\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 180}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=180}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0180}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.705, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.834,10.988) -- (5.12,10.898) -- (5.407,10.815) -- (5.697,10.739) -- (5.988,10.669) -- (6.281,10.607) -- (6.576,10.551) -- (6.872,10.502) -- (7.168,10.46) -- (7.466,10.425) -- (7.764,10.398) -- (8.063,10.377) -- (8.362,10.363) -- (8.662,10.356) -- (8.961,10.357);
\draw[line width=0.5pt] (4.834,10.988) -- (4.873,10.682) -- (4.905,10.375) -- (4.93,10.067) -- (4.947,9.758) -- (4.957,9.45) -- (4.96,9.14) -- (4.955,8.831) -- (4.943,8.522) -- (4.925,8.214) -- (4.898,7.906) -- (4.865,7.599) -- (4.824,7.293) -- (4.776,6.987) -- (4.721,6.684);
\draw[line width=0.5pt] (1.272,10.466) -- (1.286,10.285) -- (1.304,10.105) -- (1.327,9.926) -- (1.354,9.747) -- (1.385,9.569) -- (1.421,9.391) -- (1.46,9.214) -- (1.504,9.039) -- (1.551,8.864) -- (1.603,8.691) -- (1.659,8.518) -- (1.719,8.348) -- (1.783,8.178) -- (1.851,8.011);
\draw[line width=0.5pt] (1.272,10.466) -- (1.558,10.235) -- (1.838,9.998) -- (2.113,9.755) -- (2.382,9.505) -- (2.645,9.248) -- (2.902,8.985) -- (3.152,8.717) -- (3.397,8.443) -- (3.635,8.163) -- (3.866,7.877) -- (4.09,7.586) -- (4.308,7.29) -- (4.518,6.989) -- (4.721,6.684);
\draw[line width=0.5pt] (8.961,10.357) -- (9.089,10.097) -- (9.222,9.84) -- (9.362,9.587) -- (9.508,9.337) -- (9.66,9.09) -- (9.817,8.847) -- (9.98,8.608) -- (10.149,8.373) -- (10.323,8.141) -- (10.502,7.914) -- (10.687,7.691) -- (10.877,7.473) -- (11.072,7.259) -- (11.272,7.05);
\draw[line width=0.5pt] (8.961,10.357) -- (8.701,10.05) -- (8.433,9.749) -- (8.159,9.455) -- (7.877,9.168) -- (7.589,8.887) -- (7.294,8.612) -- (6.993,8.345) -- (6.685,8.085) -- (6.372,7.832) -- (6.053,7.587) -- (5.728,7.349) -- (5.397,7.119) -- (5.062,6.898) -- (4.721,6.684);
\draw[line width=0.5pt] (8.961,10.357) -- (8.86,10.192) -- (8.762,10.024) -- (8.668,9.855) -- (8.579,9.683) -- (8.493,9.509) -- (8.412,9.333) -- (8.334,9.155) -- (8.261,8.975) -- (8.192,8.794) -- (8.128,8.611) -- (8.067,8.427) -- (8.011,8.241) -- (7.96,8.055) -- (7.913,7.867) -- (7.94,7.593) -- (7.961,7.319) -- (7.975,7.045) -- (7.982,6.77) -- (7.984,6.495) -- (7.978,6.22) -- (7.967,5.945) -- (7.949,5.671) -- (7.924,5.397) -- (7.893,5.123) -- (7.855,4.851) -- (7.812,4.58) -- (7.761,4.309) -- (7.705,4.04);
\draw[line width=0.5pt] (1.851,8.011) -- (2.069,7.948) -- (2.285,7.88) -- (2.5,7.807) -- (2.713,7.729) -- (2.924,7.646) -- (3.134,7.558) -- (3.341,7.466) -- (3.546,7.368) -- (3.748,7.265) -- (3.948,7.158) -- (4.146,7.046) -- (4.34,6.93) -- (4.532,6.809) -- (4.721,6.684);
\draw[line width=0.5pt] (11.272,7.05) -- (10.986,6.876) -- (10.705,6.695) -- (10.427,6.507) -- (10.154,6.313) -- (9.886,6.112) -- (9.623,5.905) -- (9.364,5.692) -- (9.111,5.473) -- (8.862,5.248) -- (8.619,5.018) -- (8.382,4.782) -- (8.15,4.54) -- (7.925,4.293) -- (7.705,4.04);
