\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 192}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=192}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0192}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7022, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.296,7.449) -- (5.014,7.491) -- (4.732,7.526) -- (4.448,7.554) -- (4.164,7.576) -- (3.88,7.591) -- (3.595,7.6) -- (3.31,7.602) -- (3.025,7.597) -- (2.74,7.585) -- (2.456,7.567) -- (2.172,7.542) -- (1.889,7.51) -- (1.607,7.472) -- (1.326,7.427);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,7.449) -- (5.69,7.459) -- (6.084,7.46) -- (6.478,7.452) -- (6.872,7.434) -- (7.265,7.407) -- (7.658,7.371) -- (8.05,7.326) -- (8.44,7.272) -- (8.83,7.208) -- (9.217,7.135) -- (9.603,7.053) -- (9.987,6.962) -- (10.368,6.862) -- (10.746,6.754);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,7.449) -- (5.125,7.22) -- (4.959,6.987) -- (4.799,6.75) -- (4.645,6.51) -- (4.496,6.266) -- (4.353,6.018) -- (4.215,5.767) -- (4.084,5.513) -- (3.959,5.256) -- (3.84,4.996) -- (3.727,4.734) -- (3.62,4.469) -- (3.52,4.201) -- (3.425,3.931);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,7.449) -- (5.598,7.35) -- (5.898,7.245) -- (6.196,7.132) -- (6.49,7.012) -- (6.782,6.886) -- (7.071,6.752) -- (7.357,6.612) -- (7.64,6.465) -- (7.918,6.311) -- (8.194,6.151) -- (8.465,5.985) -- (8.732,5.812) -- (8.995,5.633) -- (9.254,5.448) -- (9.376,5.266) -- (9.502,5.087) -- (9.633,4.911) -- (9.768,4.738) -- (9.907,4.568) -- (10.05,4.402) -- (10.197,4.239) -- (10.348,4.079) -- (10.502,3.923) -- (10.66,3.771) -- (10.821,3.622) -- (10.986,3.477) -- (11.154,3.337) -- (11.326,3.2);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,7.449) -- (5.28,7.025) -- (5.275,6.6) -- (5.279,6.175) -- (5.294,5.75) -- (5.318,5.326) -- (5.353,4.902) -- (5.397,4.479) -- (5.452,4.058) -- (5.516,3.637) -- (5.59,3.219) -- (5.674,2.802) -- (5.768,2.388) -- (5.871,1.976) -- (5.984,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (1.326,7.427) -- (1.513,7.202) -- (1.694,6.973) -- (1.871,6.739) -- (2.041,6.502) -- (2.207,6.26) -- (2.366,6.015) -- (2.52,5.766) -- (2.668,5.513) -- (2.809,5.257) -- (2.945,4.998) -- (3.075,4.735) -- (3.198,4.47) -- (3.315,4.202) -- (3.425,3.931);
\draw[line width=0.5pt] (10.746,6.754) -- (10.749,6.495) -- (10.757,6.237) -- (10.771,5.979) -- (10.792,5.722) -- (10.818,5.465) -- (10.851,5.208) -- (10.889,4.953) -- (10.934,4.698) -- (10.985,4.445) -- (11.041,4.193) -- (11.103,3.942) -- (11.172,3.693) -- (11.246,3.446) -- (11.326,3.2);
\draw[line width=0.5pt] (3.425,3.931) -- (3.633,3.792) -- (3.837,3.647) -- (4.037,3.498) -- (4.234,3.344) -- (4.427,3.185) -- (4.617,3.022) -- (4.802,2.855) -- (4.984,2.683) -- (5.162,2.507) -- (5.335,2.326) -- (5.504,2.142) -- (5.669,1.954) -- (5.829,1.762) -- (5.984,1.567);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.456,7.449) -- (5.434,7.529) -- (5.376,7.587) -- (5.296,7.609) -- (5.216,7.587) -- (5.157,7.529) -- (5.136,7.449) -- (5.157,7.369) -- (5.216,7.31) -- (5.296,7.289) -- (5.376,7.31) -- (5.434,7.369) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.486,7.427) -- (1.464,7.507) -- (1.406,7.565) -- (1.326,7.587) -- (1.246,7.565) -- (1.187,7.507) -- (1.166,7.427) -- (1.187,7.347) -- (1.246,7.288) -- (1.326,7.267) -- (1.406,7.288) -- (1.464,7.347) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.906,6.754) -- (10.885,6.834) -- (10.826,6.892) -- (10.746,6.914) -- (10.666,6.892) -- (10.608,6.834) -- (10.586