\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[a4paper,top=3.2cm,bottom=2cm,left=2cm,right=2cm]{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
\DeclareUnicodeCharacter{2460}{\textcircled{\scriptsize 1}}
\DeclareUnicodeCharacter{2461}{\textcircled{\scriptsize 2}}
\DeclareUnicodeCharacter{2462}{\textcircled{\scriptsize 3}}
\DeclareUnicodeCharacter{2463}{\textcircled{\scriptsize 4}}
\DeclareUnicodeCharacter{2464}{\textcircled{\scriptsize 5}}
\DeclareUnicodeCharacter{2465}{\textcircled{\scriptsize 6}}
\DeclareUnicodeCharacter{2466}{\textcircled{\scriptsize 7}}
\DeclareUnicodeCharacter{2467}{\textcircled{\scriptsize 8}}
\DeclareUnicodeCharacter{2468}{\textcircled{\scriptsize 9}}
\DeclareUnicodeCharacter{2469}{\textcircled{\scriptsize 10}}
\DeclareUnicodeCharacter{246A}{\textcircled{\scriptsize 11}}
\DeclareUnicodeCharacter{246B}{\textcircled{\scriptsize 12}}
\DeclareUnicodeCharacter{246C}{\textcircled{\scriptsize 13}}
\DeclareUnicodeCharacter{246D}{\textcircled{\scriptsize 14}}
\DeclareUnicodeCharacter{246E}{\textcircled{\scriptsize 15}}
\DeclareUnicodeCharacter{246F}{\textcircled{\scriptsize 16}}
\DeclareUnicodeCharacter{2470}{\textcircled{\scriptsize 17}}
\DeclareUnicodeCharacter{2471}{\textcircled{\scriptsize 18}}
\DeclareUnicodeCharacter{2472}{\textcircled{\scriptsize 19}}
\DeclareUnicodeCharacter{2473}{\textcircled{\scriptsize 20}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B6}{\textcircled{\scriptsize A}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B7}{\textcircled{\scriptsize B}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B8}{\textcircled{\scriptsize C}}
\DeclareUnicodeCharacter{24B9}{\textcircled{\scriptsize D}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BA}{\textcircled{\scriptsize E}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BB}{\textcircled{\scriptsize F}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BC}{\textcircled{\scriptsize G}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BD}{\textcircled{\scriptsize H}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BE}{\textcircled{\scriptsize I}}
\DeclareUnicodeCharacter{24BF}{\textcircled{\scriptsize J}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C0}{\textcircled{\scriptsize K}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C1}{\textcircled{\scriptsize L}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C2}{\textcircled{\scriptsize M}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C3}{\textcircled{\scriptsize N}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C4}{\textcircled{\scriptsize O}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C5}{\textcircled{\scriptsize P}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C6}{\textcircled{\scriptsize Q}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C7}{\textcircled{\scriptsize R}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C8}{\textcircled{\scriptsize S}}
