\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 2}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=2}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0002}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7098, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.584,11.123) -- (5.619,10.798) -- (5.662,10.474) -- (5.713,10.15) -- (5.771,9.828) -- (5.837,9.508) -- (5.91,9.189) -- (5.991,8.872) -- (6.079,8.557) -- (6.174,8.244) -- (6.277,7.933) -- (6.387,7.625) -- (6.504,7.319) -- (6.629,7.017) -- (6.761,6.718);
\draw[line width=0.5pt] (1.223,10.587) -- (1.658,10.373) -- (2.087,10.149) -- (2.512,9.915) -- (2.931,9.671) -- (3.344,9.417) -- (3.751,9.154) -- (4.151,8.881) -- (4.546,8.598) -- (4.933,8.307) -- (5.313,8.006) -- (5.687,7.697) -- (6.052,7.379) -- (6.41,7.052) -- (6.761,6.718);
\draw[line width=0.5pt] (1.223,10.587) -- (1.162,10.372) -- (1.106,10.155) -- (1.055,9.938) -- (1.009,9.719) -- (0.968,9.499) -- (0.933,9.278) -- (0.902,9.056) -- (0.877,8.834) -- (0.857,8.611) -- (0.843,8.388) -- (0.833,8.164) -- (0.829,7.941) -- (0.83,7.717) -- (0.837,7.494) -- (0.924,7.123) -- (1.003,6.75) -- (1.073,6.375) -- (1.135,5.998) -- (1.187,5.62) -- (1.23,5.241) -- (1.265,4.861) -- (1.291,4.48) -- (1.307,4.099) -- (1.315,3.717) -- (1.314,3.336) -- (1.303,2.954) -- (1.284,2.574) -- (1.256,2.193);
\draw[line width=0.5pt] (6.761,6.718) -- (7.058,6.706) -- (7.355,6.688) -- (7.652,6.662) -- (7.948,6.629) -- (8.244,6.59) -- (8.538,6.543) -- (8.831,6.49) -- (9.123,6.429) -- (9.414,6.362) -- (9.702,6.288) -- (9.989,6.208) -- (10.274,6.12) -- (10.557,6.026) -- (10.837,5.925);
\draw[line width=0.5pt] (6.761,6.718) -- (6.99,6.375) -- (7.228,6.038) -- (7.474,5.707) -- (7.728,5.381) -- (7.989,5.062) -- (8.258,4.748) -- (8.534,4.441) -- (8.817,4.141) -- (9.107,3.847) -- (9.404,3.56) -- (9.708,3.281) -- (10.018,3.008) -- (10.334,2.743) -- (10.656,2.486);
\draw[line width=0.5pt] (6.761,6.718) -- (6.765,6.398) -- (6.762,6.078) -- (6.752,5.758) -- (6.734,5.438) -- (6.709,5.119) -- (6.676,4.801) -- (6.635,4.483) -- (6.587,4.166) -- (6.532,3.851) -- (6.469,3.537) -- (6.399,3.225) -- (6.322,2.914) -- (6.237,2.605) -- (6.145,2.299);
\draw[line width=0.5pt] (6.761,6.718) -- (6.321,6.457) -- (5.888,6.187) -- (5.461,5.905) -- (5.04,5.614) -- (4.627,5.313) -- (4.22,5.003) -- (3.822,4.683) -- (3.43,4.353) -- (3.047,4.015) -- (2.671,3.667) -- (2.304,3.311) -- (1.946,2.947) -- (1.596,2.574) -- (1.256,2.193);
\draw[line width=0.5pt] (10.837,5.925) -- (10.862,5.68) -- (10.881,5.433) -- (10.894,5.187) -- (10.901,4.94) -- (10.903,4.693) -- (10.898,4.445) -- (10.888,4.198) -- (10.872,3.952) -- (10.851,3.705) -- (10.823,3.46) -- (10.79,3.215) -- (10.751,2.971) -- (10.707,2.728) -- (10.656,2.486);
\draw[line width=0.5pt] (6.145,2.299) -- (5.798,2.345) -- (5.449,2.383) -- (5.099,2.412) -- (4.749,2.434) -- (4.398,2.447) -- (4.047,2.451) -- (3.696,2.448) -- (3.345,2.436) -- (2.995,2.416) -- (2.645,2.388) -- (2.296,2.352) -- (1.948,2.307) -- (1.601,2.254) -- (1.256,2.193);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.744,11.123) -- (5.723,11.203) -- (5.664,11.261) -- (5.584,11.283) -- (5.504,11.261) -- (5.445,11.203) -- (5.424,11.123) -- (5.445,11.043) -- (5.504,10.984) -- (5.584,10.963) -- (5.664,10.984) -- (5.723,11.043) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