\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 20}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=20}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0020}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7225, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.069,11.54) -- (6.881,11.493) -- (6.694,11.443) -- (6.509,11.388) -- (6.324,11.328) -- (6.142,11.264) -- (5.96,11.196) -- (5.781,11.124) -- (5.603,11.047) -- (5.427,10.967) -- (5.253,10.882) -- (5.081,10.793) -- (4.911,10.7) -- (4.743,10.603) -- (4.578,10.502);
\draw[line width=0.5pt] (7.069,11.54) -- (6.895,11.302) -- (6.716,11.069) -- (6.532,10.84) -- (6.342,10.616) -- (6.147,10.396) -- (5.947,10.18) -- (5.741,9.97) -- (5.531,9.764) -- (5.316,9.563) -- (5.097,9.367) -- (4.873,9.177) -- (4.644,8.992) -- (4.411,8.812) -- (4.175,8.638);
\draw[line width=0.5pt] (4.578,10.502) -- (4.529,10.375) -- (4.483,10.246) -- (4.44,10.116) -- (4.4,9.985) -- (4.364,9.853) -- (4.33,9.72) -- (4.299,9.587) -- (4.272,9.453) -- (4.248,9.318) -- (4.227,9.183) -- (4.209,9.047) -- (4.194,8.911) -- (4.183,8.775) -- (4.175,8.638);
\draw[line width=0.5pt] (4.175,8.638) -- (4.393,8.659) -- (4.612,8.675) -- (4.831,8.685) -- (5.05,8.691) -- (5.27,8.691) -- (5.489,8.686) -- (5.709,8.676) -- (5.928,8.66) -- (6.146,8.64) -- (6.364,8.614) -- (6.582,8.584) -- (6.798,8.548) -- (7.014,8.507) -- (7.228,8.461);
\draw[line width=0.5pt] (4.175,8.638) -- (4.352,8.308) -- (4.536,7.981) -- (4.729,7.659) -- (4.929,7.341) -- (5.136,7.029) -- (5.351,6.721) -- (5.573,6.418) -- (5.802,6.121) -- (6.038,5.829) -- (6.281,5.542) -- (6.53,5.262) -- (6.786,4.987) -- (7.048,4.719) -- (7.317,4.457);
\draw[line width=0.5pt] (7.228,8.461) -- (7.278,8.178) -- (7.321,7.895) -- (7.358,7.61) -- (7.388,7.324) -- (7.411,7.037) -- (7.428,6.75) -- (7.437,6.463) -- (7.44,6.175) -- (7.437,5.888) -- (7.426,5.601) -- (7.409,5.314) -- (7.385,5.027) -- (7.354,4.742) -- (7.317,4.457);
\draw[line width=0.5pt] (10.493,7.629) -- (10.499,7.456) -- (10.509,7.283) -- (10.524,7.111) -- (10.542,6.938) -- (10.564,6.766) -- (10.591,6.595) -- (10.621,6.424) -- (10.656,6.255) -- (10.694,6.086) -- (10.737,5.918) -- (10.783,5.751) -- (10.833,5.585) -- (10.887,5.42) -- (10.945,5.257);
\draw[line width=0.5pt] (10.493,7.629) -- (10.303,7.37) -- (10.106,7.115) -- (9.903,6.864) -- (9.695,6.619) -- (9.481,6.378) -- (9.261,6.142) -- (9.036,5.912) -- (8.805,5.687) -- (8.569,5.467) -- (8.328,5.254) -- (8.082,5.045) -- (7.832,4.843) -- (7.576,4.647) -- (7.317,4.457);
\draw[line width=0.5pt] (1.359,5.552) -- (1.576,5.523) -- (1.793,5.499) -- (2.011,5.48) -- (2.229,5.466) -- (2.447,5.458) -- (2.666,5.454) -- (2.885,5.456) -- (3.104,5.462) -- (3.322,5.474) -- (3.54,5.491) -- (3.758,5.514) -- (3.974,5.541) -- (4.191,5.573) -- (4.406,5.611) -- (4.625,5.561) -- (4.842,5.506) -- (5.059,5.445) -- (5.274,5.38) -- (5.487,5.31) -- (5.699,5.234) -- (5.909,5.154) -- (6.117,5.069) -- (6.323,4.979) -- (6.526,4.884) -- (6.728,4.784) -- (6.927,4.68) -- (7.123,4.571) -- (7.317,4.457);
\draw[line width=0.5pt] (1.359,5.552) -- (1.635,5.304) -- (1.904,5.048) -- (2.168,4.787) -- (2.426,4.519) -- (2.677,4.246) -- (2.921,3.966) -- (3.16,3.681) -- (3.391,3.39) -- (3.615,3.094) -- (3.833,2.793) -- (4.043,2.487) -- (4.246,2.175) -- (4.441,1.86) -- (4.629,1.54);
