\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 194}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=194}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0194}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6899, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.199,7.371) -- (5.583,7.254) -- (5.97,7.146) -- (6.359,7.047) -- (6.751,6.958) -- (7.144,6.877) -- (7.54,6.806) -- (7.937,6.745) -- (8.335,6.692) -- (8.735,6.649) -- (9.135,6.616) -- (9.536,6.592) -- (9.937,6.577) -- (10.339,6.572) -- (10.74,6.576);
\draw[line width=0.5pt] (5.199,7.371) -- (5.416,7.22) -- (5.63,7.064) -- (5.84,6.903) -- (6.046,6.737) -- (6.249,6.566) -- (6.447,6.391) -- (6.641,6.211) -- (6.831,6.026) -- (7.016,5.837) -- (7.197,5.644) -- (7.373,5.446) -- (7.545,5.245) -- (7.711,5.039) -- (7.873,4.83);
\draw[line width=0.5pt] (5.199,7.371) -- (5.273,7.018) -- (5.354,6.667) -- (5.444,6.318) -- (5.543,5.971) -- (5.649,5.627) -- (5.764,5.285) -- (5.886,4.946) -- (6.017,4.609) -- (6.155,4.276) -- (6.301,3.947) -- (6.455,3.621) -- (6.617,3.298) -- (6.786,2.98) -- (6.962,2.666);
\draw[line width=0.5pt] (5.199,7.371) -- (5.125,7.138) -- (5.045,6.907) -- (4.959,6.678) -- (4.868,6.451) -- (4.772,6.226) -- (4.67,6.004) -- (4.564,5.784) -- (4.452,5.566) -- (4.335,5.351) -- (4.213,5.139) -- (4.086,4.93) -- (3.954,4.724) -- (3.818,4.522) -- (3.677,4.322) -- (3.489,4.2) -- (3.304,4.073) -- (3.122,3.942) -- (2.944,3.807) -- (2.768,3.667) -- (2.596,3.524) -- (2.427,3.376) -- (2.262,3.224) -- (2.1,3.069) -- (1.942,2.91) -- (1.788,2.747) -- (1.638,2.581) -- (1.492,2.411) -- (1.35,2.238);
\draw[line width=0.5pt] (10.74,6.576) -- (10.518,6.484) -- (10.298,6.386) -- (10.08,6.283) -- (9.865,6.175) -- (9.652,6.062) -- (9.442,5.944) -- (9.235,5.821) -- (9.03,5.693) -- (8.829,5.561) -- (8.631,5.424) -- (8.436,5.282) -- (8.245,5.136) -- (8.057,4.985) -- (7.873,4.83);
\draw[line width=0.5pt] (10.74,6.576) -- (10.832,6.271) -- (10.916,5.963) -- (10.993,5.653) -- (11.062,5.342) -- (11.124,5.029) -- (11.179,4.715) -- (11.227,4.399) -- (11.267,4.082) -- (11.299,3.765) -- (11.325,3.447) -- (11.342,3.128) -- (11.352,2.81) -- (11.355,2.491) -- (11.35,2.172);
\draw[line width=0.5pt] (7.873,4.83) -- (8.09,4.603) -- (8.313,4.382) -- (8.541,4.166) -- (8.774,3.956) -- (9.012,3.751) -- (9.254,3.551) -- (9.502,3.357) -- (9.754,3.17) -- (10.01,2.988) -- (10.27,2.812) -- (10.534,2.642) -- (10.803,2.479) -- (11.074,2.322) -- (11.35,2.172);
\draw[line width=0.5pt] (6.962,2.666) -- (6.569,2.574) -- (6.174,2.492) -- (5.777,2.419) -- (5.378,2.355) -- (4.978,2.301) -- (4.576,2.256) -- (4.174,2.22) -- (3.77,2.194) -- (3.367,2.178) -- (2.963,2.171) -- (2.559,2.173) -- (2.155,2.185) -- (1.752,2.207) -- (1.35,2.238);