\draw[line width=0.5pt] (4.721,6.684) -- (4.962,6.529) -- (5.198,6.369) -- (5.431,6.203) -- (5.66,6.031) -- (5.885,5.854) -- (6.106,5.672) -- (6.322,5.485) -- (6.534,5.293) -- (6.741,5.096) -- (6.944,4.894) -- (7.142,4.687) -- (7.335,4.476) -- (7.522,4.26) -- (7.705,4.04);
\draw[line width=0.5pt] (4.721,6.684) -- (4.674,6.453) -- (4.632,6.222) -- (4.596,5.989) -- (4.565,5.756) -- (4.54,5.522) -- (4.52,5.287) -- (4.506,5.052) -- (4.498,4.817) -- (4.494,4.582) -- (4.497,4.346) -- (4.505,4.111) -- (4.518,3.876) -- (4.537,3.642) -- (4.562,3.408) -- (4.573,3.275) -- (4.58,3.142) -- (4.585,3.009) -- (4.586,2.876) -- (4.585,2.743) -- (4.58,2.61) -- (4.572,2.477) -- (4.561,2.344) -- (4.547,2.212) -- (4.529,2.08) -- (4.509,1.948) -- (4.486,1.817) -- (4.459,1.687) -- (4.43,1.557);
\draw[line width=0.5pt] (7.705,4.04) -- (7.5,3.829) -- (7.29,3.622) -- (7.075,3.42) -- (6.855,3.223) -- (6.631,3.031) -- (6.403,2.845) -- (6.17,2.664) -- (5.932,2.488) -- (5.691,2.318) -- (5.446,2.154) -- (5.197,1.996) -- (4.945,1.844) -- (4.689,1.697) -- (4.43,1.557);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.994,10.988) -- (4.973,11.068) -- (4.914,11.127) -- (4.834,11.148) -- (4.754,11.127) -- (4.696,11.068) -- (4.674,10.988) -- (4.696,10.908) -- (4.754,10.85) -- (4.834,10.828) -- (4.914,10.85) -- (4.973,10.908) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.432,10.466) -- (1.41,10.546) -- (1.352,10.604) -- (1.272,10.626) -- (1.192,10.604) -- (1.133,10.546) -- (1.112,10.466) -- (1.133,10.386) -- (1.192,10.327) -- (1.272,10.306) -- (1.352,10.327) -- (1.41,10.386) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.121,10.357) -- (9.1,10.437) -- (9.041,10.495) -- (8.961,10.517) -- (8.881,10.495) -- (8.823,10.437) -- (8.801,10.357) -- (8.823,10.277) -- (8.881,10.218) -- (8.961,10.197) -- (9.041,10.218) -- (9.1,10.277) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.011,8.011) -- (1.989,8.091) -- (1.931,8.149) -- (1.851,8.171) -- (1.771,8.149) -- (1.712,8.091) -- (1.691,8.011) -- (1.712,7.931) -- (1.771,7.872) -- (1.851,7.851) -- (1.931,7.872) -- (1.989,7.931) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.432,7.05) -- (11.41,7.13) -- (11.352,7.189) -- (11.272,7.21) -- (11.192,7.189) -- (11.133,7.13) -- (11.112,7.05) -- (11.133,6.97) -- (11.192,6.911) -- (11.272,6.89) -- (11.352,6.911) -- (11.41,6.97) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.881,6.684) -- (4.86,6.764) -- (4.801,6.822) -- (4.721,6.844) -- (4.641,6.822) -- (4.583,6.764) -- (4.561,6.684) -- (4.583,6.604) -- (4.641,6.545) -- (4.721,6.524) -- (4.801,6.545) -- (4.86,6.604) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.865,4.04) -- (7.843,4.12) -- (7.785,4.179) -- (7.705,4.2) -- (7.625,4.179) -- (7.566,4.12) -- (7.545,4.04) -- (7.566,3.96) -- (7.625,3.902) -- (7.705,3.88) -- (7.785,3.902) -- (7.843,3.96) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.59,1.557) -- (4.568,1.637) -- (4.51,1.696) -- (4.43,1.717) -- (4.35,1.696) -- (4.291,1.637) -- (4.27,1.557) -- (4.291,1.477) -- (4.35,1.419) -- (4.43,1.397) -- (4.51,1.419) -- (4.568,1.477) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.26,10.819) -- (7.214,10.989) -- (7.09,11.113) -- (6.92,11.159) -- (6.75,11.113) -- (6.626,10.989) -- (6.58,10.819) -- (6.626,10.649) -- (6.75,10.524) -- (6.92,10.479) -- (7.09,10.524) -- (7.214,10.649) -- cycle;