\draw[line width=0.5pt] (10.945,5.257) -- (10.68,5.24) -- (10.414,5.217) -- (10.149,5.187) -- (9.885,5.151) -- (9.622,5.109) -- (9.359,5.061) -- (9.098,5.007) -- (8.838,4.946) -- (8.58,4.88) -- (8.323,4.807) -- (8.068,4.729) -- (7.816,4.644) -- (7.565,4.553) -- (7.317,4.457);
\draw[line width=0.5pt] (7.317,4.457) -- (7.158,4.221) -- (6.994,3.989) -- (6.824,3.76) -- (6.649,3.536) -- (6.469,3.315) -- (6.284,3.099) -- (6.093,2.888) -- (5.898,2.68) -- (5.698,2.478) -- (5.493,2.28) -- (5.283,2.087) -- (5.07,1.9) -- (4.851,1.717) -- (4.629,1.54);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.229,11.54) -- (7.207,11.62) -- (7.149,11.678) -- (7.069,11.7) -- (6.989,11.678) -- (6.93,11.62) -- (6.909,11.54) -- (6.93,11.46) -- (6.989,11.401) -- (7.069,11.38) -- (7.149,11.401) -- (7.207,11.46) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.738,10.502) -- (4.717,10.582) -- (4.658,10.641) -- (4.578,10.662) -- (4.498,10.641) -- (4.439,10.582) -- (4.418,10.502) -- (4.439,10.422) -- (4.498,10.364) -- (4.578,10.342) -- (4.658,10.364) -- (4.717,10.422) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.335,8.638) -- (4.313,8.718) -- (4.255,8.777) -- (4.175,8.798) -- (4.095,8.777) -- (4.036,8.718) -- (4.015,8.638) -- (4.036,8.558) -- (4.095,8.5) -- (4.175,8.478) -- (4.255,8.5) -- (4.313,8.558) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.388,8.461) -- (7.367,8.541) -- (7.308,8.6) -- (7.228,8.621) -- (7.148,8.6) -- (7.089,8.541) -- (7.068,8.461) -- (7.089,8.381) -- (7.148,8.323) -- (7.228,8.301) -- (7.308,8.323) -- (7.367,8.381) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.653,7.629) -- (10.631,7.709) -- (10.573,7.768) -- (10.493,7.789) -- (10.413,7.768) -- (10.354,7.709) -- (10.333,7.629) -- (10.354,7.549) -- (10.413,7.491) -- (10.493,7.469) -- (10.573,7.491) -- (10.631,7.549) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.519,5.552) -- (1.498,5.632) -- (1.439,5.691) -- (1.359,5.712) -- (1.279,5.691) -- (1.221,5.632) -- (1.199,5.552) -- (1.221,5.472) -- (1.279,5.413) -- (1.359,5.392) -- (1.439,5.413) -- (1.498,5.472) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.105,5.257) -- (11.084,5.337) -- (11.025,5.396) -- (10.945,5.417) -- (10.865,5.396) -- (10.807,5.337) -- (10.785,5.257) -- (10.807,5.177) -- (10.865,5.119) -- (10.945,5.097) -- (11.025,5.119) -- (11.084,5.177) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.477,4.457) -- (7.455,4.537) -- (7.397,4.596) -- (7.317,4.617) -- (7.237,4.596) -- (7.178,4.537) -- (7.157,4.457) -- (7.178,4.377) -- (7.237,4.318) -- (7.317,4.297) -- (7.397,4.318) -- (7.455,4.377) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.789,1.54) -- (4.768,1.62) -- (4.709,1.678) -- (4.629,1.7) -- (4.549,1.678) -- (4.49,1.62) -- (4.469,1.54) -- (4.49,1.46) -- (4.549,1.401) -- (4.629,1.38) -- (4.709,1.401) -- (4.768,1.46) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.244,10.828) -- (6.198,10.998) -- (6.074,11.123) -- (5.904,11.168) -- (5.734,11.123) -- (5.609,10.998) -- (5.564,10.828) -- (5.609,10.658) -- (5.734,10.534) -- (5.904,10.488) -- (6.074,10.534) -- (6.198,10.658) -- cycle;
