\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 173}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=173}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0173}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7045, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.279,8.75) -- (8.482,8.657) -- (8.688,8.569) -- (8.896,8.487) -- (9.106,8.409) -- (9.318,8.336) -- (9.531,8.268) -- (9.746,8.205) -- (9.962,8.147) -- (10.18,8.094) -- (10.399,8.046) -- (10.619,8.003) -- (10.839,7.966) -- (11.061,7.934) -- (11.283,7.907);
\draw[line width=0.5pt] (8.279,8.75) -- (8.053,8.459) -- (7.821,8.174) -- (7.582,7.894) -- (7.336,7.62) -- (7.084,7.352) -- (6.825,7.089) -- (6.561,6.833) -- (6.29,6.583) -- (6.014,6.34) -- (5.732,6.103) -- (5.445,5.873) -- (5.153,5.649) -- (4.855,5.433) -- (4.552,5.224);
\draw[line width=0.5pt] (1.283,8.608) -- (1.477,8.332) -- (1.679,8.061) -- (1.886,7.795) -- (2.1,7.534) -- (2.32,7.278) -- (2.546,7.027) -- (2.778,6.781) -- (3.015,6.541) -- (3.259,6.306) -- (3.507,6.078) -- (3.761,5.855) -- (4.02,5.638) -- (4.284,5.428) -- (4.552,5.224);
\draw[line width=0.5pt] (11.283,7.907) -- (11.286,7.75) -- (11.284,7.592) -- (11.28,7.434) -- (11.271,7.277) -- (11.259,7.12) -- (11.243,6.963) -- (11.224,6.806) -- (11.201,6.65) -- (11.174,6.494) -- (11.143,6.34) -- (11.109,6.186) -- (11.071,6.033) -- (11.03,5.88) -- (10.985,5.729);
\draw[line width=0.5pt] (10.985,5.729) -- (10.809,5.734) -- (10.634,5.735) -- (10.458,5.732) -- (10.283,5.724) -- (10.107,5.712) -- (9.932,5.696) -- (9.758,5.677) -- (9.584,5.653) -- (9.41,5.624) -- (9.237,5.592) -- (9.065,5.556) -- (8.894,5.516) -- (8.724,5.472) -- (8.556,5.423) -- (8.274,5.365) -- (7.991,5.314) -- (7.707,5.27) -- (7.422,5.232) -- (7.136,5.201) -- (6.849,5.176) -- (6.562,5.159) -- (6.275,5.148) -- (5.987,5.143) -- (5.699,5.146) -- (5.412,5.155) -- (5.125,5.171) -- (4.838,5.194) -- (4.552,5.224);
\draw[line width=0.5pt] (4.552,5.224) -- (4.805,5.027) -- (5.053,4.824) -- (5.297,4.614) -- (5.535,4.4) -- (5.769,4.179) -- (5.997,3.953) -- (6.22,3.722) -- (6.437,3.486) -- (6.649,3.244) -- (6.855,2.998) -- (7.055,2.747) -- (7.249,2.492) -- (7.437,2.232) -- (7.619,1.967);
\draw[line width=0.5pt] (4.552,5.224) -- (4.307,4.988) -- (4.068,4.747) -- (3.834,4.499) -- (3.606,4.247) -- (3.384,3.988) -- (3.169,3.725) -- (2.959,3.457) -- (2.756,3.184) -- (2.559,2.906) -- (2.369,2.624) -- (2.186,2.337) -- (2.009,2.046) -- (1.84,1.751) -- (1.677,1.452);
\draw[line width=0.5pt] (5.112,2.726) -- (5.298,2.7) -- (5.483,2.669) -- (5.668,2.634) -- (5.852,2.594) -- (6.034,2.55) -- (6.216,2.502) -- (6.397,2.45) -- (6.576,2.393) -- (6.754,2.333) -- (6.93,2.268) -- (7.105,2.199) -- (7.278,2.126) -- (7.449,2.048) -- (7.619,1.967);
\draw[line width=0.5pt] (5.112,2.726) -- (4.855,2.673) -- (4.599,2.615) -- (4.344,2.55) -- (4.091,2.479) -- (3.839,2.402) -- (3.59,2.319) -- (3.342,2.231) -- (3.097,2.137) -- (2.854,2.037) -- (2.613,1.931) -- (2.375,1.82) -- (2.139,1.703) -- (1.907,1.58) -- (1.677,1.452);