\node at (6.92,10.819) {\scalebox{1.418}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.615,8.823) -- (5.57,8.993) -- (5.445,9.117) -- (5.275,9.163) -- (5.105,9.117) -- (4.981,8.993) -- (4.935,8.823) -- (4.981,8.653) -- (5.105,8.529) -- (5.275,8.483) -- (5.445,8.529) -- (5.57,8.653) -- cycle;
\node at (5.275,8.823) {\scalebox{1.418}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.112,9.288) -- (2.066,9.458) -- (1.942,9.582) -- (1.772,9.628) -- (1.602,9.582) -- (1.477,9.458) -- (1.432,9.288) -- (1.477,9.118) -- (1.602,8.993) -- (1.772,8.948) -- (1.942,8.993) -- (2.066,9.118) -- cycle;
\node at (1.772,9.288) {\scalebox{1.418}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.729,8.933) -- (3.683,9.103) -- (3.559,9.227) -- (3.389,9.273) -- (3.219,9.227) -- (3.094,9.103) -- (3.049,8.933) -- (3.094,8.763) -- (3.219,8.638) -- (3.389,8.593) -- (3.559,8.638) -- (3.683,8.763) -- cycle;
\node at (3.389,8.933) {\scalebox{1.418}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.582,8.791) -- (10.537,8.961) -- (10.412,9.086) -- (10.242,9.131) -- (10.072,9.086) -- (9.948,8.961) -- (9.902,8.791) -- (9.948,8.621) -- (10.072,8.497) -- (10.242,8.451) -- (10.412,8.497) -- (10.537,8.621) -- cycle;
\node at (10.242,8.791) {\scalebox{1.418}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.542,8.103) -- (7.497,8.273) -- (7.372,8.398) -- (7.202,8.443) -- (7.032,8.398) -- (6.908,8.273) -- (6.862,8.103) -- (6.908,7.933) -- (7.032,7.809) -- (7.202,7.763) -- (7.372,7.809) -- (7.497,7.933) -- cycle;
\node at (7.202,8.103) {\scalebox{1.418}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.573,7.853) -- (8.527,8.023) -- (8.403,8.147) -- (8.233,8.193) -- (8.063,8.147) -- (7.938,8.023) -- (7.893,7.853) -- (7.938,7.683) -- (8.063,7.559) -- (8.233,7.513) -- (8.403,7.559) -- (8.527,7.683) -- cycle;
\node at (8.233,7.853) {\scalebox{1.418}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.815,7.756) -- (3.769,7.926) -- (3.645,8.051) -- (3.475,8.096) -- (3.305,8.051) -- (3.181,7.926) -- (3.135,7.756) -- (3.181,7.586) -- (3.305,7.462) -- (3.475,7.416) -- (3.645,7.462) -- (3.769,7.586) -- cycle;
\node at (3.475,7.756) {\scalebox{1.418}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.91,5.448) -- (9.865,5.618) -- (9.74,5.742) -- (9.57,5.788) -- (9.4,5.742) -- (9.276,5.618) -- (9.23,5.448) -- (9.276,5.278) -- (9.4,5.153) -- (9.57,5.108) -- (9.74,5.153) -- (9.865,5.278) -- cycle;
\node at (9.57,5.448) {\scalebox{1.418}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.874,5.725) -- (6.829,5.895) -- (6.704,6.019) -- (6.534,6.065) -- (6.364,6.019) -- (6.24,5.895) -- (6.194,5.725) -- (6.24,5.555) -- (6.364,5.43) -- (6.534,5.385) -- (6.704,5.43) -- (6.829,5.555) -- cycle;