,6.754) -- (10.608,6.674) -- (10.666,6.615) -- (10.746,6.594) -- (10.826,6.615) -- (10.885,6.674) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.585,3.931) -- (3.564,4.011) -- (3.505,4.07) -- (3.425,4.091) -- (3.345,4.07) -- (3.287,4.011) -- (3.265,3.931) -- (3.287,3.851) -- (3.345,3.793) -- (3.425,3.771) -- (3.505,3.793) -- (3.564,3.851) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.486,3.2) -- (11.464,3.28) -- (11.406,3.339) -- (11.326,3.36) -- (11.246,3.339) -- (11.187,3.28) -- (11.166,3.2) -- (11.187,3.12) -- (11.246,3.061) -- (11.326,3.04) -- (11.406,3.061) -- (11.464,3.12) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.144,1.567) -- (6.123,1.647) -- (6.064,1.705) -- (5.984,1.727) -- (5.904,1.705) -- (5.846,1.647) -- (5.824,1.567) -- (5.846,1.487) -- (5.904,1.428) -- (5.984,1.407) -- (6.064,1.428) -- (6.123,1.487) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.652,7.282) -- (3.606,7.452) -- (3.482,7.576) -- (3.312,7.622) -- (3.142,7.576) -- (3.017,7.452) -- (2.972,7.282) -- (3.017,7.112) -- (3.142,6.987) -- (3.312,6.942) -- (3.482,6.987) -- (3.606,7.112) -- cycle;
\node at (3.312,7.282) {\scalebox{1.424}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.43,7.643) -- (8.385,7.813) -- (8.26,7.938) -- (8.09,7.983) -- (7.92,7.938) -- (7.796,7.813) -- (7.75,7.643) -- (7.796,7.473) -- (7.92,7.349) -- (8.09,7.303) -- (8.26,7.349) -- (8.385,7.473) -- cycle;
\node at (8.09,7.643) {\scalebox{1.424}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.838,5.617) -- (4.792,5.787) -- (4.668,5.911) -- (4.498,5.957) -- (4.328,5.911) -- (4.204,5.787) -- (4.158,5.617) -- (4.204,5.447) -- (4.328,5.323) -- (4.498,5.277) -- (4.668,5.323) -- (4.792,5.447) -- cycle;
\node at (4.498,5.617) {\scalebox{1.424}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.816,5.678) -- (9.77,5.848) -- (9.646,5.973) -- (9.476,6.018) -- (9.306,5.973) -- (9.181,5.848) -- (9.136,5.678) -- (9.181,5.508) -- (9.306,5.384) -- (9.476,5.338) -- (9.646,5.384) -- (9.77,5.508) -- cycle;
\node at (9.476,5.678) {\scalebox{1.424}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.055,4.517) -- (6.01,4.687) -- (5.885,4.811) -- (5.715,4.857) -- (5.545,4.811) -- (5.421,4.687) -- (5.375,4.517) -- (5.421,4.347) -- (5.545,4.222) -- (5.715,4.177) -- (5.885,4.222) -- (6.01,4.347) -- cycle;
\node at (5.715,4.517) {\scalebox{1.424}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.134,5.93) -- (3.089,6.1) -- (2.964,6.225) -- (2.794,6.27) -- (2.624,6.225) -- (2.5,6.1) -- (2.454,5.93) -- (2.5,5.76) -- (2.624,5.636) -- (2.794,5.59) -- (2.964,5.636) -- (3.089,5.76) -- cycle;
\node at (2.794,5.93) {\scalebox{1.424}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,5.004) -- (11.5,5.174) -- (11.375,5.299) -- (11.205,5.344) -- (11.035,5.299) -- (10.911,5.174) -- (10.865,5.004) -- (10.911,4.834) -- (11.035,4.71) -- (11.205,4.664) -- (11.375,4.71) -- (11.5,4.834) -- cycle;
\node at (11.205,5.004) {\scalebox{1.424}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.36,3.09) -- (5.314,3.26) -- (5.19,3.384) -- (5.02,3.43) -- (4.85,3.384) -- (4.725,3.26) -- (4.68,3.09) -- (4.725,2.92) -- (4.85,2.795) -- (5.02,2.75) -- (5.19,2.795) -- (5.314,2.92) -- cycle;
\node at (5.02,3.09) {\scalebox{1.424}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.125,3.631) -- (3.725,3.631) -- (3.725,4.231) -- (3.125,4.231) -- cycle;
\node at (3.425,3.931) {\scalebox{1.424}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.232,4.739) -- (12.832,4.739) -- (12.832,5.339) -- (12.232,5.339) -- cycle;
