\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 172}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=172}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0172}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7015, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.327,8.869) -- (8.038,8.683) -- (7.753,8.49) -- (7.473,8.291) -- (7.197,8.085) -- (6.926,7.872) -- (6.661,7.653) -- (6.4,7.428) -- (6.145,7.197) -- (5.895,6.96) -- (5.651,6.717) -- (5.413,6.469) -- (5.181,6.215) -- (4.955,5.955) -- (4.735,5.691);
\draw[line width=0.5pt] (8.327,8.869) -- (8.57,8.611) -- (8.806,8.347) -- (9.037,8.078) -- (9.261,7.803) -- (9.478,7.523) -- (9.689,7.238) -- (9.893,6.947) -- (10.09,6.653) -- (10.28,6.353) -- (10.464,6.05) -- (10.64,5.742) -- (10.808,5.43) -- (10.969,5.115) -- (11.123,4.795);
\draw[line width=0.5pt] (1.877,8.867) -- (2.044,8.611) -- (2.218,8.358) -- (2.398,8.11) -- (2.584,7.866) -- (2.775,7.626) -- (2.972,7.391) -- (3.175,7.161) -- (3.383,6.935) -- (3.596,6.715) -- (3.814,6.499) -- (4.037,6.289) -- (4.265,6.084) -- (4.498,5.885) -- (4.735,5.691);
\draw[line width=0.5pt] (1.877,8.867) -- (1.934,8.608) -- (1.985,8.349) -- (2.03,8.088) -- (2.069,7.825) -- (2.102,7.562) -- (2.129,7.299) -- (2.149,7.034) -- (2.163,6.77) -- (2.171,6.505) -- (2.173,6.24) -- (2.168,5.975) -- (2.157,5.71) -- (2.14,5.446) -- (2.117,5.182) -- (2.032,4.993) -- (1.95,4.801) -- (1.874,4.608) -- (1.802,4.413) -- (1.734,4.216) -- (1.672,4.018) -- (1.613,3.818) -- (1.56,3.617) -- (1.511,3.415) -- (1.467,3.212) -- (1.428,3.008) -- (1.394,2.803) -- (1.365,2.597) -- (1.34,2.391);
\draw[line width=0.5pt] (4.735,5.691) -- (5.008,5.582) -- (5.283,5.479) -- (5.56,5.384) -- (5.84,5.294) -- (6.122,5.212) -- (6.405,5.135) -- (6.691,5.066) -- (6.978,5.003) -- (7.266,4.947) -- (7.555,4.898) -- (7.846,4.856) -- (8.137,4.82) -- (8.429,4.792) -- (8.722,4.77);
\draw[line width=0.5pt] (4.735,5.691) -- (4.531,5.42) -- (4.32,5.154) -- (4.103,4.892) -- (3.879,4.636) -- (3.65,4.386) -- (3.415,4.14) -- (3.174,3.901) -- (2.927,3.667) -- (2.675,3.438) -- (2.418,3.216) -- (2.156,3.0) -- (1.889,2.791) -- (1.617,2.587) -- (1.34,2.391);
\draw[line width=0.5pt] (4.735,5.691) -- (4.728,5.438) -- (4.727,5.186) -- (4.732,4.933) -- (4.743,4.68) -- (4.76,4.428) -- (4.783,4.176) -- (4.811,3.925) -- (4.846,3.675) -- (4.886,3.425) -- (4.932,3.177) -- (4.984,2.929) -- (5.042,2.683) -- (5.106,2.439) -- (5.175,2.196);
\draw[line width=0.5pt] (4.735,5.691) -- (5.051,5.435) -- (5.361,5.171) -- (5.665,4.901) -- (5.962,4.623) -- (6.253,4.338) -- (6.537,4.046) -- (6.814,3.748) -- (7.084,3.443) -- (7.346,3.132) -- (7.602,2.815) -- (7.849,2.492) -- (8.089,2.164) -- (8.322,1.83) -- (8.546,1.49);
\draw[line width=0.5pt] (11.123,4.795) -- (11.11,4.612) -- (11.102,4.429) -- (11.098,4.246) -- (11.099,4.063) -- (11.104,3.879) -- (11.113,3.696) -- (11.126,3.513) -- (11.144,3.33) -- (11.166,3.148) -- (11.192,2.967) -- (11.223,2.786) -- (11.258,2.606) -- (11.297,2.427) -- (11.34,2.249);