\node at (6.534,5.725) {\scalebox{1.418}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.22,3.439) -- (5.175,3.609) -- (5.05,3.733) -- (4.88,3.779) -- (4.71,3.733) -- (4.586,3.609) -- (4.54,3.439) -- (4.586,3.269) -- (4.71,3.144) -- (4.88,3.099) -- (5.05,3.144) -- (5.175,3.269) -- cycle;
\node at (4.88,3.439) {\scalebox{1.418}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.703,2.409) -- (6.657,2.579) -- (6.533,2.703) -- (6.363,2.749) -- (6.193,2.703) -- (6.068,2.579) -- (6.023,2.409) -- (6.068,2.239) -- (6.193,2.114) -- (6.363,2.069) -- (6.533,2.114) -- (6.657,2.239) -- cycle;
\node at (6.363,2.409) {\scalebox{1.418}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.421,6.384) -- (5.021,6.384) -- (5.021,6.984) -- (4.421,6.984) -- cycle;
\node at (4.721,6.684) {\scalebox{1.418}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.021,4.698) -- (7.621,4.698) -- (7.621,5.298) -- (7.021,5.298) -- cycle;
\node at (7.321,4.998) {\scalebox{1.418}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.212,7.959) -- (2.812,7.959) -- (2.812,8.559) -- (2.212,8.559) -- cycle;
\node at (2.512,8.259) {\scalebox{1.418}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (10.395,4.465) -- (10.995,4.465) -- (10.995,5.065) -- (10.395,5.065) -- cycle;
\node at (10.695,4.765) {\scalebox{1.418}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.108,9.613) -- (5.708,9.613) -- (5.708,10.213) -- (5.108,10.213) -- cycle;
\node at (5.408,9.913) {\scalebox{1.418}{\small e}};
\node at (4.7,11.594) {\scalebox{1.418}{\small A}};
\node at (0.765,10.823) {\scalebox{1.418}{\small B}};
\node at (9.424,10.769) {\scalebox{1.418}{\small C}};
\node at (1.239,8.111) {\scalebox{1.418}{\small D}};
\node at (11.891,7.012) {\scalebox{1.418}{\small E}};
\node at (4.233,6.302) {\scalebox{1.418}{\small F}};
\node at (8.031,3.513) {\scalebox{1.418}{\small G}};
\node at (4.305,0.95) {\scalebox{1.418}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.572,10.038) -- (12.572,11.138);
\draw[line width=0.5pt] (12.341,10.753) -- (12.572,11.138) -- (12.803,10.753);
\draw[line width=0.5pt] (12.269,10.588) -- (12.874,10.588);
\node at (12.572,11.523) {\scalebox{1.418}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① sentier des Prés & ⑦ rue Basse & Ⓐ Place des Tanneurs & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑧ chemin de Ronde & Ⓑ Place du Vieux-Puits & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ rue du Pont & ⑨ quai aux Fleurs & Ⓒ Rond-point de la Gare & \textbf{c} le marché couvert \\ \hline
④ rue Pasteur & ⑩ chemin des Vignes & Ⓓ Place aux Herbes & \textbf{d} l'école \\ \hline
⑤ chemin du Lavoir & ⑪ rue de la Mairie & Ⓔ Placette des Ormes & \textbf{e} la boulangerie \\ \hline
⑥ allée des Tilleuls & ⑫ rue de l'Église & Ⓕ Rond-point des Vaches &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Rond-point du Stade &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6308, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (4.834,10.988) -- (5.12,10.898) -- (5.407,10.815) -- (5.697,10.739) -- (5.988,10.669) -- (6.281,10.607) -- (6.576,10.551) -- (6.872,10.502) -- (7.168,10.46) -- (7.466,10.425) -- (7.764,10.398) -- (8.063,10.377) -- (8.362,10.363) -- (8.662,10.356) -- (8.961,10.357);
