\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 171}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=171}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0171}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6992, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.493,9.077) -- (10.301,9.012) -- (10.11,8.941) -- (9.922,8.867) -- (9.735,8.788) -- (9.55,8.704) -- (9.366,8.616) -- (9.185,8.524) -- (9.007,8.428) -- (8.83,8.327) -- (8.656,8.222) -- (8.485,8.114) -- (8.316,8.001) -- (8.15,7.884) -- (7.987,7.764);
\draw[line width=0.5pt] (10.493,9.077) -- (10.596,8.799) -- (10.692,8.518) -- (10.782,8.235) -- (10.865,7.95) -- (10.941,7.663) -- (11.011,7.374) -- (11.073,7.084) -- (11.129,6.792) -- (11.178,6.499) -- (11.22,6.205) -- (11.256,5.911) -- (11.284,5.615) -- (11.305,5.319) -- (11.319,5.023);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,8.618) -- (1.539,8.54) -- (1.76,8.468) -- (1.983,8.401) -- (2.208,8.34) -- (2.434,8.284) -- (2.661,8.233) -- (2.889,8.187) -- (3.118,8.147) -- (3.349,8.112) -- (3.58,8.082) -- (3.811,8.058) -- (4.043,8.04) -- (4.276,8.027) -- (4.508,8.019) -- (4.757,8.039) -- (5.007,8.053) -- (5.257,8.061) -- (5.508,8.064) -- (5.758,8.06) -- (6.008,8.05) -- (6.258,8.035) -- (6.507,8.014) -- (6.756,7.987) -- (7.004,7.954) -- (7.252,7.915) -- (7.498,7.87) -- (7.743,7.82) -- (7.987,7.764);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,8.618) -- (1.392,8.383) -- (1.458,8.146) -- (1.519,7.908) -- (1.574,7.668) -- (1.624,7.427) -- (1.668,7.185) -- (1.706,6.942) -- (1.738,6.698) -- (1.765,6.454) -- (1.786,6.209) -- (1.802,5.963) -- (1.811,5.717) -- (1.815,5.471) -- (1.813,5.226);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,8.618) -- (1.496,8.34) -- (1.68,8.066) -- (1.869,7.796) -- (2.066,7.531) -- (2.268,7.271) -- (2.476,7.015) -- (2.691,6.764) -- (2.911,6.519) -- (3.137,6.278) -- (3.369,6.044) -- (3.606,5.814) -- (3.848,5.59) -- (4.095,5.373) -- (4.348,5.161);
\draw[line width=0.5pt] (7.987,7.764) -- (7.757,7.54) -- (7.523,7.321) -- (7.283,7.108) -- (7.038,6.9) -- (6.788,6.698) -- (6.534,6.502) -- (6.275,6.312) -- (6.011,6.128) -- (5.743,5.951) -- (5.472,5.78) -- (5.196,5.615) -- (4.917,5.457) -- (4.634,5.305) -- (4.348,5.161);
\draw[line width=0.5pt] (7.987,7.764) -- (8.193,7.533) -- (8.405,7.307) -- (8.622,7.087) -- (8.844,6.871) -- (9.071,6.66) -- (9.303,6.455) -- (9.54,6.256) -- (9.782,6.062) -- (10.028,5.874) -- (10.278,5.691) -- (10.532,5.515) -- (10.791,5.345) -- (11.053,5.18) -- (11.319,5.023);
\draw[line width=0.5pt] (1.813,5.226) -- (1.993,5.249) -- (2.174,5.268) -- (2.355,5.282) -- (2.537,5.293) -- (2.719,5.299) -- (2.901,5.3) -- (3.083,5.298) -- (3.265,5.291) -- (3.446,5.28) -- (3.628,5.265) -- (3.809,5.245) -- (3.989,5.221) -- (4.169,5.193) -- (4.348,5.161);
\draw[line width=0.5pt] (4.348,5.161) -- (4.556,5.17) -- (4.764,5.184) -- (4.972,5.203) -- (5.179,5.227) -- (5.386,5.256) -- (5.592,5.289) -- (5.797,5.328) -- (6.002,5.371) -- (6.205,5.419) -- (6.407,5.472) -- (6.607,5.53) -- (6.807,5.592) -- (7.004,5.659) -- (7.2,5.73) -- (7.5,5.725) -- (7.799,5.713) -- (8.099,5.694) -- (8.397,5.667) -- (8.695,5.634) -- (8.993,5.594) -- (9.289,5.546) -- (9.584,5.492) -- (9.878,5.431) -- (10.17,5.363) -- (10.46,5.288) -- (10.749,5.206) -- (11.035,5.118) -- (11.319,5.023);