\node at (5.904,10.828) {\scalebox{1.384}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.308,9.744) -- (6.262,9.914) -- (6.138,10.038) -- (5.968,10.084) -- (5.798,10.038) -- (5.674,9.914) -- (5.628,9.744) -- (5.674,9.574) -- (5.798,9.449) -- (5.968,9.404) -- (6.138,9.449) -- (6.262,9.574) -- cycle;
\node at (5.968,9.744) {\scalebox{1.384}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.952,9.519) -- (4.907,9.689) -- (4.782,9.814) -- (4.612,9.859) -- (4.442,9.814) -- (4.318,9.689) -- (4.272,9.519) -- (4.318,9.349) -- (4.442,9.225) -- (4.612,9.179) -- (4.782,9.225) -- (4.907,9.349) -- cycle;
\node at (4.612,9.519) {\scalebox{1.384}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.067,8.995) -- (6.022,9.165) -- (5.897,9.29) -- (5.727,9.335) -- (5.557,9.29) -- (5.433,9.165) -- (5.387,8.995) -- (5.433,8.825) -- (5.557,8.701) -- (5.727,8.655) -- (5.897,8.701) -- (6.022,8.825) -- cycle;
\node at (5.727,8.995) {\scalebox{1.384}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.169,6.61) -- (6.123,6.78) -- (5.999,6.905) -- (5.829,6.95) -- (5.659,6.905) -- (5.535,6.78) -- (5.489,6.61) -- (5.535,6.44) -- (5.659,6.316) -- (5.829,6.27) -- (5.999,6.316) -- (6.123,6.44) -- cycle;
\node at (5.829,6.61) {\scalebox{1.384}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.097,6.47) -- (8.052,6.64) -- (7.927,6.764) -- (7.757,6.81) -- (7.587,6.764) -- (7.463,6.64) -- (7.417,6.47) -- (7.463,6.3) -- (7.587,6.175) -- (7.757,6.13) -- (7.927,6.175) -- (8.052,6.3) -- cycle;
\node at (7.757,6.47) {\scalebox{1.384}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.276,6.484) -- (11.23,6.654) -- (11.106,6.779) -- (10.936,6.824) -- (10.766,6.779) -- (10.641,6.654) -- (10.596,6.484) -- (10.641,6.314) -- (10.766,6.19) -- (10.936,6.144) -- (11.106,6.19) -- (11.23,6.314) -- cycle;
\node at (10.936,6.484) {\scalebox{1.384}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.602,5.686) -- (9.556,5.856) -- (9.432,5.98) -- (9.262,6.026) -- (9.092,5.98) -- (8.967,5.856) -- (8.922,5.686) -- (8.967,5.516) -- (9.092,5.391) -- (9.262,5.346) -- (9.432,5.391) -- (9.556,5.516) -- cycle;
\node at (9.262,5.686) {\scalebox{1.384}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.755,5.931) -- (4.709,6.101) -- (4.585,6.225) -- (4.415,6.271) -- (4.245,6.225) -- (4.121,6.101) -- (4.075,5.931) -- (4.121,5.761) -- (4.245,5.636) -- (4.415,5.591) -- (4.585,5.636) -- (4.709,5.761) -- cycle;
\node at (4.415,5.931) {\scalebox{1.384}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.748,3.883) -- (3.702,4.053) -- (3.578,4.177) -- (3.408,4.223) -- (3.238,4.177) -- (3.113,4.053) -- (3.068,3.883) -- (3.113,3.713) -- (3.238,3.588) -- (3.408,3.543) -- (3.578,3.588) -- (3.702,3.713) -- cycle;
\node at (3.408,3.883) {\scalebox{1.384}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.507,4.694) -- (9.461,4.864) -- (9.337,4.989) -- (9.167,5.034) -- (8.997,4.989) -- (8.872,4.864) -- (8.827,4.694) -- (8.872,4.524) -- (8.997,4.4) -- (9.167,4.354) -- (9.337,4.4) -- (9.461,4.524) -- cycle;