\draw[line width=0.5pt] (4.834,10.988) -- (4.873,10.682) -- (4.905,10.375) -- (4.93,10.067) -- (4.947,9.758) -- (4.957,9.45) -- (4.96,9.14) -- (4.955,8.831) -- (4.943,8.522) -- (4.925,8.214) -- (4.898,7.906) -- (4.865,7.599) -- (4.824,7.293) -- (4.776,6.987) -- (4.721,6.684);
\draw[line width=0.5pt] (1.272,10.466) -- (1.286,10.285) -- (1.304,10.105) -- (1.327,9.926) -- (1.354,9.747) -- (1.385,9.569) -- (1.421,9.391) -- (1.46,9.214) -- (1.504,9.039) -- (1.551,8.864) -- (1.603,8.691) -- (1.659,8.518) -- (1.719,8.348) -- (1.783,8.178) -- (1.851,8.011);
\draw[line width=0.5pt] (1.272,10.466) -- (1.558,10.235) -- (1.838,9.998) -- (2.113,9.755) -- (2.382,9.505) -- (2.645,9.248) -- (2.902,8.985) -- (3.152,8.717) -- (3.397,8.443) -- (3.635,8.163) -- (3.866,7.877) -- (4.09,7.586) -- (4.308,7.29) -- (4.518,6.989) -- (4.721,6.684);
\draw[line width=0.5pt] (8.961,10.357) -- (9.089,10.097) -- (9.222,9.84) -- (9.362,9.587) -- (9.508,9.337) -- (9.66,9.09) -- (9.817,8.847) -- (9.98,8.608) -- (10.149,8.373) -- (10.323,8.141) -- (10.502,7.914) -- (10.687,7.691) -- (10.877,7.473) -- (11.072,7.259) -- (11.272,7.05);
\draw[line width=0.5pt] (8.961,10.357) -- (8.701,10.05) -- (8.433,9.749) -- (8.159,9.455) -- (7.877,9.168) -- (7.589,8.887) -- (7.294,8.612) -- (6.993,8.345) -- (6.685,8.085) -- (6.372,7.832) -- (6.053,7.587) -- (5.728,7.349) -- (5.397,7.119) -- (5.062,6.898) -- (4.721,6.684);
\draw[line width=0.5pt] (8.961,10.357) -- (8.86,10.192) -- (8.762,10.024) -- (8.668,9.855) -- (8.579,9.683) -- (8.493,9.509) -- (8.412,9.333) -- (8.334,9.155) -- (8.261,8.975) -- (8.192,8.794) -- (8.128,8.611) -- (8.067,8.427) -- (8.011,8.241) -- (7.96,8.055) -- (7.913,7.867) -- (7.94,7.593) -- (7.961,7.319) -- (7.975,7.045) -- (7.982,6.77) -- (7.984,6.495) -- (7.978,6.22) -- (7.967,5.945) -- (7.949,5.671) -- (7.924,5.397) -- (7.893,5.123) -- (7.855,4.851) -- (7.812,4.58) -- (7.761,4.309) -- (7.705,4.04);
\draw[line width=0.5pt] (1.851,8.011) -- (2.069,7.948) -- (2.285,7.88) -- (2.5,7.807) -- (2.713,7.729) -- (2.924,7.646) -- (3.134,7.558) -- (3.341,7.466) -- (3.546,7.368) -- (3.748,7.265) -- (3.948,7.158) -- (4.146,7.046) -- (4.34,6.93) -- (4.532,6.809) -- (4.721,6.684);
\draw[line width=0.5pt] (11.272,7.05) -- (10.986,6.876) -- (10.705,6.695) -- (10.427,6.507) -- (10.154,6.313) -- (9.886,6.112) -- (9.623,5.905) -- (9.364,5.692) -- (9.111,5.473) -- (8.862,5.248) -- (8.619,5.018) -- (8.382,4.782) -- (8.15,4.54) -- (7.925,4.293) -- (7.705,4.04);
\draw[line width=0.5pt] (4.721,6.684) -- (4.962,6.529) -- (5.198,6.369) -- (5.431,6.203) -- (5.66,6.031) -- (5.885,5.854) -- (6.106,5.672) -- (6.322,5.485) -- (6.534,5.293) -- (6.741,5.096) -- (6.944,4.894) -- (7.142,4.687) -- (7.335,4.476) -- (7.522,4.26) -- (7.705,4.04);