\draw[line width=0.5pt] (11.123,4.795) -- (10.976,4.533) -- (10.824,4.274) -- (10.665,4.019) -- (10.5,3.767) -- (10.329,3.519) -- (10.153,3.276) -- (9.97,3.036) -- (9.783,2.801) -- (9.589,2.571) -- (9.391,2.345) -- (9.187,2.124) -- (8.978,1.907) -- (8.764,1.696) -- (8.546,1.49);
\draw[line width=0.5pt] (8.722,4.77) -- (8.674,4.54) -- (8.631,4.308) -- (8.593,4.075) -- (8.561,3.842) -- (8.535,3.608) -- (8.514,3.373) -- (8.498,3.137) -- (8.489,2.902) -- (8.484,2.666) -- (8.485,2.43) -- (8.492,2.195) -- (8.504,1.959) -- (8.522,1.724) -- (8.546,1.49);
\draw[line width=0.5pt] (5.175,2.196) -- (5.422,2.183) -- (5.668,2.164) -- (5.914,2.139) -- (6.159,2.108) -- (6.404,2.072) -- (6.647,2.03) -- (6.89,1.982) -- (7.131,1.929) -- (7.371,1.869) -- (7.609,1.805) -- (7.846,1.734) -- (8.081,1.658) -- (8.314,1.577) -- (8.546,1.49);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.487,8.869) -- (8.466,8.949) -- (8.407,9.008) -- (8.327,9.029) -- (8.247,9.008) -- (8.189,8.949) -- (8.167,8.869) -- (8.189,8.789) -- (8.247,8.731) -- (8.327,8.709) -- (8.407,8.731) -- (8.466,8.789) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.037,8.867) -- (2.015,8.947) -- (1.957,9.005) -- (1.877,9.027) -- (1.797,9.005) -- (1.738,8.947) -- (1.717,8.867) -- (1.738,8.787) -- (1.797,8.728) -- (1.877,8.707) -- (1.957,8.728) -- (2.015,8.787) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.895,5.691) -- (4.874,5.771) -- (4.815,5.829) -- (4.735,5.851) -- (4.655,5.829) -- (4.597,5.771) -- (4.575,5.691) -- (4.597,5.611) -- (4.655,5.552) -- (4.735,5.531) -- (4.815,5.552) -- (4.874,5.611) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.283,4.795) -- (11.261,4.875) -- (11.203,4.934) -- (11.123,4.955) -- (11.043,4.934) -- (10.984,4.875) -- (10.963,4.795) -- (10.984,4.715) -- (11.043,4.657) -- (11.123,4.635) -- (11.203,4.657) -- (11.261,4.715) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.882,4.77) -- (8.861,4.85) -- (8.802,4.909) -- (8.722,4.93) -- (8.642,4.909) -- (8.583,4.85) -- (8.562,4.77) -- (8.583,4.69) -- (8.642,4.631) -- (8.722,4.61) -- (8.802,4.631) -- (8.861,4.69) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.5,2.391) -- (1.479,2.471) -- (1.42,2.529) -- (1.34,2.551) -- (1.26,2.529) -- (1.201,2.471) -- (1.18,2.391) -- (1.201,2.311) -- (1.26,2.252) -- (1.34,2.231) -- (1.42,2.252) -- (1.479,2.311) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.5,2.249) -- (11.479,2.329) -- (11.42,2.387) -- (11.34,2.409) -- (11.26,2.387) -- (11.201,2.329) -- (11.18,2.249) -- (11.201,2.169) -- (11.26,2.11) -- (11.34,2.089) -- (11.42,2.11) -- (11.479,2.169) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.335,2.196) -- (5.314,2.276) -- (5.255,2.334) -- (5.175,2.356) -- (5.095,2.334) -- (5.037,2.276) -- (5.015,2.196) -- (5.037,2.116) -- (5.095,2.057) -- (5.175,2.036) -- (5.255,2.057) -- (5.314,2.116) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.706,1.49) -- (8.684,1.57) -- (8.626,1.629) -- (8.546,1.65) -- (8.466,1.629) -- (8.407,1.57) -- (8.386,1.49) -- (8.407,1.41) -- (8.466,1.352) -- (8.546,1.33) -- (8.626,1.352) -- (8.684,1.41) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.952,7.188) -- (6.907,7.358) -- (6.782,7.483) -- (6.612,7.528) -- (6.442,7.483) -- (6.318,7.358) -- (6.272,7.188) -- (6.318,7.018) -- (6.442,6.894) -- (6.612,6.848) -- (6.782,6.894) -- (6.907,7.018) -- cycle;
