\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 190}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=190}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0190}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.701, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.025,7.186) -- (2.349,7.092) -- (2.675,7.007) -- (3.003,6.929) -- (3.333,6.858) -- (3.664,6.796) -- (3.997,6.741) -- (4.332,6.694) -- (4.667,6.655) -- (5.003,6.624) -- (5.339,6.601) -- (5.676,6.586) -- (6.013,6.578) -- (6.35,6.579) -- (6.687,6.588);
\draw[line width=0.5pt] (2.025,7.186) -- (2.12,7.001) -- (2.211,6.814) -- (2.297,6.625) -- (2.379,6.434) -- (2.456,6.241) -- (2.529,6.046) -- (2.597,5.85) -- (2.66,5.652) -- (2.719,5.452) -- (2.773,5.252) -- (2.822,5.05) -- (2.867,4.847) -- (2.907,4.643) -- (2.942,4.438);
\draw[line width=0.5pt] (6.687,6.588) -- (6.398,6.476) -- (6.112,6.358) -- (5.829,6.233) -- (5.548,6.102) -- (5.271,5.963) -- (4.996,5.819) -- (4.726,5.668) -- (4.459,5.51) -- (4.195,5.346) -- (3.936,5.177) -- (3.681,5.001) -- (3.43,4.819) -- (3.184,4.632) -- (2.942,4.438);
\draw[line width=0.5pt] (6.687,6.588) -- (6.663,6.224) -- (6.631,5.86) -- (6.59,5.498) -- (6.54,5.136) -- (6.482,4.776) -- (6.415,4.416) -- (6.34,4.059) -- (6.257,3.704) -- (6.165,3.35) -- (6.065,2.999) -- (5.957,2.65) -- (5.84,2.304) -- (5.716,1.961) -- (5.583,1.622);
\draw[line width=0.5pt] (6.687,6.588) -- (6.832,6.43) -- (6.98,6.276) -- (7.132,6.125) -- (7.288,5.978) -- (7.446,5.835) -- (7.609,5.695) -- (7.774,5.559) -- (7.943,5.427) -- (8.115,5.299) -- (8.289,5.176) -- (8.467,5.056) -- (8.647,4.941) -- (8.83,4.83) -- (9.015,4.723) -- (9.219,4.498) -- (9.418,4.269) -- (9.611,4.035) -- (9.799,3.797) -- (9.981,3.554) -- (10.157,3.307) -- (10.328,3.056) -- (10.492,2.801) -- (10.651,2.542) -- (10.803,2.279) -- (10.95,2.013) -- (11.089,1.744) -- (11.223,1.472) -- (11.35,1.196);
\draw[line width=0.5pt] (2.942,4.438) -- (2.848,4.295) -- (2.751,4.154) -- (2.651,4.015) -- (2.548,3.879) -- (2.441,3.745) -- (2.332,3.613) -- (2.219,3.484) -- (2.103,3.358) -- (1.984,3.235) -- (1.863,3.114) -- (1.739,2.996) -- (1.611,2.882) -- (1.482,2.77) -- (1.35,2.662);
\draw[line width=0.5pt] (2.942,4.438) -- (3.098,4.21) -- (3.26,3.985) -- (3.427,3.764) -- (3.599,3.547) -- (3.777,3.334) -- (3.959,3.125) -- (4.146,2.921) -- (4.338,2.721) -- (4.535,2.526) -- (4.736,2.335) -- (4.942,2.149) -- (5.151,1.968) -- (5.365,1.792) -- (5.583,1.622);
\draw[line width=0.5pt] (1.35,2.662) -- (1.661,2.634) -- (1.972,2.599) -- (2.282,2.557) -- (2.591,2.508) -- (2.898,2.451) -- (3.205,2.387) -- (3.509,2.316) -- (3.812,2.238) -- (4.113,2.153) -- (4.412,2.06) -- (4.709,1.961) -- (5.003,1.855) -- (5.295,1.742) -- (5.583,1.622);
