,4.113) -- (10.068,3.915) -- (9.91,3.72) -- (9.747,3.53) -- (9.58,3.343) -- (9.408,3.16) -- (9.232,2.981) -- (9.052,2.807) -- (8.868,2.636) -- (8.68,2.47) -- (8.489,2.309) -- (8.293,2.152) -- (8.094,2.0);
\draw[line width=0.5pt] (10.514,4.519) -- (10.539,4.289) -- (10.569,4.06) -- (10.604,3.832) -- (10.645,3.604) -- (10.691,3.377) -- (10.743,3.151) -- (10.799,2.927) -- (10.861,2.704) -- (10.929,2.483) -- (11.001,2.263) -- (11.078,2.045) -- (11.161,1.829) -- (11.249,1.615) -- (11.341,1.403);
\draw[line width=0.5pt] (1.747,4.13) -- (1.742,3.973) -- (1.733,3.817) -- (1.72,3.661) -- (1.704,3.505) -- (1.684,3.35) -- (1.66,3.195) -- (1.633,3.041) -- (1.602,2.887) -- (1.567,2.734) -- (1.529,2.582) -- (1.488,2.431) -- (1.442,2.282) -- (1.394,2.133) -- (1.341,1.985);
\draw[line width=0.5pt] (8.094,2.0) -- (7.832,1.987) -- (7.569,1.969) -- (7.308,1.943) -- (7.046,1.912) -- (6.786,1.875) -- (6.526,1.831) -- (6.268,1.781) -- (6.011,1.726) -- (5.755,1.664) -- (5.5,1.596) -- (5.248,1.523) -- (4.997,1.443) -- (4.748,1.357) -- (4.502,1.266) -- (4.27,1.283) -- (4.039,1.304) -- (3.808,1.332) -- (3.578,1.365) -- (3.348,1.403) -- (3.12,1.446) -- (2.892,1.495) -- (2.666,1.55) -- (2.441,1.609) -- (2.217,1.674) -- (1.996,1.744) -- (1.776,1.819) -- (1.558,1.9) -- (1.341,1.985);
\draw[line width=0.5pt] (8.094,2.0) -- (8.331,1.993) -- (8.567,1.981) -- (8.804,1.963) -- (9.039,1.939) -- (9.274,1.91) -- (9.509,1.876) -- (9.742,1.835) -- (9.975,1.79) -- (10.206,1.739) -- (10.437,1.682) -- (10.665,1.621) -- (10.892,1.553) -- (11.118,1.481) -- (11.341,1.403);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.182,8.026) -- (7.16,8.106) -- (7.102,8.165) -- (7.022,8.186) -- (6.942,8.165) -- (6.883,8.106) -- (6.862,8.026) -- (6.883,7.946) -- (6.942,7.888) -- (7.022,7.866) -- (7.102,7.888) -- (7.16,7.946) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.138,5.38) -- (5.116,5.46) -- (5.058,5.519) -- (4.978,5.54) -- (4.898,5.519) -- (4.839,5.46) -- (4.818,5.38) -- (4.839,5.3) -- (4.898,5.242) -- (4.978,5.22) -- (5.058,5.242) -- (5.116,5.3) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.217,5.207) -- (8.196,5.287) -- (8.137,5.346) -- (8.057,5.367) -- (7.977,5.346) -- (7.919,5.287) -- (7.897,5.207) -- (7.919,5.127) -- (7.977,5.069) -- (8.057,5.047) -- (8.137,5.069) -- (8.196,5.127) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.674,4.519) -- (10.653,4.599) -- (10.594,4.658) -- (10.514,4.679) -- (10.434,4.658) -- (10.376,4.599) -- (10.354,4.519) -- (10.376,4.439) -- (10.434,4.381) -- (10.514,4.359) -- (10.594,4.381) -- (10.653,4.439) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.907,4.13) -- (1.886,4.21) -- (1.827,4.268) -- (1.747,4.29) -- (1.667,4.268) -- (1.609,4.21) -- (1.587,4.13) -- (1.609,4.05) -- (1.667,3.991) -- (1.747,3.97) -- (1.827,3.991) -- (1.886,4.05) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.254,2.0) -- (8.233,2.08) -- (8.174,2.139) -- (8.094,2.16) -- (8.014,2.139) -- (7.956,2.08) -- (7.934,2.0) -- (7.956,1.92) -- (8.014,1.862) -- (8.094,1.84) -- (8.174,1.862) -- (8.233,1.92) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.501,1.985) -- (1.48,2.065) -- (1.421,2.124) -- (1.341,2.145) -- (1.261,2.124) -- (1.203,2.065) -- (1.181,1.985) -- (1.203,1.905) -- (1.261,1.847) -- (1.341,1.825) -- (1.421,1.847) -- (1.48,1.905) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.501,1.403) -- (11.48,1.483) -- (11.421,1.541) -- (11.341,1.563) -- (11.261,1.541) -- (11.203,1.483) -- (11.181,1.403) -- (11.203,1.323) -- (11.261,1.264) -- (11.341,1.243) -- (11.421,1.264) -- (11.48,1.323) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.484,6.592) -- (6.438,6.762) -- (6.314,6.886) -- (6.144,6.932) -- (5.974,6.886) -- (5.849,6.762) -- (5.804,6.592) -- (5.849,6.422) -- (5.974,6.298) -- (6.144,6.252) -- (6.314,6.298) -- (6.438,6.422) -- cycle;
\node at (6.144,6.592) {\scalebox{1.426}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.296,6.77) -- (8.251,6.94) -- (8.126,7.064) -- (7.956,7.11) -- (7.786,7.064) -- (7.662,6.94) -- (7.616,6.77) -- (7.662,6.6) -- (7.786,6.475) -- (7.956,6.43) -- (8.126,6.475) -- (8.251,6.6) -- cycle;
\node at (7.956,6.77) {\scalebox{1.426}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.868,5.486) -- (6.823,5.656) -- (6.698,5.781) -- (6.528,5.826) -- (6.358,5.781) -- (6.234,5.656) -- (6.188,5.486) -- (6.234,5.316) -- (6.358,5.192) -- (6.528,5.146) -- (6.698,5.192) -- (6.823,5.316) -- cycle;
\node at (6.528,5.486) {\scalebox{1.426}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.87,4.323) -- (3.824,4.493) -- (3.7,4.618) -- (3.53,4.663) -- (3.36,4.618) -- (3.235,4.493) -- (3.19,4.323) -- (3.235,4.153) -- (3.36,4.029) -- (3.53,3.983) -- (3.7,4.029) -- (3.824,4.153) -- cycle;
\node at (3.53,4.323) {\scalebox{1.426}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.972,3.779) -- (6.926,3.949) -- (6.802,4.073) -- (6.632,4.119) -- (6.462,4.073) -- (6.337,3.949) -- (6.292,3.779) -- (6.337,3.609) -- (6.462,3.484) -- (6.632,3.439) -- (6.802,3.484) -- (6.926,3.609) -- cycle;
\node at (6.632,3.779) {\scalebox{1.426}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.979,2.938) -- (9.933,3.108) -- (9.809,3.233) -- (9.639,3.278) -- (9.469,3.233) -- (9.345,3.108) -- (9.299,2.938) -- (9.345,2.768) -- (9.469,2.644) -- (9.639,2.598) -- (9.809,2.644) -- (9.933,2.768) -- cycle;
\node at (9.639,2.938) {\scalebox{1.426}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.449,3.009) -- (11.403,3.179) -- (11.279,3.304) -- (11.109,3.349) -- (10.939,3.304) -- (10.814,3.179) -- (10.769,3.009) -- (10.814,2.839) -- (10.939,2.715) -- (11.109,2.669) -- (11.279,2.715) -- (11.403,2.839) -- cycle;
\node at (11.109,3.009) {\scalebox{1.426}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.287,2.981) -- (2.242,3.151) -- (2.117,3.276) -- (1.947,3.321) -- (1.777,3.276) -- (1.653,3.151) -- (1.607,2.981) -- (1.653,2.811) -- (1.777,2.687) -- (1.947,2.641) -- (2.117,2.687) -- (2.242,2.811) -- cycle;
\node at (1.947,2.981) {\scalebox{1.426}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.892,0.95) -- (4.846,1.12) -- (4.722,1.244) -- (4.552,1.29) -- (4.382,1.244) -- (4.257,1.12) -- (4.212,0.95) -- (4.257,0.78) -- (4.382,0.656) -- (4.552,0.61) -- (4.722,0.656) -- (4.846,0.78) -- cycle;