\node at (12.532,5.039) {\scalebox{1.424}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.401,5.209) -- (5.001,5.209) -- (5.001,5.809) -- (4.401,5.809) -- cycle;
\node at (4.701,5.509) {\scalebox{1.424}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.274,2.038) -- (4.874,2.038) -- (4.874,2.638) -- (4.274,2.638) -- cycle;
\node at (4.574,2.338) {\scalebox{1.424}{\small d}};
\node at (5.046,8.016) {\scalebox{1.424}{\small A}};
\node at (0.765,7.691) {\scalebox{1.424}{\small B}};
\node at (11.325,6.977) {\scalebox{1.424}{\small C}};
\node at (2.847,3.709) {\scalebox{1.424}{\small D}};
\node at (11.907,2.984) {\scalebox{1.424}{\small E}};
\node at (5.919,0.95) {\scalebox{1.424}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.626,6.499) -- (12.626,7.599);
\draw[line width=0.5pt] (12.395,7.214) -- (12.626,7.599) -- (12.857,7.214);
\draw[line width=0.5pt] (12.323,7.049) -- (12.928,7.049);
\node at (12.626,7.984) {\scalebox{1.424}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue des Écoles & ⑤ passage du Marché & Ⓐ Carrefour du Lavoir & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Four & ⑥ rue de la Poste & Ⓑ Place du Vieux-Puits & \textbf{b} le marché couvert \\ \hline
③ rue Pasteur & ⑦ rue de l'Église & Ⓒ Place du Marché & \textbf{c} la bibliothèque \\ \hline
④ rue du Puits & ⑧ sentier des Prés & Ⓓ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{d} le cimetière \\ \hline
 &  & Ⓔ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Place des Tanneurs &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6283, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.296,7.449) -- (5.014,7.491) -- (4.732,7.526) -- (4.448,7.554) -- (4.164,7.576) -- (3.88,7.591) -- (3.595,7.6) -- (3.31,7.602) -- (3.025,7.597) -- (2.74,7.585) -- (2.456,7.567) -- (2.172,7.542) -- (1.889,7.51) -- (1.607,7.472) -- (1.326,7.427);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,7.449) -- (5.69,7.459) -- (6.084,7.46) -- (6.478,7.452) -- (6.872,7.434) -- (7.265,7.407) -- (7.658,7.371) -- (8.05,7.326) -- (8.44,7.272) -- (8.83,7.208) -- (9.217,7.135) -- (9.603,7.053) -- (9.987,6.962) -- (10.368,6.862) -- (10.746,6.754);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,7.449) -- (5.125,7.22) -- (4.959,6.987) -- (4.799,6.75) -- (4.645,6.51) -- (4.496,6.266) -- (4.353,6.018) -- (4.215,5.767) -- (4.084,5.513) -- (3.959,5.256) -- (3.84,4.996) -- (3.727,4.734) -- (3.62,4.469) -- (3.52,4.201) -- (3.425,3.931);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,7.449) -- (5.598,7.35) -- (5.898,7.245) -- (6.196,7.132) -- (6.49,7.012) -- (6.782,6.886) -- (7.071,6.752) -- (7.357,6.612) -- (7.64,6.465) -- (7.918,6.311) -- (8.194,6.151) -- (8.465,5.985) -- (8.732,5.812) -- (8.995,5.633) -- (9.254,5.448) -- (9.376,5.266) -- (9.502,5.087) -- (9.633,4.911) -- (9.768,4.738) -- (9.907,4.568) -- (10.05,4.402) -- (10.197,4.239) -- (10.348,4.079) -- (10.502,3.923) -- (10.66,3.771) -- (10.821,3.622) -- (10.986,3.477) -- (11.154,3.337) -- (11.326,3.2);
\draw[line width=0.5pt] (5.296,7.449) -- (5.28,7.025) -- (5.275,6.6) -- (5.279,6.175) -- (5.294,5.75) -- (5.318,5.326) -- (5.353,4.902) -- (5.397,4.479) -- (5.452,4.058) -- (5.516,3.637) -- (5.59,3.219) -- (5.674,2.802) -- (5.768,2.388) -- (5.871,1.976) -- (5.984,1.567);
\draw[line width=0.5pt] (1.326,7.427) -- (1.513,7.202) -- (1.694,6.973) -- (1.871,6.739) -- (2.041,6.502) -- (2.207,6.26) -- (2.366,6.015) -- (2.52,5.766) -- (2.668,5.513) -- (2.809,5.257) -- (2.945,4.998) -- (3.075,4.735) -- (3.198,4.47) -- (3.315,4.202) -- (3.425,3.931);