\draw[line width=0.5pt] (5.583,1.622) -- (5.987,1.528) -- (6.393,1.445) -- (6.802,1.371) -- (7.211,1.306) -- (7.623,1.252) -- (8.035,1.206) -- (8.449,1.171) -- (8.863,1.145) -- (9.278,1.129) -- (9.693,1.123) -- (10.108,1.127) -- (10.522,1.14) -- (10.936,1.163) -- (11.35,1.196);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.185,7.186) -- (2.164,7.266) -- (2.105,7.324) -- (2.025,7.346) -- (1.945,7.324) -- (1.887,7.266) -- (1.865,7.186) -- (1.887,7.106) -- (1.945,7.047) -- (2.025,7.026) -- (2.105,7.047) -- (2.164,7.106) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.847,6.588) -- (6.826,6.668) -- (6.767,6.726) -- (6.687,6.748) -- (6.607,6.726) -- (6.549,6.668) -- (6.527,6.588) -- (6.549,6.508) -- (6.607,6.449) -- (6.687,6.428) -- (6.767,6.449) -- (6.826,6.508) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.102,4.438) -- (3.08,4.518) -- (3.022,4.577) -- (2.942,4.598) -- (2.862,4.577) -- (2.803,4.518) -- (2.782,4.438) -- (2.803,4.358) -- (2.862,4.3) -- (2.942,4.278) -- (3.022,4.3) -- (3.08,4.358) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.51,2.662) -- (1.488,2.742) -- (1.43,2.8) -- (1.35,2.822) -- (1.27,2.8) -- (1.211,2.742) -- (1.19,2.662) -- (1.211,2.582) -- (1.27,2.523) -- (1.35,2.502) -- (1.43,2.523) -- (1.488,2.582) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.743,1.622) -- (5.722,1.702) -- (5.663,1.76) -- (5.583,1.782) -- (5.503,1.76) -- (5.445,1.702) -- (5.423,1.622) -- (5.445,1.542) -- (5.503,1.483) -- (5.583,1.462) -- (5.663,1.483) -- (5.722,1.542) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.51,1.196) -- (11.488,1.276) -- (11.43,1.335) -- (11.35,1.356) -- (11.27,1.335) -- (11.211,1.276) -- (11.19,1.196) -- (11.211,1.116) -- (11.27,1.058) -- (11.35,1.036) -- (11.43,1.058) -- (11.488,1.116) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.712,7.012) -- (4.667,7.182) -- (4.542,7.306) -- (4.372,7.352) -- (4.202,7.306) -- (4.078,7.182) -- (4.032,7.012) -- (4.078,6.842) -- (4.202,6.717) -- (4.372,6.672) -- (4.542,6.717) -- (4.667,6.842) -- cycle;
\node at (4.372,7.012) {\scalebox{1.427}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.24,5.951) -- (3.195,6.121) -- (3.07,6.246) -- (2.9,6.291) -- (2.73,6.246) -- (2.606,6.121) -- (2.56,5.951) -- (2.606,5.781) -- (2.73,5.657) -- (2.9,5.611) -- (3.07,5.657) -- (3.195,5.781) -- cycle;
\node at (2.9,5.951) {\scalebox{1.427}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.225,5.39) -- (5.18,5.56) -- (5.055,5.684) -- (4.885,5.73) -- (4.715,5.684) -- (4.591,5.56) -- (4.545,5.39) -- (4.591,5.22) -- (4.715,5.096) -- (4.885,5.05) -- (5.055,5.096) -- (5.18,5.22) -- cycle;
\node at (4.885,5.39) {\scalebox{1.427}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.993,3.99) -- (6.947,4.16) -- (6.823,4.284) -- (6.653,4.33) -- (6.483,4.284) -- (6.358,4.16) -- (6.313,3.99) -- (6.358,3.82) -- (6.483,3.695) -- (6.653,3.65) -- (6.823,3.695) -- (6.947,3.82) -- cycle;
\node at (6.653,3.99) {\scalebox{1.427}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.562,4.967) -- (9.517,5.137) -- (9.392,5.261) -- (9.222,5.307) -- (9.052,5.261) -- (8.928,5.137) -- (8.882,4.967) -- (8.928,4.797) -- (9.052,4.672) -- (9.222,4.627) -- (9.392,4.672) -- (9.517,4.797) -- cycle;