\node at (9.167,4.694) {\scalebox{1.384}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.669,2.671) -- (6.623,2.841) -- (6.499,2.965) -- (6.329,3.011) -- (6.159,2.965) -- (6.034,2.841) -- (5.989,2.671) -- (6.034,2.501) -- (6.159,2.376) -- (6.329,2.331) -- (6.499,2.376) -- (6.623,2.501) -- cycle;
\node at (6.329,2.671) {\scalebox{1.384}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.875,8.338) -- (4.475,8.338) -- (4.475,8.938) -- (3.875,8.938) -- cycle;
\node at (4.175,8.638) {\scalebox{1.384}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.56,11.408) -- (6.16,11.408) -- (6.16,12.008) -- (5.56,12.008) -- cycle;
\node at (5.86,11.708) {\scalebox{1.384}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.713,6.448) -- (6.313,6.448) -- (6.313,7.048) -- (5.713,7.048) -- cycle;
\node at (6.013,6.748) {\scalebox{1.384}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.723,3.421) -- (10.323,3.421) -- (10.323,4.021) -- (9.723,4.021) -- cycle;
\node at (10.023,3.721) {\scalebox{1.384}{\small d}};
\node at (7.158,12.153) {\scalebox{1.384}{\small A}};
\node at (4.285,11.049) {\scalebox{1.384}{\small B}};
\node at (3.667,8.994) {\scalebox{1.384}{\small C}};
\node at (7.538,8.998) {\scalebox{1.384}{\small D}};
\node at (11.107,7.714) {\scalebox{1.384}{\small E}};
\node at (0.765,5.375) {\scalebox{1.384}{\small F}};
\node at (11.521,5.027) {\scalebox{1.384}{\small G}};
\node at (7.518,3.871) {\scalebox{1.384}{\small H}};
\node at (4.438,0.95) {\scalebox{1.384}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.245,10.59) -- (12.245,11.69);
\draw[line width=0.5pt] (12.014,11.305) -- (12.245,11.69) -- (12.476,11.305);
\draw[line width=0.5pt] (11.943,11.14) -- (12.548,11.14);
\node at (12.245,12.075) {\scalebox{1.384}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① rue de l'Église & ⑦ rue Haute & Ⓐ Place des Tanneurs & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Moulin & ⑧ rue Basse & Ⓑ Coin du Lavoir & \textbf{b} l'église \\ \hline
③ rue des Lilas & ⑨ rue de la Poste & Ⓒ Rond-point du Stade & \textbf{c} la boulangerie \\ \hline
④ rue du Pont & ⑩ rue du Four & Ⓓ Place du Vieux-Puits & \textbf{d} l'école \\ \hline
⑤ allée des Tilleuls & ⑪ rue Pasteur & Ⓔ Fontaine Notre-Dame &  \\ \hline
⑥ chemin de Ronde & ⑫ venelle du Chat & Ⓕ Place aux Herbes &  \\ \hline
 &  & Ⓖ Place de la Fontaine &  \\ \hline
 &  & Ⓗ Carrefour du Moulin &  \\ \hline
 &  & Ⓘ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6465, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (7.069,11.54) -- (6.881,11.493) -- (6.694,11.443) -- (6.509,11.388) -- (6.324,11.328) -- (6.142,11.264) -- (5.96,11.196) -- (5.781,11.124) -- (5.603,11.047) -- (5.427,10.967) -- (5.253,10.882) -- (5.081,10.793) -- (4.911,10.7) -- (4.743,10.603) -- (4.578,10.502);
\draw[line width=0.5pt] (7.069,11.54) -- (6.895,11.302) -- (6.716,11.069) -- (6.532,10.84) -- (6.342,10.616) -- (6.147,10.396) -- (5.947,10.18) -- (5.741,9.97) -- (5.531,9.764) -- (5.316,9.563) -- (5.097,9.367) -- (4.873,9.177) -- (4.644,8.992) -- (4.411,8.812) -- (4.175,8.638);
\draw[line width=0.5pt] (4.578,10.502) -- (4.529,10.375) -- (4.483,10.246) -- (4.44,10.116) -- (4.4,9.985) -- (4.364,9.853) -- (4.33,9.72) -- (4.299,9.587) -- (4.272,9.453) -- (4.248,9.318) -- (4.227,9.183) -- (4.209,9.047) -- (4.194,8.911) -- (4.183,8.775) -- (4.175,8.638);