\draw[line width=0.5pt] (6.962,2.666) -- (7.268,2.583) -- (7.575,2.507) -- (7.884,2.439) -- (8.195,2.378) -- (8.508,2.324) -- (8.821,2.277) -- (9.136,2.238) -- (9.451,2.206) -- (9.767,2.182) -- (10.083,2.165) -- (10.4,2.155) -- (10.717,2.153) -- (11.034,2.159) -- (11.35,2.172);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.359,7.371) -- (5.338,7.451) -- (5.279,7.509) -- (5.199,7.531) -- (5.119,7.509) -- (5.061,7.451) -- (5.039,7.371) -- (5.061,7.291) -- (5.119,7.232) -- (5.199,7.211) -- (5.279,7.232) -- (5.338,7.291) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.9,6.576) -- (10.879,6.656) -- (10.82,6.715) -- (10.74,6.736) -- (10.66,6.715) -- (10.602,6.656) -- (10.58,6.576) -- (10.602,6.496) -- (10.66,6.437) -- (10.74,6.416) -- (10.82,6.437) -- (10.879,6.496) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.033,4.83) -- (8.011,4.91) -- (7.953,4.968) -- (7.873,4.99) -- (7.793,4.968) -- (7.734,4.91) -- (7.713,4.83) -- (7.734,4.75) -- (7.793,4.691) -- (7.873,4.67) -- (7.953,4.691) -- (8.011,4.75) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.122,2.666) -- (7.101,2.746) -- (7.042,2.805) -- (6.962,2.826) -- (6.882,2.805) -- (6.823,2.746) -- (6.802,2.666) -- (6.823,2.586) -- (6.882,2.528) -- (6.962,2.506) -- (7.042,2.528) -- (7.101,2.586) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.51,2.238) -- (1.489,2.318) -- (1.43,2.376) -- (1.35,2.398) -- (1.27,2.376) -- (1.211,2.318) -- (1.19,2.238) -- (1.211,2.158) -- (1.27,2.099) -- (1.35,2.078) -- (1.43,2.099) -- (1.489,2.158) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.51,2.172) -- (11.489,2.252) -- (11.43,2.311) -- (11.35,2.332) -- (11.27,2.311) -- (11.211,2.252) -- (11.19,2.172) -- (11.211,2.092) -- (11.27,2.033) -- (11.35,2.012) -- (11.43,2.033) -- (11.489,2.092) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.322,7.061) -- (8.277,7.231) -- (8.152,7.356) -- (7.982,7.401) -- (7.812,7.356) -- (7.688,7.231) -- (7.642,7.061) -- (7.688,6.891) -- (7.812,6.767) -- (7.982,6.721) -- (8.152,6.767) -- (8.277,6.891) -- cycle;
\node at (7.982,7.061) {\scalebox{1.449}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.201,6.442) -- (7.156,6.612) -- (7.031,6.737) -- (6.861,6.782) -- (6.691,6.737) -- (6.567,6.612) -- (6.521,6.442) -- (6.567,6.272) -- (6.691,6.148) -- (6.861,6.102) -- (7.031,6.148) -- (7.156,6.272) -- cycle;
\node at (6.861,6.442) {\scalebox{1.449}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.526,5.058) -- (6.481,5.228) -- (6.356,5.352) -- (6.186,5.398) -- (6.016,5.352) -- (5.892,5.228) -- (5.846,5.058) -- (5.892,4.888) -- (6.016,4.763) -- (6.186,4.718) -- (6.356,4.763) -- (6.481,4.888) -- cycle;
\node at (6.186,5.058) {\scalebox{1.449}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.24,4.094) -- (4.195,4.264) -- (4.07,4.388) -- (3.9,4.434) -- (3.73,4.388) -- (3.606,4.264) -- (3.56,4.094) -- (3.606,3.924) -- (3.73,3.799) -- (3.9,3.754) -- (4.07,3.799) -- (4.195,3.924) -- cycle;
\node at (3.9,4.094) {\scalebox{1.449}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.741,5.548) -- (9.695,5.718) -- (9.571,5.842) -- (9.401,5.888) -- (9.231,5.842) -- (9.106,5.718) -- (9.061,5.548) -- (9.106,5.378) -- (9.231,5.253) -- (9.401,5.208) -- (9.571,5.253) -- (9.695,5.378) -- cycle;
\node at (9.401,5.548) {\scalebox{1.449}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.884,4.443) -- (11.838,4.613) -- (11.714,4.737) -- (11.544,4.783) -- (11.374,4.737) -- (11.249,4.613) -- (11.204,4.443) -- (11.249,4.273) -- (11.374,4.149) -- (11.544,4.103) -- (11.714,4.149) -- (11.838,4.273) -- cycle;