\node at (9.222,4.967) {\scalebox{1.427}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.797,3.271) -- (2.752,3.441) -- (2.627,3.565) -- (2.457,3.611) -- (2.287,3.565) -- (2.163,3.441) -- (2.117,3.271) -- (2.163,3.101) -- (2.287,2.976) -- (2.457,2.931) -- (2.627,2.976) -- (2.752,3.101) -- cycle;
\node at (2.457,3.271) {\scalebox{1.427}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.72,3.14) -- (4.674,3.31) -- (4.55,3.434) -- (4.38,3.48) -- (4.21,3.434) -- (4.085,3.31) -- (4.04,3.14) -- (4.085,2.97) -- (4.21,2.845) -- (4.38,2.8) -- (4.55,2.845) -- (4.674,2.97) -- cycle;
\node at (4.38,3.14) {\scalebox{1.427}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.926,2.627) -- (3.88,2.797) -- (3.756,2.921) -- (3.586,2.967) -- (3.416,2.921) -- (3.291,2.797) -- (3.246,2.627) -- (3.291,2.457) -- (3.416,2.333) -- (3.586,2.287) -- (3.756,2.333) -- (3.88,2.457) -- cycle;
\node at (3.586,2.627) {\scalebox{1.427}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.812,1.49) -- (8.767,1.66) -- (8.642,1.785) -- (8.472,1.83) -- (8.302,1.785) -- (8.178,1.66) -- (8.132,1.49) -- (8.178,1.32) -- (8.302,1.196) -- (8.472,1.15) -- (8.642,1.196) -- (8.767,1.32) -- cycle;
\node at (8.472,1.49) {\scalebox{1.427}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.387,6.288) -- (6.987,6.288) -- (6.987,6.888) -- (6.387,6.888) -- cycle;
\node at (6.687,6.588) {\scalebox{1.427}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.291,2.452) -- (1.891,2.452) -- (1.891,3.052) -- (1.291,3.052) -- cycle;
\node at (1.591,2.752) {\scalebox{1.427}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.248,2.997) -- (4.848,2.997) -- (4.848,3.597) -- (4.248,3.597) -- cycle;
\node at (4.548,3.297) {\scalebox{1.427}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.488,1.856) -- (3.088,1.856) -- (3.088,2.456) -- (2.488,2.456) -- cycle;
\node at (2.788,2.156) {\scalebox{1.427}{\small d}};
\node at (1.606,7.643) {\scalebox{1.427}{\small A}};
\node at (7.023,7.109) {\scalebox{1.427}{\small B}};
\node at (2.339,4.583) {\scalebox{1.427}{\small C}};
\node at (0.765,2.455) {\scalebox{1.427}{\small D}};
\node at (5.737,1.021) {\scalebox{1.427}{\small E}};
\node at (11.919,0.95) {\scalebox{1.427}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.65,6.236) -- (12.65,7.336);
\draw[line width=0.5pt] (12.419,6.951) -- (12.65,7.336) -- (12.881,6.951);
\draw[line width=0.5pt] (12.347,6.786) -- (12.952,6.786);
\node at (12.65,7.721) {\scalebox{1.427}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Pasteur & ⑥ rue des Jardins & Ⓐ Coin du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue des Lilas & ⑦ venelle du Chat & Ⓑ Rond-point du Stade & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ chemin de Ronde & ⑧ passage du Marché & Ⓒ Carrefour de la Mairie & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ chemin Creux & ⑨ sentier des Prés & Ⓓ Place du Vieux-Puits & \textbf{d} la gendarmerie \\ \hline
⑤ chemin des Vignes &  & Ⓔ Rond-point de la Poste &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6272, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (2.025,7.186) -- (2.349,7.092) -- (2.675,7.007) -- (3.003,6.929) -- (3.333,6.858) -- (3.664,6.796) -- (3.997,6.741) -- (4.332,6.694) -- (4.667,6.655) -- (5.003,6.624) -- (5.339,6.601) -- (5.676,6.586) -- (6.013,6.578) -- (6.35,6.579) -- (6.687,6.588);