\draw[line width=0.5pt] (4.721,6.684) -- (4.674,6.453) -- (4.632,6.222) -- (4.596,5.989) -- (4.565,5.756) -- (4.54,5.522) -- (4.52,5.287) -- (4.506,5.052) -- (4.498,4.817) -- (4.494,4.582) -- (4.497,4.346) -- (4.505,4.111) -- (4.518,3.876) -- (4.537,3.642) -- (4.562,3.408) -- (4.573,3.275) -- (4.58,3.142) -- (4.585,3.009) -- (4.586,2.876) -- (4.585,2.743) -- (4.58,2.61) -- (4.572,2.477) -- (4.561,2.344) -- (4.547,2.212) -- (4.529,2.08) -- (4.509,1.948) -- (4.486,1.817) -- (4.459,1.687) -- (4.43,1.557);
\draw[line width=0.5pt] (7.705,4.04) -- (7.5,3.829) -- (7.29,3.622) -- (7.075,3.42) -- (6.855,3.223) -- (6.631,3.031) -- (6.403,2.845) -- (6.17,2.664) -- (5.932,2.488) -- (5.691,2.318) -- (5.446,2.154) -- (5.197,1.996) -- (4.945,1.844) -- (4.689,1.697) -- (4.43,1.557);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.994,10.988) -- (4.973,11.068) -- (4.914,11.127) -- (4.834,11.148) -- (4.754,11.127) -- (4.696,11.068) -- (4.674,10.988) -- (4.696,10.908) -- (4.754,10.85) -- (4.834,10.828) -- (4.914,10.85) -- (4.973,10.908) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.432,10.466) -- (1.41,10.546) -- (1.352,10.604) -- (1.272,10.626) -- (1.192,10.604) -- (1.133,10.546) -- (1.112,10.466) -- (1.133,10.386) -- (1.192,10.327) -- (1.272,10.306) -- (1.352,10.327) -- (1.41,10.386) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.121,10.357) -- (9.1,10.437) -- (9.041,10.495) -- (8.961,10.517) -- (8.881,10.495) -- (8.823,10.437) -- (8.801,10.357) -- (8.823,10.277) -- (8.881,10.218) -- (8.961,10.197) -- (9.041,10.218) -- (9.1,10.277) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.011,8.011) -- (1.989,8.091) -- (1.931,8.149) -- (1.851,8.171) -- (1.771,8.149) -- (1.712,8.091) -- (1.691,8.011) -- (1.712,7.931) -- (1.771,7.872) -- (1.851,7.851) -- (1.931,7.872) -- (1.989,7.931) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.432,7.05) -- (11.41,7.13) -- (11.352,7.189) -- (11.272,7.21) -- (11.192,7.189) -- (11.133,7.13) -- (11.112,7.05) -- (11.133,6.97) -- (11.192,6.911) -- (11.272,6.89) -- (11.352,6.911) -- (11.41,6.97) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.881,6.684) -- (4.86,6.764) -- (4.801,6.822) -- (4.721,6.844) -- (4.641,6.822) -- (4.583,6.764) -- (4.561,6.684) -- (4.583,6.604) -- (4.641,6.545) -- (4.721,6.524) -- (4.801,6.545) -- (4.86,6.604) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.865,4.04) -- (7.843,4.12) -- (7.785,4.179) -- (7.705,4.2) -- (7.625,4.179) -- (7.566,4.12) -- (7.545,4.04) -- (7.566,3.96) -- (7.625,3.902) -- (7.705,3.88) -- (7.785,3.902) -- (7.843,3.96) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.59,1.557) -- (4.568,1.637) -- (4.51,1.696) -- (4.43,1.717) -- (4.35,1.696) -- (4.291,1.637) -- (4.27,1.557) -- (4.291,1.477) -- (4.35,1.419) -- (4.43,1.397) -- (4.51,1.419) -- (4.568,1.477) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.26,10.819) -- (7.214,10.989) -- (7.09,11.113) -- (6.92,11.159) -- (6.75,11.113) -- (6.626,10.989) -- (6.58,10.819) -- (6.626,10.649) -- (6.75,10.524) -- (6.92,10.479) -- (7.09,10.524) -- (7.214,10.649) -- cycle;