\draw[line width=0.5pt] (4.348,5.161) -- (4.629,4.942) -- (4.905,4.716) -- (5.177,4.484) -- (5.442,4.246) -- (5.702,4.001) -- (5.956,3.75) -- (6.204,3.494) -- (6.446,3.231) -- (6.682,2.963) -- (6.912,2.69) -- (7.135,2.411) -- (7.351,2.127) -- (7.56,1.838) -- (7.763,1.545);
\draw[line width=0.5pt] (11.319,5.023) -- (11.029,4.815) -- (10.744,4.601) -- (10.464,4.38) -- (10.189,4.152) -- (9.92,3.918) -- (9.656,3.677) -- (9.398,3.43) -- (9.145,3.178) -- (8.899,2.919) -- (8.659,2.655) -- (8.425,2.386) -- (8.197,2.11) -- (7.977,1.83) -- (7.763,1.545);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.653,9.077) -- (10.631,9.157) -- (10.573,9.216) -- (10.493,9.237) -- (10.413,9.216) -- (10.354,9.157) -- (10.333,9.077) -- (10.354,8.997) -- (10.413,8.939) -- (10.493,8.917) -- (10.573,8.939) -- (10.631,8.997) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.479,8.618) -- (1.458,8.698) -- (1.399,8.756) -- (1.319,8.778) -- (1.239,8.756) -- (1.181,8.698) -- (1.159,8.618) -- (1.181,8.538) -- (1.239,8.479) -- (1.319,8.458) -- (1.399,8.479) -- (1.458,8.538) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.147,7.764) -- (8.125,7.844) -- (8.067,7.902) -- (7.987,7.924) -- (7.907,7.902) -- (7.848,7.844) -- (7.827,7.764) -- (7.848,7.684) -- (7.907,7.625) -- (7.987,7.604) -- (8.067,7.625) -- (8.125,7.684) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.973,5.226) -- (1.951,5.306) -- (1.893,5.364) -- (1.813,5.386) -- (1.733,5.364) -- (1.674,5.306) -- (1.653,5.226) -- (1.674,5.146) -- (1.733,5.087) -- (1.813,5.066) -- (1.893,5.087) -- (1.951,5.146) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.508,5.161) -- (4.486,5.241) -- (4.428,5.299) -- (4.348,5.321) -- (4.268,5.299) -- (4.209,5.241) -- (4.188,5.161) -- (4.209,5.081) -- (4.268,5.022) -- (4.348,5.001) -- (4.428,5.022) -- (4.486,5.081) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.479,5.023) -- (11.458,5.103) -- (11.399,5.161) -- (11.319,5.183) -- (11.239,5.161) -- (11.181,5.103) -- (11.159,5.023) -- (11.181,4.943) -- (11.239,4.884) -- (11.319,4.863) -- (11.399,4.884) -- (11.458,4.943) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.923,1.545) -- (7.901,1.625) -- (7.843,1.683) -- (7.763,1.705) -- (7.683,1.683) -- (7.624,1.625) -- (7.603,1.545) -- (7.624,1.465) -- (7.683,1.406) -- (7.763,1.385) -- (7.843,1.406) -- (7.901,1.465) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.674,8.24) -- (9.628,8.41) -- (9.504,8.535) -- (9.334,8.58) -- (9.164,8.535) -- (9.04,8.41) -- (8.994,8.24) -- (9.04,8.07) -- (9.164,7.946) -- (9.334,7.9) -- (9.504,7.946) -- (9.628,8.07) -- cycle;
\node at (9.334,8.24) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.727,7.148) -- (11.681,7.318) -- (11.557,7.442) -- (11.387,7.488) -- (11.217,7.442) -- (11.092,7.318) -- (11.047,7.148) -- (11.092,6.978) -- (11.217,6.854) -- (11.387,6.808) -- (11.557,6.854) -- (11.681,6.978) -- cycle;