\DeclareUnicodeCharacter{24C9}{\textcircled{\scriptsize T}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CA}{\textcircled{\scriptsize U}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CB}{\textcircled{\scriptsize V}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CC}{\textcircled{\scriptsize W}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CD}{\textcircled{\scriptsize X}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CE}{\textcircled{\scriptsize Y}}
\DeclareUnicodeCharacter{24CF}{\textcircled{\scriptsize Z}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D0}{\textcircled{\scriptsize a}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D1}{\textcircled{\scriptsize b}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D2}{\textcircled{\scriptsize c}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D3}{\textcircled{\scriptsize d}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D4}{\textcircled{\scriptsize e}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D5}{\textcircled{\scriptsize f}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D6}{\textcircled{\scriptsize g}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D7}{\textcircled{\scriptsize h}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D8}{\textcircled{\scriptsize i}}
\DeclareUnicodeCharacter{24D9}{\textcircled{\scriptsize j}}

\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 193}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=193}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0193}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7027, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.089,8.861) -- (5.826,8.81) -- (5.565,8.753) -- (5.305,8.69) -- (5.046,8.62) -- (4.789,8.545) -- (4.534,8.463) -- (4.281,8.376) -- (4.03,8.282) -- (3.782,8.183) -- (3.535,8.078) -- (3.292,7.967) -- (3.051,7.851) -- (2.812,7.729) -- (2.577,7.601);
\draw[line width=0.5pt] (6.089,8.861) -- (5.957,8.603) -- (5.818,8.348) -- (5.673,8.096) -- (5.523,7.848) -- (5.366,7.603) -- (5.204,7.362) -- (5.037,7.125) -- (4.863,6.892) -- (4.685,6.663) -- (4.501,6.438) -- (4.312,6.218) -- (4.117,6.002) -- (3.918,5.791) -- (3.714,5.585);
\draw[line width=0.5pt] (6.089,8.861) -- (6.253,8.541) -- (6.425,8.225) -- (6.605,7.914) -- (6.792,7.606) -- (6.986,7.303) -- (7.187,7.005) -- (7.395,6.711) -- (7.61,6.422) -- (7.831,6.139) -- (8.06,5.86) -- (8.294,5.588) -- (8.535,5.321) -- (8.782,5.059) -- (9.036,4.804) -- (9.236,4.578) -- (9.431,4.347) -- (9.621,4.111) -- (9.805,3.871) -- (9.983,3.626) -- (10.156,3.378) -- (10.322,3.125) -- (10.483,2.869) -- (10.638,2.609) -- (10.786,2.345) -- (10.928,2.078) -- (11.064,1.808) -- (11.194,1.534) -- (11.317,1.258);
\draw[line width=0.5pt] (2.577,7.601) -- (2.68,7.47) -- (2.78,7.338) -- (2.876,7.202) -- (2.969,7.065) -- (3.059,6.925) -- (3.146,6.784) -- (3.229,6.64) -- (3.309,6.494) -- (3.385,6.347) -- (3.458,6.198) -- (3.528,6.047) -- (3.593,5.894) -- (3.656,5.74) -- (3.714,5.585);
\draw[line width=0.5pt] (2.577,7.601) -- (2.434,7.266) -- (2.299,6.927) -- (2.172,6.586) -- (2.053,6.241) -- (1.941,5.894) -- (1.839,5.544) -- (1.744,5.192) -- (1.658,4.837) -- (1.58,4.481) -- (1.51,4.123) -- (1.449,3.763) -- (1.396,3.403) -- (1.352,3.041) -- (1.317,2.678);