\node at (6.612,7.188) {\scalebox{1.426}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.497,7.129) -- (10.451,7.299) -- (10.327,7.423) -- (10.157,7.469) -- (9.987,7.423) -- (9.862,7.299) -- (9.817,7.129) -- (9.862,6.959) -- (9.987,6.834) -- (10.157,6.789) -- (10.327,6.834) -- (10.451,6.959) -- cycle;
\node at (10.157,7.129) {\scalebox{1.426}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.753,7.375) -- (3.707,7.545) -- (3.583,7.669) -- (3.413,7.715) -- (3.243,7.669) -- (3.118,7.545) -- (3.073,7.375) -- (3.118,7.205) -- (3.243,7.081) -- (3.413,7.035) -- (3.583,7.081) -- (3.707,7.205) -- cycle;
\node at (3.413,7.375) {\scalebox{1.426}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.768,5.107) -- (2.723,5.277) -- (2.598,5.402) -- (2.428,5.447) -- (2.258,5.402) -- (2.134,5.277) -- (2.088,5.107) -- (2.134,4.937) -- (2.258,4.813) -- (2.428,4.767) -- (2.598,4.813) -- (2.723,4.937) -- cycle;
\node at (2.428,5.107) {\scalebox{1.426}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.103,5.378) -- (7.057,5.548) -- (6.933,5.672) -- (6.763,5.718) -- (6.593,5.672) -- (6.468,5.548) -- (6.423,5.378) -- (6.468,5.208) -- (6.593,5.083) -- (6.763,5.038) -- (6.933,5.083) -- (7.057,5.208) -- cycle;
\node at (6.763,5.378) {\scalebox{1.426}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.737,3.671) -- (3.691,3.841) -- (3.567,3.966) -- (3.397,4.011) -- (3.227,3.966) -- (3.102,3.841) -- (3.057,3.671) -- (3.102,3.501) -- (3.227,3.377) -- (3.397,3.331) -- (3.567,3.377) -- (3.691,3.501) -- cycle;
\node at (3.397,3.671) {\scalebox{1.426}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.469,3.965) -- (5.423,4.135) -- (5.299,4.26) -- (5.129,4.305) -- (4.959,4.26) -- (4.834,4.135) -- (4.789,3.965) -- (4.834,3.795) -- (4.959,3.671) -- (5.129,3.625) -- (5.299,3.671) -- (5.423,3.795) -- cycle;
\node at (5.129,3.965) {\scalebox{1.426}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.391,3.963) -- (7.345,4.133) -- (7.221,4.257) -- (7.051,4.303) -- (6.881,4.257) -- (6.756,4.133) -- (6.711,3.963) -- (6.756,3.793) -- (6.881,3.668) -- (7.051,3.623) -- (7.221,3.668) -- (7.345,3.793) -- cycle;
\node at (7.051,3.963) {\scalebox{1.426}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.785,3.54) -- (11.74,3.71) -- (11.615,3.835) -- (11.445,3.88) -- (11.275,3.835) -- (11.151,3.71) -- (11.105,3.54) -- (11.151,3.37) -- (11.275,3.246) -- (11.445,3.2) -- (11.615,3.246) -- (11.74,3.37) -- cycle;
\node at (11.445,3.54) {\scalebox{1.426}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.563,2.84) -- (10.517,3.01) -- (10.393,3.134) -- (10.223,3.18) -- (10.053,3.134) -- (9.928,3.01) -- (9.883,2.84) -- (9.928,2.67) -- (10.053,2.545) -- (10.223,2.5) -- (10.393,2.545) -- (10.517,2.67) -- cycle;