\node at (11.387,7.148) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.84,8.339) -- (4.794,8.509) -- (4.67,8.634) -- (4.5,8.679) -- (4.33,8.634) -- (4.205,8.509) -- (4.16,8.339) -- (4.205,8.169) -- (4.33,8.045) -- (4.5,7.999) -- (4.67,8.045) -- (4.794,8.169) -- cycle;
\node at (4.5,8.339) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.363,6.988) -- (2.317,7.158) -- (2.193,7.283) -- (2.023,7.328) -- (1.853,7.283) -- (1.728,7.158) -- (1.683,6.988) -- (1.728,6.818) -- (1.853,6.694) -- (2.023,6.648) -- (2.193,6.694) -- (2.317,6.818) -- cycle;
\node at (2.023,6.988) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.272,6.975) -- (3.226,7.145) -- (3.102,7.27) -- (2.932,7.315) -- (2.762,7.27) -- (2.637,7.145) -- (2.592,6.975) -- (2.637,6.805) -- (2.762,6.681) -- (2.932,6.635) -- (3.102,6.681) -- (3.226,6.805) -- cycle;
\node at (2.932,6.975) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.801,6.052) -- (6.755,6.222) -- (6.631,6.346) -- (6.461,6.392) -- (6.291,6.346) -- (6.166,6.222) -- (6.121,6.052) -- (6.166,5.882) -- (6.291,5.758) -- (6.461,5.712) -- (6.631,5.758) -- (6.755,5.882) -- cycle;
\node at (6.461,6.052) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.083,6.503) -- (10.038,6.673) -- (9.913,6.797) -- (9.743,6.843) -- (9.573,6.797) -- (9.449,6.673) -- (9.403,6.503) -- (9.449,6.333) -- (9.573,6.209) -- (9.743,6.163) -- (9.913,6.209) -- (10.038,6.333) -- cycle;
\node at (9.743,6.503) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.431,5.618) -- (3.385,5.788) -- (3.261,5.912) -- (3.091,5.958) -- (2.921,5.912) -- (2.796,5.788) -- (2.751,5.618) -- (2.796,5.448) -- (2.921,5.323) -- (3.091,5.278) -- (3.261,5.323) -- (3.385,5.448) -- cycle;
\node at (3.091,5.618) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.583,5.413) -- (7.537,5.583) -- (7.413,5.708) -- (7.243,5.753) -- (7.073,5.708) -- (6.948,5.583) -- (6.903,5.413) -- (6.948,5.243) -- (7.073,5.119) -- (7.243,5.073) -- (7.413,5.119) -- (7.537,5.243) -- cycle;
\node at (7.243,5.413) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.777,3.713) -- (6.731,3.883) -- (6.607,4.008) -- (6.437,4.053) -- (6.267,4.008) -- (6.142,3.883) -- (6.097,3.713) -- (6.142,3.543) -- (6.267,3.419) -- (6.437,3.373) -- (6.607,3.419) -- (6.731,3.543) -- cycle;
\node at (6.437,3.713) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.961,3.202) -- (9.916,3.372) -- (9.791,3.496) -- (9.621,3.542) -- (9.451,3.496) -- (9.327,3.372) -- (9.281,3.202) -- (9.327,3.032) -- (9.451,2.907) -- (9.621,2.862) -- (9.791,2.907) -- (9.916,3.032) -- cycle;
\node at (9.621,3.202) {\scalebox{1.43}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.687,7.464) -- (8.287,7.464) -- (8.287,8.064) -- (7.687,8.064) -- cycle;
\node at (7.987,7.764) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.699,5.478) -- (2.299,5.478) -- (2.299,6.078) -- (1.699,6.078) -- cycle;
\node at (1.999,5.778) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.805,6.827) -- (3.405,6.827) -- (3.405,7.427) -- (2.805,7.427) -- cycle;