.383,10.587) -- (1.361,10.667) -- (1.303,10.725) -- (1.223,10.747) -- (1.143,10.725) -- (1.084,10.667) -- (1.063,10.587) -- (1.084,10.507) -- (1.143,10.448) -- (1.223,10.427) -- (1.303,10.448) -- (1.361,10.507) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.921,6.718) -- (6.899,6.798) -- (6.841,6.856) -- (6.761,6.878) -- (6.681,6.856) -- (6.622,6.798) -- (6.601,6.718) -- (6.622,6.638) -- (6.681,6.579) -- (6.761,6.558) -- (6.841,6.579) -- (6.899,6.638) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.997,5.925) -- (10.975,6.005) -- (10.917,6.064) -- (10.837,6.085) -- (10.757,6.064) -- (10.698,6.005) -- (10.677,5.925) -- (10.698,5.845) -- (10.757,5.787) -- (10.837,5.765) -- (10.917,5.787) -- (10.975,5.845) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.816,2.486) -- (10.795,2.566) -- (10.736,2.625) -- (10.656,2.646) -- (10.576,2.625) -- (10.518,2.566) -- (10.496,2.486) -- (10.518,2.406) -- (10.576,2.348) -- (10.656,2.326) -- (10.736,2.348) -- (10.795,2.406) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.305,2.299) -- (6.284,2.379) -- (6.225,2.438) -- (6.145,2.459) -- (6.065,2.438) -- (6.007,2.379) -- (5.985,2.299) -- (6.007,2.219) -- (6.065,2.16) -- (6.145,2.139) -- (6.225,2.16) -- (6.284,2.219) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.416,2.193) -- (1.394,2.273) -- (1.336,2.332) -- (1.256,2.353) -- (1.176,2.332) -- (1.117,2.273) -- (1.096,2.193) -- (1.117,2.113) -- (1.176,2.055) -- (1.256,2.033) -- (1.336,2.055) -- (1.394,2.113) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.64,8.954) -- (6.594,9.124) -- (6.47,9.249) -- (6.3,9.294) -- (6.13,9.249) -- (6.005,9.124) -- (5.96,8.954) -- (6.005,8.784) -- (6.13,8.66) -- (6.3,8.614) -- (6.47,8.66) -- (6.594,8.784) -- cycle;
\node at (6.3,8.954) {\scalebox{1.409}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.675,9.143) -- (4.629,9.313) -- (4.505,9.437) -- (4.335,9.483) -- (4.165,9.437) -- (4.04,9.313) -- (3.995,9.143) -- (4.04,8.973) -- (4.165,8.848) -- (4.335,8.803) -- (4.505,8.848) -- (4.629,8.973) -- cycle;
\node at (4.335,9.143) {\scalebox{1.409}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.493,7.544) -- (1.447,7.714) -- (1.323,7.839) -- (1.153,7.884) -- (0.983,7.839) -- (0.858,7.714) -- (0.813,7.544) -- (0.858,7.374) -- (0.983,7.25) -- (1.153,7.204) -- (1.323,7.25) -- (1.447,7.374) -- cycle;
\node at (1.153,7.544) {\scalebox{1.409}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.232,6.804) -- (9.187,6.974) -- (9.062,7.098) -- (8.892,7.144) -- (8.722,7.098) -- (8.598,6.974) -- (8.552,6.804) -- (8.598,6.634) -- (8.722,6.509) -- (8.892,6.464) -- (9.062,6.509) -- (9.187,6.634) -- cycle;
\node at (8.892,6.804) {\scalebox{1.409}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.109,4.658) -- (9.064,4.828) -- (8.939,4.952) -- (8.769,4.998) -- (8.599,4.952) -- (8.475,4.828) -- (8.429,4.658) -- (8.475,4.488) -- (8.599,4.364) -- (8.769,4.318) -- (8.939,4.364) -- (9.064,4.488) -- cycle;
\node at (8.769,4.658) {\scalebox{1.409}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.292,4.439) -- (7.247,4.609) -- (7.122,4.733) -- (6.952,4.779) -- (6.782,4.733) -- (6.658,4.609) -- (6.612,4.439) -- (6.658,4.269) -- (6.782,4.144) -- (6.952,4.099) -- (7.122,4.144) -- (7.247,4.269) -- cycle;