\node at (10.223,2.84) {\scalebox{1.426}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.158,3.12) -- (9.112,3.29) -- (8.988,3.415) -- (8.818,3.46) -- (8.648,3.415) -- (8.524,3.29) -- (8.478,3.12) -- (8.524,2.95) -- (8.648,2.826) -- (8.818,2.78) -- (8.988,2.826) -- (9.112,2.95) -- cycle;
\node at (8.818,3.12) {\scalebox{1.426}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.295,2.295) -- (7.25,2.465) -- (7.125,2.59) -- (6.955,2.635) -- (6.785,2.59) -- (6.661,2.465) -- (6.615,2.295) -- (6.661,2.125) -- (6.785,2.001) -- (6.955,1.955) -- (7.125,2.001) -- (7.25,2.125) -- cycle;
\node at (6.955,2.295) {\scalebox{1.426}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.04,1.949) -- (11.64,1.949) -- (11.64,2.549) -- (11.04,2.549) -- cycle;
\node at (11.34,2.249) {\scalebox{1.426}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.104,2.398) -- (10.704,2.398) -- (10.704,2.998) -- (10.104,2.998) -- cycle;
\node at (10.404,2.698) {\scalebox{1.426}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.654,2.996) -- (8.254,2.996) -- (8.254,3.596) -- (7.654,3.596) -- cycle;
\node at (7.954,3.296) {\scalebox{1.426}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.81,1.126) -- (7.41,1.126) -- (7.41,1.726) -- (6.81,1.726) -- cycle;
\node at (7.11,1.426) {\scalebox{1.426}{\small d}};
\node at (8.536,9.453) {\scalebox{1.426}{\small A}};
\node at (1.409,9.274) {\scalebox{1.426}{\small B}};
\node at (4.188,5.982) {\scalebox{1.426}{\small C}};
\node at (11.742,4.825) {\scalebox{1.426}{\small D}};
\node at (9.339,4.828) {\scalebox{1.426}{\small E}};
\node at (0.765,2.159) {\scalebox{1.426}{\small F}};
\node at (11.891,1.964) {\scalebox{1.426}{\small G}};
\node at (4.828,1.683) {\scalebox{1.426}{\small H}};
\node at (8.85,0.95) {\scalebox{1.426}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.64,7.919) -- (12.64,9.019);
\draw[line width=0.5pt] (12.409,8.634) -- (12.64,9.019) -- (12.871,8.634);
\draw[line width=0.5pt] (12.338,8.469) -- (12.943,8.469);
\node at (12.64,9.404) {\scalebox{1.426}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① chemin Creux & ⑦ quai aux Fleurs & Ⓐ Place Sainte-Croix & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Pasteur & ⑧ chemin du Lavoir & Ⓑ Place des Tanneurs & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ chemin des Vignes & ⑨ impasse du Puits & Ⓒ Carrefour Saint-Roch & \textbf{c} la bibliothèque \\ \hline
④ rue du Moulin & ⑩ avenue de la Gare & Ⓓ Carrefour des Tilleuls & \textbf{d} le marché couvert \\ \hline
⑤ rue Verte & ⑪ rue des Écoles & Ⓔ Placette des Ormes &  \\ \hline
⑥ venelle du Chat & ⑫ chemin de Ronde & Ⓕ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Carrefour de l'Hôpital &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6277, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.327,8.869) -- (8.038,8.683) -- (7.753,8.49) -- (7.473,8.291) -- (7.197,8.085) -- (6.926,7.872) -- (6.661,7.653) -- (6.4,7.428) -- (6.145,7.197) -- (5.895,6.96) -- (5.651,6.717) -- (5.413,6.469) -- (5.181,6.215) -- (4.955,5.955) -- (4.735,5.691);