\node at (3.105,7.127) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.387,7.129) -- (12.987,7.129) -- (12.987,7.729) -- (12.387,7.729) -- cycle;
\node at (12.687,7.429) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\node at (10.99,9.447) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (0.765,8.895) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (8.404,8.222) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (1.202,5.116) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (3.778,4.916) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (11.926,4.894) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (7.938,0.95) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.619,8.127) -- (12.619,9.227);
\draw[line width=0.5pt] (12.388,8.842) -- (12.619,9.227) -- (12.85,8.842);
\draw[line width=0.5pt] (12.317,8.677) -- (12.922,8.677);
\node at (12.619,9.612) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① allée des Tilleuls & ⑦ rue du Pont & Ⓐ Place Sainte-Croix & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Jardins & ⑧ rue des Lilas & Ⓑ Rond-point du Stade & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ rue Pasteur & ⑨ sentier des Prés & Ⓒ Carrefour de la Mairie & \textbf{c} le stade \\ \hline
④ venelle du Chat & ⑩ boulevard du Parc & Ⓓ Fontaine Notre-Dame & \textbf{d} la pharmacie \\ \hline
⑤ chemin de Ronde & ⑪ chemin Creux & Ⓔ Carrefour des Tilleuls &  \\ \hline
⑥ chemin des Vignes &  & Ⓕ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6256, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (10.493,9.077) -- (10.301,9.012) -- (10.11,8.941) -- (9.922,8.867) -- (9.735,8.788) -- (9.55,8.704) -- (9.366,8.616) -- (9.185,8.524) -- (9.007,8.428) -- (8.83,8.327) -- (8.656,8.222) -- (8.485,8.114) -- (8.316,8.001) -- (8.15,7.884) -- (7.987,7.764);
\draw[line width=0.5pt] (10.493,9.077) -- (10.596,8.799) -- (10.692,8.518) -- (10.782,8.235) -- (10.865,7.95) -- (10.941,7.663) -- (11.011,7.374) -- (11.073,7.084) -- (11.129,6.792) -- (11.178,6.499) -- (11.22,6.205) -- (11.256,5.911) -- (11.284,5.615) -- (11.305,5.319) -- (11.319,5.023);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,8.618) -- (1.539,8.54) -- (1.76,8.468) -- (1.983,8.401) -- (2.208,8.34) -- (2.434,8.284) -- (2.661,8.233) -- (2.889,8.187) -- (3.118,8.147) -- (3.349,8.112) -- (3.58,8.082) -- (3.811,8.058) -- (4.043,8.04) -- (4.276,8.027) -- (4.508,8.019) -- (4.757,8.039) -- (5.007,8.053) -- (5.257,8.061) -- (5.508,8.064) -- (5.758,8.06) -- (6.008,8.05) -- (6.258,8.035) -- (6.507,8.014) -- (6.756,7.987) -- (7.004,7.954) -- (7.252,7.915) -- (7.498,7.87) -- (7.743,7.82) -- (7.987,7.764);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,8.618) -- (1.392,8.383) -- (1.458,8.146) -- (1.519,7.908) -- (1.574,7.668) -- (1.624,7.427) -- (1.668,7.185) -- (1.706,6.942) -- (1.738,6.698) -- (1.765,6.454) -- (1.786,6.209) -- (1.802,5.963) -- (1.811,5.717) -- (1.815,5.471) -- (1.813,5.226);
\draw[line width=0.5pt] (1.319,8.618) -- (1.496,8.34) -- (1.68,8.066) -- (1.869,7.796) -- (2.066,7.531) -- (2.268,7.271) -- (2.476,7.015) -- (2.691,6.764) -- (2.911,6.519) -- (3.137,6.278) -- (3.369,6.044) -- (3.606,5.814) -- (3.848,5.59) -- (4.095,5.373) -- (4.348,5.161);
