\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 174}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=174}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0174}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6995, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.949,9.845) -- (5.125,9.794) -- (5.302,9.747) -- (5.479,9.705) -- (5.658,9.667) -- (5.838,9.632) -- (6.018,9.602) -- (6.199,9.577) -- (6.381,9.555) -- (6.563,9.538) -- (6.746,9.525) -- (6.928,9.517) -- (7.111,9.512) -- (7.294,9.513) -- (7.477,9.517);
\draw[line width=0.5pt] (4.949,9.845) -- (5.007,9.526) -- (5.058,9.206) -- (5.1,8.885) -- (5.136,8.562) -- (5.163,8.239) -- (5.183,7.915) -- (5.196,7.591) -- (5.2,7.266) -- (5.198,6.942) -- (5.187,6.618) -- (5.169,6.294) -- (5.143,5.97) -- (5.11,5.648) -- (5.069,5.326);
\draw[line width=0.5pt] (7.477,9.517) -- (7.26,9.246) -- (7.05,8.971) -- (6.847,8.69) -- (6.65,8.404) -- (6.46,8.114) -- (6.276,7.82) -- (6.1,7.521) -- (5.931,7.218) -- (5.769,6.912) -- (5.614,6.601) -- (5.466,6.287) -- (5.326,5.97) -- (5.194,5.65) -- (5.069,5.326);
\draw[line width=0.5pt] (7.477,9.517) -- (7.53,9.197) -- (7.576,8.875) -- (7.614,8.552) -- (7.644,8.229) -- (7.667,7.904) -- (7.682,7.58) -- (7.69,7.255) -- (7.69,6.93) -- (7.682,6.605) -- (7.667,6.28) -- (7.644,5.956) -- (7.614,5.632) -- (7.576,5.31) -- (7.53,4.988);
\draw[line width=0.5pt] (11.266,5.59) -- (10.994,5.588) -- (10.723,5.58) -- (10.452,5.565) -- (10.181,5.544) -- (9.911,5.517) -- (9.641,5.483) -- (9.373,5.443) -- (9.105,5.397) -- (8.839,5.344) -- (8.574,5.285) -- (8.31,5.22) -- (8.048,5.149) -- (7.788,5.072) -- (7.53,4.988);
\draw[line width=0.5pt] (11.266,5.59) -- (11.031,5.334) -- (10.79,5.084) -- (10.543,4.839) -- (10.291,4.6) -- (10.033,4.367) -- (9.769,4.14) -- (9.501,3.919) -- (9.227,3.705) -- (8.948,3.497) -- (8.664,3.296) -- (8.376,3.102) -- (8.084,2.914) -- (7.787,2.734) -- (7.486,2.561);
\draw[line width=0.5pt] (11.266,5.59) -- (11.218,5.319) -- (11.178,5.047) -- (11.143,4.774) -- (11.115,4.5) -- (11.094,4.225) -- (11.079,3.95) -- (11.071,3.675) -- (11.069,3.4) -- (11.073,3.124) -- (11.084,2.849) -- (11.101,2.575) -- (11.125,2.3) -- (11.155,2.027) -- (11.192,1.754);
\draw[line width=0.5pt] (5.069,5.326) -- (5.271,5.157) -- (5.468,4.983) -- (5.661,4.804) -- (5.851,4.62) -- (6.035,4.432) -- (6.216,4.24) -- (6.392,4.043) -- (6.563,3.843) -- (6.729,3.638) -- (6.891,3.43) -- (7.047,3.218) -- (7.199,3.002) -- (7.345,2.783) -- (7.486,2.561);
\draw[line width=0.5pt] (1.654,4.933) -- (1.587,4.681) -- (1.526,4.427) -- (1.471,4.172) -- (1.422,3.916) -- (1.379,3.658) -- (1.342,3.4) -- (1.311,3.14) -- (1.286,2.88) -- (1.267,2.62) -- (1.254,2.359) -- (1.248,2.098) -- (1.248,1.837) -- (1.253,1.576) -- (1.266,1.316);
\draw[line width=0.5pt] (7.486,2.561) -- (7.757,2.544) -- (8.028,2.521) -- (8.299,2.492) -- (8.569,2.456) -- (8.838,2.414) -- (9.105,2.365) -- (9.372,2.31) -- (9.637,2.249) -- (9.901,2.182) -- (10.163,2.109) -- (10.424,2.029) -- (10.682,1.944) -- (10.938,1.852) -- (11.192,1.754);