\draw[line width=0.5pt] (8.327,8.869) -- (8.57,8.611) -- (8.806,8.347) -- (9.037,8.078) -- (9.261,7.803) -- (9.478,7.523) -- (9.689,7.238) -- (9.893,6.947) -- (10.09,6.653) -- (10.28,6.353) -- (10.464,6.05) -- (10.64,5.742) -- (10.808,5.43) -- (10.969,5.115) -- (11.123,4.795);
\draw[line width=0.5pt] (1.877,8.867) -- (2.044,8.611) -- (2.218,8.358) -- (2.398,8.11) -- (2.584,7.866) -- (2.775,7.626) -- (2.972,7.391) -- (3.175,7.161) -- (3.383,6.935) -- (3.596,6.715) -- (3.814,6.499) -- (4.037,6.289) -- (4.265,6.084) -- (4.498,5.885) -- (4.735,5.691);
\draw[line width=0.5pt] (1.877,8.867) -- (1.934,8.608) -- (1.985,8.349) -- (2.03,8.088) -- (2.069,7.825) -- (2.102,7.562) -- (2.129,7.299) -- (2.149,7.034) -- (2.163,6.77) -- (2.171,6.505) -- (2.173,6.24) -- (2.168,5.975) -- (2.157,5.71) -- (2.14,5.446) -- (2.117,5.182) -- (2.032,4.993) -- (1.95,4.801) -- (1.874,4.608) -- (1.802,4.413) -- (1.734,4.216) -- (1.672,4.018) -- (1.613,3.818) -- (1.56,3.617) -- (1.511,3.415) -- (1.467,3.212) -- (1.428,3.008) -- (1.394,2.803) -- (1.365,2.597) -- (1.34,2.391);
\draw[line width=0.5pt] (4.735,5.691) -- (5.008,5.582) -- (5.283,5.479) -- (5.56,5.384) -- (5.84,5.294) -- (6.122,5.212) -- (6.405,5.135) -- (6.691,5.066) -- (6.978,5.003) -- (7.266,4.947) -- (7.555,4.898) -- (7.846,4.856) -- (8.137,4.82) -- (8.429,4.792) -- (8.722,4.77);
\draw[line width=0.5pt] (4.735,5.691) -- (4.531,5.42) -- (4.32,5.154) -- (4.103,4.892) -- (3.879,4.636) -- (3.65,4.386) -- (3.415,4.14) -- (3.174,3.901) -- (2.927,3.667) -- (2.675,3.438) -- (2.418,3.216) -- (2.156,3.0) -- (1.889,2.791) -- (1.617,2.587) -- (1.34,2.391);
\draw[line width=0.5pt] (4.735,5.691) -- (4.728,5.438) -- (4.727,5.186) -- (4.732,4.933) -- (4.743,4.68) -- (4.76,4.428) -- (4.783,4.176) -- (4.811,3.925) -- (4.846,3.675) -- (4.886,3.425) -- (4.932,3.177) -- (4.984,2.929) -- (5.042,2.683) -- (5.106,2.439) -- (5.175,2.196);
\draw[line width=0.5pt] (4.735,5.691) -- (5.051,5.435) -- (5.361,5.171) -- (5.665,4.901) -- (5.962,4.623) -- (6.253,4.338) -- (6.537,4.046) -- (6.814,3.748) -- (7.084,3.443) -- (7.346,3.132) -- (7.602,2.815) -- (7.849,2.492) -- (8.089,2.164) -- (8.322,1.83) -- (8.546,1.49);
\draw[line width=0.5pt] (11.123,4.795) -- (11.11,4.612) -- (11.102,4.429) -- (11.098,4.246) -- (11.099,4.063) -- (11.104,3.879) -- (11.113,3.696) -- (11.126,3.513) -- (11.144,3.33) -- (11.166,3.148) -- (11.192,2.967) -- (11.223,2.786) -- (11.258,2.606) -- (11.297,2.427) -- (11.34,2.249);
\draw[line width=0.5pt] (11.123,4.795) -- (10.976,4.533) -- (10.824,4.274) -- (10.665,4.019) -- (10.5,3.767) -- (10.329,3.519) -- (10.153,3.276) -- (9.97,3.036) -- (9.783,2.801) -- (9.589,2.571) -- (9.391,2.345) -- (9.187,2.124) -- (8.978,1.907) -- (8.764,1.696) -- (8.546,1.49);
\draw[line width=0.5pt] (8.722,4.77) -- (8.674,4.54) -- (8.631,4.308) -- (8.593,4.075) -- (8.561,3.842) -- (8.535,3.608) -- (8.514,3.373) -- (8.498,3.137) -- (8.489,2.902) -- (8.484,2.666) -- (8.485,2.43) -- (8.492,2.195) -- (8.504,1.959) -- (8.522,1.724) -- (8.546,1.49);