\draw[line width=0.5pt] (2.025,7.186) -- (2.12,7.001) -- (2.211,6.814) -- (2.297,6.625) -- (2.379,6.434) -- (2.456,6.241) -- (2.529,6.046) -- (2.597,5.85) -- (2.66,5.652) -- (2.719,5.452) -- (2.773,5.252) -- (2.822,5.05) -- (2.867,4.847) -- (2.907,4.643) -- (2.942,4.438);
\draw[line width=0.5pt] (6.687,6.588) -- (6.398,6.476) -- (6.112,6.358) -- (5.829,6.233) -- (5.548,6.102) -- (5.271,5.963) -- (4.996,5.819) -- (4.726,5.668) -- (4.459,5.51) -- (4.195,5.346) -- (3.936,5.177) -- (3.681,5.001) -- (3.43,4.819) -- (3.184,4.632) -- (2.942,4.438);
\draw[line width=0.5pt] (6.687,6.588) -- (6.663,6.224) -- (6.631,5.86) -- (6.59,5.498) -- (6.54,5.136) -- (6.482,4.776) -- (6.415,4.416) -- (6.34,4.059) -- (6.257,3.704) -- (6.165,3.35) -- (6.065,2.999) -- (5.957,2.65) -- (5.84,2.304) -- (5.716,1.961) -- (5.583,1.622);
\draw[line width=0.5pt] (6.687,6.588) -- (6.832,6.43) -- (6.98,6.276) -- (7.132,6.125) -- (7.288,5.978) -- (7.446,5.835) -- (7.609,5.695) -- (7.774,5.559) -- (7.943,5.427) -- (8.115,5.299) -- (8.289,5.176) -- (8.467,5.056) -- (8.647,4.941) -- (8.83,4.83) -- (9.015,4.723) -- (9.219,4.498) -- (9.418,4.269) -- (9.611,4.035) -- (9.799,3.797) -- (9.981,3.554) -- (10.157,3.307) -- (10.328,3.056) -- (10.492,2.801) -- (10.651,2.542) -- (10.803,2.279) -- (10.95,2.013) -- (11.089,1.744) -- (11.223,1.472) -- (11.35,1.196);
\draw[line width=0.5pt] (2.942,4.438) -- (2.848,4.295) -- (2.751,4.154) -- (2.651,4.015) -- (2.548,3.879) -- (2.441,3.745) -- (2.332,3.613) -- (2.219,3.484) -- (2.103,3.358) -- (1.984,3.235) -- (1.863,3.114) -- (1.739,2.996) -- (1.611,2.882) -- (1.482,2.77) -- (1.35,2.662);
\draw[line width=0.5pt] (2.942,4.438) -- (3.098,4.21) -- (3.26,3.985) -- (3.427,3.764) -- (3.599,3.547) -- (3.777,3.334) -- (3.959,3.125) -- (4.146,2.921) -- (4.338,2.721) -- (4.535,2.526) -- (4.736,2.335) -- (4.942,2.149) -- (5.151,1.968) -- (5.365,1.792) -- (5.583,1.622);
\draw[line width=0.5pt] (1.35,2.662) -- (1.661,2.634) -- (1.972,2.599) -- (2.282,2.557) -- (2.591,2.508) -- (2.898,2.451) -- (3.205,2.387) -- (3.509,2.316) -- (3.812,2.238) -- (4.113,2.153) -- (4.412,2.06) -- (4.709,1.961) -- (5.003,1.855) -- (5.295,1.742) -- (5.583,1.622);
\draw[line width=0.5pt] (5.583,1.622) -- (5.987,1.528) -- (6.393,1.445) -- (6.802,1.371) -- (7.211,1.306) -- (7.623,1.252) -- (8.035,1.206) -- (8.449,1.171) -- (8.863,1.145) -- (9.278,1.129) -- (9.693,1.123) -- (10.108,1.127) -- (10.522,1.14) -- (10.936,1.163) -- (11.35,1.196);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.185,7.186) -- (2.164,7.266) -- (2.105,7.324) -- (2.025,7.346) -- (1.945,7.324) -- (1.887,7.266) -- (1.865,7.186) -- (1.887,7.106) -- (1.945,7.047) -- (2.025,7.026) -- (2.105,7.047) -- (2.164,7.106) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.847,6.588) -- (6.826,6.668) -- (6.767,6.726) -- (6.687,6.748) -