\draw[line width=0.5pt] (4.175,8.638) -- (4.393,8.659) -- (4.612,8.675) -- (4.831,8.685) -- (5.05,8.691) -- (5.27,8.691) -- (5.489,8.686) -- (5.709,8.676) -- (5.928,8.66) -- (6.146,8.64) -- (6.364,8.614) -- (6.582,8.584) -- (6.798,8.548) -- (7.014,8.507) -- (7.228,8.461);
\draw[line width=0.5pt] (4.175,8.638) -- (4.352,8.308) -- (4.536,7.981) -- (4.729,7.659) -- (4.929,7.341) -- (5.136,7.029) -- (5.351,6.721) -- (5.573,6.418) -- (5.802,6.121) -- (6.038,5.829) -- (6.281,5.542) -- (6.53,5.262) -- (6.786,4.987) -- (7.048,4.719) -- (7.317,4.457);
\draw[line width=0.5pt] (7.228,8.461) -- (7.278,8.178) -- (7.321,7.895) -- (7.358,7.61) -- (7.388,7.324) -- (7.411,7.037) -- (7.428,6.75) -- (7.437,6.463) -- (7.44,6.175) -- (7.437,5.888) -- (7.426,5.601) -- (7.409,5.314) -- (7.385,5.027) -- (7.354,4.742) -- (7.317,4.457);
\draw[line width=0.5pt] (10.493,7.629) -- (10.499,7.456) -- (10.509,7.283) -- (10.524,7.111) -- (10.542,6.938) -- (10.564,6.766) -- (10.591,6.595) -- (10.621,6.424) -- (10.656,6.255) -- (10.694,6.086) -- (10.737,5.918) -- (10.783,5.751) -- (10.833,5.585) -- (10.887,5.42) -- (10.945,5.257);
\draw[line width=0.5pt] (10.493,7.629) -- (10.303,7.37) -- (10.106,7.115) -- (9.903,6.864) -- (9.695,6.619) -- (9.481,6.378) -- (9.261,6.142) -- (9.036,5.912) -- (8.805,5.687) -- (8.569,5.467) -- (8.328,5.254) -- (8.082,5.045) -- (7.832,4.843) -- (7.576,4.647) -- (7.317,4.457);
\draw[line width=0.5pt] (1.359,5.552) -- (1.576,5.523) -- (1.793,5.499) -- (2.011,5.48) -- (2.229,5.466) -- (2.447,5.458) -- (2.666,5.454) -- (2.885,5.456) -- (3.104,5.462) -- (3.322,5.474) -- (3.54,5.491) -- (3.758,5.514) -- (3.974,5.541) -- (4.191,5.573) -- (4.406,5.611) -- (4.625,5.561) -- (4.842,5.506) -- (5.059,5.445) -- (5.274,5.38) -- (5.487,5.31) -- (5.699,5.234) -- (5.909,5.154) -- (6.117,5.069) -- (6.323,4.979) -- (6.526,4.884) -- (6.728,4.784) -- (6.927,4.68) -- (7.123,4.571) -- (7.317,4.457);
\draw[line width=0.5pt] (1.359,5.552) -- (1.635,5.304) -- (1.904,5.048) -- (2.168,4.787) -- (2.426,4.519) -- (2.677,4.246) -- (2.921,3.966) -- (3.16,3.681) -- (3.391,3.39) -- (3.615,3.094) -- (3.833,2.793) -- (4.043,2.487) -- (4.246,2.175) -- (4.441,1.86) -- (4.629,1.54);
\draw[line width=0.5pt] (10.945,5.257) -- (10.68,5.24) -- (10.414,5.217) -- (10.149,5.187) -- (9.885,5.151) -- (9.622,5.109) -- (9.359,5.061) -- (9.098,5.007) -- (8.838,4.946) -- (8.58,4.88) -- (8.323,4.807) -- (8.068,4.729) -- (7.816,4.644) -- (7.565,4.553) -- (7.317,4.457);
\draw[line width=0.5pt] (7.317,4.457) -- (7.158,4.221) -- (6.994,3.989) -- (6.824,3.76) -- (6.649,3.536) -- (6.469,3.315) -- (6.284,3.099) -- (6.093,2.888) -- (5.898,2.68) -- (5.698,2.478) -- (5.493,2.28) -- (5.283,2.087) -- (5.07,1.9) -- (4.851,1.717) -- (4.629,1.54);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.229,11.54) -- (7.207,11.62) -- (7.149,11.678) -- (7.069,11.7) -- (6.989,11.678) -- (6.93,11.62) -- (6.909,11.54) -- (6.93,11.46) -- (6.989,11.401) -- (7.069,11.38) -- (7.149,11.401) -- (7.207,11.46) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.738,10.502) -- (4.717,10.582) -- (4.658,10.641) -- (4.578,10.662) -- (4.498,10.641) -- (4.439