\draw[line width=0.5pt] (7.486,2.561) -- (7.284,2.575) -- (7.081,2.584) -- (6.879,2.589) -- (6.676,2.589) -- (6.474,2.584) -- (6.271,2.575) -- (6.069,2.56) -- (5.867,2.541) -- (5.666,2.517) -- (5.465,2.489) -- (5.266,2.455) -- (5.067,2.417) -- (4.869,2.375) -- (4.672,2.328) -- (4.441,2.219) -- (4.209,2.115) -- (3.973,2.017) -- (3.736,1.925) -- (3.496,1.838) -- (3.254,1.757) -- (3.01,1.681) -- (2.765,1.611) -- (2.518,1.547) -- (2.27,1.489) -- (2.02,1.437) -- (1.77,1.391) -- (1.518,1.35) -- (1.266,1.316);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.109,9.845) -- (5.088,9.925) -- (5.029,9.984) -- (4.949,10.005) -- (4.869,9.984) -- (4.811,9.925) -- (4.789,9.845) -- (4.811,9.765) -- (4.869,9.707) -- (4.949,9.685) -- (5.029,9.707) -- (5.088,9.765) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.637,9.517) -- (7.615,9.597) -- (7.557,9.655) -- (7.477,9.677) -- (7.397,9.655) -- (7.338,9.597) -- (7.317,9.517) -- (7.338,9.437) -- (7.397,9.378) -- (7.477,9.357) -- (7.557,9.378) -- (7.615,9.437) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.426,5.59) -- (11.404,5.67) -- (11.346,5.729) -- (11.266,5.75) -- (11.186,5.729) -- (11.127,5.67) -- (11.106,5.59) -- (11.127,5.51) -- (11.186,5.451) -- (11.266,5.43) -- (11.346,5.451) -- (11.404,5.51) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.229,5.326) -- (5.208,5.406) -- (5.149,5.465) -- (5.069,5.486) -- (4.989,5.465) -- (4.931,5.406) -- (4.909,5.326) -- (4.931,5.246) -- (4.989,5.188) -- (5.069,5.166) -- (5.149,5.188) -- (5.208,5.246) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.69,4.988) -- (7.668,5.068) -- (7.61,5.127) -- (7.53,5.148) -- (7.45,5.127) -- (7.391,5.068) -- (7.37,4.988) -- (7.391,4.908) -- (7.45,4.85) -- (7.53,4.828) -- (7.61,4.85) -- (7.668,4.908) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.814,4.933) -- (1.793,5.013) -- (1.734,5.071) -- (1.654,5.093) -- (1.574,5.071) -- (1.516,5.013) -- (1.494,4.933) -- (1.516,4.853) -- (1.574,4.794) -- (1.654,4.773) -- (1.734,4.794) -- (1.793,4.853) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.646,2.561) -- (7.624,2.641) -- (7.566,2.699) -- (7.486,2.721) -- (7.406,2.699) -- (7.347,2.641) -- (7.326,2.561) -- (7.347,2.481) -- (7.406,2.422) -- (7.486,2.401) -- (7.566,2.422) -- (7.624,2.481) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.352,1.754) -- (11.331,1.834) -- (11.272,1.893) -- (11.192,1.914) -- (11.112,1.893) -- (11.053,1.834) -- (11.032,1.754) -- (11.053,1.674) -- (11.112,1.616) -- (11.192,1.594) -- (11.272,1.616) -- (11.331,1.674) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.426,1.316) -- (1.404,1.396) -- (1.346,1.454) -- (1.266,1.476) -- (1.186,1.454) -- (1.127,1.396) -- (1.106,1.316) -- (1.127,1.236) -- (1.186,1.177) -- (1.266,1.156) -- (1.346,1.177) -- (1.404,1.236) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.581,9.894) -- (6.535,10.064) -- (6.411,10.189) -- (6.241,10.234) -- (6.071,10.189) -- (5.946,10.064) -- (5.901,9.894) -- (5.946,9.724) -- (6.071,9.6) -- (6.241,9.554) -- (6.411,9.6) -- (6.535,9.724) -- cycle;
\node at (6.241,9.894) {\scalebox{1.43}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.856,7.599) -- (5.81,7.769) -- (5.686,7.894) -- (5.516,7.939) -- (5.346,7.894) -- (5.221,7.769) -- (5.176,7.599) -- (5.221,7.429) -- (5.346,7.305) -- (5.516,7.259) -- (5.686,7.305) -- (5.81,7.429) -- cycle;