\node at (6.92,10.819) {\scalebox{1.585}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.615,8.823) -- (5.57,8.993) -- (5.445,9.117) -- (5.275,9.163) -- (5.105,9.117) -- (4.981,8.993) -- (4.935,8.823) -- (4.981,8.653) -- (5.105,8.529) -- (5.275,8.483) -- (5.445,8.529) -- (5.57,8.653) -- cycle;
\node at (5.275,8.823) {\scalebox{1.585}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.112,9.288) -- (2.066,9.458) -- (1.942,9.582) -- (1.772,9.628) -- (1.602,9.582) -- (1.477,9.458) -- (1.432,9.288) -- (1.477,9.118) -- (1.602,8.993) -- (1.772,8.948) -- (1.942,8.993) -- (2.066,9.118) -- cycle;
\node at (1.772,9.288) {\scalebox{1.585}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.729,8.933) -- (3.683,9.103) -- (3.559,9.227) -- (3.389,9.273) -- (3.219,9.227) -- (3.094,9.103) -- (3.049,8.933) -- (3.094,8.763) -- (3.219,8.638) -- (3.389,8.593) -- (3.559,8.638) -- (3.683,8.763) -- cycle;
\node at (3.389,8.933) {\scalebox{1.585}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.582,8.791) -- (10.537,8.961) -- (10.412,9.086) -- (10.242,9.131) -- (10.072,9.086) -- (9.948,8.961) -- (9.902,8.791) -- (9.948,8.621) -- (10.072,8.497) -- (10.242,8.451) -- (10.412,8.497) -- (10.537,8.621) -- cycle;
\node at (10.242,8.791) {\scalebox{1.585}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.542,8.103) -- (7.497,8.273) -- (7.372,8.398) -- (7.202,8.443) -- (7.032,8.398) -- (6.908,8.273) -- (6.862,8.103) -- (6.908,7.933) -- (7.032,7.809) -- (7.202,7.763) -- (7.372,7.809) -- (7.497,7.933) -- cycle;
\node at (7.202,8.103) {\scalebox{1.585}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.573,7.853) -- (8.527,8.023) -- (8.403,8.147) -- (8.233,8.193) -- (8.063,8.147) -- (7.938,8.023) -- (7.893,7.853) -- (7.938,7.683) -- (8.063,7.559) -- (8.233,7.513) -- (8.403,7.559) -- (8.527,7.683) -- cycle;
\node at (8.233,7.853) {\scalebox{1.585}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.815,7.756) -- (3.769,7.926) -- (3.645,8.051) -- (3.475,8.096) -- (3.305,8.051) -- (3.181,7.926) -- (3.135,7.756) -- (3.181,7.586) -- (3.305,7.462) -- (3.475,7.416) -- (3.645,7.462) -- (3.769,7.586) -- cycle;
\node at (3.475,7.756) {\scalebox{1.585}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.91,5.448) -- (9.865,5.618) -- (9.74,5.742) -- (9.57,5.788) -- (9.4,5.742) -- (9.276,5.618) -- (9.23,5.448) -- (9.276,5.278) -- (9.4,5.153) -- (9.57,5.108) -- (9.74,5.153) -- (9.865,5.278) -- cycle;
\node at (9.57,5.448) {\scalebox{1.585}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.874,5.725) -- (6.829,5.895) -- (6.704,6.019) -- (6.534,6.065) -- (6.364,6.019) -- (6.24,5.895) -- (6.194,5.725) -- (6.24,5.555) -- (6.364,5.43) -- (6.534,5.385) -- (6.704,5.43) -- (6.829,5.555) -- cycle;
\node at (6.534,5.725) {\scalebox{1.585}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.22,3.439) -- (5.175,3.609) -- (5.05,3.733) -- (4.88,3.779) -- (4.71,3.733) -- (4.586,3.609) -- (4.54,3.439) -- (4.586,3.269) -- (4.71,3.144) -- (4.88,3.099) -- (5.05,3.144) -- (5.175,3.269) -- cycle;