,10.582) -- (4.418,10.502) -- (4.439,10.422) -- (4.498,10.364) -- (4.578,10.342) -- (4.658,10.364) -- (4.717,10.422) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.335,8.638) -- (4.313,8.718) -- (4.255,8.777) -- (4.175,8.798) -- (4.095,8.777) -- (4.036,8.718) -- (4.015,8.638) -- (4.036,8.558) -- (4.095,8.5) -- (4.175,8.478) -- (4.255,8.5) -- (4.313,8.558) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.388,8.461) -- (7.367,8.541) -- (7.308,8.6) -- (7.228,8.621) -- (7.148,8.6) -- (7.089,8.541) -- (7.068,8.461) -- (7.089,8.381) -- (7.148,8.323) -- (7.228,8.301) -- (7.308,8.323) -- (7.367,8.381) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.653,7.629) -- (10.631,7.709) -- (10.573,7.768) -- (10.493,7.789) -- (10.413,7.768) -- (10.354,7.709) -- (10.333,7.629) -- (10.354,7.549) -- (10.413,7.491) -- (10.493,7.469) -- (10.573,7.491) -- (10.631,7.549) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.519,5.552) -- (1.498,5.632) -- (1.439,5.691) -- (1.359,5.712) -- (1.279,5.691) -- (1.221,5.632) -- (1.199,5.552) -- (1.221,5.472) -- (1.279,5.413) -- (1.359,5.392) -- (1.439,5.413) -- (1.498,5.472) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (11.105,5.257) -- (11.084,5.337) -- (11.025,5.396) -- (10.945,5.417) -- (10.865,5.396) -- (10.807,5.337) -- (10.785,5.257) -- (10.807,5.177) -- (10.865,5.119) -- (10.945,5.097) -- (11.025,5.119) -- (11.084,5.177) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (7.477,4.457) -- (7.455,4.537) -- (7.397,4.596) -- (7.317,4.617) -- (7.237,4.596) -- (7.178,4.537) -- (7.157,4.457) -- (7.178,4.377) -- (7.237,4.318) -- (7.317,4.297) -- (7.397,4.318) -- (7.455,4.377) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (4.789,1.54) -- (4.768,1.62) -- (4.709,1.678) -- (4.629,1.7) -- (4.549,1.678) -- (4.49,1.62) -- (4.469,1.54) -- (4.49,1.46) -- (4.549,1.401) -- (4.629,1.38) -- (4.709,1.401) -- (4.768,1.46) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.244,10.828) -- (6.198,10.998) -- (6.074,11.123) -- (5.904,11.168) -- (5.734,11.123) -- (5.609,10.998) -- (5.564,10.828) -- (5.609,10.658) -- (5.734,10.534) -- (5.904,10.488) -- (6.074,10.534) -- (6.198,10.658) -- cycle;
\node at (5.904,10.828) {\scalebox{1.547}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.308,9.744) -- (6.262,9.914) -- (6.138,10.038) -- (5.968,10.084) -- (5.798,10.038) -- (5.674,9.914) -- (5.628,9.744) -- (5.674,9.574) -- (5.798,9.449) -- (5.968,9.404) -- (6.138,9.449) -- (6.262,9.574) -- cycle;
\node at (5.968,9.744) {\scalebox{1.547}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.952,9.519) -- (4.907,9.689) -- (4.782,9.814) -- (4.612,9.859) -- (4.442,9.814) -- (4.318,9.689) -- (4.272,9.519) -- (4.318,9.349) -- (4.442,9.225) -- (4.612,9.179) -- (4.782,9.225) -- (4.907,9.349) -- cycle;
\node at (4.612,9.519) {\scalebox{1.547}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.067,8.995) -- (6.022,9.165) -- (5.897,9.29) -- (5.727,9.335) -- (5.557,9.29) -- (5.433,9.165) -- (5.387,8.995) -- (5.433,8.825) -- (5.557,8.701) -- (5.727,8.655) -- (5.897,8.701) -- (6.022,8.825) -- cycle;