\draw[line width=0.5pt] (7.987,7.764) -- (7.757,7.54) -- (7.523,7.321) -- (7.283,7.108) -- (7.038,6.9) -- (6.788,6.698) -- (6.534,6.502) -- (6.275,6.312) -- (6.011,6.128) -- (5.743,5.951) -- (5.472,5.78) -- (5.196,5.615) -- (4.917,5.457) -- (4.634,5.305) -- (4.348,5.161);
\draw[line width=0.5pt] (7.987,7.764) -- (8.193,7.533) -- (8.405,7.307) -- (8.622,7.087) -- (8.844,6.871) -- (9.071,6.66) -- (9.303,6.455) -- (9.54,6.256) -- (9.782,6.062) -- (10.028,5.874) -- (10.278,5.691) -- (10.532,5.515) -- (10.791,5.345) -- (11.053,5.18) -- (11.319,5.023);
\draw[line width=0.5pt] (1.813,5.226) -- (1.993,5.249) -- (2.174,5.268) -- (2.355,5.282) -- (2.537,5.293) -- (2.719,5.299) -- (2.901,5.3) -- (3.083,5.298) -- (3.265,5.291) -- (3.446,5.28) -- (3.628,5.265) -- (3.809,5.245) -- (3.989,5.221) -- (4.169,5.193) -- (4.348,5.161);
\draw[line width=0.5pt] (4.348,5.161) -- (4.556,5.17) -- (4.764,5.184) -- (4.972,5.203) -- (5.179,5.227) -- (5.386,5.256) -- (5.592,5.289) -- (5.797,5.328) -- (6.002,5.371) -- (6.205,5.419) -- (6.407,5.472) -- (6.607,5.53) -- (6.807,5.592) -- (7.004,5.659) -- (7.2,5.73) -- (7.5,5.725) -- (7.799,5.713) -- (8.099,5.694) -- (8.397,5.667) -- (8.695,5.634) -- (8.993,5.594) -- (9.289,5.546) -- (9.584,5.492) -- (9.878,5.431) -- (10.17,5.363) -- (10.46,5.288) -- (10.749,5.206) -- (11.035,5.118) -- (11.319,5.023);
\draw[line width=0.5pt] (4.348,5.161) -- (4.629,4.942) -- (4.905,4.716) -- (5.177,4.484) -- (5.442,4.246) -- (5.702,4.001) -- (5.956,3.75) -- (6.204,3.494) -- (6.446,3.231) -- (6.682,2.963) -- (6.912,2.69) -- (7.135,2.411) -- (7.351,2.127) -- (7.56,1.838) -- (7.763,1.545);
\draw[line width=0.5pt] (11.319,5.023) -- (11.029,4.815) -- (10.744,4.601) -- (10.464,4.38) -- (10.189,4.152) -- (9.92,3.918) -- (9.656,3.677) -- (9.398,3.43) -- (9.145,3.178) -- (8.899,2.919) -- (8.659,2.655) -- (8.425,2.386) -- (8.197,2.11) -- (7.977,1.83) -- (7.763,1.545);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.653,9.077) -- (10.631,9.157) -- (10.573,9.216) -- (10.493,9.237) -- (10.413,9.216) -- (10.354,9.157) -- (10.333,9.077) -- (10.354,8.997) -- (10.413,8.939) -- (10.493,8.917) -- (10.573,8.939) -- (10.631,8.997) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.479,8.618) -- (1.458,8.698) -- (1.399,8.756) -- (1.319,8.778) -- (1.239,8.756) -- (1.181,8.698) -- (1.159,8.618) -- (1.181,8.538) -- (1.239,8.479) -- (1.319,8.458) -- (1.399,8.479) -- (1.458,8.538) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.147,7.764) -- (8.125,7.844) -- (8.067,7.902) -- (7.987,7.924) -- (7.907,7.902) -- (7.848,7.844) -- (7.827,7.764) -- (7.848,7.684) -- (7.907,7.625) -- (7.987,7.604) -- (8.067,7.625) -- (8.125,7.684) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.973,5.226) -- (1.951,5.306) -- (1.893,5.364) -- (1.813,5.386) -- (1.733,5.364) -- (1.674,5.306) -- (1.653,5.226) -- (1.674,5.146) -- (1.733,5.087) -- (1.813,5.066) -- (1.893,5.087) -- (1.951,5.146) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.508,5.161