\draw[line width=0.5pt] (3.714,5.585) -- (3.576,5.353) -- (3.432,5.124) -- (3.283,4.898) -- (3.129,4.676) -- (2.97,4.458) -- (2.805,4.243) -- (2.635,4.033) -- (2.461,3.826) -- (2.281,3.624) -- (2.097,3.426) -- (1.909,3.232) -- (1.716,3.043) -- (1.518,2.858) -- (1.317,2.678);
\draw[line width=0.5pt] (3.714,5.585) -- (3.888,5.32) -- (4.067,5.059) -- (4.253,4.803) -- (4.445,4.55) -- (4.643,4.303) -- (4.847,4.06) -- (5.057,3.822) -- (5.272,3.588) -- (5.492,3.36) -- (5.717,3.138) -- (5.948,2.92) -- (6.184,2.708) -- (6.425,2.502) -- (6.67,2.302);
\draw[line width=0.5pt] (1.317,2.678) -- (1.7,2.71) -- (2.084,2.733) -- (2.469,2.747) -- (2.854,2.751) -- (3.239,2.747) -- (3.624,2.734) -- (4.009,2.711) -- (4.393,2.68) -- (4.776,2.639) -- (5.158,2.589) -- (5.538,2.531) -- (5.917,2.464) -- (6.295,2.387) -- (6.67,2.302);
\draw[line width=0.5pt] (6.67,2.302) -- (6.988,2.177) -- (7.309,2.06) -- (7.632,1.95) -- (7.958,1.848) -- (8.287,1.754) -- (8.618,1.667) -- (8.95,1.588) -- (9.285,1.517) -- (9.621,1.454) -- (9.958,1.399) -- (10.296,1.352) -- (10.636,1.312) -- (10.976,1.281) -- (11.317,1.258);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.249,8.861) -- (6.228,8.941) -- (6.169,8.999) -- (6.089,9.021) -- (6.009,8.999) -- (5.95,8.941) -- (5.929,8.861) -- (5.95,8.781) -- (6.009,8.722) -- (6.089,8.701) -- (6.169,8.722) -- (6.228,8.781) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.737,7.601) -- (2.716,7.681) -- (2.657,7.739) -- (2.577,7.761) -- (2.497,7.739) -- (2.439,7.681) -- (2.417,7.601) -- (2.439,7.521) -- (2.497,7.462) -- (2.577,7.441) -- (2.657,7.462) -- (2.716,7.521) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.874,5.585) -- (3.853,5.665) -- (3.794,5.724) -- (3.714,5.745) -- (3.634,5.724) -- (3.576,5.665) -- (3.554,5.585) -- (3.576,5.505) -- (3.634,5.447) -- (3.714,5.425) -- (3.794,5.447) -- (3.853,5.505) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.477,2.678) -- (1.455,2.758) -- (1.397,2.817) -- (1.317,2.838) -- (1.237,2.817) -- (1.178,2.758) -- (1.157,2.678) -- (1.178,2.598) -- (1.237,2.54) -- (1.317,2.518) -- (1.397,2.54) -- (1.455,2.598) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.83,2.302) -- (6.808,2.382) -- (6.75,2.441) -- (6.67,2.462) -- (6.59,2.441) -- (6.531,2.382) -- (6.51,2.302) -- (6.531,2.222) -- (6.59,2.163) -- (6.67,2.142) -- (6.75,2.163) -- (6.808,2.222) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.477,1.258) -- (11.455,1.338) -- (11.397,1.397) -- (11.317,1.418) -- (11.237,1.397) -- (11.178,1.338) -- (11.157,1.258) -- (11.178,1.178) -- (11.237,1.12) -- (11.317,1.098) -- (11.397,1.12) -- (11.455,1.178) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.729,8.074) -- (4.684,8.244) -- (4.559,8.369) -- (4.389,8.414) -- (4.219,8.369) -- (4.095,8.244) -- (4.049,8.074) -- (4.095,7.904) -- (4.219,7.78) -- (4.389,7.734) -- (4.559,7.78) -- (4.684,7.904) -- cycle;