\node at (5.727,8.995) {\scalebox{1.547}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.169,6.61) -- (6.123,6.78) -- (5.999,6.905) -- (5.829,6.95) -- (5.659,6.905) -- (5.535,6.78) -- (5.489,6.61) -- (5.535,6.44) -- (5.659,6.316) -- (5.829,6.27) -- (5.999,6.316) -- (6.123,6.44) -- cycle;
\node at (5.829,6.61) {\scalebox{1.547}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.097,6.47) -- (8.052,6.64) -- (7.927,6.764) -- (7.757,6.81) -- (7.587,6.764) -- (7.463,6.64) -- (7.417,6.47) -- (7.463,6.3) -- (7.587,6.175) -- (7.757,6.13) -- (7.927,6.175) -- (8.052,6.3) -- cycle;
\node at (7.757,6.47) {\scalebox{1.547}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (11.276,6.484) -- (11.23,6.654) -- (11.106,6.779) -- (10.936,6.824) -- (10.766,6.779) -- (10.641,6.654) -- (10.596,6.484) -- (10.641,6.314) -- (10.766,6.19) -- (10.936,6.144) -- (11.106,6.19) -- (11.23,6.314) -- cycle;
\node at (10.936,6.484) {\scalebox{1.547}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.602,5.686) -- (9.556,5.856) -- (9.432,5.98) -- (9.262,6.026) -- (9.092,5.98) -- (8.967,5.856) -- (8.922,5.686) -- (8.967,5.516) -- (9.092,5.391) -- (9.262,5.346) -- (9.432,5.391) -- (9.556,5.516) -- cycle;
\node at (9.262,5.686) {\scalebox{1.547}{\small 8}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.755,5.931) -- (4.709,6.101) -- (4.585,6.225) -- (4.415,6.271) -- (4.245,6.225) -- (4.121,6.101) -- (4.075,5.931) -- (4.121,5.761) -- (4.245,5.636) -- (4.415,5.591) -- (4.585,5.636) -- (4.709,5.761) -- cycle;
\node at (4.415,5.931) {\scalebox{1.547}{\small 9}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (3.748,3.883) -- (3.702,4.053) -- (3.578,4.177) -- (3.408,4.223) -- (3.238,4.177) -- (3.113,4.053) -- (3.068,3.883) -- (3.113,3.713) -- (3.238,3.588) -- (3.408,3.543) -- (3.578,3.588) -- (3.702,3.713) -- cycle;
\node at (3.408,3.883) {\scalebox{1.547}{\small 10}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (9.507,4.694) -- (9.461,4.864) -- (9.337,4.989) -- (9.167,5.034) -- (8.997,4.989) -- (8.872,4.864) -- (8.827,4.694) -- (8.872,4.524) -- (8.997,4.4) -- (9.167,4.354) -- (9.337,4.4) -- (9.461,4.524) -- cycle;
\node at (9.167,4.694) {\scalebox{1.547}{\small 11}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.669,2.671) -- (6.623,2.841) -- (6.499,2.965) -- (6.329,3.011) -- (6.159,2.965) -- (6.034,2.841) -- (5.989,2.671) -- (6.034,2.501) -- (6.159,2.376) -- (6.329,2.331) -- (6.499,2.376) -- (6.623,2.501) -- cycle;
\node at (6.329,2.671) {\scalebox{1.547}{\small 12}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (3.875,8.338) -- (4.475,8.338) -- (4.475,8.938) -- (3.875,8.938) -- cycle;
\node at (4.175,8.638) {\scalebox{1.547}{\small a}};
\filldraw[fill=black!14, draw=black, line width=0.5pt] (5.56,11.408) -- (6.16,11.408) -- (6.16,12.008) -- (5.56,12.008) -- cycle;
\node at (5.86,11.708) {\scalebox{1.547}{\small b}};
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.713,6.448) -- (6.313,6.448) -- (6.313,7.048) -- (5.713,7.048) -- cycle;
\node at (6.013,6.748) {\scalebox{1.547}{\small c}};
\filldraw[fill=blue!12, draw=black, line width=0.5pt] (9.723,3.421) -- (10.323,3.421) -- (10.323,4.021) -- (9.723,4.021) -- cycle;
\node at (10.023,3.721) {\scalebox{1.547}{\small d}};
\node at (7.158,12.153) {\scalebox{1.547}{\small A}};