) -- (4.486,5.241) -- (4.428,5.299) -- (4.348,5.321) -- (4.268,5.299) -- (4.209,5.241) -- (4.188,5.161) -- (4.209,5.081) -- (4.268,5.022) -- (4.348,5.001) -- (4.428,5.022) -- (4.486,5.081) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.479,5.023) -- (11.458,5.103) -- (11.399,5.161) -- (11.319,5.183) -- (11.239,5.161) -- (11.181,5.103) -- (11.159,5.023) -- (11.181,4.943) -- (11.239,4.884) -- (11.319,4.863) -- (11.399,4.884) -- (11.458,4.943) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.923,1.545) -- (7.901,1.625) -- (7.843,1.683) -- (7.763,1.705) -- (7.683,1.683) -- (7.624,1.625) -- (7.603,1.545) -- (7.624,1.465) -- (7.683,1.406) -- (7.763,1.385) -- (7.843,1.406) -- (7.901,1.465) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.674,8.24) -- (9.628,8.41) -- (9.504,8.535) -- (9.334,8.58) -- (9.164,8.535) -- (9.04,8.41) -- (8.994,8.24) -- (9.04,8.07) -- (9.164,7.946) -- (9.334,7.9) -- (9.504,7.946) -- (9.628,8.07) -- cycle;
\node at (9.334,8.24) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.727,7.148) -- (11.681,7.318) -- (11.557,7.442) -- (11.387,7.488) -- (11.217,7.442) -- (11.092,7.318) -- (11.047,7.148) -- (11.092,6.978) -- (11.217,6.854) -- (11.387,6.808) -- (11.557,6.854) -- (11.681,6.978) -- cycle;
\node at (11.387,7.148) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.84,8.339) -- (4.794,8.509) -- (4.67,8.634) -- (4.5,8.679) -- (4.33,8.634) -- (4.205,8.509) -- (4.16,8.339) -- (4.205,8.169) -- (4.33,8.045) -- (4.5,7.999) -- (4.67,8.045) -- (4.794,8.169) -- cycle;
\node at (4.5,8.339) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.363,6.988) -- (2.317,7.158) -- (2.193,7.283) -- (2.023,7.328) -- (1.853,7.283) -- (1.728,7.158) -- (1.683,6.988) -- (1.728,6.818) -- (1.853,6.694) -- (2.023,6.648) -- (2.193,6.694) -- (2.317,6.818) -- cycle;
\node at (2.023,6.988) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.272,6.975) -- (3.226,7.145) -- (3.102,7.27) -- (2.932,7.315) -- (2.762,7.27) -- (2.637,7.145) -- (2.592,6.975) -- (2.637,6.805) -- (2.762,6.681) -- (2.932,6.635) -- (3.102,6.681) -- (3.226,6.805) -- cycle;
\node at (2.932,6.975) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.801,6.052) -- (6.755,6.222) -- (6.631,6.346) -- (6.461,6.392) -- (6.291,6.346) -- (6.166,6.222) -- (6.121,6.052) -- (6.166,5.882) -- (6.291,5.758) -- (6.461,5.712) -- (6.631,5.758) -- (6.755,5.882) -- cycle;
\node at (6.461,6.052) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.083,6.503) -- (10.038,6.673) -- (9.913,6.797) -- (9.743,6.843) -- (9.573,6.797) -- (9.449,6.673) -- (9.403,6.503) -- (9.449,6.333) -- (9.573,6.209) -- (9.743,6.163) -- (9.913,6.209) -- (10.038,6.333) -- cycle;
\node at (9.743,6.503) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.431,5.618) -- (3.385,5.788) -- (3.261,5.912) -- (3.091,5.958) -- (2.921,5.912) -- (2.796,5.788) -- (2.751,5.618) -- (2.796,5.448) -- (2.921,5.323) -- (3.091,5.278) -- (3.261,5.323) -- (3.385,5.448) -- cycle;