\node at (4.552,0.95) {\scalebox{1.426}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.14,2.15) -- (10.095,2.32) -- (9.97,2.445) -- (9.8,2.49) -- (9.63,2.445) -- (9.506,2.32) -- (9.46,2.15) -- (9.506,1.98) -- (9.63,1.856) -- (9.8,1.81) -- (9.97,1.856) -- (10.095,1.98) -- cycle;
\node at (9.8,2.15) {\scalebox{1.426}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.678,5.08) -- (5.278,5.08) -- (5.278,5.68) -- (4.678,5.68) -- cycle;
\node at (4.978,5.38) {\scalebox{1.426}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.32,2.9) -- (7.92,2.9) -- (7.92,3.5) -- (7.32,3.5) -- cycle;
\node at (7.62,3.2) {\scalebox{1.426}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.141,7.113) -- (6.741,7.113) -- (6.741,7.713) -- (6.141,7.713) -- cycle;
\node at (6.441,7.413) {\scalebox{1.426}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.406,7.511) -- (9.006,7.511) -- (9.006,8.111) -- (8.406,8.111) -- cycle;
\node at (8.706,7.811) {\scalebox{1.426}{\small d}};
\node at (7.082,8.643) {\scalebox{1.426}{\small A}};
\node at (4.489,5.762) {\scalebox{1.426}{\small B}};
\node at (8.543,5.592) {\scalebox{1.426}{\small C}};
\node at (11.131,4.589) {\scalebox{1.426}{\small D}};
\node at (1.127,4.136) {\scalebox{1.426}{\small E}};
\node at (8.45,1.492) {\scalebox{1.426}{\small F}};
\node at (0.765,1.757) {\scalebox{1.426}{\small G}};
\node at (11.88,1.096) {\scalebox{1.426}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.641,7.076) -- (12.641,8.176);
\draw[line width=0.5pt] (12.41,7.791) -- (12.641,8.176) -- (12.872,7.791);
\draw[line width=0.5pt] (12.339,7.626) -- (12.944,7.626);
\node at (12.641,8.561) {\scalebox{1.426}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de la Mairie & ⑥ boulevard du Parc & Ⓐ Place du Vieux-Puits & \textbf{a} la poste \\ \hline
② passage du Marché & ⑦ rue des Lilas & Ⓑ Rond-point des Vaches & \textbf{b} le cimetière \\ \hline
③ rue des Écoles & ⑧ rue du Puits & Ⓒ Placette des Ormes & \textbf{c} la pharmacie \\ \hline
④ rue du Four & ⑨ rue Verte & Ⓓ Place de l'Église & \textbf{d} le lavoir \\ \hline
⑤ chemin Creux & ⑩ allée des Tilleuls & Ⓔ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Place du Marché &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6276, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.022,8.026) -- (6.848,7.861) -- (6.678,7.692) -- (6.512,7.519) -- (6.35,7.341) -- (6.193,7.16) -- (6.039,6.976) -- (5.89,6.788) -- (5.746,6.596) -- (5.606,6.401) -- (5.471,6.203) -- (5.34,6.001) -- (5.214,5.797) -- (5.093,5.59) -- (4.978,5.38);
\draw[line width=0.5pt] (7.022,8.026) -- (7.126,7.838) -- (7.226,7.647) -- (7.321,7.454) -- (7.412,7.258) -- (7.498,7.061) -- (7.579,6.861) -- (7.656,6.659) -- (7.728,6.456) -- (7.795,6.251) -- (7.857,6.045) -- (7.915,5.837) -- (7.967,5.628) -- (8.015,5.418) -- (8.057,5.207);
\draw[line width=0.5pt] (4.978,5.38) -- (5.194,5.334) -- (5.411,5.293) -- (5.63,5.258) -- (5.849,5.227) -- (6.069,5.202) -- (6.289,5.182) -- (6.51,5.167) -- (6.731,5.157) -- (6.953,5.152) -- (7.174,5.153) -- (7.395,5.159) -- (7.616,5.169) -- (7.837,5.186) -- (8.057,5.207);