\draw[line width=0.5pt] (5.175,2.196) -- (5.422,2.183) -- (5.668,2.164) -- (5.914,2.139) -- (6.159,2.108) -- (6.404,2.072) -- (6.647,2.03) -- (6.89,1.982) -- (7.131,1.929) -- (7.371,1.869) -- (7.609,1.805) -- (7.846,1.734) -- (8.081,1.658) -- (8.314,1.577) -- (8.546,1.49);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.487,8.869) -- (8.466,8.949) -- (8.407,9.008) -- (8.327,9.029) -- (8.247,9.008) -- (8.189,8.949) -- (8.167,8.869) -- (8.189,8.789) -- (8.247,8.731) -- (8.327,8.709) -- (8.407,8.731) -- (8.466,8.789) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.037,8.867) -- (2.015,8.947) -- (1.957,9.005) -- (1.877,9.027) -- (1.797,9.005) -- (1.738,8.947) -- (1.717,8.867) -- (1.738,8.787) -- (1.797,8.728) -- (1.877,8.707) -- (1.957,8.728) -- (2.015,8.787) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.895,5.691) -- (4.874,5.771) -- (4.815,5.829) -- (4.735,5.851) -- (4.655,5.829) -- (4.597,5.771) -- (4.575,5.691) -- (4.597,5.611) -- (4.655,5.552) -- (4.735,5.531) -- (4.815,5.552) -- (4.874,5.611) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.283,4.795) -- (11.261,4.875) -- (11.203,4.934) -- (11.123,4.955) -- (11.043,4.934) -- (10.984,4.875) -- (10.963,4.795) -- (10.984,4.715) -- (11.043,4.657) -- (11.123,4.635) -- (11.203,4.657) -- (11.261,4.715) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.882,4.77) -- (8.861,4.85) -- (8.802,4.909) -- (8.722,4.93) -- (8.642,4.909) -- (8.583,4.85) -- (8.562,4.77) -- (8.583,4.69) -- (8.642,4.631) -- (8.722,4.61) -- (8.802,4.631) -- (8.861,4.69) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.5,2.391) -- (1.479,2.471) -- (1.42,2.529) -- (1.34,2.551) -- (1.26,2.529) -- (1.201,2.471) -- (1.18,2.391) -- (1.201,2.311) -- (1.26,2.252) -- (1.34,2.231) -- (1.42,2.252) -- (1.479,2.311) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.5,2.249) -- (11.479,2.329) -- (11.42,2.387) -- (11.34,2.409) -- (11.26,2.387) -- (11.201,2.329) -- (11.18,2.249) -- (11.201,2.169) -- (11.26,2.11) -- (11.34,2.089) -- (11.42,2.11) -- (11.479,2.169) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.335,2.196) -- (5.314,2.276) -- (5.255,2.334) -- (5.175,2.356) -- (5.095,2.334) -- (5.037,2.276) -- (5.015,2.196) -- (5.037,2.116) -- (5.095,2.057) -- (5.175,2.036) -- (5.255,2.057) -- (5.314,2.116) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.706,1.49) -- (8.684,1.57) -- (8.626,1.629) -- (8.546,1.65) -- (8.466,1.629) -- (8.407,1.57) -- (8.386,1.49) -- (8.407,1.41) -- (8.466,1.352) -- (8.546,1.33) -- (8.626,1.352) -- (8.684,1.41) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.952,7.188) -- (6.907,7.358) -- (6.782,7.483) -- (6.612,7.528) -- (6.442,7.483) -- (6.318,7.358) -- (6.272,7.188) -- (6.318,7.018) -- (6.442,6.894) -- (6.612,6.848) -- (6.782,6.894) -- (6.907,7.018) -- cycle;
\node at (6.612,7.188) {\scalebox{1.593}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.497,7.129) -- (10.451,7.299) -- (10.327,7.423) -- (10.157,7.469) -- (9.987,7.423) -- (9.862,7.299) -- (9.817,7.129) -- (9.862,6.959) -- (9.987,6.834) -- (10.157,6.789) -- (10.327,6.834) -- (10.451,6.959) -- cycle;
