\documentclass[a4paper,11pt]{article}

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\usepackage[export]{adjustbox}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{qrcode}
\usepackage[table]{xcolor}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{enumitem}
% Puces nettes (babel-french remplace sinon la puce par un tiret « – » peu pro).
% Vaut pour TOUTES les fiches qui importent ce module. AtBeginDocument pour
% passer après la personnalisation des listes faite par babel-french.
\AtBeginDocument{%
  \setlist[itemize]{leftmargin=1.8em,itemsep=0.5ex,topsep=0.4ex,parsep=0pt}%
  \setlist[itemize,1]{label=\textcolor{red!75!black}{\small\textbullet}}%
  \setlist[itemize,2]{label=\textcolor{red!75!black}{\scriptsize\textbullet}}%
}
% Titres compacts (gain de place vertical, fiches plus denses) — vaut pour tous.
\usepackage{titlesec}
\titlespacing*{\section}{0pt}{1.4ex}{0.6ex}
\titlespacing*{\subsection}{0pt}{1.0ex}{0.3ex}
% multicol : listes denses (calcul mental) sur 2 colonnes — neutre tant qu'il
% n'est pas utilisé, dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{multicol}
\setlength{\columnsep}{1.5em}
% needspace : empêche un titre d'exercice de rester orphelin en bas de page
% (réserve quelques lignes ; sinon le titre passe à la page suivante avec sa
% liste). Neutre tant qu'il n'est pas appelé — dispo pour tous les générateurs.
\usepackage{needspace}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{decorations.text}

\usepackage{tgheros}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\setlength{\headheight}{75pt}
\setlength{\headsep}{10pt}

\newcommand{\logowouf}{%
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.55,
                    line cap=round,line join=round]
    \path[use as bounding box] (-2.20,-1.45) rectangle (2.20,2.20);
    \path[
        postaction={decorate},
        decoration={
            text along path,
            text={|\fontfamily{qhv}\bfseries\fontsize{9}{9}\selectfont|site2wouf.fr},
            text align={center},
            raise=0.03ex
        }
    ] (-1.29,0.48) arc[start angle=160,end angle=20,radius=1.29];
    \begin{scope}[xshift=-0.06cm]
        \fill[black] (-0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] ( 0.66,0.14) ellipse (0.21 and 0.31);
        \fill[black] (-0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black] ( 0.23,0.49) ellipse (0.22 and 0.35);
        \fill[black]
            (0,-0.10)
            .. controls (-0.36,-0.02) and (-0.63,-0.24) .. (-0.58,-0.58)
            .. controls (-0.52,-0.93) and (-0.16,-1.12) .. (0,-0.90)
            .. controls (0.16,-1.12) and (0.52,-0.93) .. (0.58,-0.58)
            .. controls (0.63,-0.24) and (0.36,-0.02) .. (0,-0.10)
            -- cycle;
    \end{scope}
\end{tikzpicture}%
}
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\newcommand{\titre}{La tournée du facteur}
\newcommand{\soustitre}{Probl\`eme --- Fiche n\textdegree 201}

\fancyhead[C]{%
\raisebox{4pt}{%
\begin{minipage}[c]{0.15\textwidth}
    \centering
    \logowouf
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.62\textwidth}
    \centering
    {\Large\bfseries \titre\par}
    {\small\color{gray} \soustitre}
\end{minipage}
\begin{minipage}[c]{0.21\textwidth}
    \centering
    \qrcode[height=1.5cm]{https://site2wouf.fr/facteur_sans_retour.php?x=201}\\[2pt]
    {\small\ttfamily\bfseries\color{red} EULC0201}
\end{minipage}%
}
}

\begin{document}

\begin{center}
    \small Un facteur veut parcourir toutes les rues de son quartier en n'empruntant chacune qu'une seule fois. Selon le plan, c'est tantôt facile, tantôt impossible — et l'on peut le dire d'avance, sans essayer, en regardant simplement combien de rues aboutissent à chaque carrefour.