\node at (5.516,7.599) {\scalebox{1.43}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.717,7.362) -- (6.672,7.532) -- (6.547,7.656) -- (6.377,7.702) -- (6.207,7.656) -- (6.083,7.532) -- (6.037,7.362) -- (6.083,7.192) -- (6.207,7.067) -- (6.377,7.022) -- (6.547,7.067) -- (6.672,7.192) -- cycle;
\node at (6.377,7.362) {\scalebox{1.43}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.35,7.258) -- (8.304,7.428) -- (8.18,7.553) -- (8.01,7.598) -- (7.84,7.553) -- (7.715,7.428) -- (7.67,7.258) -- (7.715,7.088) -- (7.84,6.964) -- (8.01,6.918) -- (8.18,6.964) -- (8.304,7.088) -- cycle;
\node at (8.01,7.258) {\scalebox{1.43}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.764,5.127) -- (9.718,5.297) -- (9.594,5.422) -- (9.424,5.467) -- (9.254,5.422) -- (9.129,5.297) -- (9.084,5.127) -- (9.129,4.957) -- (9.254,4.833) -- (9.424,4.787) -- (9.594,4.833) -- (9.718,4.957) -- cycle;
\node at (9.424,5.127) {\scalebox{1.43}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.041,3.67) -- (9.995,3.84) -- (9.871,3.964) -- (9.701,4.01) -- (9.531,3.964) -- (9.406,3.84) -- (9.361,3.67) -- (9.406,3.5) -- (9.531,3.375) -- (9.701,3.33) -- (9.871,3.375) -- (9.995,3.5) -- cycle;
\node at (9.701,3.67) {\scalebox{1.43}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.73,3.669) -- (11.685,3.839) -- (11.56,3.963) -- (11.39,4.009) -- (11.22,3.963) -- (11.096,3.839) -- (11.05,3.669) -- (11.096,3.499) -- (11.22,3.375) -- (11.39,3.329) -- (11.56,3.375) -- (11.685,3.499) -- cycle;
\node at (11.39,3.669) {\scalebox{1.43}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.972,4.254) -- (6.927,4.424) -- (6.802,4.548) -- (6.632,4.594) -- (6.462,4.548) -- (6.338,4.424) -- (6.292,4.254) -- (6.338,4.084) -- (6.462,3.959) -- (6.632,3.914) -- (6.802,3.959) -- (6.927,4.084) -- cycle;
\node at (6.632,4.254) {\scalebox{1.43}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.969,3.106) -- (1.923,3.276) -- (1.799,3.401) -- (1.629,3.446) -- (1.459,3.401) -- (1.334,3.276) -- (1.289,3.106) -- (1.334,2.936) -- (1.459,2.812) -- (1.629,2.766) -- (1.799,2.812) -- (1.923,2.936) -- cycle;
\node at (1.629,3.106) {\scalebox{1.43}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.78,2.623) -- (9.735,2.793) -- (9.61,2.918) -- (9.44,2.963) -- (9.27,2.918) -- (9.146,2.793) -- (9.1,2.623) -- (9.146,2.453) -- (9.27,2.329) -- (9.44,2.283) -- (9.61,2.329) -- (9.735,2.453) -- cycle;
\node at (9.44,2.623) {\scalebox{1.43}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.122,2.027) -- (5.076,2.197) -- (4.952,2.321) -- (4.782,2.367) -- (4.612,2.321) -- (4.487,2.197) -- (4.442,2.027) -- (4.487,1.857) -- (4.612,1.733) -- (4.782,1.687) -- (4.952,1.733) -- (5.076,1.857) -- cycle;
\node at (4.782,2.027) {\scalebox{1.43}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.769,5.026) -- (5.369,5.026) -- (5.369,5.626) -- (4.769,5.626) -- cycle;
\node at (5.069,5.326) {\scalebox{1.43}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.083,2.468) -- (11.683,2.468) -- (11.683,3.068) -- (11.083,3.068) -- cycle;