\draw[line width=0.5pt] (10.936,2.053) -- (10.702,2.01) -- (10.467,1.974) -- (10.231,1.942) -- (9.994,1.917) -- (9.757,1.897) -- (9.519,1.882) -- (9.281,1.873) -- (9.043,1.87) -- (8.805,1.872) -- (8.567,1.88) -- (8.329,1.893) -- (8.091,1.912) -- (7.855,1.937) -- (7.619,1.967);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.439,8.75) -- (8.417,8.83) -- (8.359,8.888) -- (8.279,8.91) -- (8.199,8.888) -- (8.14,8.83) -- (8.119,8.75) -- (8.14,8.67) -- (8.199,8.611) -- (8.279,8.59) -- (8.359,8.611) -- (8.417,8.67) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.443,8.608) -- (1.421,8.688) -- (1.363,8.746) -- (1.283,8.768) -- (1.203,8.746) -- (1.144,8.688) -- (1.123,8.608) -- (1.144,8.528) -- (1.203,8.469) -- (1.283,8.448) -- (1.363,8.469) -- (1.421,8.528) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.443,7.907) -- (11.421,7.987) -- (11.363,8.046) -- (11.283,8.067) -- (11.203,8.046) -- (11.144,7.987) -- (11.123,7.907) -- (11.144,7.827) -- (11.203,7.769) -- (11.283,7.747) -- (11.363,7.769) -- (11.421,7.827) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.145,5.729) -- (11.124,5.809) -- (11.065,5.868) -- (10.985,5.889) -- (10.905,5.868) -- (10.846,5.809) -- (10.825,5.729) -- (10.846,5.649) -- (10.905,5.591) -- (10.985,5.569) -- (11.065,5.591) -- (11.124,5.649) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.712,5.224) -- (4.691,5.304) -- (4.632,5.363) -- (4.552,5.384) -- (4.472,5.363) -- (4.414,5.304) -- (4.392,5.224) -- (4.414,5.144) -- (4.472,5.085) -- (4.552,5.064) -- (4.632,5.085) -- (4.691,5.144) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.272,2.726) -- (5.251,2.806) -- (5.192,2.865) -- (5.112,2.886) -- (5.032,2.865) -- (4.974,2.806) -- (4.952,2.726) -- (4.974,2.646) -- (5.032,2.587) -- (5.112,2.566) -- (5.192,2.587) -- (5.251,2.646) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.096,2.053) -- (11.075,2.133) -- (11.016,2.191) -- (10.936,2.213) -- (10.856,2.191) -- (10.798,2.133) -- (10.776,2.053) -- (10.798,1.973) -- (10.856,1.914) -- (10.936,1.893) -- (11.016,1.914) -- (11.075,1.973) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.779,1.967) -- (7.757,2.047) -- (7.699,2.106) -- (7.619,2.127) -- (7.539,2.106) -- (7.48,2.047) -- (7.459,1.967) -- (7.48,1.887) -- (7.539,1.829) -- (7.619,1.807) -- (7.699,1.829) -- (7.757,1.887) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.837,1.452) -- (1.816,1.532) -- (1.757,1.591) -- (1.677,1.612) -- (1.597,1.591) -- (1.539,1.532) -- (1.517,1.452) -- (1.539,1.372) -- (1.597,1.314) -- (1.677,1.292) -- (1.757,1.314) -- (1.816,1.372) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.172,8.513) -- (10.127,8.683) -- (10.002,8.807) -- (9.832,8.853) -- (9.662,8.807) -- (9.538,8.683) -- (9.492,8.513) -- (9.538,8.343) -- (9.662,8.218) -- (9.832,8.173) -- (10.002,8.218) -- (10.127,8.343) -- cycle;