\end{center}
\vspace{0.5em}
\sloppy
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur}}
\noindent Voici le plan d'un quartier.\par\addvspace{0.35em}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.7478, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.904,11.47) -- (9.566,11.488) -- (9.227,11.499) -- (8.889,11.501) -- (8.55,11.495) -- (8.212,11.481) -- (7.874,11.46) -- (7.536,11.43) -- (7.199,11.393) -- (6.864,11.347) -- (6.529,11.294) -- (6.196,11.233) -- (5.865,11.164) -- (5.535,11.087) -- (5.207,11.002) -- (4.93,10.959) -- (4.651,10.922) -- (4.372,10.892) -- (4.092,10.869) -- (3.812,10.852) -- (3.531,10.841) -- (3.25,10.838) -- (2.969,10.841) -- (2.688,10.85) -- (2.408,10.866) -- (2.128,10.889) -- (1.848,10.918) -- (1.57,10.954) -- (1.292,10.996);
\draw[line width=0.5pt] (9.904,11.47) -- (9.656,11.098) -- (9.399,10.732) -- (9.133,10.372) -- (8.859,10.019) -- (8.577,9.671) -- (8.287,9.331) -- (7.989,8.997) -- (7.683,8.671) -- (7.369,8.352) -- (7.048,8.04) -- (6.72,7.736) -- (6.385,7.44) -- (6.043,7.152) -- (5.694,6.872);
\draw[line width=0.5pt] (9.904,11.47) -- (9.883,11.056) -- (9.872,10.641) -- (9.871,10.225) -- (9.88,9.81) -- (9.898,9.395) -- (9.927,8.981) -- (9.965,8.567) -- (10.012,8.154) -- (10.07,7.743) -- (10.137,7.333) -- (10.213,6.924) -- (10.3,6.518) -- (10.395,6.114) -- (10.501,5.713);
\draw[line width=0.5pt] (1.292,10.996) -- (1.649,10.752) -- (2.001,10.499) -- (2.346,10.238) -- (2.685,9.969) -- (3.018,9.693) -- (3.344,9.408) -- (3.663,9.116) -- (3.976,8.816) -- (4.281,8.509) -- (4.579,8.195) -- (4.87,7.874) -- (5.152,7.546) -- (5.427,7.212) -- (5.694,6.872);
\draw[line width=0.5pt] (5.694,6.872) -- (6.022,6.737) -- (6.353,6.61) -- (6.687,6.491) -- (7.024,6.38) -- (7.364,6.277) -- (7.706,6.181) -- (8.05,6.094) -- (8.396,6.015) -- (8.743,5.944) -- (9.093,5.881) -- (9.443,5.826) -- (9.795,5.78) -- (10.147,5.742) -- (10.501,5.713);
\draw[line width=0.5pt] (5.694,6.872) -- (5.433,6.46) -- (5.163,6.055) -- (4.883,5.655) -- (4.594,5.263) -- (4.295,4.877) -- (3.987,4.499) -- (3.671,4.127) -- (3.346,3.763) -- (3.013,3.407) -- (2.671,3.059) -- (2.321,2.719) -- (1.963,2.388) -- (1.598,2.065) -- (1.226,1.751);
\draw[line width=0.5pt] (10.501,5.713) -- (10.387,5.423) -- (10.279,5.13) -- (10.179,4.834) -- (10.086,4.536) -- (9.999,4.236) -- (9.92,3.935) -- (9.848,3.631) -- (9.783,3.325) -- (9.725,3.019) -- (9.675,2.711) -- (9.631,2.402) -- (9.595,2.092) -- (9.567,1.781) -- (9.545,1.47);
\draw[line width=0.5pt] (1.226,1.751) -- (1.56,1.833) -- (1.897,1.906) -- (2.235,1.971) -- (2.575,2.029) -- (2.916,2.078) -- (3.259,2.12) -- (3.602,2.153) -- (3.946,2.178) -- (4.29,2.195) -- (4.635,2.205) -- (4.979,2.206) -- (5.324,2.198) -- (5.668,2.183) -- (6.012,2.16) -- (6.255,2.072) -- (6.499,1.99) -- (6.746,1.914) -- (6.995,1.844) -- (7.245,1.78) -- (7.497,1.722) -- (7.75,1.669) -- (8.004,1.623) -- (8.26,1.582) -- (8.516,1.548) -- (8.772,1.519) -- (9.03,1.497) -- (9.287,1.48) -- (9.545,1.47);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.064,11.47) -- (10.042,11.55) -- (9.984,11.609) -- (9.904,11.63) -- (