\node at (6.952,4.439) {\scalebox{1.409}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.365,4.435) -- (4.319,4.605) -- (4.195,4.73) -- (4.025,4.775) -- (3.855,4.73) -- (3.73,4.605) -- (3.685,4.435) -- (3.73,4.265) -- (3.855,4.141) -- (4.025,4.095) -- (4.195,4.141) -- (4.319,4.265) -- cycle;
\node at (4.025,4.435) {\scalebox{1.409}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.548,4.182) -- (11.502,4.352) -- (11.378,4.476) -- (11.208,4.522) -- (11.038,4.476) -- (10.913,4.352) -- (10.868,4.182) -- (10.913,4.012) -- (11.038,3.887) -- (11.208,3.842) -- (11.378,3.887) -- (11.502,4.012) -- cycle;
\node at (11.208,4.182) {\scalebox{1.409}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.043,2.128) -- (3.998,2.298) -- (3.873,2.422) -- (3.703,2.468) -- (3.533,2.422) -- (3.409,2.298) -- (3.363,2.128) -- (3.409,1.958) -- (3.533,1.834) -- (3.703,1.788) -- (3.873,1.834) -- (3.998,1.958) -- cycle;
\node at (3.703,2.128) {\scalebox{1.409}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (0.956,1.893) -- (1.556,1.893) -- (1.556,2.493) -- (0.956,2.493) -- cycle;
\node at (1.256,2.193) {\scalebox{1.409}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.667,4.123) -- (10.267,4.123) -- (10.267,4.723) -- (9.667,4.723) -- cycle;
\node at (9.967,4.423) {\scalebox{1.409}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.85,0.65) -- (3.45,0.65) -- (3.45,1.25) -- (2.85,1.25) -- cycle;
\node at (3.15,0.95) {\scalebox{1.409}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (12.184,3.531) -- (12.784,3.531) -- (12.784,4.131) -- (12.184,4.131) -- cycle;
\node at (12.484,3.831) {\scalebox{1.409}{\small d}};
\node at (5.527,11.74) {\scalebox{1.409}{\small A}};
\node at (0.777,11.017) {\scalebox{1.409}{\small B}};
\node at (7.163,7.189) {\scalebox{1.409}{\small C}};
\node at (11.457,5.928) {\scalebox{1.409}{\small D}};
\node at (11.153,2.116) {\scalebox{1.409}{\small E}};
\node at (6.159,1.679) {\scalebox{1.409}{\small F}};
\node at (0.765,1.815) {\scalebox{1.409}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.137,10.173) -- (12.137,11.273);
\draw[line width=0.5pt] (11.906,10.888) -- (12.137,11.273) -- (12.368,10.888);
\draw[line width=0.5pt] (11.834,10.723) -- (12.439,10.723);
\node at (12.137,11.658) {\scalebox{1.409}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① impasse du Vieux-Four & ⑥ chemin de Ronde & Ⓐ Placette des Ormes & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue de l'Église & ⑦ rue du Puits & Ⓑ Place aux Herbes & \textbf{b} l'église \\ \hline
③ rue des Lilas & ⑧ rue des Jardins & Ⓒ Rond-point des Vaches & \textbf{c} la gendarmerie \\ \hline
④ passage du Marché & ⑨ allée des Tilleuls & Ⓓ Place du Vieux-Puits & \textbf{d} l'école \\ \hline
⑤ rue de la Mairie &  & Ⓔ Place Sainte-Croix &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Carrefour Saint-Roch &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6351, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (5.584,11.123) -- (5.619,10.798) -- (5.662,10.474) -- (5.713,10.15) -- (5.771,9.828) -- (5.837,9.508) -- (5.91,9.189) -- (5.991,8.872) -- (6.079,8.557) -- (6.174,8.244) -- (6.277,7.933) -- (6.387,7.625) -- (6.504,7.319) -- (6.629,7.017) -- (6.761,6.718);
\draw[line width=0.5pt] (1.223,10.587) -- (1.658,10.373) -- (2.087,10.149) -- (2.512,9.915) -- (2.931,9.671) -- (3.344,9.417) -- (3.751,9.154) -- (4.151,8.881) -- (4.546,8.598) -- (4.933,8.307) -- (5.313,8.006) -- (5.687,7.697) -- (6.052,7.379) -- (6.41,7.052) -- (6.761,6.718);