\node at (9.832,8.513) {\scalebox{1.419}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.121,6.601) -- (7.075,6.771) -- (6.951,6.895) -- (6.781,6.941) -- (6.611,6.895) -- (6.486,6.771) -- (6.441,6.601) -- (6.486,6.431) -- (6.611,6.306) -- (6.781,6.261) -- (6.951,6.306) -- (7.075,6.431) -- cycle;
\node at (6.781,6.601) {\scalebox{1.419}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.348,7.003) -- (3.302,7.173) -- (3.178,7.298) -- (3.008,7.343) -- (2.838,7.298) -- (2.714,7.173) -- (2.668,7.003) -- (2.714,6.833) -- (2.838,6.709) -- (3.008,6.663) -- (3.178,6.709) -- (3.302,6.833) -- cycle;
\node at (3.008,7.003) {\scalebox{1.419}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.881,6.763) -- (11.835,6.933) -- (11.711,7.057) -- (11.541,7.103) -- (11.371,7.057) -- (11.246,6.933) -- (11.201,6.763) -- (11.246,6.593) -- (11.371,6.468) -- (11.541,6.423) -- (11.711,6.468) -- (11.835,6.593) -- cycle;
\node at (11.541,6.763) {\scalebox{1.419}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.969,5.112) -- (8.924,5.282) -- (8.799,5.406) -- (8.629,5.452) -- (8.459,5.406) -- (8.335,5.282) -- (8.289,5.112) -- (8.335,4.942) -- (8.459,4.817) -- (8.629,4.772) -- (8.799,4.817) -- (8.924,4.942) -- cycle;
\node at (8.629,5.112) {\scalebox{1.419}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.793,3.942) -- (6.747,4.112) -- (6.623,4.236) -- (6.453,4.282) -- (6.283,4.236) -- (6.158,4.112) -- (6.113,3.942) -- (6.158,3.772) -- (6.283,3.647) -- (6.453,3.602) -- (6.623,3.647) -- (6.747,3.772) -- cycle;
\node at (6.453,3.942) {\scalebox{1.419}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.554,3.263) -- (3.508,3.433) -- (3.384,3.557) -- (3.214,3.603) -- (3.044,3.557) -- (2.919,3.433) -- (2.874,3.263) -- (2.919,3.093) -- (3.044,2.968) -- (3.214,2.923) -- (3.384,2.968) -- (3.508,3.093) -- cycle;
\node at (3.214,3.263) {\scalebox{1.419}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.829,2.756) -- (6.784,2.926) -- (6.659,3.051) -- (6.489,3.096) -- (6.319,3.051) -- (6.195,2.926) -- (6.149,2.756) -- (6.195,2.586) -- (6.319,2.462) -- (6.489,2.416) -- (6.659,2.462) -- (6.784,2.586) -- cycle;
\node at (6.489,2.756) {\scalebox{1.419}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.793,1.931) -- (3.748,2.101) -- (3.623,2.225) -- (3.453,2.271) -- (3.283,2.225) -- (3.159,2.101) -- (3.113,1.931) -- (3.159,1.761) -- (3.283,1.636) -- (3.453,1.591) -- (3.623,1.636) -- (3.748,1.761) -- cycle;
\node at (3.453,1.931) {\scalebox{1.419}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.629,1.553) -- (9.584,1.723) -- (9.459,1.848) -- (9.289,1.893) -- (9.119,1.848) -- (8.995,1.723) -- (8.949,1.553) -- (8.995,1.383) -- (9.119,1.259) -- (9.289,1.213) -- (9.459,1.259) -- (9.584,1.383) -- cycle;
\node at (9.289,1.553) {\scalebox{1.419}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.252,4.924) -- (4.852,4.924) -- (4.852,5.524) -- (4.252,5.524) -- cycle;
\node at (4.552,5.224) {\scalebox{1.419}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.088,1.589) -- (6.688,1.589) -- (6.688,2.189) -- (6.088,2.189) -- cycle;