9.824,11.609) -- (9.765,11.55) -- (9.744,11.47) -- (9.765,11.39) -- (9.824,11.332) -- (9.904,11.31) -- (9.984,11.332) -- (10.042,11.39) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.452,10.996) -- (1.431,11.076) -- (1.372,11.135) -- (1.292,11.156) -- (1.212,11.135) -- (1.154,11.076) -- (1.132,10.996) -- (1.154,10.916) -- (1.212,10.857) -- (1.292,10.836) -- (1.372,10.857) -- (1.431,10.916) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.854,6.872) -- (5.833,6.952) -- (5.774,7.011) -- (5.694,7.032) -- (5.614,7.011) -- (5.556,6.952) -- (5.534,6.872) -- (5.556,6.792) -- (5.614,6.733) -- (5.694,6.712) -- (5.774,6.733) -- (5.833,6.792) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.661,5.713) -- (10.639,5.793) -- (10.581,5.851) -- (10.501,5.873) -- (10.421,5.851) -- (10.362,5.793) -- (10.341,5.713) -- (10.362,5.633) -- (10.421,5.574) -- (10.501,5.553) -- (10.581,5.574) -- (10.639,5.633) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.386,1.751) -- (1.364,1.831) -- (1.306,1.89) -- (1.226,1.911) -- (1.146,1.89) -- (1.087,1.831) -- (1.066,1.751) -- (1.087,1.671) -- (1.146,1.613) -- (1.226,1.591) -- (1.306,1.613) -- (1.364,1.671) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.705,1.47) -- (9.684,1.55) -- (9.625,1.609) -- (9.545,1.63) -- (9.465,1.609) -- (9.407,1.55) -- (9.385,1.47) -- (9.407,1.39) -- (9.465,1.332) -- (9.545,1.31) -- (9.625,1.332) -- (9.684,1.39) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.613,10.689) -- (5.568,10.859) -- (5.443,10.984) -- (5.273,11.029) -- (5.103,10.984) -- (4.979,10.859) -- (4.933,10.689) -- (4.979,10.519) -- (5.103,10.395) -- (5.273,10.349) -- (5.443,10.395) -- (5.568,10.519) -- cycle;
\node at (5.273,10.689) {\scalebox{1.337}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.565,8.781) -- (8.519,8.951) -- (8.395,9.076) -- (8.225,9.121) -- (8.055,9.076) -- (7.93,8.951) -- (7.885,8.781) -- (7.93,8.611) -- (8.055,8.487) -- (8.225,8.441) -- (8.395,8.487) -- (8.519,8.611) -- cycle;
\node at (8.225,8.781) {\scalebox{1.337}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.623,8.6) -- (10.577,8.77) -- (10.453,8.894) -- (10.283,8.94) -- (10.113,8.894) -- (9.989,8.77) -- (9.943,8.6) -- (9.989,8.43) -- (10.113,8.305) -- (10.283,8.26) -- (10.453,8.305) -- (10.577,8.43) -- cycle;
\node at (10.283,8.6) {\scalebox{1.337}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.222,9.349) -- (4.177,9.519) -- (4.052,9.644) -- (3.882,9.689) -- (3.712,9.644) -- (3.588,9.519) -- (3.542,9.349) -- (3.588,9.179) -- (3.712,9.055) -- (3.882,9.009) -- (4.052,9.055) -- (4.177,9.179) -- cycle;
\node at (3.882,9.349) {\scalebox{1.337}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.465,6.405) -- (8.419,6.575) -- (8.295,6.7) -- (8.125,6.745) -- (7.955,6.7) -- (7.83,6.575) -- (7.785,6.405) -- (7.83,6.235) -- (7.955,6.111) -- (8.125,6.065) -- (8.295,6.111) -- (8.419,6.235) -- cycle;
\node at (8.125,6.405) {\scalebox{1.337}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.252,3.917) -- (4.207,4.087) -- (4.082,4.211) -- (3.912,4.257) -- (3.742,4.211) -- (3.618,4.087) -- (3.572,3.917) -- (3.618,3.747) -- (3.742,3.622) -- (3.912,3.577) -- (4.082,3.622) -- (4.207,3.747) -- cycle;