\node at (11.383,2.768) {\scalebox{1.43}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.258,4.531) -- (10.858,4.531) -- (10.858,5.131) -- (10.258,5.131) -- cycle;
\node at (10.558,4.831) {\scalebox{1.43}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.381,3.073) -- (12.981,3.073) -- (12.981,3.673) -- (12.381,3.673) -- cycle;
\node at (12.681,3.373) {\scalebox{1.43}{\small d}};
\node at (4.765,10.437) {\scalebox{1.43}{\small A}};
\node at (7.619,10.12) {\scalebox{1.43}{\small B}};
\node at (11.882,5.654) {\scalebox{1.43}{\small C}};
\node at (4.458,5.431) {\scalebox{1.43}{\small D}};
\node at (8.147,4.93) {\scalebox{1.43}{\small E}};
\node at (1.035,4.912) {\scalebox{1.43}{\small F}};
\node at (7.724,1.988) {\scalebox{1.43}{\small G}};
\node at (11.7,1.398) {\scalebox{1.43}{\small H}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.43}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.566,8.895) -- (12.566,9.995);
\draw[line width=0.5pt] (12.335,9.61) -- (12.566,9.995) -- (12.797,9.61);
\draw[line width=0.5pt] (12.263,9.445) -- (12.868,9.445);
\node at (12.566,10.38) {\scalebox{1.43}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Puits & ⑦ rue des Jardins & Ⓐ Fontaine Notre-Dame & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Lilas & ⑧ venelle du Chat & Ⓑ Rond-point du Pont & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ chemin du Lavoir & ⑨ impasse Verte & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} le gymnase \\ \hline
④ boulevard du Parc & ⑩ allée des Tilleuls & Ⓓ Rond-point du Stade & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ rue Verte & ⑪ rue du Moulin & Ⓔ Place de la Fontaine &  \\ \hline
⑥ avenue de la Gare &  & Ⓕ Place des Tanneurs &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Coin du Lavoir &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6259, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.949,9.845) -- (5.125,9.794) -- (5.302,9.747) -- (5.479,9.705) -- (5.658,9.667) -- (5.838,9.632) -- (6.018,9.602) -- (6.199,9.577) -- (6.381,9.555) -- (6.563,9.538) -- (6.746,9.525) -- (6.928,9.517) -- (7.111,9.512) -- (7.294,9.513) -- (7.477,9.517);
\draw[line width=0.5pt] (4.949,9.845) -- (5.007,9.526) -- (5.058,9.206) -- (5.1,8.885) -- (5.136,8.562) -- (5.163,8.239) -- (5.183,7.915) -- (5.196,7.591) -- (5.2,7.266) -- (5.198,6.942) -- (5.187,6.618) -- (5.169,6.294) -- (5.143,5.97) -- (5.11,5.648) -- (5.069,5.326);
\draw[line width=0.5pt] (7.477,9.517) -- (7.26,9.246) -- (7.05,8.971) -- (6.847,8.69) -- (6.65,8.404) -- (6.46,8.114) -- (6.276,7.82) -- (6.1,7.521) -- (5.931,7.218) -- (5.769,6.912) -- (5.614,6.601) -- (5.466,6.287) -- (5.326,5.97) -- (5.194,5.65) -- (5.069,5.326);
\draw[line width=0.5pt] (7.477,9.517) -- (7.53,9.197) -- (7.576,8.875) -- (7.614,8.552) -- (7.644,8.229) -- (7.667,7.904) -- (7.682,7.58) -- (7.69,7.255) -- (7.69,6.93) -- (7.682,6.605) -- (7.667,6.28) -- (7.644,5.956) -- (7.614,5.632) -- (7.576,5.31) -- (7.53,4.988);
