\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 191}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=191}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0191}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6678, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.311,7.275) -- (10.941,7.261) -- (10.571,7.237) -- (10.202,7.205) -- (9.833,7.164) -- (9.466,7.114) -- (9.1,7.056) -- (8.735,6.989) -- (8.372,6.914) -- (8.011,6.83) -- (7.652,6.737) -- (7.295,6.636) -- (6.941,6.527) -- (6.589,6.41) -- (6.241,6.284);
\draw[line width=0.5pt] (11.311,7.275) -- (11.255,6.976) -- (11.191,6.678) -- (11.121,6.381) -- (11.044,6.086) -- (10.959,5.793) -- (10.868,5.502) -- (10.77,5.213) -- (10.665,4.926) -- (10.554,4.642) -- (10.436,4.361) -- (10.311,4.083) -- (10.18,3.807) -- (10.042,3.535) -- (9.898,3.267);
\draw[line width=0.5pt] (11.311,7.275) -- (11.254,6.887) -- (11.207,6.497) -- (11.169,6.106) -- (11.139,5.714) -- (11.12,5.321) -- (11.109,4.928) -- (11.108,4.535) -- (11.116,4.142) -- (11.133,3.749) -- (11.159,3.357) -- (11.195,2.966) -- (11.239,2.575) -- (11.293,2.186) -- (11.356,1.799);
\draw[line width=0.5pt] (6.241,6.284) -- (6.533,6.11) -- (6.821,5.93) -- (7.105,5.742) -- (7.384,5.548) -- (7.659,5.347) -- (7.929,5.14) -- (8.194,4.926) -- (8.454,4.707) -- (8.709,4.481) -- (8.958,4.249) -- (9.202,4.012) -- (9.44,3.769) -- (9.672,3.521) -- (9.898,3.267);
\draw[line width=0.5pt] (6.241,6.284) -- (6.268,5.998) -- (6.303,5.712) -- (6.344,5.428) -- (6.392,5.144) -- (6.446,4.861) -- (6.507,4.58) -- (6.575,4.3) -- (6.649,4.022) -- (6.73,3.745) -- (6.817,3.471) -- (6.911,3.199) -- (7.011,2.929) -- (7.117,2.662) -- (7.23,2.397);
\draw[line width=0.5pt] (6.241,6.284) -- (6.185,6.12) -- (6.125,5.957) -- (6.062,5.795) -- (5.995,5.635) -- (5.924,5.476) -- (5.849,5.319) -- (5.77,5.164) -- (5.688,5.011) -- (5.603,4.859) -- (5.513,4.71) -- (5.421,4.563) -- (5.325,4.418) -- (5.225,4.276) -- (5.123,4.136) -- (4.829,4.007) -- (4.539,3.871) -- (4.252,3.728) -- (3.969,3.579) -- (3.689,3.423) -- (3.413,3.26) -- (3.14,3.091) -- (2.872,2.916) -- (2.608,2.734) -- (2.348,2.546) -- (2.093,2.352) -- (1.843,2.153) -- (1.597,1.947) -- (1.356,1.736);
\draw[line width=0.5pt] (9.898,3.267) -- (9.7,3.234) -- (9.502,3.197) -- (9.305,3.155) -- (9.109,3.109) -- (8.914,3.058) -- (8.721,3.002) -- (8.528,2.942) -- (8.337,2.877) -- (8.148,2.808) -- (7.961,2.735) -- (7.775,2.657) -- (7.591,2.575) -- (7.41,2.488) -- (7.23,2.397);
\draw[line width=0.5pt] (9.898,3.267) -- (10.018,3.179) -- (10.135,3.088) -- (10.25,2.994) -- (10.363,2.898) -- (10.474,2.799) -- (10.582,2.697) -- (10.688,2.593) -- (10.791,2.486) -- (10.892,2.377) -- (10.991,2.266) -- (11.086,2.152) -- (11.179,2.037) -- (11.269,1.919) -- (11.356,1.799);
\draw[line width=0.5pt] (7.23,2.397) -- (7.516,2.31) -- (7.804,2.229) -- (8.094,2.155) -- (8.385,2.088) -- (8.678,2.028) -- (8.973,1.974) -- (9.269,1.928) -- (9.565,1.888) -- (9.863,1.856) -- (10.161,1.83) -- (10.46,1.812) -- (10.758,1.8) -- (11.057,1.796) -- (11.356,1.799);