\node at (3.912,3.917) {\scalebox{1.337}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.5,3.561) -- (10.455,3.731) -- (10.33,3.855) -- (10.16,3.901) -- (9.99,3.855) -- (9.866,3.731) -- (9.82,3.561) -- (9.866,3.391) -- (9.99,3.266) -- (10.16,3.221) -- (10.33,3.266) -- (10.455,3.391) -- cycle;
\node at (10.16,3.561) {\scalebox{1.337}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.411,2.474) -- (6.366,2.644) -- (6.241,2.769) -- (6.071,2.814) -- (5.901,2.769) -- (5.777,2.644) -- (5.731,2.474) -- (5.777,2.304) -- (5.901,2.18) -- (6.071,2.134) -- (6.241,2.18) -- (6.366,2.304) -- cycle;
\node at (6.071,2.474) {\scalebox{1.337}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.201,5.413) -- (10.801,5.413) -- (10.801,6.013) -- (10.201,6.013) -- cycle;
\node at (10.501,5.713) {\scalebox{1.337}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.179,8.847) -- (11.779,8.847) -- (11.779,9.447) -- (11.179,9.447) -- cycle;
\node at (11.479,9.147) {\scalebox{1.337}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.968,6.479) -- (9.568,6.479) -- (9.568,7.079) -- (8.968,7.079) -- cycle;
\node at (9.268,6.779) {\scalebox{1.337}{\small c}};
\node at (10.258,11.979) {\scalebox{1.337}{\small A}};
\node at (0.834,11.414) {\scalebox{1.337}{\small B}};
\node at (5.196,7.241) {\scalebox{1.337}{\small C}};
\node at (11.113,5.614) {\scalebox{1.337}{\small D}};
\node at (0.765,1.336) {\scalebox{1.337}{\small E}};
\node at (9.883,0.95) {\scalebox{1.337}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (11.801,10.52) -- (11.801,11.62);
\draw[line width=0.5pt] (11.57,11.235) -- (11.801,11.62) -- (12.032,11.235);
\draw[line width=0.5pt] (11.498,11.07) -- (12.103,11.07);
\node at (11.801,12.005) {\scalebox{1.337}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{Le facteur part de la poste et doit emprunter chaque rue exactement une fois. Il n'est pas obligé d'y revenir : il termine sa tournée où il veut.}\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Les rues & \cellcolor{blue!7}\bfseries  & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les carrefours & \cellcolor{blue!7}\bfseries Les bâtiments \\ \hline
① passage du Marché & ⑤ venelle du Chat & Ⓐ Carrefour de l'Hôpital & \textbf{a} la poste \\ \hline
② rue du Stade & ⑥ rue des Écoles & Ⓑ Place du Marché & \textbf{b} la gendarmerie \\ \hline
③ rue du Pont & ⑦ allée des Tilleuls & Ⓒ Rond-point des Vaches & \textbf{c} la bibliothèque \\ \hline
④ sentier des Prés & ⑧ rue de l'Église & Ⓓ Rond-point du Pont &  \\ \hline
 &  & Ⓔ Place du Vieux-Puits &  \\ \hline
 &  & Ⓕ Placette des Ormes &  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent{\small\itshape Légende du plan}\par\addvspace{0.4em}
\noindent Les questions se suivent : la première n'est qu'un comptage, la dernière demande une preuve.\par\addvspace{0.45em}
\begin{enumerate}
  \item Pour \textbf{chaque carrefour}, compter le nombre de rues qui y aboutissent. Présenter les résultats dans un tableau.