\node at (10.157,7.129) {\scalebox{1.593}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.753,7.375) -- (3.707,7.545) -- (3.583,7.669) -- (3.413,7.715) -- (3.243,7.669) -- (3.118,7.545) -- (3.073,7.375) -- (3.118,7.205) -- (3.243,7.081) -- (3.413,7.035) -- (3.583,7.081) -- (3.707,7.205) -- cycle;
\node at (3.413,7.375) {\scalebox{1.593}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.768,5.107) -- (2.723,5.277) -- (2.598,5.402) -- (2.428,5.447) -- (2.258,5.402) -- (2.134,5.277) -- (2.088,5.107) -- (2.134,4.937) -- (2.258,4.813) -- (2.428,4.767) -- (2.598,4.813) -- (2.723,4.937) -- cycle;
\node at (2.428,5.107) {\scalebox{1.593}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.103,5.378) -- (7.057,5.548) -- (6.933,5.672) -- (6.763,5.718) -- (6.593,5.672) -- (6.468,5.548) -- (6.423,5.378) -- (6.468,5.208) -- (6.593,5.083) -- (6.763,5.038) -- (6.933,5.083) -- (7.057,5.208) -- cycle;
\node at (6.763,5.378) {\scalebox{1.593}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.737,3.671) -- (3.691,3.841) -- (3.567,3.966) -- (3.397,4.011) -- (3.227,3.966) -- (3.102,3.841) -- (3.057,3.671) -- (3.102,3.501) -- (3.227,3.377) -- (3.397,3.331) -- (3.567,3.377) -- (3.691,3.501) -- cycle;
\node at (3.397,3.671) {\scalebox{1.593}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.469,3.965) -- (5.423,4.135) -- (5.299,4.26) -- (5.129,4.305) -- (4.959,4.26) -- (4.834,4.135) -- (4.789,3.965) -- (4.834,3.795) -- (4.959,3.671) -- (5.129,3.625) -- (5.299,3.671) -- (5.423,3.795) -- cycle;
\node at (5.129,3.965) {\scalebox{1.593}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.391,3.963) -- (7.345,4.133) -- (7.221,4.257) -- (7.051,4.303) -- (6.881,4.257) -- (6.756,4.133) -- (6.711,3.963) -- (6.756,3.793) -- (6.881,3.668) -- (7.051,3.623) -- (7.221,3.668) -- (7.345,3.793) -- cycle;
\node at (7.051,3.963) {\scalebox{1.593}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.785,3.54) -- (11.74,3.71) -- (11.615,3.835) -- (11.445,3.88) -- (11.275,3.835) -- (11.151,3.71) -- (11.105,3.54) -- (11.151,3.37) -- (11.275,3.246) -- (11.445,3.2) -- (11.615,3.246) -- (11.74,3.37) -- cycle;
\node at (11.445,3.54) {\scalebox{1.593}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.563,2.84) -- (10.517,3.01) -- (10.393,3.134) -- (10.223,3.18) -- (10.053,3.134) -- (9.928,3.01) -- (9.883,2.84) -- (9.928,2.67) -- (10.053,2.545) -- (10.223,2.5) -- (10.393,2.545) -- (10.517,2.67) -- cycle;
\node at (10.223,2.84) {\scalebox{1.593}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.158,3.12) -- (9.112,3.29) -- (8.988,3.415) -- (8.818,3.46) -- (8.648,3.415) -- (8.524,3.29) -- (8.478,3.12) -- (8.524,2.95) -- (8.648,2.826) -- (8.818,2.78) -- (8.988,2.826) -- (9.112,2.95) -- cycle;