\node at (6.388,1.889) {\scalebox{1.419}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.32,3.799) -- (6.92,3.799) -- (6.92,4.399) -- (6.32,4.399) -- cycle;
\node at (6.62,4.099) {\scalebox{1.419}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.443,0.65) -- (3.043,0.65) -- (3.043,1.25) -- (2.443,1.25) -- cycle;
\node at (2.743,0.95) {\scalebox{1.419}{\small d}};
\node at (8.495,9.331) {\scalebox{1.419}{\small A}};
\node at (0.765,8.949) {\scalebox{1.419}{\small B}};
\node at (11.797,8.253) {\scalebox{1.419}{\small C}};
\node at (11.594,5.847) {\scalebox{1.419}{\small D}};
\node at (3.937,5.301) {\scalebox{1.419}{\small E}};
\node at (4.728,2.24) {\scalebox{1.419}{\small F}};
\node at (11.443,1.695) {\scalebox{1.419}{\small G}};
\node at (7.773,1.367) {\scalebox{1.419}{\small H}};
\node at (1.163,1.107) {\scalebox{1.419}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.583,7.8) -- (12.583,8.9);
\draw[line width=0.5pt] (12.352,8.515) -- (12.583,8.9) -- (12.814,8.515);
\draw[line width=0.5pt] (12.28,8.35) -- (12.885,8.35);
\node at (12.583,9.285) {\scalebox{1.419}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① boulevard du Parc & ⑥ chemin de Ronde & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② venelle du Chat & ⑦ rue Basse & Ⓑ Place de la Fontaine & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ impasse Verte & ⑧ rue du Four & Ⓒ Place du Vieux-Puits & \textbf{c} le lavoir \\ \hline
④ rue Pasteur & ⑨ passage du Marché & Ⓓ Placette des Ormes & \textbf{d} la bibliothèque \\ \hline
⑤ chemin du Lavoir & ⑩ impasse du Puits & Ⓔ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de l'Église &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place du Marché &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6303, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (8.279,8.75) -- (8.482,8.657) -- (8.688,8.569) -- (8.896,8.487) -- (9.106,8.409) -- (9.318,8.336) -- (9.531,8.268) -- (9.746,8.205) -- (9.962,8.147) -- (10.18,8.094) -- (10.399,8.046) -- (10.619,8.003) -- (10.839,7.966) -- (11.061,7.934) -- (11.283,7.907);
\draw[line width=0.5pt] (8.279,8.75) -- (8.053,8.459) -- (7.821,8.174) -- (7.582,7.894) -- (7.336,7.62) -- (7.084,7.352) -- (6.825,7.089) -- (6.561,6.833) -- (6.29,6.583) -- (6.014,6.34) -- (5.732,6.103) -- (5.445,5.873) -- (5.153,5.649) -- (4.855,5.433) -- (4.552,5.224);
\draw[line width=0.5pt] (1.283,8.608) -- (1.477,8.332) -- (1.679,8.061) -- (1.886,7.795) -- (2.1,7.534) -- (2.32,7.278) -- (2.546,7.027) -- (2.778,6.781) -- (3.015,6.541) -- (3.259,6.306) -- (3.507,6.078) -- (3.761,5.855) -- (4.02,5.638) -- (4.284,5.428) -- (4.552,5.224);
\draw[line width=0.5pt] (11.283,7.907) -- (11.286,7.75) -- (11.284,7.592) -- (11.28,7.434) -- (11.271,7.277) -- (11.259,7.12) -- (11.243,6.963) -- (11.224,6.806) -- (11.201,6.65) -- (11.174,6.494) -- (11.143,6.34) -- (11.109,6.186) -- (11.071,6.033) -- (11.03,5.88) -- (10.985,5.729);