\draw[line width=0.5pt] (4.978,5.38) -- (4.762,5.256) -- (4.544,5.137) -- (4.323,5.024) -- (4.1,4.915) -- (3.873,4.812) -- (3.645,4.714) -- (3.414,4.622) -- (3.181,4.535) -- (2.946,4.453) -- (2.71,4.377) -- (2.471,4.307) -- (2.231,4.242) -- (1.99,4.183) -- (1.747,4.13);
\draw[line width=0.5pt] (4.978,5.38) -- (5.161,5.107) -- (5.352,4.837) -- (5.549,4.573) -- (5.751,4.312) -- (5.961,4.057) -- (6.176,3.807) -- (6.396,3.562) -- (6.623,3.322) -- (6.855,3.087) -- (7.093,2.858) -- (7.335,2.635) -- (7.583,2.417) -- (7.836,2.206) -- (8.094,2.0);
\draw[line width=0.5pt] (10.514,4.519) -- (10.371,4.314) -- (10.222,4.113) -- (10.068,3.915) -- (9.91,3.72) -- (9.747,3.53) -- (9.58,3.343) -- (9.408,3.16) -- (9.232,2.981) -- (9.052,2.807) -- (8.868,2.636) -- (8.68,2.47) -- (8.489,2.309) -- (8.293,2.152) -- (8.094,2.0);
\draw[line width=0.5pt] (10.514,4.519) -- (10.539,4.289) -- (10.569,4.06) -- (10.604,3.832) -- (10.645,3.604) -- (10.691,3.377) -- (10.743,3.151) -- (10.799,2.927) -- (10.861,2.704) -- (10.929,2.483) -- (11.001,2.263) -- (11.078,2.045) -- (11.161,1.829) -- (11.249,1.615) -- (11.341,1.403);
\draw[line width=0.5pt] (1.747,4.13) -- (1.742,3.973) -- (1.733,3.817) -- (1.72,3.661) -- (1.704,3.505) -- (1.684,3.35) -- (1.66,3.195) -- (1.633,3.041) -- (1.602,2.887) -- (1.567,2.734) -- (1.529,2.582) -- (1.488,2.431) -- (1.442,2.282) -- (1.394,2.133) -- (1.341,1.985);
\draw[line width=0.5pt] (8.094,2.0) -- (7.832,1.987) -- (7.569,1.969) -- (7.308,1.943) -- (7.046,1.912) -- (6.786,1.875) -- (6.526,1.831) -- (6.268,1.781) -- (6.011,1.726) -- (5.755,1.664) -- (5.5,1.596) -- (5.248,1.523) -- (4.997,1.443) -- (4.748,1.357) -- (4.502,1.266) -- (4.27,1.283) -- (4.039,1.304) -- (3.808,1.332) -- (3.578,1.365) -- (3.348,1.403) -- (3.12,1.446) -- (2.892,1.495) -- (2.666,1.55) -- (2.441,1.609) -- (2.217,1.674) -- (1.996,1.744) -- (1.776,1.819) -- (1.558,1.9) -- (1.341,1.985);
\draw[line width=0.5pt] (8.094,2.0) -- (8.331,1.993) -- (8.567,1.981) -- (8.804,1.963) -- (9.039,1.939) -- (9.274,1.91) -- (9.509,1.876) -- (9.742,1.835) -- (9.975,1.79) -- (10.206,1.739) -- (10.437,1.682) -- (10.665,1.621) -- (10.892,1.553) -- (11.118,1.481) -- (11.341,1.403);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.182,8.026) -- (7.16,8.106) -- (7.102,8.165) -- (7.022,8.186) -- (6.942,8.165) -- (6.883,8.106) -- (6.862,8.026) -- (6.883,7.946) -- (6.942,7.888) -- (7.022,7.866) -- (7.102,7.888) -- (7.16,7.946) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.138,5.38) -- (5.116,5.46) -- (5.058,5.519) -- (4.978,5.54) -- (4.898,5.519) -- (4.839,5.46) -- (4.818,5.38) -- (4.839,5.3) -- (4.898,5.242) -- (4.978,5.22) -- (5.058,5.242) -- (5.116,5.3) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.217,5.207) -- (8.196,5.287) -- (8.137,5.346) -- (8.057,5.367) -- (7.977,5.346) -- (7.919,5.287) -- (7.897,5.207) -- (7.919,5.127) -- (7.977,5.069) -- (8.057,5.047) -- (8.137,5.069) -- (8.196,5.127) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.674,4.519) -- (10.653,4.599) -- (10.594,4.658) -- (10.514,4.679) -- (10.434,4.658) -- (10.376,4.599) -- (10.354,4.519) -- (10.376,4.439) -- (10.434,4.381) -- (10.514,4.359) -- (10.594,4.381) -- (10.653,4.439) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.907,4.13) -- (1.886,4.21) -- (1.827,4.268) -- (1.747,4.29) -- (1.667,4.268) -- (1.609,4.21) -- (1.587,4.13) -- (1.609,4.05) -- (1.667,3.991) -- (1.747,3.97) -- (1.827,3.991) -- (1.886,4.05) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.254,2.0) -- (8.233,2.08) -- (8.174,2.139) -- (8.094,2.16) -- (8.014,2.139) -- (7.956,2.08) -- (7.934,2.0) -- (7.956,1.92) -- (8.014,1.862) -- (8.094,1.84) -- (8.174,1.862) -- (8.233,1.92) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.501,1.985) -- (1.48,2.065) -- (1.421,2.124) -- (1.341,2.145) -- (1.261,2.124) -- (1.203,2.065) -- (1.181,1.985) -- (1.203,1.905) -- (1.261,1.847) -- (1.341,1.825) -- (1.421,1.847) -- (1.48,1.905) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.501,1.403) -- (11.48,1.483) -- (11.421,1.541) -- (11.341,1.563) -- (11.261,1.541) -- (11.203,1.483) -- (11.181,1.403) -- (11.203,1.323) -- (11.261,1.264) -- (11.341,1.243) -- (11.421,1.264) -- (11.48,1.323) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.484,6.592) -- (6.438,6.762) -- (6.314,6.886) -- (6.144,6.932) -- (5.974,6.886) -- (5.849,6.762) -- (5.804,6.592) -- (5.849,6.422) -- (5.974,6.298) -- (6.144,6.252) -- (6.314,6.298) -- (6.438,6.422) -- cycle;
\node at (6.144,6.592) {\scalebox{1.593}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.296,6.77) -- (8.251,6.94) -- (8.126,7.064) -- (7.956,7.11) -- (7.786,7.064) -- (7.662,6.94) -- (7.616,6.77) -- (7.662,6.6) -- (7.786,6.475) -- (7.956,6.43) -- (8.126,6.475) -- (8.251,6.6) -- cycle;
\node at (7.956,6.77) {\scalebox{1.593}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.868,5.486) -- (6.823,5.656) -- (6.698,5.781) -- (6.528,5.826) -- (6.358,5.781) -- (6.234,5.656) -- (6.188,5.486) -- (6.234,5.316) -- (6.358,5.192) -- (6.528,5.146) -- (6.698,5.192) -- (6.823,5.316) -- cycle;
\node at (6.528,5.486) {\scalebox{1.593}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.87,4.323) -- (3.824,4.493) -- (3.7,4.618) -- (3.53,4.663) -- (3.36,4.618) -- (3.235,4.493) -- (3.19,4.323) -- (3.235,4.153) -- (3.36,4.029) -- (3.53,3.983) -- (3.7,4.029) -- (3.824,4.153) -- cycle;
\node at (3.53,4.323) {\scalebox{1.593}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.972,3.779) -- (6.926,3.949) -- (6.802,4.073) -- (6.632,4.119) -- (6.462,4.073) -- (6.337,3.949) -- (6.292,3.779) -- (6.337,3.609) -- (6.462,3.484) -- (6.632,3.439) -- (6.802,3.484) -- (6.926,3.609) -- cycle;
\node at (6.632,3.779) {\scalebox{1.593}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.979,2.938) -- (9.933,3.108) -- (9.809,3.233) -- (9.639,3.278) -- (9.469,3.233) -- (9.345,3.108) -- (9.299,2.938) -- (9.345,2.768) -- (9.469,2.644) -- (9.639,2.598) -- (9.809,2.644) -- (9.933,2.768) -- cycle;
\node at (9.639,2.938) {\scalebox{1.593}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.449,3.009) -- (11.403,3.179) -- (11.279,3.304) -- (11.109,3.349) -- (10.939,3.304) -- (10.814,3.179) -- (10.769,3.009) -- (10.814,2.839) -- (10.939,2.715) -- (11.109,2.669) -- (11.279,2.715) -- (11.403,2.839) -- cycle;