\draw[line width=0.5pt] (11.266,5.59) -- (10.994,5.588) -- (10.723,5.58) -- (10.452,5.565) -- (10.181,5.544) -- (9.911,5.517) -- (9.641,5.483) -- (9.373,5.443) -- (9.105,5.397) -- (8.839,5.344) -- (8.574,5.285) -- (8.31,5.22) -- (8.048,5.149) -- (7.788,5.072) -- (7.53,4.988);
\draw[line width=0.5pt] (11.266,5.59) -- (11.031,5.334) -- (10.79,5.084) -- (10.543,4.839) -- (10.291,4.6) -- (10.033,4.367) -- (9.769,4.14) -- (9.501,3.919) -- (9.227,3.705) -- (8.948,3.497) -- (8.664,3.296) -- (8.376,3.102) -- (8.084,2.914) -- (7.787,2.734) -- (7.486,2.561);
\draw[line width=0.5pt] (11.266,5.59) -- (11.218,5.319) -- (11.178,5.047) -- (11.143,4.774) -- (11.115,4.5) -- (11.094,4.225) -- (11.079,3.95) -- (11.071,3.675) -- (11.069,3.4) -- (11.073,3.124) -- (11.084,2.849) -- (11.101,2.575) -- (11.125,2.3) -- (11.155,2.027) -- (11.192,1.754);
\draw[line width=0.5pt] (5.069,5.326) -- (5.271,5.157) -- (5.468,4.983) -- (5.661,4.804) -- (5.851,4.62) -- (6.035,4.432) -- (6.216,4.24) -- (6.392,4.043) -- (6.563,3.843) -- (6.729,3.638) -- (6.891,3.43) -- (7.047,3.218) -- (7.199,3.002) -- (7.345,2.783) -- (7.486,2.561);
\draw[line width=0.5pt] (1.654,4.933) -- (1.587,4.681) -- (1.526,4.427) -- (1.471,4.172) -- (1.422,3.916) -- (1.379,3.658) -- (1.342,3.4) -- (1.311,3.14) -- (1.286,2.88) -- (1.267,2.62) -- (1.254,2.359) -- (1.248,2.098) -- (1.248,1.837) -- (1.253,1.576) -- (1.266,1.316);
\draw[line width=0.5pt] (7.486,2.561) -- (7.757,2.544) -- (8.028,2.521) -- (8.299,2.492) -- (8.569,2.456) -- (8.838,2.414) -- (9.105,2.365) -- (9.372,2.31) -- (9.637,2.249) -- (9.901,2.182) -- (10.163,2.109) -- (10.424,2.029) -- (10.682,1.944) -- (10.938,1.852) -- (11.192,1.754);
\draw[line width=0.5pt] (7.486,2.561) -- (7.284,2.575) -- (7.081,2.584) -- (6.879,2.589) -- (6.676,2.589) -- (6.474,2.584) -- (6.271,2.575) -- (6.069,2.56) -- (5.867,2.541) -- (5.666,2.517) -- (5.465,2.489) -- (5.266,2.455) -- (5.067,2.417) -- (4.869,2.375) -- (4.672,2.328) -- (4.441,2.219) -- (4.209,2.115) -- (3.973,2.017) -- (3.736,1.925) -- (3.496,1.838) -- (3.254,1.757) -- (3.01,1.681) -- (2.765,1.611) -- (2.518,1.547) -- (2.27,1.489) -- (2.02,1.437) -- (1.77,1.391) -- (1.518,1.35) -- (1.266,1.316);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.109,9.845) -- (5.088,9.925) -- (5.029,9.984) -- (4.949,10.005) -- (4.869,9.984) -- (4.811,9.925) -- (4.789,9.845) -- (4.811,9.765) -- (4.869,9.707) -- (4.949,9.685) -- (5.029,9.707) -- (5.088,9.765) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.637,9.517) -- (7.615,9.597) -- (7.557,9.655) -- (7.477,9.677) -- (7.397,9.655) -- (7.338,9.597) -- (7.317,9.517) -- (7.338,9.437) -- (7.397,9.378) -- (7.477,9.357) -- (7.557,9.378) -- (7.615,9.437) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.426,5.59) -- (11.404,5.67) -- (11.346,5.729) -- (11.266,5.75) -- (11.186,5.729) -- (11.127,5.67) -- (11.106,5.59) -- (11.127,5.51) -- (11.186,5.451) -- (11.266,5.43) -- (11.346,5.451) -- (11.404,5.51) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.229,5.326) -- (5.208,5.406) -- (5.149,5.465) -- (5.069,5.486) -- (4.989,5.465) -- (4.931,5.406) -- (4.909,5.326) -- (4.931,5.246) -- (4.989,5.188) -- (5.069,5.166) -- (5.149,5.188) -- (5.208,5.246) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.69,4.988) -- (7.668,5.068) -- (7.61,5.127) -- (7.53,5.148) -- (7.45,5.127) -- (7.391,5.068) -- (7.37,4.988) -- (7.391,4.908) -- (7.45,4.85) -- (7.53,4.828) -- (7.61,4.85) -- (7.668,4.908) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.814,4.933) -- (1.793,5.013) -- (1.734,5.071) -- (1.654,5.093) -- (1.574,5.071) -- (1.516,5.013) -- (1.494,4.933) -- (1.516,4.853) -- (1.574,4.794) -- (1.654,4.773) -- (1.734,4.794) -- (1.793,4.853) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.646,2.561) -- (7.624,2.641) -- (7.566,2.699) -- (7.486,2.721) -- (7.406,2.699) -- (7.347,2.641) -- (7.326,2.561) -- (7.347,2.481) -- (7.406,2.422) -- (7.486,2.401) -- (7.566,2.422) -- (7.624,2.481) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.352,1.754) -- (11.331,1.834) -- (11.272,1.893) -- (11.192,1.914) -- (11.112,1.893) -- (11.053,1.834) -- (11.032,1.754) -- (11.053,1.674) -- (11.112,1.616) -- (11.192,1.594) -- (11.272,1.616) -- (11.331,1.674) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.426,1.316) -- (1.404,1.396) -- (1.346,1.454) -- (1.266,1.476) -- (1.186,1.454) -- (1.127,1.396) -- (1.106,1.316) -- (1.127,1.236) -- (1.186,1.177) -- (1.266,1.156) -- (1.346,1.177) -- (1.404,1.236) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.581,9.894) -- (6.535,10.064) -- (6.411,10.189) -- (6.241,10.234) -- (6.071,10.189) -- (5.946,10.064) -- (5.901,9.894) -- (5.946,9.724) -- (6.071,9.6) -- (6.241,9.554) -- (6.411,9.6) -- (6.535,9.724) -- cycle;
\node at (6.241,9.894) {\scalebox{1.598}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.856,7.599) -- (5.81,7.769) -- (5.686,7.894) -- (5.516,7.939) -- (5.346,7.894) -- (5.221,7.769) -- (5.176,7.599) -- (5.221,7.429) -- (5.346,7.305) -- (5.516,7.259) -- (5.686,7.305) -- (5.81,7.429) -- cycle;
\node at (5.516,7.599) {\scalebox{1.598}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.717,7.362) -- (6.672,7.532) -- (6.547,7.656) -- (6.377,7.702) -- (6.207,7.656) -- (6.083,7.532) -- (6.037,7.362) -- (6.083,7.192) -- (6.207,7.067) -- (6.377,7.022) -- (6.547,7.067) -- (6.672,7.192) -- cycle;
\node at (6.377,7.362) {\scalebox{1.598}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.35,7.258) -- (8.304,7.428) -- (8.18,7.553) -- (8.01,7.598) -- (7.84,7.553) -- (7.715,7.428) -- (7.67,7.258) -- (7.715,7.088) -- (7.84,6.964) -- (8.01,6.918) -- (8.18,6.964) -- (8.304,7.088) -- cycle;
\node at (8.01,7.258) {\scalebox{1.598}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.764,5.127) -- (9.718,5.297) -- (9.594,5.422) -- (9.424,5.467) -- (9.254,5.422) -- (9.129,5.297) -- (9.084,5.127) -- (9.129,4.957) -- (9.254,4.833) -- (9.424,4.787) -- (9.594,4.833) -- (9.718,4.957) -- cycle;
\node at (9.424,5.127) {\scalebox{1.598}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.041,3.67) -- (9.995,3.84) -- (9.871,3.964) -- (9.701,4.01) -- (9.531,3.964) -- (9.406,3.84) -- (9.361,3.67) -- (9.406,3.5) -- (9.531,3.375) -- (9.701,3.33) -- (9.871,3.375) -- (9.995,3.5) -- cycle;