\draw[line width=0.5pt] (10.985,5.729) -- (10.809,5.734) -- (10.634,5.735) -- (10.458,5.732) -- (10.283,5.724) -- (10.107,5.712) -- (9.932,5.696) -- (9.758,5.677) -- (9.584,5.653) -- (9.41,5.624) -- (9.237,5.592) -- (9.065,5.556) -- (8.894,5.516) -- (8.724,5.472) -- (8.556,5.423) -- (8.274,5.365) -- (7.991,5.314) -- (7.707,5.27) -- (7.422,5.232) -- (7.136,5.201) -- (6.849,5.176) -- (6.562,5.159) -- (6.275,5.148) -- (5.987,5.143) -- (5.699,5.146) -- (5.412,5.155) -- (5.125,5.171) -- (4.838,5.194) -- (4.552,5.224);
\draw[line width=0.5pt] (4.552,5.224) -- (4.805,5.027) -- (5.053,4.824) -- (5.297,4.614) -- (5.535,4.4) -- (5.769,4.179) -- (5.997,3.953) -- (6.22,3.722) -- (6.437,3.486) -- (6.649,3.244) -- (6.855,2.998) -- (7.055,2.747) -- (7.249,2.492) -- (7.437,2.232) -- (7.619,1.967);
\draw[line width=0.5pt] (4.552,5.224) -- (4.307,4.988) -- (4.068,4.747) -- (3.834,4.499) -- (3.606,4.247) -- (3.384,3.988) -- (3.169,3.725) -- (2.959,3.457) -- (2.756,3.184) -- (2.559,2.906) -- (2.369,2.624) -- (2.186,2.337) -- (2.009,2.046) -- (1.84,1.751) -- (1.677,1.452);
\draw[line width=0.5pt] (5.112,2.726) -- (5.298,2.7) -- (5.483,2.669) -- (5.668,2.634) -- (5.852,2.594) -- (6.034,2.55) -- (6.216,2.502) -- (6.397,2.45) -- (6.576,2.393) -- (6.754,2.333) -- (6.93,2.268) -- (7.105,2.199) -- (7.278,2.126) -- (7.449,2.048) -- (7.619,1.967);
\draw[line width=0.5pt] (5.112,2.726) -- (4.855,2.673) -- (4.599,2.615) -- (4.344,2.55) -- (4.091,2.479) -- (3.839,2.402) -- (3.59,2.319) -- (3.342,2.231) -- (3.097,2.137) -- (2.854,2.037) -- (2.613,1.931) -- (2.375,1.82) -- (2.139,1.703) -- (1.907,1.58) -- (1.677,1.452);
\draw[line width=0.5pt] (10.936,2.053) -- (10.702,2.01) -- (10.467,1.974) -- (10.231,1.942) -- (9.994,1.917) -- (9.757,1.897) -- (9.519,1.882) -- (9.281,1.873) -- (9.043,1.87) -- (8.805,1.872) -- (8.567,1.88) -- (8.329,1.893) -- (8.091,1.912) -- (7.855,1.937) -- (7.619,1.967);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.439,8.75) -- (8.417,8.83) -- (8.359,8.888) -- (8.279,8.91) -- (8.199,8.888) -- (8.14,8.83) -- (8.119,8.75) -- (8.14,8.67) -- (8.199,8.611) -- (8.279,8.59) -- (8.359,8.611) -- (8.417,8.67) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.443,8.608) -- (1.421,8.688) -- (1.363,8.746) -- (1.283,8.768) -- (1.203,8.746) -- (1.144,8.688) -- (1.123,8.608) -- (1.144,8.528) -- (1.203,8.469) -- (1.283,8.448) -- (1.363,8.469) -- (1.421,8.528) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.443,7.907) -- (11.421,7.987) -- (11.363,8.046) -- (11.283,8.067) -- (11.203,8.046) -- (11.144,7.987) -- (11.123,7.907) -- (11.144,7.827) -- (11.203,7.769) -- (11.283,7.747) -- (11.363,7.769) -- (11.421,7.827) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.145,5.729) -- (11.124,5.809) -- (11.065,5.868) -- (10.985,5.889) -- (10.905,5.868) -- (10.846,5.809) -- (10.825,5.729) -- (10.846,5.649) -- (10.905,5.591) -- (10.985,5.569) -- (11.065,5.591) -- (11.124,5.649) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.712