\node at (4.389,8.074) {\scalebox{1.423}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.636,6.937) -- (5.59,7.107) -- (5.466,7.232) -- (5.296,7.277) -- (5.126,7.232) -- (5.001,7.107) -- (4.956,6.937) -- (5.001,6.767) -- (5.126,6.643) -- (5.296,6.597) -- (5.466,6.643) -- (5.59,6.767) -- cycle;
\node at (5.296,6.937) {\scalebox{1.423}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.608,5.024) -- (9.563,5.194) -- (9.438,5.318) -- (9.268,5.364) -- (9.098,5.318) -- (8.974,5.194) -- (8.928,5.024) -- (8.974,4.854) -- (9.098,4.729) -- (9.268,4.684) -- (9.438,4.729) -- (9.563,4.854) -- cycle;
\node at (9.268,5.024) {\scalebox{1.423}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.848,6.797) -- (3.802,6.967) -- (3.678,7.091) -- (3.508,7.137) -- (3.338,7.091) -- (3.213,6.967) -- (3.168,6.797) -- (3.213,6.627) -- (3.338,6.503) -- (3.508,6.457) -- (3.678,6.503) -- (3.802,6.627) -- cycle;
\node at (3.508,6.797) {\scalebox{1.423}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.394,5.112) -- (2.348,5.282) -- (2.224,5.407) -- (2.054,5.452) -- (1.884,5.407) -- (1.759,5.282) -- (1.714,5.112) -- (1.759,4.942) -- (1.884,4.818) -- (2.054,4.772) -- (2.224,4.818) -- (2.348,4.942) -- cycle;
\node at (2.054,5.112) {\scalebox{1.423}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.222,3.829) -- (3.177,3.999) -- (3.052,4.124) -- (2.882,4.169) -- (2.712,4.124) -- (2.588,3.999) -- (2.542,3.829) -- (2.588,3.659) -- (2.712,3.535) -- (2.882,3.489) -- (3.052,3.535) -- (3.177,3.659) -- cycle;
\node at (2.882,3.829) {\scalebox{1.423}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.634,4.036) -- (5.589,4.206) -- (5.464,4.33) -- (5.294,4.376) -- (5.124,4.33) -- (5.0,4.206) -- (4.954,4.036) -- (5.0,3.866) -- (5.124,3.741) -- (5.294,3.696) -- (5.464,3.741) -- (5.589,3.866) -- cycle;
\node at (5.294,4.036) {\scalebox{1.423}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.371,3.03) -- (4.326,3.2) -- (4.201,3.325) -- (4.031,3.37) -- (3.861,3.325) -- (3.737,3.2) -- (3.691,3.03) -- (3.737,2.86) -- (3.861,2.736) -- (4.031,2.69) -- (4.201,2.736) -- (4.326,2.86) -- cycle;
\node at (4.031,3.03) {\scalebox{1.423}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.36,1.901) -- (9.315,2.071) -- (9.19,2.195) -- (9.02,2.241) -- (8.85,2.195) -- (8.726,2.071) -- (8.68,1.901) -- (8.726,1.731) -- (8.85,1.606) -- (9.02,1.561) -- (9.19,1.606) -- (9.315,1.731) -- cycle;
\node at (9.02,1.901) {\scalebox{1.423}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.37,2.002) -- (6.97,2.002) -- (6.97,2.602) -- (6.37,2.602) -- cycle;
\node at (6.67,2.302) {\scalebox{1.423}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.288,7.597) -- (5.888,7.597) -- (5.888,8.197) -- (5.288,8.197) -- cycle;
\node at (5.588,7.897) {\scalebox{1.423}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.768,7.504) -- (3.368,7.504) -- (3.368,8.104) -- (2.768,8.104) -- cycle;
\node at (3.068,7.804) {\scalebox{1.423}{\small c}};
\node at (6.208,9.469) {\scalebox{1.423}{\small A}};
\node at (2.154,8.053) {\scalebox{1.423}{\small B}};
\node at (3.172,5.886) {\scalebox{1.423}{\small C}};
\node at (0.765,2.395) {\scalebox{1.423}{\small D}};
\node at (6.979,1.765) {\scalebox{1.423}{\small E}};