\node at (4.88,3.439) {\scalebox{1.585}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.703,2.409) -- (6.657,2.579) -- (6.533,2.703) -- (6.363,2.749) -- (6.193,2.703) -- (6.068,2.579) -- (6.023,2.409) -- (6.068,2.239) -- (6.193,2.114) -- (6.363,2.069) -- (6.533,2.114) -- (6.657,2.239) -- cycle;
\node at (6.363,2.409) {\scalebox{1.585}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (4.421,6.384) -- (5.021,6.384) -- (5.021,6.984) -- (4.421,6.984) -- cycle;
\node at (4.721,6.684) {\scalebox{1.585}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (7.021,4.698) -- (7.621,4.698) -- (7.621,5.298) -- (7.021,5.298) -- cycle;
\node at (7.321,4.998) {\scalebox{1.585}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.212,7.959) -- (2.812,7.959) -- (2.812,8.559) -- (2.212,8.559) -- cycle;
\node at (2.512,8.259) {\scalebox{1.585}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (10.395,4.465) -- (10.995,4.465) -- (10.995,5.065) -- (10.395,5.065) -- cycle;
\node at (10.695,4.765) {\scalebox{1.585}{\small d}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.108,9.613) -- (5.708,9.613) -- (5.708,10.213) -- (5.108,10.213) -- cycle;
\node at (5.408,9.913) {\scalebox{1.585}{\small e}};
\node at (4.7,11.594) {\scalebox{1.585}{\small A}};
\node at (0.765,10.823) {\scalebox{1.585}{\small B}};
\node at (9.424,10.769) {\scalebox{1.585}{\small C}};
\node at (1.239,8.111) {\scalebox{1.585}{\small D}};
\node at (11.891,7.012) {\scalebox{1.585}{\small E}};
\node at (4.233,6.302) {\scalebox{1.585}{\small F}};
\node at (8.031,3.513) {\scalebox{1.585}{\small G}};
\node at (4.305,0.95) {\scalebox{1.585}{\small H}};
\draw[line width=0.5pt] (12.572,10.038) -- (12.572,11.138);
\draw[line width=0.5pt] (12.341,10.753) -- (12.572,11.138) -- (12.803,10.753);
\draw[line width=0.5pt] (12.269,10.588) -- (12.874,10.588);
\node at (12.572,11.523) {\scalebox{1.585}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 & 6 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{F}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point des Vaches \textbf{(F)}, prend la \textbf{rue Verte ②} vers le nord et atteint Place des Tanneurs \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{sentier des Prés ①}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑤}, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{quai aux Fleurs ⑨}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(G)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue Basse ⑦}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(C)}.
  \item Il prend dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ③}, vers le sud, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑧}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{chemin des Vignes ⑩}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑫}, vers le sud-ouest, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑪}, vers le nord, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(F)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