\node at (8.818,3.12) {\scalebox{1.593}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.295,2.295) -- (7.25,2.465) -- (7.125,2.59) -- (6.955,2.635) -- (6.785,2.59) -- (6.661,2.465) -- (6.615,2.295) -- (6.661,2.125) -- (6.785,2.001) -- (6.955,1.955) -- (7.125,2.001) -- (7.25,2.125) -- cycle;
\node at (6.955,2.295) {\scalebox{1.593}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (11.04,1.949) -- (11.64,1.949) -- (11.64,2.549) -- (11.04,2.549) -- cycle;
\node at (11.34,2.249) {\scalebox{1.593}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.104,2.398) -- (10.704,2.398) -- (10.704,2.998) -- (10.104,2.998) -- cycle;
\node at (10.404,2.698) {\scalebox{1.593}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.654,2.996) -- (8.254,2.996) -- (8.254,3.596) -- (7.654,3.596) -- cycle;
\node at (7.954,3.296) {\scalebox{1.593}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.81,1.126) -- (7.41,1.126) -- (7.41,1.726) -- (6.81,1.726) -- cycle;
\node at (7.11,1.426) {\scalebox{1.593}{\small d}};
\node at (8.536,9.453) {\scalebox{1.593}{\small A}};
\node at (1.409,9.274) {\scalebox{1.593}{\small B}};
\node at (4.188,5.982) {\scalebox{1.593}{\small C}};
\node at (11.742,4.825) {\scalebox{1.593}{\small D}};
\node at (9.339,4.828) {\scalebox{1.593}{\small E}};
\node at (0.765,2.159) {\scalebox{1.593}{\small F}};
\node at (11.891,1.964) {\scalebox{1.593}{\small G}};
\node at (4.828,1.683) {\scalebox{1.593}{\small H}};
\node at (8.85,0.95) {\scalebox{1.593}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.64,7.919) -- (12.64,9.019);
\draw[line width=0.5pt] (12.409,8.634) -- (12.64,9.019) -- (12.871,8.634);
\draw[line width=0.5pt] (12.338,8.469) -- (12.943,8.469);
\node at (12.64,9.404) {\scalebox{1.593}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 6 & 3 & 2 & 2 & 1 & 2 & 4 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{D}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{G}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{D} et \textbf{G}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{G}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en D}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Place du Marché \textbf{(G)}, prend l'\textbf{impasse du Puits ⑨} vers le nord et atteint Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue Pasteur ②}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin Creux ①}, vers le sud-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin des Vignes ③}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue du Moulin ④}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ⑥}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Verte ⑤}, vers l'est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Écoles ⑪}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(I)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑦}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑫}, vers l'est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑩}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(D)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{D} ou en \textbf{G} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