  \item Le facteur imagine sa tournée. À chaque fois qu'il \textbf{traverse} un carrefour, combien de rues utilise-t-il ? Qu'en déduire pour les carrefours où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ?
  \item \textbf{Le facteur peut-il faire sa tournée en partant de la poste ?} Si oui, décrire un trajet possible ; sinon, démontrer que c'est impossible.
  \item Si ce n'est pas possible : une tournée existe-t-elle \textbf{malgré tout} dans ce quartier, en partant d'ailleurs ? Si oui, où faudrait-il installer la poste — et le facteur y reviendrait-il ?
\end{enumerate}
\newpage
\section*{\textcolor{red}{Correction}}
\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{\textcolor{red}{La tournée du facteur — Correction}}
\needspace{3\baselineskip}
\begin{center}
\begin{tikzpicture}[scale=0.6691, line join=round, line cap=round]
\draw[line width=0.5pt] (9.904,11.47) -- (9.566,11.488) -- (9.227,11.499) -- (8.889,11.501) -- (8.55,11.495) -- (8.212,11.481) -- (7.874,11.46) -- (7.536,11.43) -- (7.199,11.393) -- (6.864,11.347) -- (6.529,11.294) -- (6.196,11.233) -- (5.865,11.164) -- (5.535,11.087) -- (5.207,11.002) -- (4.93,10.959) -- (4.651,10.922) -- (4.372,10.892) -- (4.092,10.869) -- (3.812,10.852) -- (3.531,10.841) -- (3.25,10.838) -- (2.969,10.841) -- (2.688,10.85) -- (2.408,10.866) -- (2.128,10.889) -- (1.848,10.918) -- (1.57,10.954) -- (1.292,10.996);
\draw[line width=0.5pt] (9.904,11.47) -- (9.656,11.098) -- (9.399,10.732) -- (9.133,10.372) -- (8.859,10.019) -- (8.577,9.671) -- (8.287,9.331) -- (7.989,8.997) -- (7.683,8.671) -- (7.369,8.352) -- (7.048,8.04) -- (6.72,7.736) -- (6.385,7.44) -- (6.043,7.152) -- (5.694,6.872);
\draw[line width=0.5pt] (9.904,11.47) -- (9.883,11.056) -- (9.872,10.641) -- (9.871,10.225) -- (9.88,9.81) -- (9.898,9.395) -- (9.927,8.981) -- (9.965,8.567) -- (10.012,8.154) -- (10.07,7.743) -- (10.137,7.333) -- (10.213,6.924) -- (10.3,6.518) -- (10.395,6.114) -- (10.501,5.713);
\draw[line width=0.5pt] (1.292,10.996) -- (1.649,10.752) -- (2.001,10.499) -- (2.346,10.238) -- (2.685,9.969) -- (3.018,9.693) -- (3.344,9.408) -- (3.663,9.116) -- (3.976,8.816) -- (4.281,8.509) -- (4.579,8.195) -- (4.87,7.874) -- (5.152,7.546) -- (5.427,7.212) -- (5.694,6.872);
\draw[line width=0.5pt] (5.694,6.872) -- (6.022,6.737) -- (6.353,6.61) -- (6.687,6.491) -- (7.024,6.38) -- (7.364,6.277) -- (7.706,6.181) -- (8.05,6.094) -- (8.396,6.015) -- (8.743,5.944) -- (9.093,5.881) -- (9.443,5.826) -- (9.795,5.78) -- (10.147,5.742) -- (10.501,5.713);
\draw[line width=0.5pt] (5.694,6.872) -- (5.433,6.46) -- (5.163,6.055) -- (4.883,5.655) -- (4.594,5.263) -- (4.295,4.877) -- (3.987,4.499) -- (3.671,4.127) -- (3.346,3.763) -- (3.013,3.407) -- (2.671,3.059) -- (2.321,2.719) -- (1.963,2.388) -- (1.598,2.065) -- (1.226,1.751);
\draw[line width=0.5pt] (10.501,5.713) -- (10.387,5.423) -- (10.279,5.13) -- (10.179,4.834) -- (10.086,4.536) -- (9.999,4.236) -- (9.92,3.935) -- (9.848,3.631) -- (9.783,3.325) -- (9.725,3.019) -- (9.675,2.711) -- (9.631,2.402) -- (9.595,2.092) -- (9.567,1.781) -- (9.545,1.47);