\node at (9.701,3.67) {\scalebox{1.598}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.73,3.669) -- (11.685,3.839) -- (11.56,3.963) -- (11.39,4.009) -- (11.22,3.963) -- (11.096,3.839) -- (11.05,3.669) -- (11.096,3.499) -- (11.22,3.375) -- (11.39,3.329) -- (11.56,3.375) -- (11.685,3.499) -- cycle;
\node at (11.39,3.669) {\scalebox{1.598}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.972,4.254) -- (6.927,4.424) -- (6.802,4.548) -- (6.632,4.594) -- (6.462,4.548) -- (6.338,4.424) -- (6.292,4.254) -- (6.338,4.084) -- (6.462,3.959) -- (6.632,3.914) -- (6.802,3.959) -- (6.927,4.084) -- cycle;
\node at (6.632,4.254) {\scalebox{1.598}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.969,3.106) -- (1.923,3.276) -- (1.799,3.401) -- (1.629,3.446) -- (1.459,3.401) -- (1.334,3.276) -- (1.289,3.106) -- (1.334,2.936) -- (1.459,2.812) -- (1.629,2.766) -- (1.799,2.812) -- (1.923,2.936) -- cycle;
\node at (1.629,3.106) {\scalebox{1.598}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.78,2.623) -- (9.735,2.793) -- (9.61,2.918) -- (9.44,2.963) -- (9.27,2.918) -- (9.146,2.793) -- (9.1,2.623) -- (9.146,2.453) -- (9.27,2.329) -- (9.44,2.283) -- (9.61,2.329) -- (9.735,2.453) -- cycle;
\node at (9.44,2.623) {\scalebox{1.598}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.122,2.027) -- (5.076,2.197) -- (4.952,2.321) -- (4.782,2.367) -- (4.612,2.321) -- (4.487,2.197) -- (4.442,2.027) -- (4.487,1.857) -- (4.612,1.733) -- (4.782,1.687) -- (4.952,1.733) -- (5.076,1.857) -- cycle;
\node at (4.782,2.027) {\scalebox{1.598}{\small 11}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.769,5.026) -- (5.369,5.026) -- (5.369,5.626) -- (4.769,5.626) -- cycle;
\node at (5.069,5.326) {\scalebox{1.598}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.083,2.468) -- (11.683,2.468) -- (11.683,3.068) -- (11.083,3.068) -- cycle;
\node at (11.383,2.768) {\scalebox{1.598}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (10.258,4.531) -- (10.858,4.531) -- (10.858,5.131) -- (10.258,5.131) -- cycle;
\node at (10.558,4.831) {\scalebox{1.598}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.381,3.073) -- (12.981,3.073) -- (12.981,3.673) -- (12.381,3.673) -- cycle;
\node at (12.681,3.373) {\scalebox{1.598}{\small d}};
\node at (4.765,10.437) {\scalebox{1.598}{\small A}};
\node at (7.619,10.12) {\scalebox{1.598}{\small B}};
\node at (11.882,5.654) {\scalebox{1.598}{\small C}};
\node at (4.458,5.431) {\scalebox{1.598}{\small D}};
\node at (8.147,4.93) {\scalebox{1.598}{\small E}};
\node at (1.035,4.912) {\scalebox{1.598}{\small F}};
\node at (7.724,1.988) {\scalebox{1.598}{\small G}};
\node at (11.7,1.398) {\scalebox{1.598}{\small H}};
\node at (0.765,0.95) {\scalebox{1.598}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.566,8.895) -- (12.566,9.995);
\draw[line width=0.5pt] (12.335,9.61) -- (12.566,9.995) -- (12.797,9.61);
\draw[line width=0.5pt] (12.263,9.445) -- (12.868,9.445);
\node at (12.566,10.38) {\scalebox{1.598}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 3 & 3 & 3 & 2 & 1 & 4 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 22 = 2 \(\times\) 11, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, D, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