,5.224) -- (4.691,5.304) -- (4.632,5.363) -- (4.552,5.384) -- (4.472,5.363) -- (4.414,5.304) -- (4.392,5.224) -- (4.414,5.144) -- (4.472,5.085) -- (4.552,5.064) -- (4.632,5.085) -- (4.691,5.144) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.272,2.726) -- (5.251,2.806) -- (5.192,2.865) -- (5.112,2.886) -- (5.032,2.865) -- (4.974,2.806) -- (4.952,2.726) -- (4.974,2.646) -- (5.032,2.587) -- (5.112,2.566) -- (5.192,2.587) -- (5.251,2.646) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.096,2.053) -- (11.075,2.133) -- (11.016,2.191) -- (10.936,2.213) -- (10.856,2.191) -- (10.798,2.133) -- (10.776,2.053) -- (10.798,1.973) -- (10.856,1.914) -- (10.936,1.893) -- (11.016,1.914) -- (11.075,1.973) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.779,1.967) -- (7.757,2.047) -- (7.699,2.106) -- (7.619,2.127) -- (7.539,2.106) -- (7.48,2.047) -- (7.459,1.967) -- (7.48,1.887) -- (7.539,1.829) -- (7.619,1.807) -- (7.699,1.829) -- (7.757,1.887) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.837,1.452) -- (1.816,1.532) -- (1.757,1.591) -- (1.677,1.612) -- (1.597,1.591) -- (1.539,1.532) -- (1.517,1.452) -- (1.539,1.372) -- (1.597,1.314) -- (1.677,1.292) -- (1.757,1.314) -- (1.816,1.372) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.172,8.513) -- (10.127,8.683) -- (10.002,8.807) -- (9.832,8.853) -- (9.662,8.807) -- (9.538,8.683) -- (9.492,8.513) -- (9.538,8.343) -- (9.662,8.218) -- (9.832,8.173) -- (10.002,8.218) -- (10.127,8.343) -- cycle;
\node at (9.832,8.513) {\scalebox{1.587}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.121,6.601) -- (7.075,6.771) -- (6.951,6.895) -- (6.781,6.941) -- (6.611,6.895) -- (6.486,6.771) -- (6.441,6.601) -- (6.486,6.431) -- (6.611,6.306) -- (6.781,6.261) -- (6.951,6.306) -- (7.075,6.431) -- cycle;
\node at (6.781,6.601) {\scalebox{1.587}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.348,7.003) -- (3.302,7.173) -- (3.178,7.298) -- (3.008,7.343) -- (2.838,7.298) -- (2.714,7.173) -- (2.668,7.003) -- (2.714,6.833) -- (2.838,6.709) -- (3.008,6.663) -- (3.178,6.709) -- (3.302,6.833) -- cycle;
\node at (3.008,7.003) {\scalebox{1.587}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.881,6.763) -- (11.835,6.933) -- (11.711,7.057) -- (11.541,7.103) -- (11.371,7.057) -- (11.246,6.933) -- (11.201,6.763) -- (11.246,6.593) -- (11.371,6.468) -- (11.541,6.423) -- (11.711,6.468) -- (11.835,6.593) -- cycle;
\node at (11.541,6.763) {\scalebox{1.587}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.969,5.112) -- (8.924,5.282) -- (8.799,5.406) -- (8.629,5.452) -- (8.459,5.406) -- (8.335,5.282) -- (8.289,5.112) -- (8.335,4.942) -- (8.459,4.817) -- (8.629,4.772) -- (8.799,4.817) -- (8.924,4.942) -- cycle;
\node at (8.629,5.112) {\scalebox{1.587}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.793,3.942) -- (6.747,4.112) -- (6.623,4.236) -- (6.453,4.282) -- (6.283,4.236) -- (6.158,4.112) -- (6.113,3.942) -- (6.158,3.772) -- (6.283,3.647) -- (6.453,3.602) -- (6.623,3.647) -- (6.747,3.772) -- cycle;