\draw[line width=0.5pt] (1.226,1.751) -- (1.56,1.833) -- (1.897,1.906) -- (2.235,1.971) -- (2.575,2.029) -- (2.916,2.078) -- (3.259,2.12) -- (3.602,2.153) -- (3.946,2.178) -- (4.29,2.195) -- (4.635,2.205) -- (4.979,2.206) -- (5.324,2.198) -- (5.668,2.183) -- (6.012,2.16) -- (6.255,2.072) -- (6.499,1.99) -- (6.746,1.914) -- (6.995,1.844) -- (7.245,1.78) -- (7.497,1.722) -- (7.75,1.669) -- (8.004,1.623) -- (8.26,1.582) -- (8.516,1.548) -- (8.772,1.519) -- (9.03,1.497) -- (9.287,1.48) -- (9.545,1.47);
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.064,11.47) -- (10.042,11.55) -- (9.984,11.609) -- (9.904,11.63) -- (9.824,11.609) -- (9.765,11.55) -- (9.744,11.47) -- (9.765,11.39) -- (9.824,11.332) -- (9.904,11.31) -- (9.984,11.332) -- (10.042,11.39) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.452,10.996) -- (1.431,11.076) -- (1.372,11.135) -- (1.292,11.156) -- (1.212,11.135) -- (1.154,11.076) -- (1.132,10.996) -- (1.154,10.916) -- (1.212,10.857) -- (1.292,10.836) -- (1.372,10.857) -- (1.431,10.916) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (5.854,6.872) -- (5.833,6.952) -- (5.774,7.011) -- (5.694,7.032) -- (5.614,7.011) -- (5.556,6.952) -- (5.534,6.872) -- (5.556,6.792) -- (5.614,6.733) -- (5.694,6.712) -- (5.774,6.733) -- (5.833,6.792) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (10.661,5.713) -- (10.639,5.793) -- (10.581,5.851) -- (10.501,5.873) -- (10.421,5.851) -- (10.362,5.793) -- (10.341,5.713) -- (10.362,5.633) -- (10.421,5.574) -- (10.501,5.553) -- (10.581,5.574) -- (10.639,5.633) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (1.386,1.751) -- (1.364,1.831) -- (1.306,1.89) -- (1.226,1.911) -- (1.146,1.89) -- (1.087,1.831) -- (1.066,1.751) -- (1.087,1.671) -- (1.146,1.613) -- (1.226,1.591) -- (1.306,1.613) -- (1.364,1.671) -- cycle;
\filldraw[fill=red!16, draw=black, line width=0.5pt] (9.705,1.47) -- (9.684,1.55) -- (9.625,1.609) -- (9.545,1.63) -- (9.465,1.609) -- (9.407,1.55) -- (9.385,1.47) -- (9.407,1.39) -- (9.465,1.332) -- (9.545,1.31) -- (9.625,1.332) -- (9.684,1.39) -- cycle;
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (5.613,10.689) -- (5.568,10.859) -- (5.443,10.984) -- (5.273,11.029) -- (5.103,10.984) -- (4.979,10.859) -- (4.933,10.689) -- (4.979,10.519) -- (5.103,10.395) -- (5.273,10.349) -- (5.443,10.395) -- (5.568,10.519) -- cycle;
\node at (5.273,10.689) {\scalebox{1.495}{\small 1}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.565,8.781) -- (8.519,8.951) -- (8.395,9.076) -- (8.225,9.121) -- (8.055,9.076) -- (7.93,8.951) -- (7.885,8.781) -- (7.93,8.611) -- (8.055,8.487) -- (8.225,8.441) -- (8.395,8.487) -- (8.519,8.611) -- cycle;
\node at (8.225,8.781) {\scalebox{1.495}{\small 2}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.623,8.6) -- (10.577,8.77) -- (10.453,8.894) -- (10.283,8.94) -- (10.113,8.894) -- (9.989,8.77) -- (9.943,8.6) -- (9.989,8.43) -- (10.113,8.305) -- (10.283,8.26) -- (10.453,8.305) -- (10.577,8.43) -- cycle;
\node at (10.283,8.6) {\scalebox{1.495}{\small 3}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.222,9.349) -- (4.177,9.519) -- (4.052,9.644) -- (3.882,9.689) -- (3.712,9.644) -- (3.588,9.519) -- (3.542,9.349) -- (3.588,9.179) -- (3.712,9.055) -- (3.882,9.009) -- (4.052,9.055) -- (4.177,9.179) -- cycle;