\draw[line width=0.5pt] (7.23,2.397) -- (6.821,2.286) -- (6.409,2.185) -- (5.995,2.093) -- (5.579,2.011) -- (5.161,1.939) -- (4.742,1.877) -- (4.321,1.824) -- (3.898,1.782) -- (3.475,1.749) -- (3.052,1.726) -- (2.628,1.714) -- (2.204,1.711) -- (1.78,1.718) -- (1.356,1.736);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.471,7.275) -- (11.45,7.355) -- (11.391,7.414) -- (11.311,7.435) -- (11.231,7.414) -- (11.172,7.355) -- (11.151,7.275) -- (11.172,7.195) -- (11.231,7.137) -- (11.311,7.115) -- (11.391,7.137) -- (11.45,7.195) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.401,6.284) -- (6.379,6.364) -- (6.321,6.423) -- (6.241,6.444) -- (6.161,6.423) -- (6.102,6.364) -- (6.081,6.284) -- (6.102,6.204) -- (6.161,6.146) -- (6.241,6.124) -- (6.321,6.146) -- (6.379,6.204) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.058,3.267) -- (10.037,3.347) -- (9.978,3.405) -- (9.898,3.427) -- (9.818,3.405) -- (9.76,3.347) -- (9.738,3.267) -- (9.76,3.187) -- (9.818,3.128) -- (9.898,3.107) -- (9.978,3.128) -- (10.037,3.187) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.39,2.397) -- (7.369,2.477) -- (7.31,2.536) -- (7.23,2.557) -- (7.15,2.536) -- (7.091,2.477) -- (7.07,2.397) -- (7.091,2.317) -- (7.15,2.259) -- (7.23,2.237) -- (7.31,2.259) -- (7.369,2.317) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.516,1.799) -- (11.495,1.879) -- (11.436,1.937) -- (11.356,1.959) -- (11.276,1.937) -- (11.218,1.879) -- (11.196,1.799) -- (11.218,1.719) -- (11.276,1.66) -- (11.356,1.639) -- (11.436,1.66) -- (11.495,1.719) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.516,1.736) -- (1.495,1.816) -- (1.436,1.874) -- (1.356,1.896) -- (1.276,1.874) -- (1.218,1.816) -- (1.196,1.736) -- (1.218,1.656) -- (1.276,1.597) -- (1.356,1.576) -- (1.436,1.597) -- (1.495,1.656) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.136,6.675) -- (9.091,6.845) -- (8.966,6.969) -- (8.796,7.015) -- (8.626,6.969) -- (8.502,6.845) -- (8.456,6.675) -- (8.502,6.505) -- (8.626,6.38) -- (8.796,6.335) -- (8.966,6.38) -- (9.091,6.505) -- cycle;
\node at (8.796,6.675) {\scalebox{1.497}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.412,5.106) -- (11.366,5.276) -- (11.242,5.401) -- (11.072,5.446) -- (10.902,5.401) -- (10.777,5.276) -- (10.732,5.106) -- (10.777,4.936) -- (10.902,4.812) -- (11.072,4.766) -- (11.242,4.812) -- (11.366,4.936) -- cycle;
\node at (11.072,5.106) {\scalebox{1.497}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.792,3.767) -- (11.747,3.937) -- (11.622,4.062) -- (11.452,4.107) -- (11.282,4.062) -- (11.158,3.937) -- (11.112,3.767) -- (11.158,3.597) -- (11.282,3.473) -- (11.452,3.427) -- (11.622,3.473) -- (11.747,3.597) -- cycle;
\node at (11.452,3.767) {\scalebox{1.497}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.738,5.173) -- (8.692,5.343) -- (8.568,5.468) -- (8.398,5.513) -- (8.228,5.468) -- (8.103,5.343) -- (8.058,5.173) -- (8.103,5.003) -- (8.228,4.879) -- (8.398,4.833) -- (8.568,4.879) -- (8.692,5.003) -- cycle;
\node at (8.398,5.173) {\scalebox{1.497}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.225,4.379) -- (7.18,4.549) -- (7.055,4.673) -- (6.885,4.719) -- (6.715,4.673) -- (6.591,4.549) -- (6.545,4.379) -- (6.591,4.209) -- (6.715,4.084) -- (6.885,4.039) -- (7.055,4.084) -- (7.18,4.209) -- cycle;
\node at (6.885,4.379) {\scalebox{1.497}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.642,3.871) -- (5.597,4.041) -- (5.472,4.166) -- (5.302,4.211) -- (5.132,4.166) -- (5.008,4.041) -- (4.962,3.871) -- (5.008,3.701) -- (5.132,3.577) -- (5.302,3.531) -- (5.472,3.577) -- (5.597,3.701) -- cycle;
\node at (5.302,3.871) {\scalebox{1.497}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.967,2.638) -- (8.922,2.808) -- (8.797,2.932) -- (8.627,2.978) -- (8.457,2.932) -- (8.333,2.808) -- (8.287,2.638) -- (8.333,2.468) -- (8.457,2.343) -- (8.627,2.298) -- (8.797,2.343) -- (8.922,2.468) -- cycle;