\node at (3.091,5.618) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.583,5.413) -- (7.537,5.583) -- (7.413,5.708) -- (7.243,5.753) -- (7.073,5.708) -- (6.948,5.583) -- (6.903,5.413) -- (6.948,5.243) -- (7.073,5.119) -- (7.243,5.073) -- (7.413,5.119) -- (7.537,5.243) -- cycle;
\node at (7.243,5.413) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.777,3.713) -- (6.731,3.883) -- (6.607,4.008) -- (6.437,4.053) -- (6.267,4.008) -- (6.142,3.883) -- (6.097,3.713) -- (6.142,3.543) -- (6.267,3.419) -- (6.437,3.373) -- (6.607,3.419) -- (6.731,3.543) -- cycle;
\node at (6.437,3.713) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.961,3.202) -- (9.916,3.372) -- (9.791,3.496) -- (9.621,3.542) -- (9.451,3.496) -- (9.327,3.372) -- (9.281,3.202) -- (9.327,3.032) -- (9.451,2.907) -- (9.621,2.862) -- (9.791,2.907) -- (9.916,3.032) -- cycle;
\node at (9.621,3.202) {\scalebox{1.598}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.687,7.464) -- (8.287,7.464) -- (8.287,8.064) -- (7.687,8.064) -- cycle;
\node at (7.987,7.764) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (1.699,5.478) -- (2.299,5.478) -- (2.299,6.078) -- (1.699,6.078) -- cycle;
\node at (1.999,5.778) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.805,6.827) -- (3.405,6.827) -- (3.405,7.427) -- (2.805,7.427) -- cycle;
\node at (3.105,7.127) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.387,7.129) -- (12.987,7.129) -- (12.987,7.729) -- (12.387,7.729) -- cycle;
\node at (12.687,7.429) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\node at (10.99,9.447) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (0.765,8.895) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (8.404,8.222) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (1.202,5.116) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (3.778,4.916) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (11.926,4.894) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (7.938,0.95) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.619,8.127) -- (12.619,9.227);
\draw[line width=0.5pt] (12.388,8.842) -- (12.619,9.227) -- (12.85,8.842);
\draw[line width=0.5pt] (12.317,8.677) -- (12.922,8.677);
\node at (12.619,9.612) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 4 & 2 & 5 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{B} et \textbf{E} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{C}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{B} à \textbf{E}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de B :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(B)}, prend la \textbf{rue Pasteur ③} vers l'est et atteint Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ①}, vers le nord-est, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Pont ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{venelle du Chat ④}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ⑧}, vers l'est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{sentier des Prés ⑨}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ⑪}, vers le sud-ouest, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{boulevard du Parc ⑩}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\end{document}