\node at (3.882,9.349) {\scalebox{1.495}{\small 4}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (8.465,6.405) -- (8.419,6.575) -- (8.295,6.7) -- (8.125,6.745) -- (7.955,6.7) -- (7.83,6.575) -- (7.785,6.405) -- (7.83,6.235) -- (7.955,6.111) -- (8.125,6.065) -- (8.295,6.111) -- (8.419,6.235) -- cycle;
\node at (8.125,6.405) {\scalebox{1.495}{\small 5}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (4.252,3.917) -- (4.207,4.087) -- (4.082,4.211) -- (3.912,4.257) -- (3.742,4.211) -- (3.618,4.087) -- (3.572,3.917) -- (3.618,3.747) -- (3.742,3.622) -- (3.912,3.577) -- (4.082,3.622) -- (4.207,3.747) -- cycle;
\node at (3.912,3.917) {\scalebox{1.495}{\small 6}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (10.5,3.561) -- (10.455,3.731) -- (10.33,3.855) -- (10.16,3.901) -- (9.99,3.855) -- (9.866,3.731) -- (9.82,3.561) -- (9.866,3.391) -- (9.99,3.266) -- (10.16,3.221) -- (10.33,3.266) -- (10.455,3.391) -- cycle;
\node at (10.16,3.561) {\scalebox{1.495}{\small 7}};
\filldraw[fill=white, draw=black, line width=0.5pt] (6.411,2.474) -- (6.366,2.644) -- (6.241,2.769) -- (6.071,2.814) -- (5.901,2.769) -- (5.777,2.644) -- (5.731,2.474) -- (5.777,2.304) -- (5.901,2.18) -- (6.071,2.134) -- (6.241,2.18) -- (6.366,2.304) -- cycle;
\node at (6.071,2.474) {\scalebox{1.495}{\small 8}};
\filldraw[fill=yellow!35, draw=black, line width=0.5pt] (10.201,5.413) -- (10.801,5.413) -- (10.801,6.013) -- (10.201,6.013) -- cycle;
\node at (10.501,5.713) {\scalebox{1.495}{\small a}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (11.179,8.847) -- (11.779,8.847) -- (11.779,9.447) -- (11.179,9.447) -- cycle;
\node at (11.479,9.147) {\scalebox{1.495}{\small b}};
\filldraw[fill=green!18, draw=black, line width=0.5pt] (8.968,6.479) -- (9.568,6.479) -- (9.568,7.079) -- (8.968,7.079) -- cycle;
\node at (9.268,6.779) {\scalebox{1.495}{\small c}};
\node at (10.258,11.979) {\scalebox{1.495}{\small A}};
\node at (0.834,11.414) {\scalebox{1.495}{\small B}};
\node at (5.196,7.241) {\scalebox{1.495}{\small C}};
\node at (11.113,5.614) {\scalebox{1.495}{\small D}};
\node at (0.765,1.336) {\scalebox{1.495}{\small E}};
\node at (9.883,0.95) {\scalebox{1.495}{\small F}};
\draw[line width=0.5pt] (11.801,10.52) -- (11.801,11.62);
\draw[line width=0.5pt] (11.57,11.235) -- (11.801,11.62) -- (12.032,11.235);
\draw[line width=0.5pt] (11.498,11.07) -- (12.103,11.07);
\node at (11.801,12.005) {\scalebox{1.495}{\small N}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
\noindent \textbf{1.} On compte les rues aboutissant à chaque carrefour :\par\addvspace{0.35em}
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.35}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\cellcolor{blue!7}\bfseries Carrefour & \cellcolor{blue!7}\bfseries A & \cellcolor{blue!7}\bfseries B & \cellcolor{blue!7}\bfseries C & \cellcolor{blue!7}\bfseries D & \cellcolor{blue!7}\bfseries E & \cellcolor{blue!7}\bfseries F \\ \hline
Nombre de rues & 3 & 2 & 4 & 3 & 2 & 2 \\ \hline