- (6.607,6.726) -- (6.549,6.668) -- (6.527,6.588) -- (6.549,6.508) -- (6.607,6.449) -- (6.687,6.428) -- (6.767,6.449) -- (6.826,6.508) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.102,4.438) -- (3.08,4.518) -- (3.022,4.577) -- (2.942,4.598) -- (2.862,4.577) -- (2.803,4.518) -- (2.782,4.438) -- (2.803,4.358) -- (2.862,4.3) -- (2.942,4.278) -- (3.022,4.3) -- (3.08,4.358) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.51,2.662) -- (1.488,2.742) -- (1.43,2.8) -- (1.35,2.822) -- (1.27,2.8) -- (1.211,2.742) -- (1.19,2.662) -- (1.211,2.582) -- (1.27,2.523) -- (1.35,2.502) -- (1.43,2.523) -- (1.488,2.582) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.743,1.622) -- (5.722,1.702) -- (5.663,1.76) -- (5.583,1.782) -- (5.503,1.76) -- (5.445,1.702) -- (5.423,1.622) -- (5.445,1.542) -- (5.503,1.483) -- (5.583,1.462) -- (5.663,1.483) -- (5.722,1.542) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.51,1.196) -- (11.488,1.276) -- (11.43,1.335) -- (11.35,1.356) -- (11.27,1.335) -- (11.211,1.276) -- (11.19,1.196) -- (11.211,1.116) -- (11.27,1.058) -- (11.35,1.036) -- (11.43,1.058) -- (11.488,1.116) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.712,7.012) -- (4.667,7.182) -- (4.542,7.306) -- (4.372,7.352) -- (4.202,7.306) -- (4.078,7.182) -- (4.032,7.012) -- (4.078,6.842) -- (4.202,6.717) -- (4.372,6.672) -- (4.542,6.717) -- (4.667,6.842) -- cycle;
\node at (4.372,7.012) {\scalebox{1.594}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.24,5.951) -- (3.195,6.121) -- (3.07,6.246) -- (2.9,6.291) -- (2.73,6.246) -- (2.606,6.121) -- (2.56,5.951) -- (2.606,5.781) -- (2.73,5.657) -- (2.9,5.611) -- (3.07,5.657) -- (3.195,5.781) -- cycle;
\node at (2.9,5.951) {\scalebox{1.594}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.225,5.39) -- (5.18,5.56) -- (5.055,5.684) -- (4.885,5.73) -- (4.715,5.684) -- (4.591,5.56) -- (4.545,5.39) -- (4.591,5.22) -- (4.715,5.096) -- (4.885,5.05) -- (5.055,5.096) -- (5.18,5.22) -- cycle;
\node at (4.885,5.39) {\scalebox{1.594}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.993,3.99) -- (6.947,4.16) -- (6.823,4.284) -- (6.653,4.33) -- (6.483,4.284) -- (6.358,4.16) -- (6.313,3.99) -- (6.358,3.82) -- (6.483,3.695) -- (6.653,3.65) -- (6.823,3.695) -- (6.947,3.82) -- cycle;
\node at (6.653,3.99) {\scalebox{1.594}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.562,4.967) -- (9.517,5.137) -- (9.392,5.261) -- (9.222,5.307) -- (9.052,5.261) -- (8.928,5.137) -- (8.882,4.967) -- (8.928,4.797) -- (9.052,4.672) -- (9.222,4.627) -- (9.392,4.672) -- (9.517,4.797) -- cycle;
\node at (9.222,4.967) {\scalebox{1.594}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.797,3.271) -- (2.752,3.441) -- (2.627,3.565) -- (2.457,3.611) -- (2.287,3.565) -- (2.163,3.441) -- (2.117,3.271) -- (2.163,3.101) -- (2.287,2.976) -- (2.457,2.931) -- (2.627,2.976) -- (2.752,3.101) -- cycle;
\node at (2.457,3.271) {\scalebox{1.594}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.72,3.14) -- (4.674,3.31) -- (4.55,3.434) -- (4.38,3.48) -- (4.21,3.434) -- (4.085,3.31) -- (4.04,3.14) -- (4.085,2.97) -- (4.21,2.845) -- (4.38,2.8) -- (4.55,2.845) -- (4.674,2.97) -- cycle;