\node at (11.544,4.443) {\scalebox{1.449}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.036,3.612) -- (9.991,3.782) -- (9.866,3.906) -- (9.696,3.952) -- (9.526,3.906) -- (9.402,3.782) -- (9.356,3.612) -- (9.402,3.442) -- (9.526,3.317) -- (9.696,3.272) -- (9.866,3.317) -- (9.991,3.442) -- cycle;
\node at (9.696,3.612) {\scalebox{1.449}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.538,1.901) -- (4.492,2.071) -- (4.368,2.196) -- (4.198,2.241) -- (4.028,2.196) -- (3.904,2.071) -- (3.858,1.901) -- (3.904,1.731) -- (4.028,1.607) -- (4.198,1.561) -- (4.368,1.607) -- (4.492,1.731) -- cycle;
\node at (4.198,1.901) {\scalebox{1.449}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.511,2.556) -- (9.466,2.726) -- (9.341,2.85) -- (9.171,2.896) -- (9.001,2.85) -- (8.877,2.726) -- (8.831,2.556) -- (8.877,2.386) -- (9.001,2.262) -- (9.171,2.216) -- (9.341,2.262) -- (9.466,2.386) -- cycle;
\node at (9.171,2.556) {\scalebox{1.449}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.573,4.53) -- (8.173,4.53) -- (8.173,5.13) -- (7.573,5.13) -- cycle;
\node at (7.873,4.83) {\scalebox{1.449}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.571,4.215) -- (13.171,4.215) -- (13.171,4.815) -- (12.571,4.815) -- cycle;
\node at (12.871,4.515) {\scalebox{1.449}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.317,5.61) -- (5.917,5.61) -- (5.917,6.21) -- (5.317,6.21) -- cycle;
\node at (5.617,5.91) {\scalebox{1.449}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.086,0.65) -- (3.686,0.65) -- (3.686,1.25) -- (3.086,1.25) -- cycle;
\node at (3.386,0.95) {\scalebox{1.449}{\small d}};
\node at (4.855,7.886) {\scalebox{1.449}{\small A}};
\node at (11.26,6.913) {\scalebox{1.449}{\small B}};
\node at (8.35,5.226) {\scalebox{1.449}{\small C}};
\node at (6.856,2.055) {\scalebox{1.449}{\small D}};
\node at (0.765,2.032) {\scalebox{1.449}{\small E}};
\node at (11.9,1.886) {\scalebox{1.449}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.65,6.421) -- (12.65,7.521);
\draw[line width=0.5pt] (12.419,7.136) -- (12.65,7.521) -- (12.881,7.136);
\draw[line width=0.5pt] (12.347,6.971) -- (12.952,6.971);
\node at (12.65,7.906) {\scalebox{1.449}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue Neuve & ⑥ rue du Stade & Ⓐ Carrefour Saint-Roch & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue Verte & ⑦ rue du Moulin & Ⓑ Carrefour des Quatre-Chemins & \textbf{b} le stade \\ \hline
③ allée des Tilleuls & ⑧ passage du Marché & Ⓒ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{c} l'église \\ \hline
④ rue des Écoles & ⑨ chemin de Ronde & Ⓓ Carrefour du Moulin & \textbf{d} la boulangerie \\ \hline
⑤ quai aux Fleurs &  & Ⓔ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Rond-point du Stade &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6172, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.199,7.371) -- (5.583,7.254) -- (5.97,7.146) -- (6.359,7.047) -- (6.751,6.958) -- (7.144,6.877) -- (7.54,6.806) -- (7.937,6.745) -- (8.335,6.692) -- (8.735,6.649) -- (9.135,6.616) -- (9.536,6.592) -- (9.937,6.577) -- (10.339,6.572) -- (10.74,6.576);