\node at (4.285,11.049) {\scalebox{1.547}{\small B}};
\node at (3.667,8.994) {\scalebox{1.547}{\small C}};
\node at (7.538,8.998) {\scalebox{1.547}{\small D}};
\node at (11.107,7.714) {\scalebox{1.547}{\small E}};
\node at (0.765,5.375) {\scalebox{1.547}{\small F}};
\node at (11.521,5.027) {\scalebox{1.547}{\small G}};
\node at (7.518,3.871) {\scalebox{1.547}{\small H}};
\node at (4.438,0.95) {\scalebox{1.547}{\small I}};
\draw[line width=0.5pt] (12.245,10.59) -- (12.245,11.69);
\draw[line width=0.5pt] (12.014,11.305) -- (12.245,11.69) -- (12.476,11.305);
\draw[line width=0.5pt] (11.943,11.14) -- (12.548,11.14);
\node at (12.245,12.075) {\scalebox{1.547}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F & \cellcolor{blue!7}\bfseries G & \cellcolor{blue!7}\bfseries H & \cellcolor{blue!7}\bfseries I \\ \hline
Nombre de rues & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 & 6 & 2 \\ \hline
Parité & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 24 = 2 \(\times\) 12, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Aucun} carrefour n'a un nombre impair de rues : ils sont tous pairs.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{C}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Aucun carrefour n'est impair : chacun peut être traversé de part en part. Le facteur revient même à la poste sans l'avoir cherché.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible — ce n'est pas la seule :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Stade \textbf{(C)}, prend la \textbf{rue du Moulin ②} vers le nord-est et atteint Place des Tanneurs \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue de l'Église ①}, vers le sud-ouest, jusqu'à Coin du Lavoir \textbf{(B)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue des Lilas ③}, vers le sud, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(C)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Pont ④}, vers l'est, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans le \textbf{chemin de Ronde ⑥}, vers le sud, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue Basse ⑧}, vers le nord-est, jusqu'à Fontaine Notre-Dame \textbf{(E)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Haute ⑦}, vers le sud, jusqu'à Place de la Fontaine \textbf{(G)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue Pasteur ⑪}, vers l'ouest, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de la Poste ⑨}, vers l'ouest, jusqu'à Place aux Herbes \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{rue du Four ⑩}, vers le sud-est, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(I)}.
  \item Il tourne à gauche dans la \textbf{venelle du Chat ⑫}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour du Moulin \textbf{(H)}.
  \item Il tourne à gauche dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑤}, vers le nord-ouest, jusqu'à Rond-point du Stade \textbf{(C)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries La question ne se pose pas : la tournée est possible au départ de la poste, et elle le resterait où qu'on installe celle-ci — aucun carrefour n'est impair.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