\draw[line width=0.5pt] (1.223,10.587) -- (1.162,10.372) -- (1.106,10.155) -- (1.055,9.938) -- (1.009,9.719) -- (0.968,9.499) -- (0.933,9.278) -- (0.902,9.056) -- (0.877,8.834) -- (0.857,8.611) -- (0.843,8.388) -- (0.833,8.164) -- (0.829,7.941) -- (0.83,7.717) -- (0.837,7.494) -- (0.924,7.123) -- (1.003,6.75) -- (1.073,6.375) -- (1.135,5.998) -- (1.187,5.62) -- (1.23,5.241) -- (1.265,4.861) -- (1.291,4.48) -- (1.307,4.099) -- (1.315,3.717) -- (1.314,3.336) -- (1.303,2.954) -- (1.284,2.574) -- (1.256,2.193);
\draw[line width=0.5pt] (6.761,6.718) -- (7.058,6.706) -- (7.355,6.688) -- (7.652,6.662) -- (7.948,6.629) -- (8.244,6.59) -- (8.538,6.543) -- (8.831,6.49) -- (9.123,6.429) -- (9.414,6.362) -- (9.702,6.288) -- (9.989,6.208) -- (10.274,6.12) -- (10.557,6.026) -- (10.837,5.925);
\draw[line width=0.5pt] (6.761,6.718) -- (6.99,6.375) -- (7.228,6.038) -- (7.474,5.707) -- (7.728,5.381) -- (7.989,5.062) -- (8.258,4.748) -- (8.534,4.441) -- (8.817,4.141) -- (9.107,3.847) -- (9.404,3.56) -- (9.708,3.281) -- (10.018,3.008) -- (10.334,2.743) -- (10.656,2.486);
\draw[line width=0.5pt] (6.761,6.718) -- (6.765,6.398) -- (6.762,6.078) -- (6.752,5.758) -- (6.734,5.438) -- (6.709,5.119) -- (6.676,4.801) -- (6.635,4.483) -- (6.587,4.166) -- (6.532,3.851) -- (6.469,3.537) -- (6.399,3.225) -- (6.322,2.914) -- (6.237,2.605) -- (6.145,2.299);
\draw[line width=0.5pt] (6.761,6.718) -- (6.321,6.457) -- (5.888,6.187) -- (5.461,5.905) -- (5.04,5.614) -- (4.627,5.313) -- (4.22,5.003) -- (3.822,4.683) -- (3.43,4.353) -- (3.047,4.015) -- (2.671,3.667) -- (2.304,3.311) -- (1.946,2.947) -- (1.596,2.574) -- (1.256,2.193);
\draw[line width=0.5pt] (10.837,5.925) -- (10.862,5.68) -- (10.881,5.433) -- (10.894,5.187) -- (10.901,4.94) -- (10.903,4.693) -- (10.898,4.445) -- (10.888,4.198) -- (10.872,3.952) -- (10.851,3.705) -- (10.823,3.46) -- (10.79,3.215) -- (10.751,2.971) -- (10.707,2.728) -- (10.656,2.486);
\draw[line width=0.5pt] (6.145,2.299) -- (5.798,2.345) -- (5.449,2.383) -- (5.099,2.412) -- (4.749,2.434) -- (4.398,2.447) -- (4.047,2.451) -- (3.696,2.448) -- (3.345,2.436) -- (2.995,2.416) -- (2.645,2.388) -- (2.296,2.352) -- (1.948,2.307) -- (1.601,2.254) -- (1.256,2.193);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.744,11.123) -- (5.723,11.203) -- (5.664,11.261) -- (5.584,11.283) -- (5.504,11.261) -- (5.445,11.203) -- (5.424,11.123) -- (5.445,11.043) -- (5.504,10.984) -- (5.584,10.963) -- (5.664,10.984) -- (5.723,11.043) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.383,10.587) -- (1.361,10.667) -- (1.303,10.725) -- (1.223,10.747) -- (1.143,10.725) -- (1.084,10.667) -- (1.063,10.587) -- (1.084,10.507) -- (1.143,10.448) -- (1.223,10.427) -- (1.303,10.448) -- (1.361,10.507) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.921,6.718) -- (6.899,6.798) -- (6.841,6.856) -- (6.761,6.878) -- (6.681,6.856) -- (6.622,6.798) -- (6.601,6.718) -- (6.622,6.638) -- (6.681,6.579) -- (6.761,6.558) -- (6.841,6.579) -- (6.899,6.638) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.997,5.925) -- (10.975,6.005) -- (10.917,6.064) -- (10.837,6.085) -- (10.757,6.064) -- (10.698,6.005) -- (10.677,5.925) -- (10.698,5.845) -- (10.757,5.787) -- (10.837,5.765) -- (10.917