\draw[line width=0.5pt] (5.199,7.371) -- (5.416,7.22) -- (5.63,7.064) -- (5.84,6.903) -- (6.046,6.737) -- (6.249,6.566) -- (6.447,6.391) -- (6.641,6.211) -- (6.831,6.026) -- (7.016,5.837) -- (7.197,5.644) -- (7.373,5.446) -- (7.545,5.245) -- (7.711,5.039) -- (7.873,4.83);
\draw[line width=0.5pt] (5.199,7.371) -- (5.273,7.018) -- (5.354,6.667) -- (5.444,6.318) -- (5.543,5.971) -- (5.649,5.627) -- (5.764,5.285) -- (5.886,4.946) -- (6.017,4.609) -- (6.155,4.276) -- (6.301,3.947) -- (6.455,3.621) -- (6.617,3.298) -- (6.786,2.98) -- (6.962,2.666);
\draw[line width=0.5pt] (5.199,7.371) -- (5.125,7.138) -- (5.045,6.907) -- (4.959,6.678) -- (4.868,6.451) -- (4.772,6.226) -- (4.67,6.004) -- (4.564,5.784) -- (4.452,5.566) -- (4.335,5.351) -- (4.213,5.139) -- (4.086,4.93) -- (3.954,4.724) -- (3.818,4.522) -- (3.677,4.322) -- (3.489,4.2) -- (3.304,4.073) -- (3.122,3.942) -- (2.944,3.807) -- (2.768,3.667) -- (2.596,3.524) -- (2.427,3.376) -- (2.262,3.224) -- (2.1,3.069) -- (1.942,2.91) -- (1.788,2.747) -- (1.638,2.581) -- (1.492,2.411) -- (1.35,2.238);
\draw[line width=0.5pt] (10.74,6.576) -- (10.518,6.484) -- (10.298,6.386) -- (10.08,6.283) -- (9.865,6.175) -- (9.652,6.062) -- (9.442,5.944) -- (9.235,5.821) -- (9.03,5.693) -- (8.829,5.561) -- (8.631,5.424) -- (8.436,5.282) -- (8.245,5.136) -- (8.057,4.985) -- (7.873,4.83);
\draw[line width=0.5pt] (10.74,6.576) -- (10.832,6.271) -- (10.916,5.963) -- (10.993,5.653) -- (11.062,5.342) -- (11.124,5.029) -- (11.179,4.715) -- (11.227,4.399) -- (11.267,4.082) -- (11.299,3.765) -- (11.325,3.447) -- (11.342,3.128) -- (11.352,2.81) -- (11.355,2.491) -- (11.35,2.172);
\draw[line width=0.5pt] (7.873,4.83) -- (8.09,4.603) -- (8.313,4.382) -- (8.541,4.166) -- (8.774,3.956) -- (9.012,3.751) -- (9.254,3.551) -- (9.502,3.357) -- (9.754,3.17) -- (10.01,2.988) -- (10.27,2.812) -- (10.534,2.642) -- (10.803,2.479) -- (11.074,2.322) -- (11.35,2.172);
\draw[line width=0.5pt] (6.962,2.666) -- (6.569,2.574) -- (6.174,2.492) -- (5.777,2.419) -- (5.378,2.355) -- (4.978,2.301) -- (4.576,2.256) -- (4.174,2.22) -- (3.77,2.194) -- (3.367,2.178) -- (2.963,2.171) -- (2.559,2.173) -- (2.155,2.185) -- (1.752,2.207) -- (1.35,2.238);
\draw[line width=0.5pt] (6.962,2.666) -- (7.268,2.583) -- (7.575,2.507) -- (7.884,2.439) -- (8.195,2.378) -- (8.508,2.324) -- (8.821,2.277) -- (9.136,2.238) -- (9.451,2.206) -- (9.767,2.182) -- (10.083,2.165) -- (10.4,2.155) -- (10.717,2.153) -- (11.034,2.159) -- (11.35,2.172);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.359,7.371) -- (5.338,7.451) -- (5.279,7.509) -- (5.199,7.531) -- (5.119,7.509) -- (5.061,7.451) -- (5.039,7.371) -- (5.061,7.291) -- (5.119,7.232) -- (5.199,7.211) -- (5.279,7.232) -- (5.338,7.291) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.9,6.576) -- (10.879,6.656) -- (10.82,6.715) -- (10.74,6.736) -- (10.66,6.715) -- (10.602,6.656) -- (10.58,6.576) -- (10.602,6.496) -- (10.66,6.437) -- (10.74,6.416) -- (10.82,6.437) -- (10.879,6.496) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (8.033,4.83) -- (8.011,4.91) -- (7.953,4.968) -- (7.873,4.99) -- (7.793,4.968) -- (7.734