\node at (11.855,0.95) {\scalebox{1.423}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.617,7.911) -- (12.617,9.011);
\draw[line width=0.5pt] (12.386,8.626) -- (12.617,9.011) -- (12.848,8.626);
\draw[line width=0.5pt] (12.314,8.461) -- (12.919,8.461);
\node at (12.617,9.396) {\scalebox{1.423}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Pasteur & ⑥ rue de la Poste & Ⓐ Rond-point des Vaches & \textbf{a} la poste \\ \hline
② chemin Creux & ⑦ rue du Pont & Ⓑ Carrefour du Moulin & \textbf{b} la mairie \\ \hline
③ allée des Tilleuls & ⑧ quai aux Fleurs & Ⓒ Carrefour Saint-Roch & \textbf{c} le stade \\ \hline
④ venelle du Chat & ⑨ rue du Stade & Ⓓ Rond-point de la Gare &  \\ \hline
⑤ rue des Lilas &  & Ⓔ Rond-point du Pont &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6287, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (6.089,8.861) -- (5.826,8.81) -- (5.565,8.753) -- (5.305,8.69) -- (5.046,8.62) -- (4.789,8.545) -- (4.534,8.463) -- (4.281,8.376) -- (4.03,8.282) -- (3.782,8.183) -- (3.535,8.078) -- (3.292,7.967) -- (3.051,7.851) -- (2.812,7.729) -- (2.577,7.601);
\draw[line width=0.5pt] (6.089,8.861) -- (5.957,8.603) -- (5.818,8.348) -- (5.673,8.096) -- (5.523,7.848) -- (5.366,7.603) -- (5.204,7.362) -- (5.037,7.125) -- (4.863,6.892) -- (4.685,6.663) -- (4.501,6.438) -- (4.312,6.218) -- (4.117,6.002) -- (3.918,5.791) -- (3.714,5.585);
\draw[line width=0.5pt] (6.089,8.861) -- (6.253,8.541) -- (6.425,8.225) -- (6.605,7.914) -- (6.792,7.606) -- (6.986,7.303) -- (7.187,7.005) -- (7.395,6.711) -- (7.61,6.422) -- (7.831,6.139) -- (8.06,5.86) -- (8.294,5.588) -- (8.535,5.321) -- (8.782,5.059) -- (9.036,4.804) -- (9.236,4.578) -- (9.431,4.347) -- (9.621,4.111) -- (9.805,3.871) -- (9.983,3.626) -- (10.156,3.378) -- (10.322,3.125) -- (10.483,2.869) -- (10.638,2.609) -- (10.786,2.345) -- (10.928,2.078) -- (11.064,1.808) -- (11.194,1.534) -- (11.317,1.258);
\draw[line width=0.5pt] (2.577,7.601) -- (2.68,7.47) -- (2.78,7.338) -- (2.876,7.202) -- (2.969,7.065) -- (3.059,6.925) -- (3.146,6.784) -- (3.229,6.64) -- (3.309,6.494) -- (3.385,6.347) -- (3.458,6.198) -- (3.528,6.047) -- (3.593,5.894) -- (3.656,5.74) -- (3.714,5.585);
\draw[line width=0.5pt] (2.577,7.601) -- (2.434,7.266) -- (2.299,6.927) -- (2.172,6.586) -- (2.053,6.241) -- (1.941,5.894) -- (1.839,5.544) -- (1.744,5.192) -- (1.658,4.837) -- (1.58,4.481) -- (1.51,4.123) -- (1.449,3.763) -- (1.396,3.403) -- (1.352,3.041) -- (1.317,2.678);
\draw[line width=0.5pt] (3.714,5.585) -- (3.576,5.353) -- (3.432,5.124) -- (3.283,4.898) -- (3.129,4.676) -- (2.97,4.458) -- (2.805,4.243) -- (2.635,4.033) -- (2.461,3.826) -- (2.281,3.624) -- (2.097,3.426) -- (1.909,3.232) -- (1.716,3.043) -- (1.518,2.858) -- (1.317,2.678);
\draw[line width=0.5pt] (3.714,5.585) -- (3.888,5.32) -- (4.067,5.059) -- (4.253,4.803) -- (4.445,4.55) -- (4.643,4.303) -- (4.847,4.06) -- (5.057,3.822) -- (5.272,3.588) -- (5.492,3.36) -- (5.717,3.138) -- (5.948,2.92) -- (6.184,2.708) -- (6.425,2.502) -- (6.67,2.302);