\node at (6.453,3.942) {\scalebox{1.587}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.554,3.263) -- (3.508,3.433) -- (3.384,3.557) -- (3.214,3.603) -- (3.044,3.557) -- (2.919,3.433) -- (2.874,3.263) -- (2.919,3.093) -- (3.044,2.968) -- (3.214,2.923) -- (3.384,2.968) -- (3.508,3.093) -- cycle;
\node at (3.214,3.263) {\scalebox{1.587}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.829,2.756) -- (6.784,2.926) -- (6.659,3.051) -- (6.489,3.096) -- (6.319,3.051) -- (6.195,2.926) -- (6.149,2.756) -- (6.195,2.586) -- (6.319,2.462) -- (6.489,2.416) -- (6.659,2.462) -- (6.784,2.586) -- cycle;
\node at (6.489,2.756) {\scalebox{1.587}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.793,1.931) -- (3.748,2.101) -- (3.623,2.225) -- (3.453,2.271) -- (3.283,2.225) -- (3.159,2.101) -- (3.113,1.931) -- (3.159,1.761) -- (3.283,1.636) -- (3.453,1.591) -- (3.623,1.636) -- (3.748,1.761) -- cycle;
\node at (3.453,1.931) {\scalebox{1.587}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.629,1.553) -- (9.584,1.723) -- (9.459,1.848) -- (9.289,1.893) -- (9.119,1.848) -- (8.995,1.723) -- (8.949,1.553) -- (8.995,1.383) -- (9.119,1.259) -- (9.289,1.213) -- (9.459,1.259) -- (9.584,1.383) -- cycle;
\node at (9.289,1.553) {\scalebox{1.587}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.252,4.924) -- (4.852,4.924) -- (4.852,5.524) -- (4.252,5.524) -- cycle;
\node at (4.552,5.224) {\scalebox{1.587}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.088,1.589) -- (6.688,1.589) -- (6.688,2.189) -- (6.088,2.189) -- cycle;
\node at (6.388,1.889) {\scalebox{1.587}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.32,3.799) -- (6.92,3.799) -- (6.92,4.399) -- (6.32,4.399) -- cycle;
\node at (6.62,4.099) {\scalebox{1.587}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.443,0.65) -- (3.043,0.65) -- (3.043,1.25) -- (2.443,1.25) -- cycle;
\node at (2.743,0.95) {\scalebox{1.587}{\small d}};
\node at (8.495,9.331) {\scalebox{1.587}{\small A}};
\node at (0.765,8.949) {\scalebox{1.587}{\small B}};
\node at (11.797,8.253) {\scalebox{1.587}{\small C}};
\node at (11.594,5.847) {\scalebox{1.587}{\small D}};
\node at (3.937,5.301) {\scalebox{1.587}{\small E}};
\node at (4.728,2.24) {\scalebox{1.587}{\small F}};
\node at (11.443,1.695) {\scalebox{1.587}{\small G}};
\node at (7.773,1.367) {\scalebox{1.587}{\small H}};
\node at (1.163,1.107) {\scalebox{1.587}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.583,7.8) -- (12.583,8.9);
\draw[line width=0.5pt] (12.352,8.515) -- (12.583,8.9) -- (12.814,8.515);
\draw[line width=0.5pt] (12.28,8.35) -- (12.885,8.35);
\node at (12.583,9.285) {\scalebox{1.587}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 1 & 2 & 2 & 5 & 2 & 1 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{E}, \textbf{G}, \textbf{H} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, E, G, H).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