,4.91) -- (7.713,4.83) -- (7.734,4.75) -- (7.793,4.691) -- (7.873,4.67) -- (7.953,4.691) -- (8.011,4.75) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.122,2.666) -- (7.101,2.746) -- (7.042,2.805) -- (6.962,2.826) -- (6.882,2.805) -- (6.823,2.746) -- (6.802,2.666) -- (6.823,2.586) -- (6.882,2.528) -- (6.962,2.506) -- (7.042,2.528) -- (7.101,2.586) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.51,2.238) -- (1.489,2.318) -- (1.43,2.376) -- (1.35,2.398) -- (1.27,2.376) -- (1.211,2.318) -- (1.19,2.238) -- (1.211,2.158) -- (1.27,2.099) -- (1.35,2.078) -- (1.43,2.099) -- (1.489,2.158) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.51,2.172) -- (11.489,2.252) -- (11.43,2.311) -- (11.35,2.332) -- (11.27,2.311) -- (11.211,2.252) -- (11.19,2.172) -- (11.211,2.092) -- (11.27,2.033) -- (11.35,2.012) -- (11.43,2.033) -- (11.489,2.092) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.322,7.061) -- (8.277,7.231) -- (8.152,7.356) -- (7.982,7.401) -- (7.812,7.356) -- (7.688,7.231) -- (7.642,7.061) -- (7.688,6.891) -- (7.812,6.767) -- (7.982,6.721) -- (8.152,6.767) -- (8.277,6.891) -- cycle;
\node at (7.982,7.061) {\scalebox{1.62}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.201,6.442) -- (7.156,6.612) -- (7.031,6.737) -- (6.861,6.782) -- (6.691,6.737) -- (6.567,6.612) -- (6.521,6.442) -- (6.567,6.272) -- (6.691,6.148) -- (6.861,6.102) -- (7.031,6.148) -- (7.156,6.272) -- cycle;
\node at (6.861,6.442) {\scalebox{1.62}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.526,5.058) -- (6.481,5.228) -- (6.356,5.352) -- (6.186,5.398) -- (6.016,5.352) -- (5.892,5.228) -- (5.846,5.058) -- (5.892,4.888) -- (6.016,4.763) -- (6.186,4.718) -- (6.356,4.763) -- (6.481,4.888) -- cycle;
\node at (6.186,5.058) {\scalebox{1.62}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.24,4.094) -- (4.195,4.264) -- (4.07,4.388) -- (3.9,4.434) -- (3.73,4.388) -- (3.606,4.264) -- (3.56,4.094) -- (3.606,3.924) -- (3.73,3.799) -- (3.9,3.754) -- (4.07,3.799) -- (4.195,3.924) -- cycle;
\node at (3.9,4.094) {\scalebox{1.62}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.741,5.548) -- (9.695,5.718) -- (9.571,5.842) -- (9.401,5.888) -- (9.231,5.842) -- (9.106,5.718) -- (9.061,5.548) -- (9.106,5.378) -- (9.231,5.253) -- (9.401,5.208) -- (9.571,5.253) -- (9.695,5.378) -- cycle;
\node at (9.401,5.548) {\scalebox{1.62}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.884,4.443) -- (11.838,4.613) -- (11.714,4.737) -- (11.544,4.783) -- (11.374,4.737) -- (11.249,4.613) -- (11.204,4.443) -- (11.249,4.273) -- (11.374,4.149) -- (11.544,4.103) -- (11.714,4.149) -- (11.838,4.273) -- cycle;
\node at (11.544,4.443) {\scalebox{1.62}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.036,3.612) -- (9.991,3.782) -- (9.866,3.906) -- (9.696,3.952) -- (9.526,3.906) -- (9.402,3.782) -- (9.356,3.612) -- (9.402,3.442) -- (9.526,3.317) -- (9.696,3.272) -- (9.866,3.317) -- (9.991,3.442) -- cycle;
\node at (9.696,3.612) {\scalebox{1.62}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.538,1.901) -- (4.492,2.071) -- (4.368,2.196) -- (4.198,2.241) -- (4.028,2.196) -- (3.904,2.071) -- (3.858,1.901) -- (3.904,1.731) -- (4.028,1.607) -- (4.198,1.561) -- (4.368,1.607) -- (4.492,1.731) -- cycle;