,5.787) -- (10.975,5.845) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.816,2.486) -- (10.795,2.566) -- (10.736,2.625) -- (10.656,2.646) -- (10.576,2.625) -- (10.518,2.566) -- (10.496,2.486) -- (10.518,2.406) -- (10.576,2.348) -- (10.656,2.326) -- (10.736,2.348) -- (10.795,2.406) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (6.305,2.299) -- (6.284,2.379) -- (6.225,2.438) -- (6.145,2.459) -- (6.065,2.438) -- (6.007,2.379) -- (5.985,2.299) -- (6.007,2.219) -- (6.065,2.16) -- (6.145,2.139) -- (6.225,2.16) -- (6.284,2.219) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.416,2.193) -- (1.394,2.273) -- (1.336,2.332) -- (1.256,2.353) -- (1.176,2.332) -- (1.117,2.273) -- (1.096,2.193) -- (1.117,2.113) -- (1.176,2.055) -- (1.256,2.033) -- (1.336,2.055) -- (1.394,2.113) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.64,8.954) -- (6.594,9.124) -- (6.47,9.249) -- (6.3,9.294) -- (6.13,9.249) -- (6.005,9.124) -- (5.96,8.954) -- (6.005,8.784) -- (6.13,8.66) -- (6.3,8.614) -- (6.47,8.66) -- (6.594,8.784) -- cycle;
\node at (6.3,8.954) {\scalebox{1.575}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.675,9.143) -- (4.629,9.313) -- (4.505,9.437) -- (4.335,9.483) -- (4.165,9.437) -- (4.04,9.313) -- (3.995,9.143) -- (4.04,8.973) -- (4.165,8.848) -- (4.335,8.803) -- (4.505,8.848) -- (4.629,8.973) -- cycle;
\node at (4.335,9.143) {\scalebox{1.575}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (1.493,7.544) -- (1.447,7.714) -- (1.323,7.839) -- (1.153,7.884) -- (0.983,7.839) -- (0.858,7.714) -- (0.813,7.544) -- (0.858,7.374) -- (0.983,7.25) -- (1.153,7.204) -- (1.323,7.25) -- (1.447,7.374) -- cycle;
\node at (1.153,7.544) {\scalebox{1.575}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.232,6.804) -- (9.187,6.974) -- (9.062,7.098) -- (8.892,7.144) -- (8.722,7.098) -- (8.598,6.974) -- (8.552,6.804) -- (8.598,6.634) -- (8.722,6.509) -- (8.892,6.464) -- (9.062,6.509) -- (9.187,6.634) -- cycle;
\node at (8.892,6.804) {\scalebox{1.575}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.109,4.658) -- (9.064,4.828) -- (8.939,4.952) -- (8.769,4.998) -- (8.599,4.952) -- (8.475,4.828) -- (8.429,4.658) -- (8.475,4.488) -- (8.599,4.364) -- (8.769,4.318) -- (8.939,4.364) -- (9.064,4.488) -- cycle;
\node at (8.769,4.658) {\scalebox{1.575}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (7.292,4.439) -- (7.247,4.609) -- (7.122,4.733) -- (6.952,4.779) -- (6.782,4.733) -- (6.658,4.609) -- (6.612,4.439) -- (6.658,4.269) -- (6.782,4.144) -- (6.952,4.099) -- (7.122,4.144) -- (7.247,4.269) -- cycle;
\node at (6.952,4.439) {\scalebox{1.575}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.365,4.435) -- (4.319,4.605) -- (4.195,4.73) -- (4.025,4.775) -- (3.855,4.73) -- (3.73,4.605) -- (3.685,4.435) -- (3.73,4.265) -- (3.855,4.141) -- (4.025,4.095) -- (4.195,4.141) -- (4.319,4.265) -- cycle;
\node at (4.025,4.435) {\scalebox{1.575}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.548,4.182) -- (11.502,4.352) -- (11.378,4.476) -- (11.208,4.522) -- (11.038,4.476) -- (10.913,4.352) -- (10.868,4.182) -- (10.913,4.012) -- (11.038,3.887) -- (11.208,3.842) -- (11.378,3.887) -- (11.502,4.012) -- cycle;