\node at (8.627,2.638) {\scalebox{1.497}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.255,2.818) -- (11.209,2.988) -- (11.085,3.113) -- (10.915,3.158) -- (10.745,3.113) -- (10.621,2.988) -- (10.575,2.818) -- (10.621,2.648) -- (10.745,2.524) -- (10.915,2.478) -- (11.085,2.524) -- (11.209,2.648) -- cycle;
\node at (10.915,2.818) {\scalebox{1.497}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.654,2.244) -- (9.609,2.414) -- (9.484,2.539) -- (9.314,2.584) -- (9.144,2.539) -- (9.02,2.414) -- (8.974,2.244) -- (9.02,2.074) -- (9.144,1.95) -- (9.314,1.904) -- (9.484,1.95) -- (9.609,2.074) -- cycle;
\node at (9.314,2.244) {\scalebox{1.497}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.696,1.506) -- (4.651,1.676) -- (4.526,1.801) -- (4.356,1.846) -- (4.186,1.801) -- (4.062,1.676) -- (4.016,1.506) -- (4.062,1.336) -- (4.186,1.212) -- (4.356,1.166) -- (4.526,1.212) -- (4.651,1.336) -- cycle;
\node at (4.356,1.506) {\scalebox{1.497}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.598,2.967) -- (10.198,2.967) -- (10.198,3.567) -- (9.598,3.567) -- cycle;
\node at (9.898,3.267) {\scalebox{1.497}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.254,0.65) -- (9.854,0.65) -- (9.854,1.25) -- (9.254,1.25) -- cycle;
\node at (9.554,0.95) {\scalebox{1.497}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.022,5.107) -- (12.622,5.107) -- (12.622,5.707) -- (12.022,5.707) -- cycle;
\node at (12.322,5.407) {\scalebox{1.497}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (13.025,4.571) -- (13.625,4.571) -- (13.625,5.171) -- (13.025,5.171) -- cycle;
\node at (13.325,4.871) {\scalebox{1.497}{\small d}};
\node at (11.745,7.718) {\scalebox{1.497}{\small A}};
\node at (5.897,6.8) {\scalebox{1.497}{\small B}};
\node at (10.498,3.109) {\scalebox{1.497}{\small C}};
\node at (6.962,1.838) {\scalebox{1.497}{\small D}};
\node at (11.894,1.489) {\scalebox{1.497}{\small E}};
\node at (0.765,1.55) {\scalebox{1.497}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.656,6.325) -- (12.656,7.425);
\draw[line width=0.5pt] (12.425,7.04) -- (12.656,7.425) -- (12.887,7.04);
\draw[line width=0.5pt] (12.354,6.875) -- (12.959,6.875);
\node at (12.656,7.81) {\scalebox{1.497}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue du Four & ⑥ boulevard du Parc & Ⓐ Rond-point de la Poste & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Moulin & ⑦ rue Neuve & Ⓑ Rond-point du Pont & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ chemin de Ronde & ⑧ chemin du Lavoir & Ⓒ Carrefour des Tilleuls & \textbf{c} la bibliothèque \\ \hline
④ rue des Lilas & ⑨ passage du Marché & Ⓓ Carrefour du Lavoir & \textbf{d} la salle des fêtes \\ \hline
⑤ avenue de la Gare & ⑩ rue de la Mairie & Ⓔ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place de l'Église &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.5975, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (11.311,7.275) -- (10.941,7.261) -- (10.571,7.237) -- (10.202,7.205) -- (9.833,7.164) -- (9.466,7.114) -- (9.1,7.056) -- (8.735,6.989) -- (8.372,6.914) -- (8.011,6.83) -- (7.652,6.737) -- (7.295,6.636) -- (6.941,6.527) -- (6.589,6.41) -- (6.241,6.284);
\draw[line width=0.5pt] (11.311,7.275) -- (11.255,6.976) -- (11.191,6.678) -- (11.121,6.381) -- (11.044,6.086) -- (10.959,5.793) -- (10.868,5.502) -- (10.77,5.213) -- (10.665,4.926) -- (10.554,4.642) -- (10.436,4.361) -- (10.311,4.083) -- (10.18,3.807) -- (10.042,3.535) -- (9.898,3.267);