\node at (4.38,3.14) {\scalebox{1.594}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.926,2.627) -- (3.88,2.797) -- (3.756,2.921) -- (3.586,2.967) -- (3.416,2.921) -- (3.291,2.797) -- (3.246,2.627) -- (3.291,2.457) -- (3.416,2.333) -- (3.586,2.287) -- (3.756,2.333) -- (3.88,2.457) -- cycle;
\node at (3.586,2.627) {\scalebox{1.594}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.812,1.49) -- (8.767,1.66) -- (8.642,1.785) -- (8.472,1.83) -- (8.302,1.785) -- (8.178,1.66) -- (8.132,1.49) -- (8.178,1.32) -- (8.302,1.196) -- (8.472,1.15) -- (8.642,1.196) -- (8.767,1.32) -- cycle;
\node at (8.472,1.49) {\scalebox{1.594}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.387,6.288) -- (6.987,6.288) -- (6.987,6.888) -- (6.387,6.888) -- cycle;
\node at (6.687,6.588) {\scalebox{1.594}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.291,2.452) -- (1.891,2.452) -- (1.891,3.052) -- (1.291,3.052) -- cycle;
\node at (1.591,2.752) {\scalebox{1.594}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.248,2.997) -- (4.848,2.997) -- (4.848,3.597) -- (4.248,3.597) -- cycle;
\node at (4.548,3.297) {\scalebox{1.594}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.488,1.856) -- (3.088,1.856) -- (3.088,2.456) -- (2.488,2.456) -- cycle;
\node at (2.788,2.156) {\scalebox{1.594}{\small d}};
\node at (1.606,7.643) {\scalebox{1.594}{\small A}};
\node at (7.023,7.109) {\scalebox{1.594}{\small B}};
\node at (2.339,4.583) {\scalebox{1.594}{\small C}};
\node at (0.765,2.455) {\scalebox{1.594}{\small D}};
\node at (5.737,1.021) {\scalebox{1.594}{\small E}};
\node at (11.919,0.95) {\scalebox{1.594}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.65,6.236) -- (12.65,7.336);
\draw[line width=0.5pt] (12.419,6.951) -- (12.65,7.336) -- (12.881,6.951);
\draw[line width=0.5pt] (12.347,6.786) -- (12.952,6.786);
\node at (12.65,7.721) {\scalebox{1.594}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 4 & 4 & 2 & 4 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{B}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(B)}, prend la \textbf{rue Pasteur ①} vers l'ouest et atteint Coin du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ②}, vers le sud, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ③}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin Creux ④}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{venelle du Chat ⑦}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour de la Mairie \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Jardins ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ⑧}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(E)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{sentier des Prés ⑨}, vers l'est, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin des Vignes ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(B)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