\node at (11.109,3.009) {\scalebox{1.593}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.287,2.981) -- (2.242,3.151) -- (2.117,3.276) -- (1.947,3.321) -- (1.777,3.276) -- (1.653,3.151) -- (1.607,2.981) -- (1.653,2.811) -- (1.777,2.687) -- (1.947,2.641) -- (2.117,2.687) -- (2.242,2.811) -- cycle;
\node at (1.947,2.981) {\scalebox{1.593}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.892,0.95) -- (4.846,1.12) -- (4.722,1.244) -- (4.552,1.29) -- (4.382,1.244) -- (4.257,1.12) -- (4.212,0.95) -- (4.257,0.78) -- (4.382,0.656) -- (4.552,0.61) -- (4.722,0.656) -- (4.846,0.78) -- cycle;
\node at (4.552,0.95) {\scalebox{1.593}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.14,2.15) -- (10.095,2.32) -- (9.97,2.445) -- (9.8,2.49) -- (9.63,2.445) -- (9.506,2.32) -- (9.46,2.15) -- (9.506,1.98) -- (9.63,1.856) -- (9.8,1.81) -- (9.97,1.856) -- (10.095,1.98) -- cycle;
\node at (9.8,2.15) {\scalebox{1.593}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.678,5.08) -- (5.278,5.08) -- (5.278,5.68) -- (4.678,5.68) -- cycle;
\node at (4.978,5.38) {\scalebox{1.593}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (7.32,2.9) -- (7.92,2.9) -- (7.92,3.5) -- (7.32,3.5) -- cycle;
\node at (7.62,3.2) {\scalebox{1.593}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.141,7.113) -- (6.741,7.113) -- (6.741,7.713) -- (6.141,7.713) -- cycle;
\node at (6.441,7.413) {\scalebox{1.593}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.406,7.511) -- (9.006,7.511) -- (9.006,8.111) -- (8.406,8.111) -- cycle;
\node at (8.706,7.811) {\scalebox{1.593}{\small d}};
\node at (7.082,8.643) {\scalebox{1.593}{\small A}};
\node at (4.489,5.762) {\scalebox{1.593}{\small B}};
\node at (8.543,5.592) {\scalebox{1.593}{\small C}};
\node at (11.131,4.589) {\scalebox{1.593}{\small D}};
\node at (1.127,4.136) {\scalebox{1.593}{\small E}};
\node at (8.45,1.492) {\scalebox{1.593}{\small F}};
\node at (0.765,1.757) {\scalebox{1.593}{\small G}};
\node at (11.88,1.096) {\scalebox{1.593}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.641,7.076) -- (12.641,8.176);
\draw[line width=0.5pt] (12.41,7.791) -- (12.641,8.176) -- (12.872,7.791);
\draw[line width=0.5pt] (12.339,7.626) -- (12.944,7.626);
\node at (12.641,8.561) {\scalebox{1.593}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point des Vaches \textbf{(B)}, prend la \textbf{rue de la Mairie ①} vers le nord-est et atteint Place du Vieux-Puits \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{passage du Marché ②}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ③}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ④}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Puits ⑧}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Verte ⑨}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{boulevard du Parc ⑥}, vers le nord-est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Lilas ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place du Marché \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑩}, vers l'ouest, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(B)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