\draw[line width=0.5pt] (10.746,6.754) -- (10.749,6.495) -- (10.757,6.237) -- (10.771,5.979) -- (10.792,5.722) -- (10.818,5.465) -- (10.851,5.208) -- (10.889,4.953) -- (10.934,4.698) -- (10.985,4.445) -- (11.041,4.193) -- (11.103,3.942) -- (11.172,3.693) -- (11.246,3.446) -- (11.326,3.2);
\draw[line width=0.5pt] (3.425,3.931) -- (3.633,3.792) -- (3.837,3.647) -- (4.037,3.498) -- (4.234,3.344) -- (4.427,3.185) -- (4.617,3.022) -- (4.802,2.855) -- (4.984,2.683) -- (5.162,2.507) -- (5.335,2.326) -- (5.504,2.142) -- (5.669,1.954) -- (5.829,1.762) -- (5.984,1.567);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.456,7.449) -- (5.434,7.529) -- (5.376,7.587) -- (5.296,7.609) -- (5.216,7.587) -- (5.157,7.529) -- (5.136,7.449) -- (5.157,7.369) -- (5.216,7.31) -- (5.296,7.289) -- (5.376,7.31) -- (5.434,7.369) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.486,7.427) -- (1.464,7.507) -- (1.406,7.565) -- (1.326,7.587) -- (1.246,7.565) -- (1.187,7.507) -- (1.166,7.427) -- (1.187,7.347) -- (1.246,7.288) -- (1.326,7.267) -- (1.406,7.288) -- (1.464,7.347) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.906,6.754) -- (10.885,6.834) -- (10.826,6.892) -- (10.746,6.914) -- (10.666,6.892) -- (10.608,6.834) -- (10.586,6.754) -- (10.608,6.674) -- (10.666,6.615) -- (10.746,6.594) -- (10.826,6.615) -- (10.885,6.674) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.585,3.931) -- (3.564,4.011) -- (3.505,4.07) -- (3.425,4.091) -- (3.345,4.07) -- (3.287,4.011) -- (3.265,3.931) -- (3.287,3.851) -- (3.345,3.793) -- (3.425,3.771) -- (3.505,3.793) -- (3.564,3.851) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.486,3.2) -- (11.464,3.28) -- (11.406,3.339) -- (11.326,3.36) -- (11.246,3.339) -- (11.187,3.28) -- (11.166,3.2) -- (11.187,3.12) -- (11.246,3.061) -- (11.326,3.04) -- (11.406,3.061) -- (11.464,3.12) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.144,1.567) -- (6.123,1.647) -- (6.064,1.705) -- (5.984,1.727) -- (5.904,1.705) -- (5.846,1.647) -- (5.824,1.567) -- (5.846,1.487) -- (5.904,1.428) -- (5.984,1.407) -- (6.064,1.428) -- (6.123,1.487) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.652,7.282) -- (3.606,7.452) -- (3.482,7.576) -- (3.312,7.622) -- (3.142,7.576) -- (3.017,7.452) -- (2.972,7.282) -- (3.017,7.112) -- (3.142,6.987) -- (3.312,6.942) -- (3.482,6.987) -- (3.606,7.112) -- cycle;
\node at (3.312,7.282) {\scalebox{1.592}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.43,7.643) -- (8.385,7.813) -- (8.26,7.938) -- (8.09,7.983) -- (7.92,7.938) -- (7.796,7.813) -- (7.75,7.643) -- (7.796,7.473) -- (7.92,7.349) -- (8.09,7.303) -- (8.26,7.349) -- (8.385,7.473) -- cycle;
\node at (8.09,7.643) {\scalebox{1.592}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.838,5.617) -- (4.792,5.787) -- (4.668,5.911) -- (4.498,5.957) -- (4.328,5.911) -- (4.204,5.787) -- (4.158,5.617) -- (4.204,5.447) -- (4.328,5.323) -- (4.498,5.277) -- (4.668,5.323) -- (4.792,5.447) -- cycle;
\node at (4.498,5.617) {\scalebox{1.592}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.816,5.678) -- (9.77,5.848) -- (9.646,5.973) -- (9.476,6.018) -- (9.306,5.973) -- (9.181,5.848) -- (9.136,5.678) -- (9.181,5.508) -- (9.306,5.384) -- (9.476,5.338) -- (9.646,5.384) -- (9.77,5.508) -- cycle;
\node at (9.476,5.678) {\scalebox{1.592}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.055,4.517) -- (6.01,4.687) -- (5.885,4.811) -- (5.715,4.857) -- (5.545,4.811) -- (5.421,4.687) -- (5.375,4.517) -- (5.421,4.347) -- (5.545,4.222) -- (5.715,4.177) -- (5.885,4.222) -- (6.01,4.347) -- cycle;