\draw[line width=0.5pt] (11.311,7.275) -- (11.254,6.887) -- (11.207,6.497) -- (11.169,6.106) -- (11.139,5.714) -- (11.12,5.321) -- (11.109,4.928) -- (11.108,4.535) -- (11.116,4.142) -- (11.133,3.749) -- (11.159,3.357) -- (11.195,2.966) -- (11.239,2.575) -- (11.293,2.186) -- (11.356,1.799);
\draw[line width=0.5pt] (6.241,6.284) -- (6.533,6.11) -- (6.821,5.93) -- (7.105,5.742) -- (7.384,5.548) -- (7.659,5.347) -- (7.929,5.14) -- (8.194,4.926) -- (8.454,4.707) -- (8.709,4.481) -- (8.958,4.249) -- (9.202,4.012) -- (9.44,3.769) -- (9.672,3.521) -- (9.898,3.267);
\draw[line width=0.5pt] (6.241,6.284) -- (6.268,5.998) -- (6.303,5.712) -- (6.344,5.428) -- (6.392,5.144) -- (6.446,4.861) -- (6.507,4.58) -- (6.575,4.3) -- (6.649,4.022) -- (6.73,3.745) -- (6.817,3.471) -- (6.911,3.199) -- (7.011,2.929) -- (7.117,2.662) -- (7.23,2.397);
\draw[line width=0.5pt] (6.241,6.284) -- (6.185,6.12) -- (6.125,5.957) -- (6.062,5.795) -- (5.995,5.635) -- (5.924,5.476) -- (5.849,5.319) -- (5.77,5.164) -- (5.688,5.011) -- (5.603,4.859) -- (5.513,4.71) -- (5.421,4.563) -- (5.325,4.418) -- (5.225,4.276) -- (5.123,4.136) -- (4.829,4.007) -- (4.539,3.871) -- (4.252,3.728) -- (3.969,3.579) -- (3.689,3.423) -- (3.413,3.26) -- (3.14,3.091) -- (2.872,2.916) -- (2.608,2.734) -- (2.348,2.546) -- (2.093,2.352) -- (1.843,2.153) -- (1.597,1.947) -- (1.356,1.736);
\draw[line width=0.5pt] (9.898,3.267) -- (9.7,3.234) -- (9.502,3.197) -- (9.305,3.155) -- (9.109,3.109) -- (8.914,3.058) -- (8.721,3.002) -- (8.528,2.942) -- (8.337,2.877) -- (8.148,2.808) -- (7.961,2.735) -- (7.775,2.657) -- (7.591,2.575) -- (7.41,2.488) -- (7.23,2.397);
\draw[line width=0.5pt] (9.898,3.267) -- (10.018,3.179) -- (10.135,3.088) -- (10.25,2.994) -- (10.363,2.898) -- (10.474,2.799) -- (10.582,2.697) -- (10.688,2.593) -- (10.791,2.486) -- (10.892,2.377) -- (10.991,2.266) -- (11.086,2.152) -- (11.179,2.037) -- (11.269,1.919) -- (11.356,1.799);
\draw[line width=0.5pt] (7.23,2.397) -- (7.516,2.31) -- (7.804,2.229) -- (8.094,2.155) -- (8.385,2.088) -- (8.678,2.028) -- (8.973,1.974) -- (9.269,1.928) -- (9.565,1.888) -- (9.863,1.856) -- (10.161,1.83) -- (10.46,1.812) -- (10.758,1.8) -- (11.057,1.796) -- (11.356,1.799);
\draw[line width=0.5pt] (7.23,2.397) -- (6.821,2.286) -- (6.409,2.185) -- (5.995,2.093) -- (5.579,2.011) -- (5.161,1.939) -- (4.742,1.877) -- (4.321,1.824) -- (3.898,1.782) -- (3.475,1.749) -- (3.052,1.726) -- (2.628,1.714) -- (2.204,1.711) -- (1.78,1.718) -- (1.356,1.736);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.471,7.275) -- (11.45,7.355) -- (11.391,7.414) -- (11.311,7.435) -- (11.231,7.414) -- (11.172,7.355) -- (11.151,7.275) -- (11.172,7.195) -- (11.231,7.137) -- (11.311,7.115) -- (11.391,7.137) -- (11.45,7.195) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.401,6.284) -- (6.379,6.364) -- (6.321,6.423) -- (6.241,6.444) -- (6.161,6.423) -- (6.102,6.364) -- (6.081,6.284) -- (6.102,6.204) -- (6.161,6.146) -- (6.241,6.124) -- (6.321,6.146) -- (6.379,6.204) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.058,3.267) -- (10.037,3.347) -- (9.978,3.405) -- (9.898,3.427) -- (9.818,3.405) -- (9.76,3.347) -- (9.738,3.267) -- (9.76,3.187) -- (9.818,3.128) -- (9.898,3.107) -- (9.978,3.128) -- (10.037,3.187) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.39,2.397) -- (7.369,2.477) -- (7.31,2.536) -- (7.23,2.557) -- (7.15,2.536) -- (7.091,2.477) -- (7.07,2.397) -- (7.091,2.317) -- (7.15,2.259) -- (7.23,2.237) -- (7.31,2.259) -- (7.369,2.317) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.516,1.799) -- (11.495,1.879) -- (11.436,1.937) -- (11.356,1.959) -- (11.276,1.937) -- (11.218,1.879) -- (11.196,1.799) -- (11.218,1.719) -- (11.276,1.66) -- (11.356,1.639) -- (11.436,1.66) -- (11.495,1.719) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.516,1.736) -- (1.495,1.816) -- (1.436,1.874) -- (1.356,1.896) -- (1.276,1.874) -- (1.218,1.816) -- (1.196,1.736) -- (1.218,1.656) -- (1.276,1.597) -- (1.356,1.576) -- (1.436,1.597) -- (1.495,1.656) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.136,6.675) -- (9.091,6.845) -- (8.966,6.969) -- (8.796,7.015) -- (8.626,6.969) -- (8.502,6.845) -- (8.456,6.675) -- (8.502,6.505) -- (8.626,6.38) -- (8.796,6.335) -- (8.966,6.38) -- (9.091,6.505) -- cycle;
\node at (8.796,6.675) {\scalebox{1.674}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.412,5.106) -- (11.366,5.276) -- (11.242,5.401) -- (11.072,5.446) -- (10.902,5.401) -- (10.777,5.276) -- (10.732,5.106) -- (10.777,4.936) -- (10.902,4.812) -- (11.072,4.766) -- (11.242,4.812) -- (11.366,4.936) -- cycle;
\node at (11.072,5.106) {\scalebox{1.674}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.792,3.767) -- (11.747,3.937) -- (11.622,4.062) -- (11.452,4.107) -- (11.282,4.062) -- (11.158,3.937) -- (11.112,3.767) -- (11.158,3.597) -- (11.282,3.473) -- (11.452,3.427) -- (11.622,3.473) -- (11.747,3.597) -- cycle;
\node at (11.452,3.767) {\scalebox{1.674}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.738,5.173) -- (8.692,5.343) -- (8.568,5.468) -- (8.398,5.513) -- (8.228,5.468) -- (8.103,5.343) -- (8.058,5.173) -- (8.103,5.003) -- (8.228,4.879) -- (8.398,4.833) -- (8.568,4.879) -- (8.692,5.003) -- cycle;
\node at (8.398,5.173) {\scalebox{1.674}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.225,4.379) -- (7.18,4.549) -- (7.055,4.673) -- (6.885,4.719) -- (6.715,4.673) -- (6.591,4.549) -- (6.545,4.379) -- (6.591,4.209) -- (6.715,4.084) -- (6.885,4.039) -- (7.055,4.084) -- (7.18,4.209) -- cycle;
\node at (6.885,4.379) {\scalebox{1.674}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.642,3.871) -- (5.597,4.041) -- (5.472,4.166) -- (5.302,4.211) -- (5.132,4.166) -- (5.008,4.041) -- (4.962,3.871) -- (5.008,3.701) -- (5.132,3.577) -- (5.302,3.531) -- (5.472,3.577) -- (5.597,3.701) -- cycle;
\node at (5.302,3.871) {\scalebox{1.674}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.967,2.638) -- (8.922,2.808) -- (8.797,2.932) -- (8.627,2.978) -- (8.457,2.932) -- (8.333,2.808) -- (8.287,2.638) -- (8.333,2.468) -- (8.457,2.343) -- (8.627,2.298) -- (8.797,2.343) -- (8.922,2.468) -- cycle;
\node at (8.627,2.638) {\scalebox{1.674}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.255,2.818) -- (11.209,2.988) -- (11.085,3.113) -- (10.915,3.158) -- (10.745,3.113) -- (10.621,2.988) -- (10.575,2.818) -- (10.621,2.648) -- (10.745,2.524) -- (10.915,2.478) -- (11.085,2.524) -- (11.209,2.648) -- cycle;
\node at (10.915,2.818) {\scalebox{1.674}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.654,2.244) -- (9.609,2.414) -- (9.484,2.539) -- (9.314,2.584) -- (9.144,2.539) -- (9.02,2.414) -- (8.974,2.244) -- (9.02,2.074) -- (9.144,1.95) -- (9.314,1.904) -- (9.484,1.95) -- (9.609,2.074) -- cycle;
\node at (9.314,2.244) {\scalebox{1.674}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.696,1.506) -- (4.651,1.676) -- (4.526,1.801) -- (4.356,1.846) -- (4.186,1.801) -- (4.062,1.676) -- (4.016,1.506) -- (4.062,1.336) -- (4.186,1.212) -- (4.356,1.166) -- (4.526,1.212) -- (4.651,1.336) -- cycle;