\draw[line width=0.5pt] (1.317,2.678) -- (1.7,2.71) -- (2.084,2.733) -- (2.469,2.747) -- (2.854,2.751) -- (3.239,2.747) -- (3.624,2.734) -- (4.009,2.711) -- (4.393,2.68) -- (4.776,2.639) -- (5.158,2.589) -- (5.538,2.531) -- (5.917,2.464) -- (6.295,2.387) -- (6.67,2.302);
\draw[line width=0.5pt] (6.67,2.302) -- (6.988,2.177) -- (7.309,2.06) -- (7.632,1.95) -- (7.958,1.848) -- (8.287,1.754) -- (8.618,1.667) -- (8.95,1.588) -- (9.285,1.517) -- (9.621,1.454) -- (9.958,1.399) -- (10.296,1.352) -- (10.636,1.312) -- (10.976,1.281) -- (11.317,1.258);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.249,8.861) -- (6.228,8.941) -- (6.169,8.999) -- (6.089,9.021) -- (6.009,8.999) -- (5.95,8.941) -- (5.929,8.861) -- (5.95,8.781) -- (6.009,8.722) -- (6.089,8.701) -- (6.169,8.722) -- (6.228,8.781) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (2.737,7.601) -- (2.716,7.681) -- (2.657,7.739) -- (2.577,7.761) -- (2.497,7.739) -- (2.439,7.681) -- (2.417,7.601) -- (2.439,7.521) -- (2.497,7.462) -- (2.577,7.441) -- (2.657,7.462) -- (2.716,7.521) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.874,5.585) -- (3.853,5.665) -- (3.794,5.724) -- (3.714,5.745) -- (3.634,5.724) -- (3.576,5.665) -- (3.554,5.585) -- (3.576,5.505) -- (3.634,5.447) -- (3.714,5.425) -- (3.794,5.447) -- (3.853,5.505) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.477,2.678) -- (1.455,2.758) -- (1.397,2.817) -- (1.317,2.838) -- (1.237,2.817) -- (1.178,2.758) -- (1.157,2.678) -- (1.178,2.598) -- (1.237,2.54) -- (1.317,2.518) -- (1.397,2.54) -- (1.455,2.598) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.83,2.302) -- (6.808,2.382) -- (6.75,2.441) -- (6.67,2.462) -- (6.59,2.441) -- (6.531,2.382) -- (6.51,2.302) -- (6.531,2.222) -- (6.59,2.163) -- (6.67,2.142) -- (6.75,2.163) -- (6.808,2.222) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.477,1.258) -- (11.455,1.338) -- (11.397,1.397) -- (11.317,1.418) -- (11.237,1.397) -- (11.178,1.338) -- (11.157,1.258) -- (11.178,1.178) -- (11.237,1.12) -- (11.317,1.098) -- (11.397,1.12) -- (11.455,1.178) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.729,8.074) -- (4.684,8.244) -- (4.559,8.369) -- (4.389,8.414) -- (4.219,8.369) -- (4.095,8.244) -- (4.049,8.074) -- (4.095,7.904) -- (4.219,7.78) -- (4.389,7.734) -- (4.559,7.78) -- (4.684,7.904) -- cycle;
\node at (4.389,8.074) {\scalebox{1.591}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.636,6.937) -- (5.59,7.107) -- (5.466,7.232) -- (5.296,7.277) -- (5.126,7.232) -- (5.001,7.107) -- (4.956,6.937) -- (5.001,6.767) -- (5.126,6.643) -- (5.296,6.597) -- (5.466,6.643) -- (5.59,6.767) -- cycle;
\node at (5.296,6.937) {\scalebox{1.591}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.608,5.024) -- (9.563,5.194) -- (9.438,5.318) -- (9.268,5.364) -- (9.098,5.318) -- (8.974,5.194) -- (8.928,5.024) -- (8.974,4.854) -- (9.098,4.729) -- (9.268,4.684) -- (9.438,4.729) -- (9.563,4.854) -- cycle;
\node at (9.268,5.024) {\scalebox{1.591}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.848,6.797) -- (3.802,6.967) -- (3.678,7.091) -- (3.508,7.137) -- (3.338,7.091) -- (3.213,6.967) -- (3.168,6.797) -- (3.213,6.627) -- (3.338,6.503) -- (3.508,6.457) -- (3.678,6.503) -- (3.802,6.627) -- cycle;