Parité & \textbf{impair} & pair & pair & \textbf{impair} & pair & pair \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\noindent\hspace{1.2em}Vérification : la somme de ces nombres vaut 16 = 2 \(\times\) 8, car chaque rue est comptée à ses \textbf{deux} extrémités.\par\addvspace{0.3em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Les carrefours à nombre \textbf{impair} de rues sont : \textbf{A}, \textbf{D} — il y en a 2.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{2.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{green!45!black}\textbf{Le raisonnement clé.} Quand le facteur \textbf{traverse} un carrefour, il y arrive par une rue et en repart par une autre : il consomme les rues \textbf{deux par deux}. Un carrefour traversé 3 fois voit donc 6 de ses rues utilisées — toujours un nombre \textbf{pair}.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries Un carrefour où aboutit un nombre \textbf{impair} de rues ne peut donc pas être seulement traversé : il doit être le \textbf{départ} ou l'\textbf{arrivée} de la tournée. Là, une rue reste « non appariée ».}\par\addvspace{0.4em}
\noindent{\color{green!45!black}Ici la poste est \textbf{sur un carrefour}, en \textbf{D}, et le facteur n'a pas à y revenir. Ce carrefour est donc le \textbf{départ} — il a droit d'être impair. Mais il n'y a qu'\textbf{une seule arrivée} : tous les autres carrefours doivent être pairs, sauf un au plus.}\par\addvspace{0.4em}
\noindent \textbf{3.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries \textbf{Oui.} Deux carrefours sont impairs, \textbf{A} et \textbf{D}, et la poste est justement sur l'un des deux (\textbf{D}). Il part donc de la poste et \textbf{termine en A}, l'autre carrefour impair.}\par\addvspace{0.4em}
\newpage
\noindent Voici une tournée possible :\par\addvspace{0.35em}
\begin{enumerate}
  \item Il part de Rond-point du Pont \textbf{(D)}, prend la \textbf{rue du Pont ③} vers le nord et atteint Carrefour de l'Hôpital \textbf{(A)}.
  \item Il tourne à gauche dans le \textbf{passage du Marché ①}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Marché \textbf{(B)}.
  \item Il prend dans le \textbf{sentier des Prés ④}, vers le sud-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{venelle du Chat ⑤}, vers l'est, jusqu'à Rond-point du Pont \textbf{(D)}.
  \item Il tourne à droite dans l'\textbf{allée des Tilleuls ⑦}, vers le sud, jusqu'à Placette des Ormes \textbf{(F)}.
  \item Il tourne à droite dans la \textbf{rue de l'Église ⑧}, vers l'ouest, jusqu'à Place du Vieux-Puits \textbf{(E)}.
  \item Il prend dans la \textbf{rue des Écoles ⑥}, vers le nord-est, jusqu'à Rond-point des Vaches \textbf{(C)}.
  \item Il continue tout droit dans la \textbf{rue du Stade ②}, vers le nord-est, jusqu'à Carrefour de l'Hôpital \textbf{(A)}.
\end{enumerate}
\noindent \textbf{4.}\par\addvspace{0.35em}
\noindent{\color{red!80!black}\bfseries C'était déjà possible. Notons seulement que la poste devait être en \textbf{A} ou en \textbf{D} : ailleurs, la tournée n'aurait pas pu commencer.}\par\addvspace{0.4em}
\end{document}