\node at (4.356,1.506) {\scalebox{1.674}{\small 10}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (9.598,2.967) -- (10.198,2.967) -- (10.198,3.567) -- (9.598,3.567) -- cycle;
\node at (9.898,3.267) {\scalebox{1.674}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (9.254,0.65) -- (9.854,0.65) -- (9.854,1.25) -- (9.254,1.25) -- cycle;
\node at (9.554,0.95) {\scalebox{1.674}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (12.022,5.107) -- (12.622,5.107) -- (12.622,5.707) -- (12.022,5.707) -- cycle;
\node at (12.322,5.407) {\scalebox{1.674}{\small c}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (13.025,4.571) -- (13.625,4.571) -- (13.625,5.171) -- (13.025,5.171) -- cycle;
\node at (13.325,4.871) {\scalebox{1.674}{\small d}};
\node at (11.745,7.718) {\scalebox{1.674}{\small A}};
\node at (5.897,6.8) {\scalebox{1.674}{\small B}};
\node at (10.498,3.109) {\scalebox{1.674}{\small C}};
\node at (6.962,1.838) {\scalebox{1.674}{\small D}};
\node at (11.894,1.489) {\scalebox{1.674}{\small E}};
\node at (0.765,1.55) {\scalebox{1.674}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.656,6.325) -- (12.656,7.425);
\draw[line width=0.5pt] (12.425,7.04) -- (12.656,7.425) -- (12.887,7.04);
\draw[line width=0.5pt] (12.354,6.875) -- (12.959,6.875);
\node at (12.656,7.81) {\scalebox{1.674}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 4 & 4 & 4 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 20 = 2 \(\times\) 10, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{E} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{E} : l'un devrait être le départ, l'autre l'arrivée.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Or la poste est en \textbf{C}, où aboutit un nombre \textbf{pair} de rues. Ce carrefour ne peut être que traversé, jamais servir de départ.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui, une tournée existe} — mais elle va de \textbf{A} à \textbf{E}. En installant la poste à l'un de ces deux carrefours, le facteur pourrait faire toutes les rues une fois. En revanche il \textbf{ne reviendrait pas} à la poste : il finirait à l'autre bout du quartier.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Ce parcours, en partant de A :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point de la Poste \textbf{(A)}, prend la \textbf{rue du Four ①} vers l'ouest et atteint Rond-point du Pont \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ④}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Moulin ②}, vers le nord, jusqu'à Rond-point de la Poste \textbf{(A)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin de Ronde ③}, vers le sud, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans le \textbf{chemin du Lavoir ⑧}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour des Tilleuls \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Neuve ⑦}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{avenue de la Gare ⑤}, vers le nord, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans le \textbf{boulevard du Parc ⑥}, vers le sud-ouest, jusqu'à Place de l'Église \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Mairie ⑩}, vers l'est, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{passage du Marché ⑨}, vers l'est, jusqu'à Rond-point de la Gare \textbf{(E)}.
\end{enumerate}
\end{document}