\node at (11.208,4.182) {\scalebox{1.575}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.043,2.128) -- (3.998,2.298) -- (3.873,2.422) -- (3.703,2.468) -- (3.533,2.422) -- (3.409,2.298) -- (3.363,2.128) -- (3.409,1.958) -- (3.533,1.834) -- (3.703,1.788) -- (3.873,1.834) -- (3.998,1.958) -- cycle;
\node at (3.703,2.128) {\scalebox{1.575}{\small 9}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (0.956,1.893) -- (1.556,1.893) -- (1.556,2.493) -- (0.956,2.493) -- cycle;
\node at (1.256,2.193) {\scalebox{1.575}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (9.667,4.123) -- (10.267,4.123) -- (10.267,4.723) -- (9.667,4.723) -- cycle;
\node at (9.967,4.423) {\scalebox{1.575}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (2.85,0.65) -- (3.45,0.65) -- (3.45,1.25) -- (2.85,1.25) -- cycle;
\node at (3.15,0.95) {\scalebox{1.575}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (12.184,3.531) -- (12.784,3.531) -- (12.784,4.131) -- (12.184,4.131) -- cycle;
\node at (12.484,3.831) {\scalebox{1.575}{\small d}};
\node at (5.527,11.74) {\scalebox{1.575}{\small A}};
\node at (0.777,11.017) {\scalebox{1.575}{\small B}};
\node at (7.163,7.189) {\scalebox{1.575}{\small C}};
\node at (11.457,5.928) {\scalebox{1.575}{\small D}};
\node at (11.153,2.116) {\scalebox{1.575}{\small E}};
\node at (6.159,1.679) {\scalebox{1.575}{\small F}};
\node at (0.765,1.815) {\scalebox{1.575}{\small G}};
\draw[line width=0.5pt] (12.137,10.173) -- (12.137,11.273);
\draw[line width=0.5pt] (11.906,10.888) -- (12.137,11.273) -- (12.368,10.888);
\draw[line width=0.5pt] (11.834,10.723) -- (12.439,10.723);
\node at (12.137,11.658) {\scalebox{1.575}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G \\ \hline
Nombre de rues & 1 & 2 & 6 & 2 & 2 & 2 & 3 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & pair & pair & pair & \textbf{impair} \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 18 = 2 \(\times\) 9, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{G} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{G}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{G}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{G}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en A}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Carrefour Saint-Roch \textbf{(G)}, prend la \textbf{rue des Lilas ③} vers le nord et atteint Place aux Herbes \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ②}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ④}, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue des Jardins ⑧}, vers le sud, jusqu'à Place Sainte-Croix \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Mairie ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{chemin de Ronde ⑥}, vers le sud, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour Saint-Roch \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue du Puits ⑦}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{impasse du Vieux-Four ①}, vers le nord, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(A)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{G} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{À remarquer.} Ce quartier a une impasse. On y entre et on en ressort par la même rue : elle serait forcément empruntée deux fois. Une impasse interdit donc à elle seule la tournée qui revient à son point de départ — sans qu'il soit besoin de compter quoi que ce soit.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