\node at (3.508,6.797) {\scalebox{1.591}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (2.394,5.112) -- (2.348,5.282) -- (2.224,5.407) -- (2.054,5.452) -- (1.884,5.407) -- (1.759,5.282) -- (1.714,5.112) -- (1.759,4.942) -- (1.884,4.818) -- (2.054,4.772) -- (2.224,4.818) -- (2.348,4.942) -- cycle;
\node at (2.054,5.112) {\scalebox{1.591}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.222,3.829) -- (3.177,3.999) -- (3.052,4.124) -- (2.882,4.169) -- (2.712,4.124) -- (2.588,3.999) -- (2.542,3.829) -- (2.588,3.659) -- (2.712,3.535) -- (2.882,3.489) -- (3.052,3.535) -- (3.177,3.659) -- cycle;
\node at (2.882,3.829) {\scalebox{1.591}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.634,4.036) -- (5.589,4.206) -- (5.464,4.33) -- (5.294,4.376) -- (5.124,4.33) -- (5.0,4.206) -- (4.954,4.036) -- (5.0,3.866) -- (5.124,3.741) -- (5.294,3.696) -- (5.464,3.741) -- (5.589,3.866) -- cycle;
\node at (5.294,4.036) {\scalebox{1.591}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.371,3.03) -- (4.326,3.2) -- (4.201,3.325) -- (4.031,3.37) -- (3.861,3.325) -- (3.737,3.2) -- (3.691,3.03) -- (3.737,2.86) -- (3.861,2.736) -- (4.031,2.69) -- (4.201,2.736) -- (4.326,2.86) -- cycle;
\node at (4.031,3.03) {\scalebox{1.591}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.36,1.901) -- (9.315,2.071) -- (9.19,2.195) -- (9.02,2.241) -- (8.85,2.195) -- (8.726,2.071) -- (8.68,1.901) -- (8.726,1.731) -- (8.85,1.606) -- (9.02,1.561) -- (9.19,1.606) -- (9.315,1.731) -- cycle;
\node at (9.02,1.901) {\scalebox{1.591}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (6.37,2.002) -- (6.97,2.002) -- (6.97,2.602) -- (6.37,2.602) -- cycle;
\node at (6.67,2.302) {\scalebox{1.591}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (5.288,7.597) -- (5.888,7.597) -- (5.888,8.197) -- (5.288,8.197) -- cycle;
\node at (5.588,7.897) {\scalebox{1.591}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (2.768,7.504) -- (3.368,7.504) -- (3.368,8.104) -- (2.768,8.104) -- cycle;
\node at (3.068,7.804) {\scalebox{1.591}{\small c}};
\node at (6.208,9.469) {\scalebox{1.591}{\small A}};
\node at (2.154,8.053) {\scalebox{1.591}{\small B}};
\node at (3.172,5.886) {\scalebox{1.591}{\small C}};
\node at (0.765,2.395) {\scalebox{1.591}{\small D}};
\node at (6.979,1.765) {\scalebox{1.591}{\small E}};
\node at (11.855,0.95) {\scalebox{1.591}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.617,7.911) -- (12.617,9.011);
\draw[line width=0.5pt] (12.386,8.626) -- (12.617,9.011) -- (12.848,8.626);
\draw[line width=0.5pt] (12.314,8.461) -- (12.919,8.461);
\node at (12.617,9.396) {\scalebox{1.591}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 3 & 4 & 3 & 3 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{B}, \textbf{D}, \textbf{E} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{E}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (A, B, D, E).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