\node at (5.715,4.517) {\scalebox{1.592}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.134,5.93) -- (3.089,6.1) -- (2.964,6.225) -- (2.794,6.27) -- (2.624,6.225) -- (2.5,6.1) -- (2.454,5.93) -- (2.5,5.76) -- (2.624,5.636) -- (2.794,5.59) -- (2.964,5.636) -- (3.089,5.76) -- cycle;
\node at (2.794,5.93) {\scalebox{1.592}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.545,5.004) -- (11.5,5.174) -- (11.375,5.299) -- (11.205,5.344) -- (11.035,5.299) -- (10.911,5.174) -- (10.865,5.004) -- (10.911,4.834) -- (11.035,4.71) -- (11.205,4.664) -- (11.375,4.71) -- (11.5,4.834) -- cycle;
\node at (11.205,5.004) {\scalebox{1.592}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.36,3.09) -- (5.314,3.26) -- (5.19,3.384) -- (5.02,3.43) -- (4.85,3.384) -- (4.725,3.26) -- (4.68,3.09) -- (4.725,2.92) -- (4.85,2.795) -- (5.02,2.75) -- (5.19,2.795) -- (5.314,2.92) -- cycle;
\node at (5.02,3.09) {\scalebox{1.592}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.125,3.631) -- (3.725,3.631) -- (3.725,4.231) -- (3.125,4.231) -- cycle;
\node at (3.425,3.931) {\scalebox{1.592}{\small a}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (12.232,4.739) -- (12.832,4.739) -- (12.832,5.339) -- (12.232,5.339) -- cycle;
\node at (12.532,5.039) {\scalebox{1.592}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (4.401,5.209) -- (5.001,5.209) -- (5.001,5.809) -- (4.401,5.809) -- cycle;
\node at (4.701,5.509) {\scalebox{1.592}{\small c}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (4.274,2.038) -- (4.874,2.038) -- (4.874,2.638) -- (4.274,2.638) -- cycle;
\node at (4.574,2.338) {\scalebox{1.592}{\small d}};
\node at (5.046,8.016) {\scalebox{1.592}{\small A}};
\node at (0.765,7.691) {\scalebox{1.592}{\small B}};
\node at (11.325,6.977) {\scalebox{1.592}{\small C}};
\node at (2.847,3.709) {\scalebox{1.592}{\small D}};
\node at (11.907,2.984) {\scalebox{1.592}{\small E}};
\node at (5.919,0.95) {\scalebox{1.592}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.626,6.499) -- (12.626,7.599);
\draw[line width=0.5pt] (12.395,7.214) -- (12.626,7.599) -- (12.857,7.214);
\draw[line width=0.5pt] (12.323,7.049) -- (12.928,7.049);
\node at (12.626,7.984) {\scalebox{1.592}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 5 & 2 & 2 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{D}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{D}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en A}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}, prend la \textbf{rue Pasteur ③} vers le nord-est et atteint Carrefour du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Écoles ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de la Poste ⑥}, vers le sud-est, jusqu'à Carrefour des Quatre-Chemins \textbf{(D)}.
  \item Il continue tout droit dans le \textbf{sentier des Prés ⑧}, vers le sud-est, jusqu'à Place des Tanneurs \textbf{(F)}.
  \item Il prend dans le \textbf{passage du Marché ⑤}, vers le nord, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Four ②}, vers l'est, jusqu'à Place du Marché \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑦}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Puits ④}, vers le nord-ouest, jusqu'à Carrefour du Lavoir \textbf{(A)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{D} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