\node at (4.198,1.901) {\scalebox{1.62}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.511,2.556) -- (9.466,2.726) -- (9.341,2.85) -- (9.171,2.896) -- (9.001,2.85) -- (8.877,2.726) -- (8.831,2.556) -- (8.877,2.386) -- (9.001,2.262) -- (9.171,2.216) -- (9.341,2.262) -- (9.466,2.386) -- cycle;
\node at (9.171,2.556) {\scalebox{1.62}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (7.573,4.53) -- (8.173,4.53) -- (8.173,5.13) -- (7.573,5.13) -- cycle;
\node at (7.873,4.83) {\scalebox{1.62}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (12.571,4.215) -- (13.171,4.215) -- (13.171,4.815) -- (12.571,4.815) -- cycle;
\node at (12.871,4.515) {\scalebox{1.62}{\small b}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.317,5.61) -- (5.917,5.61) -- (5.917,6.21) -- (5.317,6.21) -- cycle;
\node at (5.617,5.91) {\scalebox{1.62}{\small c}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (3.086,0.65) -- (3.686,0.65) -- (3.686,1.25) -- (3.086,1.25) -- cycle;
\node at (3.386,0.95) {\scalebox{1.62}{\small d}};
\node at (4.855,7.886) {\scalebox{1.62}{\small A}};
\node at (11.26,6.913) {\scalebox{1.62}{\small B}};
\node at (8.35,5.226) {\scalebox{1.62}{\small C}};
\node at (6.856,2.055) {\scalebox{1.62}{\small D}};
\node at (0.765,2.032) {\scalebox{1.62}{\small E}};
\node at (11.9,1.886) {\scalebox{1.62}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (12.65,6.421) -- (12.65,7.521);
\draw[line width=0.5pt] (12.419,7.136) -- (12.65,7.521) -- (12.881,7.136);
\draw[line width=0.5pt] (12.347,6.971) -- (12.952,6.971);
\node at (12.65,7.906) {\scalebox{1.62}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 4 & 3 & 3 & 3 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & pair & \textbf{impair} & \textbf{impair} & \textbf{impair} & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{B}, \textbf{C}, \textbf{D}, \textbf{F} — il y en a 4.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non.} Le quartier compte \textbf{4 carrefours impairs} (B, C, D, F).}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Chacun d'eux exigerait d'être un départ ou une arrivée. Une tournée n'a qu'un départ et qu'une arrivée : au moins 2 d'entre eux resteraient sans solution.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Non plus.} Où que l'on installe la poste, il reste 4 carrefours impairs, et une tournée n'en tolère que deux : un pour partir, un pour arriver.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}C'est la différence avec un quartier à deux carrefours impairs, où déplacer la poste suffisait. Ici, le problème ne vient pas du point de départ mais du plan lui-même.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Combien de rues en double, au minimum ?} Il faut apparier les carrefours impairs deux à deux, ce qui demande 1 passage(s) supplémentaire(s) au mieux pour une tournée ouverte, un de plus pour revenir à la poste. C'est le « problème du postier chinois », étudié bien après Euler.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
